勾股定理的证明方法与简单应用 - 毕业论文

勾股定理的证明方法及简单应用--毕业论文

【标题】勾股定理的证明方法及简单应用 【作者】官勇 【关键词】勾股定理 建筑 航海 【指导老师】彬 【专业】数学与应用数学 【正文】 1引言 约2000年前我国古代算书《周髀算经》中就记载了公元前1120年我国古人发现的“勾三股四弦五”.当时把较短的直角边叫做勾较长的边叫做股斜边叫做弦。勾三股四弦五”的意思是在直角三角形中如果勾为3股为4那么弦为5.这里32 42 52。们还发现勾为6股为8弦一定为10。为5股为12弦一定为13等.也有62 82 10252 122 13�6�7即勾2股2弦2。所以我国称它为勾股定理. 据文字记载的最早的证明是毕达哥拉斯给出的。据说当他证明了勾股定理以后 欣喜若狂 杀牛百头 以示庆贺。故西方亦称勾股定理为“百牛定理”。 勾股定理的证明是几何学中的明珠 所以它充满魅力 千百年来 人们对它的证明趋之若骛 其中有著名的数学家 也有业余数学爱好者 有普通的老百姓 也有尊贵的政要权贵 甚至有国家总统。也许是因为勾股定理既重要又简单 更容易吸引人 才使它成百次地反复被人炒作 反复被人论证。1940年出版过一本名为《毕达哥拉斯命题》的勾股定理的证明专辑 其中收集了367种不同的证明方法。实际上还不止于此 有资料表明 关于勾股定理的证明方法已有500余种 仅我国清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法。 勾股定理的应用也是非常的早在更早期的人类活动中 人们就已经认识到这一定理的某些特例。据说古埃及人也曾利用“勾三股四弦五”的法则来确定直角。考古学家们发现了几块大约完成于公元前2000年左右的古巴比伦的泥板书 据专家们考证 其中一块上面刻有如下问题 “一根长度为 30个单位的棍子直立在墙上 当其上端滑下6个单位时 请问其下端离开墙角有多远 ”这是一个三边为为3:4:5三角形的特殊例子 专家们还发现 在另一块泥板上面刻着一个奇特的数表 表中共刻有四列十五行数字 这是一个勾股数表 最右边一列为从1到15的序号 而左边三列则分别是股、勾、弦的数值 一共记载着15组勾股数。这说明 勾股定理实际上早已进入了人类知识的宝库。中国古代大禹在治水的时候也就也就总结出这个原理. 2已知成果的概述 2.1 国对勾股定理的证明 爽的这个证明可谓别具匠心极富创新意识.他用几何图形的截割拼补来证明代数式之间的恒 等关系既具严密性又具直观性为中国古代以形证数形数统一代数和几何紧密结合互不可分的 独特风格树立了一个典.以后的数学家大多继承了这一风格并且代有发展. 【证法1】爽证明 以a、b 为直角边ba 以c为斜边作四个全等的直角三角形 则每个直角三角形的面积等于 .. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状. ∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE ∴ ∠HDA ∠EAB. ∵ ∠HAD ∠HDA 90o ∴ ∠EAB ∠HAD 90o ∴ ABCD是一个边长为c的正方形 它的面积等于c2. ∵ EF FG GH HE b―a ∠HEF 90o. ∴ EFGH是一个边长为b―a的正方形 它的面积等于 . ∴ . ∴ . 【证法2】邹元治证明 以a、b 为直角边 以c为斜边做四个全等的直角三角形 则每个直角三角形的面积等于 . 把这四个直角三角形拼成如图所示形状 使A、E、B三点在一条直线上 B、F、C三点在一条直线上 C、G、D三点在一条直线上. ∵ RtΔHAE ≌ RtΔEBF ∴ ∠AHE ∠BEF. ∵ ∠AEH ∠AHE 90o ∴ ∠AEH ∠BEF 90o. ∴ ∠HEF 180o―90o 90o. ∴ 四边形EFGH是一个边长为c的 正方形. 它的面积等于c2. ∵ RtΔGDH ≌ RtΔHAE ∴ ∠HGD ∠EHA. ∵ ∠HGD ∠GHD 90o ∴ ∠EHA ∠GHD 90o. 又∵ ∠GHE 90o ∴ ∠DHA 90o 90o 180o. ∴ ABCD是一个边长为a b的正方形 它的面积等于 ∴ ∴ . 【证法3】徽证明 徽在证明勾股定理时也是用的以形证数的方法 只是具体的分合移补略有不同 徽的证明原也有一幅图 可惜图已失传 只留下一段文字 “勾自乘为朱方 股自乘为青方 令出入相补 各从其类 因就其余不动也 合成弦方之幂 开方除之 即弦也 ”后人根据这段文字补了一图见下图 只要把图中朱方a2 的I移至I′ 青方的II移至II′ III移至III′ 则刚好拼好一个以弦为边长的正方形c2 由此便可证得 a2b2c2 【证法4】作玫证明 做两个全等的直角三角形 设它们的两条直角边长分别为a、bba 斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形. 过A作AF⊥AC AF交GT于F AF交DT于R. 过B作BP⊥AF 垂足为P. 过D作DE与CB的延长线垂直 垂足为E DE交AF于H. ∵ ∠BAD 90o ∠PAC 90o ∴ ∠DAH ∠BAC. ∵ ∠DHA 90o ∠BCA 90o AD AB c ∴ RtΔDHA ≌ RtΔBCA. ∴ DH BC a AH AC b. 由作法可知 PBCA 是一个矩形 ∴ RtΔAPB ≌ RtΔBCA. 即PB CA b AP a 从而PH b―a. ∵ RtΔDGT ≌ RtΔBCA RtΔDHA ≌ RtΔBCA. ∴ RtΔDGT ≌ RtΔDHA . ∴ DH DG a ∠GDT ∠HDA . ∵ ∠DGT 90o ∠DHF 90o ∠GDH ∠GDT ∠TDH ∠HDA ∠TDH 90o ∴ DGFH是一个边长为a的正方形. ∴ GF FH a . TF⊥AF TF GT―GF b―a . ∴ TFPB是一个直角梯形 上底TFb―a 下底BP b 高FPa b―a . 用数字表示面积的编号如图 则以c为边长的正方形的面积为 ① ∵ ∴ ② 把②代入① 得 . ∴ . 【证法5】锐证明 设直角三角形两直角边的长分别为a、bba 斜边的长为c. 做三个边长分别为a、b、c的正方形 把它们拼成如图所示形状 使A、E、G三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号如图 . ∵ ∠TBE ∠ABH 90o ∴ ∠TBH ∠ABE. 又∵ ∠BTH ∠BEA 90o BT BE b ∴ RtΔHBT ≌ RtΔABE. ∴ HT AE a. ∴ GH GT―HT b―a. 又∵ ∠GHF ∠BHT 90o ∠DBC ∠BHT ∠TBH ∠BHT 90o ∴ ∠GHF ∠DBC. ∵ DB EB―ED b―a ∠HGF ∠BDC 90o ∴ RtΔHGF ≌ RtΔBDC. 即 . 过Q作QM⊥AG 垂足是M. 由∠BAQ ∠BEA 90o 可知 ∠ABE ∠QAM 而AB AQ c 所以RtΔABE ≌ RtΔQAM . 又RtΔHBT ≌ RtΔABE. 所以RtΔHBT ≌ RtΔQAM . 即 . 由RtΔABE ≌ RtΔQAM 又得QM AE a ∠AQM ∠BAE. ∵ ∠AQM ∠FQM 90o ∠BAE ∠CAR 90o ∠AQM ∠BAE ∴ ∠FQM ∠CAR. 又∵ ∠QMF ∠ARC 90o QM AR a ∴ RtΔQMF ≌ RtΔARC. 即 . ∵ 又∵ ∴ 即 . 【证法6】杰证明 设直角三角形两直角边的长分别为a、bba 斜边的长为c. 做两个边长分别为a、b的正方形ba 把它们拼如图所示形状 使E、H、M三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号如图 .在EH b上截取ED a 连结DA、DC 则 AD c. ∵ EM EH HM b a ED a ∴ DM EM―ED -a b. 又∵ ∠CMD 90o CM a ∠AED 90o AE b ∴ RtΔAED ≌ RtΔDMC. ∴ ∠EAD ∠MDC DC AD c. ∵ ∠ADE ∠ADC ∠MDC 180o ∠ADE ∠MDC ∠ADE ∠EAD 90o ∴ ∠ADC 90o. ∴ 作AB‖DC CB‖DA 则ABCD是一个边长为c的正方形. ∵ ∠BAF ∠FAD ∠DAE ∠FAD 90o ∴ ∠BAF∠DAE. 连结FB 在ΔABF和ΔADE中 ∵ AB AD c AE AF b ∠BAF∠DAE ∴ ΔABF ≌ ΔADE. ∴ ∠AFB ∠AED 90o BF DE a. ∴ 点B、F、G、H在一条直线上. 在RtΔABF和RtΔBCG中 ∵ AB BC c BF CG a ∴ RtΔABF ≌ RtΔBCG. ∵ ∴ ∴ . 2.2 国外对勾股定理的证明 【证法1】梅文鼎证明 做四个全等的直角三角形 设它们的两条直角边长分别为a、b 斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形 使D、E、F在一条直线上. 过C作AC的延长线交DF于点P. ∵ D、E、F在一条直线上 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD ∴ ∠EGF ∠BED ∵ ∠EGF ∠GEF 90° ∴ ∠BED ∠GEF 90° ∴ ∠BEG 180o―90o 90o. ∵ AB BE EG GA c ∴ ABEG是一个边长为c的正方形. ∴ ∠ABC ∠CBE 90o. ∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD ∴ ∠ABC ∠EBD. ∴ ∠EBD ∠CBE 90o. 即 ∠CBD 90o. 又∵ ∠BDE 90o ∠BCP 90o BC BD a. ∴ BDPC是一个边长为a的正方形. 同理 HPFG是一个边长为b的正方形. 设多边形GHCBE的面积为S 则 ∴ . 我国清代末数学家项明达证明方法其思路的前一部分与梅文鼎的证明思路相反项明达法是先构造正方形再利用全等三角形与原直角三角形全等知识来证明能从而将问题转化为了梅文鼎证明法的后半部分三个正方形的面积. 项明达证明方法 做两个全等的直角三角形 设它们的两条直角边长分别为a、bba 斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形 使E、A、C三点在一条直线上. 过点Q作QP‖BC 交AC于点P. 过点B作BM⊥PQ 垂足为M 再过点 F作FN⊥PQ 垂足为N. ∵ ∠BCA 90o QP‖BC ∴ ∠MPC 90o ∵ BM⊥PQ ∴ ∠BMP 90o ∴ BCPM是一个矩形 即∠MBC 90o. ∵ ∠QBM ∠MBA ∠QBA 90o ∠ABC ∠MBA ∠MBC 90o ∴ ∠QBM ∠ABC 又∵ ∠BMP 90o ∠BCA 90o BQ BA c ∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA. 同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF. 从而将问题转化为梅文鼎证明 . 【证法2】欧几里得证明法 也叫毕氏证明法 做三个边长分别为a、b、c的正方形 把它们拼成如图所示形状 使H、C、B三点在一条直线上 连结 BF、CD. 过C作CL⊥DE 交AB于点M 交DE于点L. ∵ AF AC AB AD ∠FAB ∠GAD ∴ ΔFAB ≌ ΔGAD ∵ ΔFAB的面积等于 ΔGAD的面积等于矩形ADLM 的面积的一半 ∴ 矩形ADLM的面积 . 同理可证 矩形MLEB的面积 . ∵ 正方形ADEB的面积 矩形ADLM的面积 矩形MLEB的面积 ∴ 即 . 【证法3】美国总统伽菲尔德的证明法 以a、b 为直角边 以c为斜边作两个全等的直角三角形 则每个直角三角形的面积等于 . 把这两个直角三角形拼成如图所示形状 使A、E、B三点在一条直线上. ∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE ∴ ∠ADE ∠BEC. ∵ ∠AED ∠ADE 90o ∴ ∠AED ∠BEC 90o. ∴ ∠DEC 180o―90o 90o. ∴ ΔDEC是一个等腰直角三角形 它的面积等于 ∵ ∠DAE 90o ∠EBC 90o ∴ AD‖BC. ∴ ABCD是一个直角梯形 它的面积等于 ∴. ∴ . 故 【证法4】辛卜松证明 设直角三角形两直角边的长分别为a、b 斜边的长为c. 作边长是ab的正方形ABCD. 把正方形ABCD划分成上方左图所示的几个部分 则正方形ABCD的面积为 把正方形ABCD划分成上方右图所示的几个部分 则正方形ABCD的面积为 2 . ∴ ∴ . 【证法5】利用相似三角形性质证明 如图 在RtΔABC中 设直角边AC、BC的长度分别为a、b 斜边AB的长为c 过点C作CD⊥AB 垂足是D. 在ΔADC和ΔACB中 ∵ ∠ADC ∠ACB 90o ∠CAD ∠BAC ∴ ΔADC ∽ ΔACB. AC AC ∶AB 即 . 同理可证 ΔCDB ∽ ΔACB ∴ 即 . 【证法6】利用切割线定理证明 在RtΔABC中 设直角边BC a AC b 斜边AB c. 如图 以B为圆心a为半径作圆 交AB及AB的延长线分别于D、E 则BD BE BC a. 因为∠BCA 90o 点C在⊙B上 所以AC是⊙B 的切线. 由切割线定理 得 即 ∴ . 【证法7】作直角三角形的切圆证明 在RtΔABC中 设直角边BC a AC b 斜边AB c. 作RtΔABC的切圆⊙O 切点分别为D、E、F如图 设⊙O的半径为r. ∵ AE AF BF BD CD CE ∴ r r 2r 即 ∴ . ∴ 即 ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴ . 【证法8】利用反证法证明 如图 在RtΔABC中 设直角边AC、BC的长度分别为a、b 斜边AB的长为c 过点C作CD⊥AB 垂足是D. 假设 即假设 则由 可知 或者 . 即 AD AC≠AC AB 或者 BD BC≠BC AB. 在ΔADC和ΔACB中 ∵ ∠A ∠A ∴ 若 AD AC≠AC AB 则 ∠ADC≠∠ACB. 在ΔCDB和ΔACB中 ∵ ∠B ∠B ∴ 若BD BC≠BC AB 则 ∠CDB≠∠ACB. ∵ ∠ACB 90o ∴ ∠ADC≠90o ∠CDB≠90o. 这与作法CD⊥AB矛盾. 所以 的假设不能成立. ∴ . 2.3 高等代数中证明 【证法1】二行n 列式面积证明方法 先给出定理设A1A2�6�7�6�7An. 为实平面上的n 边形 坐标AiXiYi1≤i≤n 3≤n 且其顶点依次为正向绕行 则n 边形的面积为。 这个定理的证明见文1 . 证明 设直角三角形的三条边为建立直角坐标系如图所示 已知正方形ABCD 其顶点坐标分别为由上述定理可得 ∴ 【证法2】利用多列米定理证明 在RtΔABC中 设直角边BC a AC b 斜边AB c如图 . 过点A作AD‖CB 过点B作BD‖CA 则ACBD为矩形 矩形ACBD接于一个圆. 根据多列米定理 圆接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和 有 ∵ AB DC c AD BC a AC BD b ∴ 即 ∴ . 【证法3】利用向量证明 已知直角△BAC中 ABc BCa ACb ∠ACB90 求证 a2b2c2 证明 以两直角边为坐标数轴 ∵ ∴ ∵∠ACB90 ∴ ∴ ∴ 3 勾股定理在现实生活中的相关应用 1. 求证三角形中的某一个角是直角 例1 如图1 已知△AB C 中 AD 是BC 边上中线AB AD 1AC 5求证∠BAD 是直角. 证明: 作AE 垂直BC 于E.因为AB AD 1 所以BE ED.设ED x则BD DC 2 EC 3 在Rt△A ED 中由勾股定理得 AE2 AD2 -ED2 1 - 2 同理在Rt△A EC 中 AE2AC2-EC2 所以1 - 2 5 -9 2 在△ABD 中因为AB2 AD2 1 1 2 BD2 由勾股定理的逆定理得∠BAD 是直角. 例2 在一个圆柱形的石凳子上一位小朋友吃东西时留下了点在B处恰好一只机灵而勇敢的蚂蚁路过A处A在B的对面她的触角准备的捕捉到了这个信息并迅速的传递反映于是它迫不及待地想从A处爬B处.问蚂蚁从A处爬向B处那种路线最节约时间. 例3 在测量方面的应用一个湖泊两地A B测量这两点距离说说想法就可以了. 4总结 数学家爽的这个证明可谓别具匠心极富创新意识.他用几何图形的截割拼补来证明代数式之间的恒 等关系既具严密性又具直观性为中国古代以形证数形数统一代数和几何紧密结合互不可分的 独特风格树立了一个典.以后的数学家大多继承了这一风格并且代有发展。在上面数学家们的证明方法 我总结 有通过正方形面积 有利用相似三角形 切线定理 角三角形的切圆 利用多列米定理来得到勾股定理中的平方。其中美国总统伽菲尔德的证明方法我认为是最简单的 用到的知识没有相似三角行证明法和用多列米定理证明法那样难以理解 同时用到的图形也没有爽证明法那样复杂。所以我认为这种方法更能让勾股定理的初学者理解掌握。 勾股定理在实际生活中的应用是非常的广泛 在航海 航空 地理�6�7. 只要涉及距离问题的 都有可能考虑用够股定理来解决。勾股定理为我们解决生活中的实际问题提供了一种解决思路。

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