5年高考题 - 3年模拟题 - 分类汇编 - - 空间几何体的结构、三视图和直观图、表面积和体积（09年9月最新更新）

第八章 立体几何

第一节 空间几何体的结构、三视图和直观图、表面积和体积

第一部分 五年高考荟萃

2009年高考题

一、选择题

1. 一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ).

A. B. C. D.

【解析】:该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成的,

圆柱的底面半径为1,高为2,体积为,四棱锥的底面

边长为，高为，

所以体积为

所以该几何体的体积为.

答案:C

【命题立意】:本题考查了立体几何中的空间想象能力,

由三视图能够想象得到空间的立体图,并能准确地

计算出.几何体的体积.

2.一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：c）为

（A）48+12 （B）48+24 （C）36+12 （D）36+24

3.正六棱锥P-ABCDEF中，G为PB的中点，则三棱锥D-GAC与三棱锥P-GAC体积之比为

（A）1：1 (B) 1：2 (C) 2：1 (D) 3：2

4.在区间[-1，1]上随机取一个数x，的值介于0到之间的概率为( ).

A. B. C. D.

【解析】:在区间[-1，1]上随机取一个数x,即时,, ∴

区间长度为1, 而的值介于0到之间的区间长度为,所以概率为.故选C

答案 C

【命题立意】:本题考查了三角函数的值域和几何概型问题,由自变量x的取值范围,得到函数值的范围,再由长度型几何概型求得.

5. 如右图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为。则该集合体的俯视图可以是

答案: C

6.纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北。现有沿该正方体

的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到右侧的平面图形，则标“”的面的方位是

A. 南 B. 北

C. 西 D. 下

解：展、折问题。易判断选B

7.如图，在半径为3的球面上有三点，，

球心到平面的距离是，则两点的球面距离是

A. B. C. D.

答案 B

8．若正方体的棱长为，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为

A. B. C. D.

答案 C

9，如图，已知三棱锥的底面是直角三角形，直角边长分别为3和4，过直角顶点的侧棱长为4，且垂直于底面，该三棱锥的主视图是（ ）

答案 B

二、填空题

10..图是一个几何体的三视图，若它的体积是，则a=_______

答案

11.如图是一个几何体的三视图，若它的体积是，则__________

12．若某几何体的三视图（单位：）如图所示，则此几何体的体积是 ．

答案 18

【解析】该几何体是由二个长方体组成，下面体积为，上面的长方体体积为，因此其几何体的体积为18

13.设某几何体的三视图如下（尺寸的长度单位为m）。

则该几何体的体积为

答案 4

14. 直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若

,，则此球的表面积等于 。

解:在中,,可得,由正弦定理,可得

外接圆半径r=2,设此圆圆心为，球心为，在中，易得球半径，故此球的表面积为.

15．正三棱柱内接于半径为的球，若两点的球面距离为，则正三棱

柱的体积为 　　．

答案 8

16．体积为的一个正方体，其全面积与球的表面积相等，则球的体积等于 ．

答案

17．如图球O的半径为2，圆是一小圆，，A、B

是圆上两点，若A，B两点间的球面距离为，则= .

答案

18.已知三个球的半径，，满足，则它们的表面积，，，

满足的等量关系是___________.

答案

19.若球O1、O2表示面积之比，则它们的半径之比=_____________.

答案 2

三、解答题

20．（本小题满分13分）

某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图4所示。墩的上半部分是正四棱锥

，下半部分是长方体。图5、图6分别是该标识墩的正（主）视图和俯视图。

（1）请画出该安全标识墩的侧（左）视图；

（2）求该安全标识墩的体积；

（3）证明：直线平面.

【解析】(1)侧视图同正视图,如下图所示.

　　（２）该安全标识墩的体积为：

　　（３）如图,连结EG,HF及 BD，EG与HF相交于O,连结PO.

由正四棱锥的性质可知,平面EFGH ,

又 平面PEG

又 平面PEG；

2005—2008年高考题

一、选择题

1.(2008广东）将正三棱柱截去三个角（如图1所示分别是三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（ ）

答案 A

2.（2008海南、宁夏理）某几何体的一条棱长为，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a+b的最大值为（ ）

A． B． C． D．

答案 C

【解析】结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算。如图

设长方体的高宽高分别为，由题意得

，

，，所以

，

当且仅当时取等号。

3.（2008山东）下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是

A.9π　　　　　 B.10π

C.11π D．12π

答案 D

【解析】考查三视图与几何体的表面积。从三视图可以看出该几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的，其表面及为

3. (2007宁夏理•8) 已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（ ）

Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．

答案　B　

4. （2007陕西理•6）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（ ）

A． B． C． D．

答案　B

5.（2006安徽）表面积为 的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为

A． B． C． D．

答案 A

【解析】此正八面体是每个面的边长均为的正三角形，所以由知，

，则此球的直径为，故选A。

6.（2006福建）已知正方体外接球的体积是，那么正方体的棱长等于（ ）

A.2 B. C. D.

答案 D

【解析】正方体外接球的体积是，则外接球的半径R=2，正方体的对角线的长为4，棱长等于，选D.

7.（ 2006湖南卷）过半径为2的球O表面上一点A作球O的截面，若OA与该截面所成

的角是60°则该截面的面积是 ( )

A．π　　　　　　 B.2π　　　　 C.3π　　 　　D.

答案 A

【解析】过半径为2的球O表面上一点A作球O的截面，若OA与该截面所成的角是60°，则截面圆的半径是R=1，该截面的面积是π，选A.

8.（2006山东卷）正方体的内切球与其外接球的体积之比为 ( )

A. 1∶ B. 1∶3 C. 1∶3 D. 1∶9

答案 C

【解析】设正方体的棱长为a，则它的内切球的半径为，它的外接球的半径为，

故所求的比为1∶3，选C.

9.（2005全国卷Ⅰ）一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为，则球的表面积为 ( )

A. B. C. D.

答案　B

10.（2005全国卷Ⅰ）如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且

均为正三角形，EF∥AB，EF=2，则该多面体的体积为 ( )

A. B.

C. D.

二、填空题

11.（2008海南、宁夏理科）一个六棱柱的底面是正六边

形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为3，则这个球的体积为　　　　　　．

答案

【解析】令球的半径为，六棱柱的底面边长为，高为，显然有，且.

12.（2008海南、宁夏文）一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面。已知该六棱柱

的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的高为，底面周长为3，那么这个球的体积为_________

答案

【解析】∵正六边形周长为３，得边长为，故其主对角线为１，从而球的直径

∴ ∴球的体积.

13. （2007天津理•12）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱

的长分别为1，2，3，则此球的表面积为　　　　．

答案

14.（2007全国Ⅱ理•15）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2 cm的球面上。如果正四

棱柱的底面边长为1 cm，那么该棱柱的表面积为 cm2.

答案

15.（2006辽宁）如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥，则此正六棱

锥的侧面积是________．

答案

【解析】显然正六棱锥的底面的外接圆是球的一个大圆，于是可求得底面边长为2，又正六棱锥的高依题意可得为2，依此可求得.

第二部分 三年联考汇编

2009年联考题

一、 选择题

1.（2009枣庄市二模）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于（ ）

A． B．

C． D．

答案 D

2.（2009天津重点学校二模） 如图，直三棱柱的主视图面积为2a2,则左视图的面积为（ ）

A．2a2 B．a2

C． D．

答案 C

3. （2009青岛二模）如下图为长方体木块堆成的几何体的三视图，

则组成此几何体的长方体木块块数共有( )

A．3块 B．4块 C．5块 D．6块

答案　B

4. （2009台州二模）如图，一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为，且一个内角为的菱形，俯视图为正方形，那么这个几何体的表面积为（ ）

A. B.

C . 4 D. 8

答案 C

5. （2009宁德二模）右图是一个多面体的三视图，则其全面积为( )

A． B．

C． D．r

答案 C

6. （2009天津河西区二模）如图所示，一个空间几何体的正

视图和侧视图都是底为1，高为2的矩形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的表面

积为( )

A．Z B．

C． D．

答案　B

7. （2009湛江一模）用单位立方块搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如右

图所示，则它的体积的最小值与最大值分别为( )

A．与 B．与

C．与 D．与

答案 C

8. （2009厦门大同中学）如果一个几何体的三视图如图所示(单位长度: cm), 则此几何体的表面积是( )

A. B.21 cm

C. D. 24 cm

答案 A

9.（抚州一中2009届高三第四次同步考试）下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，

可得几何体的表面积是( )

A.22 B.12 C.4＋24 D.4＋32

答案 D

二、填空题

10.（辽宁省抚顺一中2009届高三数学上学期第一次月考）

棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个

球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中

三角形(正四面体的截面)的面积是 .

答案

11.（2009南京一模）如图，在正三棱柱中，D为棱的中点，若截面是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为 .

答案

12.（2009广州一模）一个几何体的三视图及其尺寸(单位：cm)

如图所示，则该几何体的侧面积为_______cm2.

答案 80

13.(2009珠海二模)一个五面体的三视图如下，正视图与侧视图是等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，部分边长如图所示，则此五面体的体积为___________．

答案 2

9月份更新

一、选择题

1.（2009滨州一模）设、是两个不同的平面，为两条不同的直线，命题p：若平面，，，则；命题q：，，，则，则下列命题为真命题的是 （ ）

A．p或q B．p且q　　

C．┐p或q　 D．p且┐q

答案C

2.（2009聊城一模）某个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 （ ）

A． B．

C． D．

答案B

3.（2009临沂一模）一个几何体的三视图及长度数据如图， 则该几何体的表面积与体积分别为

A、 B、 C、 D、

答案C

4.（2009青岛一模）如右图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图都是边长为的正三角形,其俯视图轮廓为正方形，则其体积是

A． B. C． D.

答案C

5.（2009上海闸北区）右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，

可得该几何体的表面积是………………………………………（ ）

A． B．

C． D．

答案C

6.（2009泰安一模）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的

体积等于

(A) 4 (B) 6

(C) 8 (D)12

答案A

7.（2009枣庄一模）一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面积为 （ ）

A． B．

C． D．以上都不对

答案C

二、填空题

1.（2009上海八校联考）已知一个球的球心到过球面上A、B、C三点的截面的距离等于此球半径的一半，若，则球的体积为________________。

答案

2.（2009上海青浦区）如图，用一平面去截球所得截面的面积为cm2，已知

球心到该截面的距离为1 cm，则该球的体积是 　 cm3.

答案

三、解答题

1.（2009上海普陀区）已知复数，（是虚数单位），且.当实数时，试用列举法表示满足条件的的取值集合.

解：如图，设中点为，联结、.

由题意，,,所以为等边三角形，

故，且.

又，

所以.

而圆锥体的底面圆面积为,

所以圆锥体体积.

2.（2009上海奉贤区模拟考）在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=90°, AB=BC=1.

(1)求异面直线B1C1与AC所成角的大小；

(2)若直线A1C与平面ABC所成角为45°,

求三棱锥A1-ABC的体积.

（1）因为，所以∠BCA（或其补角）即为异面直线与所成角 -------(3分)

∠ABC=90°, AB=BC=1，所以， -------(2分)

即异面直线与所成角大小为。 -------(1分)

（2）直三棱柱ABC-A1B1C1中，，所以即为直线A1C与平面ABC所成角，所以。 -------(2分)

中，AB=BC=1得到，中，得到， ------(2分)

所以 -------(2分)

3.（2009冠龙高级中学3月月考）在棱长为2的正方体中，（如图）

是棱的中点，是侧面的中心．

（1） 求三棱锥的体积；

求与底面所成的角的大小．（结果用反三角函数表示）

（1）．

（2）取的中点，所求的角的大小等于的大小，

中，所以与底面所成的角的大小是．

4. (2009闸北区) 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，，为的中点．

（Ⅰ）求四棱锥的体积；

（Ⅱ）求异面直线OB与MD所成角的大小．

解：（Ⅰ）由已知可求得，正方形的面积，……………………………2分

所以，求棱锥的体积 ………………………………………4分

（Ⅱ）方法一（综合法）

设线段的中点为，连接，

则为异面直线OC与所成的角（或其补角） ………………………………..1分

由已知，可得，

为直角三角形 …………………………………………………………….2分

， …………………………………………………………….4分

．

所以，异面直线OC与MD所成角的大小． …………………..1分

方法二(向量法)

以AB,AD,AO所在直线为轴建立坐标系，

则, ………………………………………………2分

，， …………………………………………………………………………..2分

设异面直线OC与MD所成角为，

．……………………………………3分

OC与MD所成角的大小为．……………………………………………1分

2007—2008年联考题

一、选择题

1.(2008江苏省启东中学高三综合测试二)如图在正三棱锥A-BCD中，

E、F分别是AB、BC的中点，EF⊥DE,且BC=1，则正三棱锥A-BCD

的体积是 （ ）

答案 B

2.(2008江苏省启东中学高三综合测试四)一个与球心距离为1的平面截球体所得的圆面面积为，则球的体积为 ( )

A. B. C. D. 8

答案 A

3. (福建省南靖一中2008年第四次月考) 球面上有三点A、B、C，任意两点之间的球面距离

都等于球大圆周长的四分之一，且过这三点的截面圆的面积为，则此球的体积为

（　 ）
A. B. C. D.

答案 D

4.(湖北省黄冈中学2008届高三第一次模拟考试)已知中，AB=2，BC=1，，平面ABC外一点P满足PA=PB=PC=2，则三棱锥P—ABC的体积是（ ）

A． B． C． D．

答案 D

5.(吉林省吉林市2008届上期末)设正方体的棱长为，则它的外接球的表面积为（ ）

A． B．2π C．4π D．

答案C

6.(江西省鹰潭市2008届高三第一次模拟) 三棱锥P—ABC的侧棱PA、PB、PC两两垂直，侧面面积分别是6，4，3，则三棱锥的体积是 ( )

A. 4 B. 6 C. 8 D. 10

答案 A

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/6aa98f29453610661ed9f496.html