广东省云浮市2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（文科） Word版含解析

广东省云浮市2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（文科）

一．选择题（每题5分，共50分）

1．（5分）命题“若x＞2，则x2﹣3x+2＞0”的逆否命题是（）

A． 若x2﹣3x+2＜0，则x≥2 B． 若x≤2，则x2﹣3x+2≤0

C． 若x2﹣3x+2≤0，则x≥2 D． 若x2﹣3x+2≤0，则x≤2

2．（5分）已知直线ax+y+2=0的倾斜角为，则a等于（）

A． 1 B． ﹣1 C． D． ﹣2

3．（5分）已知椭圆+=1（b＞0）的一个焦点为（2，0），则椭圆的短轴长为（）

A． 2 B． 4 C． 6 D． 4

4．（5分）已知f′（x）是函数f（x）=x2﹣（x≠0）的导函数，则f′（﹣1）等于（）

A． ﹣3 B． ﹣2 C． ﹣1 D． 2

5．（5分）已知双曲线x2﹣=1（b＞0）的离心率，则b等于（）

A． 2 B． 3 C． 4 D． 5

6．（5分）若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）

A． B． C． 1 D． 2

7．（5分）直线l过圆x2+y2﹣2x+4y﹣4=0的圆心，且在y轴上的截距等于圆的半径，则直线l的方程为（）

A． 5x+y﹣3=0 B． 5x﹣y﹣3=0 C． 4x+y﹣3=0 D． 3x+2y﹣6=0

8．（5分）曲线f（x）=（2x﹣m）ex在x=0处的切线与直线x+3y=0垂直，则m等于（）

A． B． 2 C． D． ﹣1

9．（5分）已知直线a，平面α，β，且a⊂α，则“a⊥β”是“α⊥β”的（）

A． 充要条件 B． 充分不必要条件

C． 必要不充分条件 D． 既不充分也不必要条件

10．（5分）设抛物线x2=8y的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的倾斜角等于60°，那么|PF|等于（）

A． 2 B． 4 C． D． 4

二．填空题

11．（5分）命题“∃x∈Z，x2+2x+m≤0”的否定是．

12．（5分）已知球O的表面积是其半径的6π倍，则该球的体积为．

13．（5分）函数f（x）=x3﹣3x2+2015在区间上的最小值为．

14．（5分）已知圆C：x2+y2﹣4x+m=0与圆（x﹣3）2+（y+2）2=4外切，点是圆C一动点，则点P到直线mx﹣4y+4=0的距离的最大值为．

三．解答题

15．（12分）已知直线l：x﹣2y﹣1=0，直线l1过点（﹣1，2）．

（1）若l1⊥l，求直线l1与l的交点坐标；

（2）若l1∥l，求直线l1的方程．

16．（13分）设条件p：x2﹣6x+8≤0，条件q：a≤x≤a+1．若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．

17．（13分）如图，四边形ABCD是矩形，平面ABCD⊥平面BCE，BE⊥EC．

（1）求证：平面AEC⊥平面ABE；

（2）点F在BE上．若DE∥平面ACF，求的值．

18．（14分）已知圆C：x2+y2+Dx+Ey+3=0，圆C关于直线x+y﹣1=0对称，圆心在第二象限，半径为

（Ⅰ）求圆C的方程；

（Ⅱ）已知不过原点的直线l与圆C相切，且在x轴、y轴上的截距相等，求直线l的方程．

19．（14分）已知抛物线C1：y2=2px（p＞0）的准线截圆C2：x2+y2=1所得的弦长为．

（1）求抛物线C1 的方程；

（2）倾斜角为且经过点（2，0）的直线l与抛物线C1相交于A、B两点，求证：OA⊥OB．

20．（14分）已知函数f（x）=alnx+bx在x=1处的切线与直线x﹣y+1=0平行，函数f（x）在上是单调函数且最小值为0．

（1）求实数a，b；

（2）对一切x∈（0，+∞），xf（x）≤x2﹣cx+12恒成立，求实数c的取值范围．

广东省云浮市2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（文科）

参考答案与试题解析

一．选择题（每题5分，共50分）

1．（5分）命题“若x＞2，则x2﹣3x+2＞0”的逆否命题是（）

A． 若x2﹣3x+2＜0，则x≥2 B． 若x≤2，则x2﹣3x+2≤0

C． 若x2﹣3x+2≤0，则x≥2 D． 若x2﹣3x+2≤0，则x≤2

考点： 四种命题．

专题： 简易逻辑．

分析： 根据逆否命题的定义写出命题的逆否命题即可．

解答： 解：命题“若x＞2，则x2﹣3x+2＞0”的逆否命题是：

若x2﹣3x+2≤0，则x≤2，

故选：D．

点评： 本题考查了四种命题之间的关系，是一道基础题．

2．（5分）已知直线ax+y+2=0的倾斜角为，则a等于（）

A． 1 B． ﹣1 C． D． ﹣2

考点： 直线的倾斜角．

专题： 直线与圆．

分析： 利用直线的斜率与倾斜角的关系即可得出．

解答： 解：∵直线ax+y+2=0的倾斜角为，

∴﹣a=，

∴a=1．

点评： 本题考查了直线的斜率与倾斜角的关系，属于基础题．

3．（5分）已知椭圆+=1（b＞0）的一个焦点为（2，0），则椭圆的短轴长为（）

A． 2 B． 4 C． 6 D． 4

考点： 椭圆的简单性质．

专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析： 利用椭圆+=1（b＞0）的一个焦点为（2，0），可得8﹣b2=4，求出b，即可求出椭圆的短轴长．

解答： 解：因为椭圆+=1（b＞0）的一个焦点为（2，0），

所以8﹣b2=4，

所以b=2，

所以2b=4，

故选：B．

点评： 本题考查椭圆的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．

4．（5分）已知f′（x）是函数f（x）=x2﹣（x≠0）的导函数，则f′（﹣1）等于（）

A． ﹣3 B． ﹣2 C． ﹣1 D． 2

考点： 导数的运算．

专题： 导数的综合应用．

分析： 利用导数的运算法则可得：f′（x）=2x+，代入即可得出．

解答： 解：f′（x）=2x+，

∴f′（﹣1）=﹣2+1=﹣1．

故选：C．

点评： 本题考查了导数的运算法则，属于基础题．

5．（5分）已知双曲线x2﹣=1（b＞0）的离心率，则b等于（）

A． 2 B． 3 C． 4 D． 5

考点： 双曲线的简单性质．

专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析： 由双曲线x2﹣=1（b＞0）的离心率，可得a=1，c=，求出b，即可求出b的值．

解答： 解：∵双曲线x2﹣=1（b＞0）的离心率为，

∴a=1，c=，

∴b==3，

故选：B．

点评： 本题主要考查双曲线的简单性质的应用，属于基础题．

6．（5分）若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）

A． B． C． 1 D． 2

考点： 由三视图求面积、体积．

专题： 计算题．

分析： 几何体的三视图可知几何体是放倒的三棱柱，底面是直角三角形，利用三视图的数据，直接求出棱柱的体积即可．

解答： 解：由题意可知几何体的三视图可知几何体是放倒的三棱柱，底面是直角三角形，直角边分别为：1，，棱柱的高为，所以几何体的体积为：=1．

故选C．

点评： 本题考查三视图与几何体的关系，考查想的视图能力与空间想象能力．

7．（5分）直线l过圆x2+y2﹣2x+4y﹣4=0的圆心，且在y轴上的截距等于圆的半径，则直线l的方程为（）

A． 5x+y﹣3=0 B． 5x﹣y﹣3=0 C． 4x+y﹣3=0 D． 3x+2y﹣6=0

考点： 直线与圆的位置关系．

专题： 直线与圆．

分析： 首先将圆的方程化为标准方程，明确圆心即半径，利用两点式求出直线方程．

解答： 解：由已知得圆的方程为（x﹣1）2+（y+2）2=9，

所以圆心为（1，﹣2），半径为3，

由两点式导弹直线方程为：，

化简得5x+y﹣3=0．

故选A．

点评： 本题考查了直线与圆的位置关系以及两点式求直线方程，属于基础题目．

8．（5分）曲线f（x）=（2x﹣m）ex在x=0处的切线与直线x+3y=0垂直，则m等于（）

A． B． 2 C． D． ﹣1

考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程．

专题： 计算题；导数的概念及应用；直线与圆．

分析： 求出函数的导数，求得切点处的切线的斜率，由两直线垂直的条件可得斜率为3，即可解得m的值．

解答： 解：f（x）=（2x﹣m）ex在的导数为f′（x）=（2x﹣m+2）ex，

即有f（x）在x=0处的切线斜率为k=2﹣m，

由在x=0处的切线与直线x+3y=0垂直，

即有2﹣m=3，

解得m=﹣1．

故选：D．

点评： 本题考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处切线的斜率，同时考查两直线垂直的条件，正确求出导数是解题的关键．

9．（5分）已知直线a，平面α，β，且a⊂α，则“a⊥β”是“α⊥β”的（）

A． 充要条件 B． 充分不必要条件

C． 必要不充分条件 D． 既不充分也不必要条件

考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断．

专题： 空间位置关系与距离；简易逻辑．

分析： 根据线面垂直和面面垂直之间的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．

解答： 解：由面面垂直的判定定理得，若a⊥β，∵a⊂α，∴α⊥β成立，

反之，若α⊥β，则a与β位置关系不确定，

故“a⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件，

故选：B．

点评： 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据线面垂直和面面垂直之间的关系是解决本题的关键．

10．（5分）设抛物线x2=8y的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的倾斜角等于60°，那么|PF|等于（）

A． 2 B． 4 C． D． 4

考点： 抛物线的简单性质．

专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析： 先求出|AF|，过P作PB⊥AF于B，利用|PF|=，求出|PF|．

解答： 解：在△APF中，由抛物线的定义，可得|PA|=|PF|，

∵|AF|sin 60°=4，∴|AF|=，

又∠PAF=∠PFA=30°，过P作PB⊥AF于B，则|PF|==．

故选：C．

点评： 抛物线的定义，可以将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离．

二．填空题

11．（5分）命题“∃x∈Z，x2+2x+m≤0”的否定是“∀x∈Z，x2+2x+m＞0．

考点： 命题的否定．

专题： 简易逻辑．

分析： 根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论．

解答： 解：命题为特称命题，

则命题“∃x∈Z，x2+2x+m≤0”的否定是：“∀x∈Z，x2+2x+m＞0”

故答案为：∀x∈Z，x2+2x+m＞0

点评： 本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．

12．（5分）已知球O的表面积是其半径的6π倍，则该球的体积为π．

考点： 球的体积和表面积．

专题： 计算题；球．

分析： 设球O的半径为r，由球的表面积公式，解方程求得r，再由球的体积公式，计算即可得到．

解答： 解：设球O的半径为r，

则4πr2=6πr，

解得r=，

则球的体积为V=πr3=π×

=π．

故答案为：π．

点评： 本题考查球的表面积和体积的公式的运用，考查运算能力，属于基础题．

13．（5分）函数f（x）=x3﹣3x2+2015在区间上的最小值为1997．

考点： 利用导数求闭区间上函数的最值．

专题： 导数的综合应用．

分析： 求导数，确定函数在区间上的单调性，从而可得结论

解答： 解：∵f（x）=x3﹣3x2+2015

∴f′（x）=x2﹣6x=x（x﹣6）

∴函数在上，f′（x）＜0，函数单调递减，

∴函数在x=3处取得最小值f（3）=1997，

故答案为：1997

点评： 本题考查导数知识的运用，考查函数的最值，确定函数的单调性是关键．

14．（5分）已知圆C：x2+y2﹣4x+m=0与圆（x﹣3）2+（y+2）2=4外切，点是圆C一动点，则点P到直线mx﹣4y+4=0的距离的最大值为3．

考点： 圆与圆的位置关系及其判定．

专题： 直线与圆．

分析： 根据两圆外切求出m的值，利用直线和圆的位置关系即可得到结论．

解答： 解：圆C的标准方程为（x﹣2）2+y2=4﹣m，

∵两圆相外切，

∴，解得m=3，

∵圆心C（2，0）到3x﹣4y+4=0的距离d=0，

∴点P到直线3x﹣4y+4=0的距离的最大值为2+1=3，

故答案为：3

点评： 本题主要考查点到直线距离的求解，根据圆与圆的位置关系求出m是解决本题的关键．

三．解答题

15．（12分）已知直线l：x﹣2y﹣1=0，直线l1过点（﹣1，2）．

（1）若l1⊥l，求直线l1与l的交点坐标；

（2）若l1∥l，求直线l1的方程．

考点： 直线的一般式方程与直线的垂直关系；直线的一般式方程与直线的平行关系．

专题： 直线与圆．

分析： （1）由l1⊥l，可设直线l1的方程为2x+y+m=0，把点（﹣1，2）代入可得﹣2+2+m=0，解得m，联立直线方程即可得出交点．

（2）由l1∥l，直线l1的方程为x﹣2y+n=0，把点（﹣1，2）代入即可得出．

解答： 解：（1）∵l1⊥l，∴可设直线l1的方程为2x+y+m=0，把点（﹣1，2）代入可得﹣2+2+m=0，解得m=0．∴直线l1的方程为2x+y=0．

联立，解得，∴交点为．

（2）∵l1∥l，∴直线l1的方程为x﹣2y+n=0，

把点（﹣1，2）代入可得﹣1﹣4+n=0，解得n=5．

∴直线l1的方程为x﹣2y+5=0．

点评： 本题考查了相互垂直、平行的直线斜率之间的关系、直线的交点，属于基础题．

16．（13分）设条件p：x2﹣6x+8≤0，条件q：a≤x≤a+1．若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．

考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断．

专题： 简易逻辑．

分析： 利用不等式的解法，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论．

解答： 解：由x2﹣6x+8≤0得2≤x≤4，

若p是q的必要不充分条件，

则，

解得2≤a≤3，

故实数a的取值范围是．

点评： 本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用不等式的解法求出不等式的解是解决本题的关键，比较基础．

17．（13分）如图，四边形ABCD是矩形，平面ABCD⊥平面BCE，BE⊥EC．

（1）求证：平面AEC⊥平面ABE；

（2）点F在BE上．若DE∥平面ACF，求的值．

考点： 平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的性质．

专题： 综合题；空间位置关系与距离．

分析： （1）根据平面ABCD⊥平面BCE，利用面面垂直的性质可得AB⊥平面BCE，从而可得CE⊥AB，由CE⊥BE，根据线面垂直的判定可得CE⊥平面ABE，从而可得平面AEC⊥平面ABE；

（2）连接BD交AC于点O，连接OF．根据DE∥平面ACF，可得DE∥OF，根据O为BD中点，可得F为BE中点，从而可得结论．

解答： （1）证明：因为ABCD为矩形，所以AB⊥BC．

因为平面ABCD⊥平面BCE，平面ABCD∩平面BCE=BC，AB⊂平面ABCD，

所以AB⊥平面BCE． …（3分）

因为CE⊂平面BCE，所以CE⊥AB．

因为CE⊥BE，AB⊂平面ABE，BE⊂平面ABE，AB∩BE=B，

所以CE⊥平面ABE． …（6分）

因为CE⊂平面AEC，所以平面AEC⊥平面ABE． …（8分）

（2）解：连接BD交AC于点O，连接OF．

因为DE∥平面ACF，DE⊂平面BDE，平面ACF∩平面BDE=OF，

所以DE∥OF． …（12分）

又因为矩形ABCD中，O为BD中点，

所以F为BE中点，即=． …（14分）

点评： 本题考查线面、面面垂直的判定与性质，考查线面平行，掌握线面、面面垂直的判定与性质是关键．

18．（14分）已知圆C：x2+y2+Dx+Ey+3=0，圆C关于直线x+y﹣1=0对称，圆心在第二象限，半径为

（Ⅰ）求圆C的方程；

（Ⅱ）已知不过原点的直线l与圆C相切，且在x轴、y轴上的截距相等，求直线l的方程．

考点： 圆的标准方程；圆的切线方程．

分析： （Ⅰ）由圆的方程写出圆心坐标，因为圆C关于直线x+y﹣1=0对称，得到圆心在直线上代入得到①，把圆的方程变成标准方程得到半径的式子等于得到②，①②联立求出D和E，即可写出圆的方程；

（Ⅱ）设l：x+y=a，根据圆心到切线的距离等于半径列出式子求出a即可．

解答： 解：（Ⅰ）由x2+y2+Dx+Ey+3=0知圆心C的坐标为（﹣，﹣）

∵圆C关于直线x+y﹣1=0对称

∴点（﹣，﹣）在直线x+y﹣1=0上

即D+E=﹣2，①且=2②

又∵圆心C在第二象限∴D＞0，E＜0

由①②解得D=2，E=﹣4

∴所求圆C的方程为：x2+y2+2x﹣4y+3=0

（Ⅱ）∵切线在两坐标轴上的截距相等且不为零，设l：x+y=a

∵圆C：（x+1）2+（y﹣2）2=2

∴圆心C（﹣1，2）到切线的距离等于半径，

即||=，∴a=﹣1或a=3

所求切线方程x+y=﹣1或x+y=3

点评： 考查学生会把圆的方程变为标准方程的能力，理解直线与圆相切即为圆心到直线的距离等于半径．

19．（14分）已知抛物线C1：y2=2px（p＞0）的准线截圆C2：x2+y2=1所得的弦长为．

（1）求抛物线C1 的方程；

（2）倾斜角为且经过点（2，0）的直线l与抛物线C1相交于A、B两点，求证：OA⊥OB．

考点： 直线与圆锥曲线的综合问题．

专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析： （1）利用弦心距、半弦长与半径之间的关系计算即得结论；

（2）通过设直线l的方程并与抛物线方程联立，利用韦达定理及向量数量积计算即得结论．

解答： （1）解：∵抛物线C1的直线方程为：x=﹣，

∴圆心（0，0）到其距离为，

由已知得2=，解得p=1，

∴抛物线C1 的方程为：y2=2x；

（2）证明：直线l的方程为：y=x﹣2，

联立，消去y得：x2﹣6x+4=0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），

由韦达定理知：x1+x2=6，x1x2=4，

∵=（x1，y1）•（x2，y2）

=x1x2+（x1﹣2）（x2﹣2）

=2x1x2﹣2（x1+x2）+4

=2×4﹣2×6+4=0，

∴OA⊥OB．

点评： 本题考查求抛物线方程，考查直线与直线的垂直关系，注意解题方法的积累，属于中档题．

20．（14分）已知函数f（x）=alnx+bx在x=1处的切线与直线x﹣y+1=0平行，函数f（x）在上是单调函数且最小值为0．

（1）求实数a，b；

（2）对一切x∈（0，+∞），xf（x）≤x2﹣cx+12恒成立，求实数c的取值范围．

考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．

专题： 导数的概念及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用．

分析： （1）求出f（x）的导数，求得切线的斜率，由两直线平行的条件，可得a+b=1，讨论f（x）在的单调性，可得最小值，解方程即可得到a，b，注意检验；

（2）运用参数分离，可得c≤x+﹣lnx在（0，+∞）恒成立．令g（x）=x+﹣lnx，x＞0，求得导数和单调区间，即可得到最小值，即可得到c的范围．

解答： 解：（1）函数f（x）=alnx+bx的导数为f′（x）=b+，

即有在x=1处的切线斜率为a+b，

由题意可得a+b=1，

若函数f（x）在上是单调递增，则f（1）=0，

即有b=0，a=1；

若函数f（x）在上是单调递减，则f（e）=0，

即有a+be=0，解得a=，b=，

即有f′（x）=﹣，在上f′（x）＞0，

即有f（x）在上递增，不成立．

则有a=1，b=0；

（2）f（x）=lnx，

对一切x∈（0，+∞），xf（x）≤x2﹣cx+12恒成立，

即有c≤x+﹣lnx在（0，+∞）恒成立．

令g（x）=x+﹣lnx，x＞0，

g′（x）=1﹣﹣=，

当x＞4时，g′（x）＞0，g（x）递增；

当0＜x＜4时，g′（x）＜0，g（x）递减．

即有g（x）在x=4处取得极小值，也为最小值，且为7﹣2ln2，

则有c≤7﹣2ln2．

则c的取值范围是（﹣∞，7﹣4ln2]．

点评： 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，主要考查导数的几何意义和二次不等式的解法，运用参数分离和函数的单调性是解题的关键．

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/6a2aae2c89eb172ded63b7e9.html