2020届全国100所名校高三最新高考模拟示范卷（六）模拟测试数学试题（解析版）

2020届全国100所名校高三最新高考模拟示范卷（六）模拟测试数学试题

一、单选题

1．已知集合766e8bc65cdd5f7bb23080dff907e229.png，则50235b9b64e77469eb659debd883db0c.png( )

A．5f402381de9e4f90e9ed3d5fc0742be8.png B．fc20459d98351985560c3398df72a3b1.png

C．6f6d5d6562af9aae71ecb1349b5e299c.png D．a44a1cb485119fa3fc76bc0cc1be5d36.png

【答案】B

【解析】集合1e434029b8bb0cdcb1ae6e8942f58a6b.png，集合f09564c9ca56850d4cd6b3319e541aee.png是一元二次不等式解的集合，求出解集，与44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png集合的交集运算求出公共部分.

【详解】

2ae33a2a5e348c973c5acb84d3db5616.png

9036df475b94a08c2dc951902bbd0f32.png，

所以9a404970c2dc42ba272a7fec2c881bd1.png.

故选：B.

【点睛】

本题考查一元二不等式的解法和集合交集运算. 交集运算口诀：“越交越少，公共部分”.

2．已知复数fbade9e36a3f36d3d676c1b808451dd7.png满足7d1119edf6d51f4774fef62dc84582c8.png在复平面内对应的点为90cbc22edf225adf8a68974f51227f05.png，则( )

A．f37095873a385c6512cb745773e5963a.png B．5dbad057040ec6eb5aa5841786e25d33.png C．daa63ef966cc412541190bc8794731de.png D．9d41bad04520a29bdd62232e461f366c.png

【答案】A

【解析】设3056520516e89b2432994e51bed5445e.png代入，两边平方化简可得.

【详解】

由题知3056520516e89b2432994e51bed5445e.png ，且f7a216ef50705750023c8d3a50b9fcec.png，

4da337b83e164607798a5643dcc08e69.png，化简整理得f37095873a385c6512cb745773e5963a.png.

故选：A.

【点睛】

本题考查复数的模长运算.

复数的模等于复数在复平面上对应的点到原点的距离，也等于复数对应的向量的模．

3．已知0e0fbd0c1cc25d7972e01d906a411858.png，则a44c56c8177e32d3613988f4dba7962e.png的大小关系是( )

A．559c1ff4d7f4f02c5bc4d32fd783d2dd.png B．57ccadf9c98a599bdf47e888d114e5a4.png C．c870deab406aac6ffd151def485a8fba.png D．3e14a7df46dd83e39024d6c80642ccda.png

【答案】D

【解析】利用对数函数和指数函数的单调性判断.

【详解】

8451dc386d5998d5bdfa48d5123bd872.pngb337047c1440f0d2d39873ec02224668.png

4044fb22f2691d943d5f12780a0f99b2.png，则42e2e04664b7c3884c17afc6befd6be6.png，所以3e14a7df46dd83e39024d6c80642ccda.png.

故选：D.

【点睛】

本题考查指对数值大小比较.

指数函数值大小比较：常化为同底或同指，利用指数函数的单调性，图象或1,0等中间量进行比较．

对数函数值大小比较：

（1）单调性法：在同底的情况下直接得到大小关系，若不同底，先化为同底;

（2）中间量过渡法：寻找中间数联系要比较的两个数，一般是用“0”，“1”或其他特殊值进行“比较传递”;

（3）图象法：根据图象观察得出大小关系.

4．中国折叠扇有着深厚的文化底蕴.如图（2），在半圆f186217753c37b9b9f958d906208506e.png中作出两个扇形3070eaa611ecff1e55ade2a82b74ab24.png和cf43d9b315407fd561c9ec352129d6ca.png，用扇环形d5140bf166c3d4d2cf5bdf753c42b8f5.png（图中阴影部分）制作折叠扇的扇面.记扇环形d5140bf166c3d4d2cf5bdf753c42b8f5.png的面积为8dc4eef060814e559aff4c5fac3f51fe.png，扇形3070eaa611ecff1e55ade2a82b74ab24.png的面积为97a6ae0695c4b2723ff5c8bccdb1e735.png，当8dc4eef060814e559aff4c5fac3f51fe.png与97a6ae0695c4b2723ff5c8bccdb1e735.png的比值为a82f4247f85daecf06487906d965c226.png时，扇面的形状较为美观，则此时扇形cf43d9b315407fd561c9ec352129d6ca.png的半径与半圆f186217753c37b9b9f958d906208506e.png的半径之比为( )

A．0a6f29b1be69cc3d39d1365e73f60010.png B．a82f4247f85daecf06487906d965c226.png C．419a9fbcd596578f1e8134f1d21a01ae.png D．ede6bf9c5b12cb03c20187d628608c92.png

【答案】B

【解析】扇环形d5140bf166c3d4d2cf5bdf753c42b8f5.png的面积8dc4eef060814e559aff4c5fac3f51fe.png等于扇形3070eaa611ecff1e55ade2a82b74ab24.png的面积减扇形cf43d9b315407fd561c9ec352129d6ca.png的面积；设半径代入求解.

【详解】

设45db210d125d6947417b640d5b860a6e.png，半圆f186217753c37b9b9f958d906208506e.png的半径为4b43b0aee35624cd95b910189b3dc231.png，扇形cf43d9b315407fd561c9ec352129d6ca.png的半径为4d554a7e92878e1fcb95a1aa3d1186a4.png，

依题意，有d4b98065fc9af3ae0f1a02c2cd09ee4d.png，即36581c9602484e58c9a22273750451ae.png，

所以76b151e7b253481ff01db6338181211c.png，得6b13e68f92dd3de13d3aa967f73d50d5.png.

故选：B.

【点睛】

本题考查弧度制下扇形面积计算问题.

其解题策思路：

(1)明确弧度制下扇形面积公式，在使用公式时，要注意角的单位必须是弧度．

(2)分析题目已知哪些量、要求哪些量，然后灵活地运用弧长公式、扇形面积公式直接求解，或合理地利用圆心角所在三角形列方程(组)求解．

5．函数9f647b8a810d58292c4c040739eafa35.png的部分图象大致是( )

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】先判断函数的奇偶性，根据奇偶函数图象特征排除，再利用特值验证排除可得解.

【详解】

因为44adb148cfd30f7087d690e47de37b01.png,

5afb9d15d4df0e176d2957e600f98271.png奇函数，图象关于原点对称，所以排除选项D；

因为6548f5306adf75b0bcc0aed3af9c175d.png，所以排除选项A；

因为4f7b9225bba68f1e6259cdee03b537d7.png，所以排除选项B；因此选项C正确.

故选：C.

【点睛】

本题考查函数图象识别问题.

其解题思路：由解析式确定函数图象：

①由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；

②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；

③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；

④由函数的周期性，判断图象的循环往复．

函数图象识别有时常用特值法验证排除

6．“车走直、马走日、炮打隔子、象飞田、小卒过河赛大车”，这是中国象棋中的部分下棋规则.其中“马走日”是指马走“日”字的对角线，如棋盘中，马从点7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png处走出一步，只能到点9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png或点92cc336a9f163d4c6870d8e016934cfb.png或点f623e75af30e62bbd73d6df5b50bb7b5.png或点3a3ea00cfc35332cedf6e5e9a32e94da.png.设马从点7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png出发，必须经过点c307df251313e30dbffc899da627b0d6.png（点c307df251313e30dbffc899da627b0d6.png不考虑先后顺序）到达点44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png，则至少需走的步数为( )

A．5 B．6 C．7 D．8

【答案】B

【解析】分步计算，第一步从点7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png经过点69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png，第二步从点69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png经过点8d9c307cb7f3c4a32822a51922d1ceaa.png，第三步从点8d9c307cb7f3c4a32822a51922d1ceaa.png到达点44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png，

【详解】

由图可知，从8d9c307cb7f3c4a32822a51922d1ceaa.png到44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png只需1步，从69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png到8d9c307cb7f3c4a32822a51922d1ceaa.png至少需走2步，从7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png到69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png至少需走3步，从7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png到8d9c307cb7f3c4a32822a51922d1ceaa.png至少需走3步.所以要使得从点7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png经过点c307df251313e30dbffc899da627b0d6.png到点44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png所走的步数最少，只需从点7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png先到点69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png，再到点8d9c307cb7f3c4a32822a51922d1ceaa.png，最后到点44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png，这样走的步数为6.

故选：B.

【点睛】

本题考查分步乘法计数原理.

(1)利用分步乘法计数原理解决问题时要注意按事件发生的过程来合理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事．

(2)谨记分步必须满足的两个条件：一是各步骤互相独立，互不干扰；二是步与步确保连续，逐步完成．

7．已知双曲线74a068e454184bbf31006a25fe5dbc98.png的右焦点为800618943025315f869e4e1f09471012.png，圆222041b22f9bed1bdd29fae79ecd9958.png（4a8a08f09d37b73795649038408b5f33.png为双曲线的半焦距）与双曲线92cc336a9f163d4c6870d8e016934cfb.png的一条渐近线交于6c30b42101939c7bdf95f4c1052d615c.png两点，且线段06fa567b72d78b7e3ea746973fbbd1d5.png的中点69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png落在另一条渐近线上，则双曲线92cc336a9f163d4c6870d8e016934cfb.png的方程是( )

A．d4a0816948e090011c0b779fc646a3d7.png B．2c0572590bd424b1e476610d160400f6.png

C．b5f1b6ce6aeb954b3dd6e9832ab14695.png D．d666d69c9ea71d07f81d4aedaf7ca812.png

【答案】D

【解析】渐近线过圆心，代入求出渐近线，点c1b57b19979e60a76bf753020ad7a56f.png在圆222041b22f9bed1bdd29fae79ecd9958.png上，得f3e3d3f3711b6ee7b635b7d6fb5114ed.png，由b86fc6b051f63d73de262d4c34e3a0a9.png中点f186217753c37b9b9f958d906208506e.png及线段06fa567b72d78b7e3ea746973fbbd1d5.png的中点69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png，由中位线得渐近线与7b8d2f92148f52cad46e331936922e80.png平行，建立方程组求解.

【详解】

不妨设双曲线92cc336a9f163d4c6870d8e016934cfb.png的一条渐近线方程为a50df55f23cb7a256dbb8f634e19d114.png，代入圆222041b22f9bed1bdd29fae79ecd9958.png，得579a711165b4002aa3c7bade0b512d27.png，则3237be6d1ea2a09dc122b339b12c6184.png，所以03f50d2cdca75a3d89281ecdd6035880.png.易知点c1b57b19979e60a76bf753020ad7a56f.png在圆222041b22f9bed1bdd29fae79ecd9958.png上，所以f3e3d3f3711b6ee7b635b7d6fb5114ed.png，得e8f0812f67081b72798fe9c170e4ad55.png，即caf6745696099ab35a79dbb29c579661.png①.因为线段06fa567b72d78b7e3ea746973fbbd1d5.png的中点69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png落在另一条渐近线上，且a8d0b50f072b6df29eab2bff8b94c84a.png，所以，06fa567b72d78b7e3ea746973fbbd1d5.png与该渐近线垂直，所以该渐近线与7b8d2f92148f52cad46e331936922e80.png平行，得9238569199f7f3d314d9d5a7311ac289.png②.解①②组成的方程组，得8713672b37505ca316795ee38894b390.png，所以双曲线92cc336a9f163d4c6870d8e016934cfb.png的方程为d666d69c9ea71d07f81d4aedaf7ca812.png.

故选：D.

【点睛】

本题考查利用双曲线的几何性质求双曲线方程.

求双曲线方程的思路:

(1)如果已知双曲线的中心在原点，且确定了焦点在9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png轴上或415290769594460e2e485922904f345d.png轴上，则设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a44c56c8177e32d3613988f4dba7962e.png的方程组，解出eb71a9b3f0d4680da46e46f626b1b729.png，从而写出双曲线的标准方程(求得的方程可能是一个，也有可能是两个，注意合理取舍，但不要漏解)．

(2)当焦点位置不确定时，有两种方法来解决：一种是分类讨论，注意考虑要全面；另一种是设双曲线的一般方程为a3e4e7900fc46ce3537516894857b20d.png求解．

8．在三棱锥f2267ffc9b3f68f642cde73351eeae52.png中，ea5c9d518aea28f88c3e932f3e22a1fc.png平面cce488c26594a9345c3e3f7ef7404dba.png，且57172348fa5f51bfcae241eb72585232.png.若三棱锥f2267ffc9b3f68f642cde73351eeae52.png的外接球体积为a332f36ba0ee1f3aa8ff292192031973.png，则当该三棱锥的体积最大时，其表面积为( )

A．140ae7aa6007f0069f8a01949c897bc2.png B．21127afe905b65e135d05f8176fbe9b2.png C．c822a2d7e7993d597c656401b3e70e81.png D．f0c175501f0ca1a163ac497ce97fdcc2.png

【答案】C

【解析】第一步确定球心位置在88dba0c4e2af76447df43d1e31331a3d.png的中点，求出半径得到各棱长，再计算各面面积可解.

【详解】

因为ea5c9d518aea28f88c3e932f3e22a1fc.png平面902fbdd2b1df0c4f70b4a5d23525e932.png，所以ae8fd6804cb5cd01d53c18b9ccded798.png，

又因为3f12cbc63efade11c6d1aa7b1f889513.png，所以6badd10cbda3dbe6a0586c220097d64a.png平面dcf47583029f79d64904cf78daa360cb.png，所以ac9fc29d9876fcfacd56da774e564a7f.png，

设88dba0c4e2af76447df43d1e31331a3d.png的中点为f186217753c37b9b9f958d906208506e.png，则f186217753c37b9b9f958d906208506e.png到f2267ffc9b3f68f642cde73351eeae52.png的四个顶点的距离都相等，

所以点f186217753c37b9b9f958d906208506e.png是三棱锥外接球球心，又由外接球的体积为ea93a1c19c34c25c79047a9f169ddb0c.png，得外接球半径0b2d18a5d69d90af5eb3db0804bbb92a.png，所以6b1871fcff611694520429b654911ade.png.设3fc11e261426ba9d4ed5cd9731a07b01.png，则dad8c8428a4415c0aa0bc08c2afaca43.png，得e8af0e94f31b70071961b547607b1a73.png，

所以625aef29ba6e213823fcc52086f9ae20.png，

当且仅当41dfb0b45f21f6871e2b83b803017ba8.png时，c6865ec408322c5738f36fc62fa09904.png取得最大值dae2e19eb75eab9e71ee927742c6d2fe.png.

此时16461992a5bd60c7fd73578e976d28ba.png，

所以，三棱锥的表面积9ca87c8a3b90f2ef29c6489a225cb7de.png.

故选：C.

【点睛】

本题考查与球有关外接问题及求锥体的表面积.

其解题规律：

(1)直棱柱外接球的球心到直棱柱底面的距离恰为棱柱高的93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png.

(2)正方体外接球的直径为正方体的体对角线的长．此结论也适合长方体，或由同一顶点出发的两两互相垂直的三条棱构成的三棱柱或三棱锥．

(3)求多面体外接球半径的关键是找到由球的半径构成的三角形，解三角形即可．

二、多选题

9．已知50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png是定义域为e1e1d3d40573127e9ee0480caf1283d6.png的偶函数，在b6467aa5bacf90f23a6abd3cbb9905a3.png上单调递减，且75a2d3289d4657cdefb1b74bd00a87f9.png，那么下列结论中正确的是( )

A．50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png可能有三个零点 B．b6706b9ff3932120d19ce9561c4b99ce.png

C．014417af03c3211459764a49b7e23563.png D．29bace1841e6aeed50c077b791b11173.png

【答案】AC

【解析】由题知50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png在b921db311612fd3665c51872c7a83455.png上单调递增，利用偶函数性质结合图像可解.

【详解】

因为50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png是偶函数，又75a2d3289d4657cdefb1b74bd00a87f9.png，所以73f6ca8e828abf4115e75302913ccfac.png.

又50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png在b921db311612fd3665c51872c7a83455.png上单调递增，所以函数50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png在b921db311612fd3665c51872c7a83455.png上有一个零点，

且aa704e5feff5c27f44707d777b31e83c.png.所以函数50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png在64551fa1af29deb012ca9d2f7ce28900.png上有两个零点.

但是01ba77110113019916a9054319ae7c05.png的值没有确定，所以函数01ba77110113019916a9054319ae7c05.png可能有三个零点，所以A项正确；

又efd907d83b02b1a43b35a74b7c57d109.png，所以ab871148168961f9e60c552fbc8c830a.png的符号不确定，所以B项不正确；

C项显然正确；

由于01ba77110113019916a9054319ae7c05.png的值没有确定，所以01ba77110113019916a9054319ae7c05.png与3e8bab55a195ec83e327e5903963db5b.png的大小关系不确定，所以D项不正确.

故选：AC.

【点睛】

本题考查函数奇偶性与单调性.

函数的奇偶性体现的是一种对称关系，而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律．比较大小的解法：利用函数奇偶性，把不在同一单调区间的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，利用其单调性比较大小.

10．已知d10fe3a9f5be5e94fbdaee38ed47b25f.png是单位向量，且4b7fddae4941fbc06fd51b1607fa80e5.png，则( )

A．272da4194ad81793fb103edc6ad4c3c5.png B．89e9c902fed032a267e19bcbbe710b75.png与7f711ac1314a21599dc5a9c5bb757eff.png垂直

C．89e9c902fed032a267e19bcbbe710b75.png与4ddfd38adfecbd1e2fd6838b89ea4776.png的夹角为cd3ba7dbe6650fbf0b092d3d3c833d5d.png D．d976c17ed91cef8a7f57c2a47a435205.png

【答案】BC

【解析】4b7fddae4941fbc06fd51b1607fa80e5.png两边平方求出9b486df19e2fba4e33e70f423756ce93.png；利用单位向量模长为1，求出de3e7222857211bcd8ecea97cfe2b7ba.png；843aeb2e3b0ca8a52fb9ef48a0d5e169.png平方可求模长；用向量夹角的余弦值公式可求89e9c902fed032a267e19bcbbe710b75.png与4ddfd38adfecbd1e2fd6838b89ea4776.png的夹角.

【详解】

由4b7fddae4941fbc06fd51b1607fa80e5.png两边平方，得8ed9582439cf1b24116182ba3c4a3a12.png，

则9b486df19e2fba4e33e70f423756ce93.png，所以A选项错误；

因为d10fe3a9f5be5e94fbdaee38ed47b25f.png是单位向量，所以6f75a359760ef7031290767af4a1c49e.png，得de3e7222857211bcd8ecea97cfe2b7ba.png，所以B选项正确；

则9b564d32550edb2d9a04f623736df80c.png，所以e0ae9b31361418295f8352303987065f.png，所以D选项错误；

37187e94720079cc79b4f993e9d6ee9c.png，

所以，89e9c902fed032a267e19bcbbe710b75.png与4ddfd38adfecbd1e2fd6838b89ea4776.png的夹角为cd3ba7dbe6650fbf0b092d3d3c833d5d.png.所以C选项正确；

故选：BC.

【点睛】

本题考查平面向量数量积的应用.

求向量模的常用方法:

(1)若向量89e9c902fed032a267e19bcbbe710b75.png是以坐标形式出现的，求向量89e9c902fed032a267e19bcbbe710b75.png的模可直接利用公式79fd32b17bffd6c79756acb53770148a.png.

(2)若向量d10fe3a9f5be5e94fbdaee38ed47b25f.png 是以非坐标形式出现的，求向量89e9c902fed032a267e19bcbbe710b75.png的模可应用公式3ddf0556a56fd01b821283fd12dd3c44.png或d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png 8875477ff9b16b2454e1fcd6c7ebe163.png，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解．

判断两向量垂直：根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可．

解两个非零向量之间的夹角：根据公式42cc7ef78a00ba6afef4f7db28f56af3.png求解出这两个向量夹角的余弦值.

11．如图所示，在长方体fa74795710d68e6da45909b820cee7b1.png中，0e05f2a32c6582eb081f3425b9efc112.png是8699feecc8808315ee780ac97d864391.png上的一动点，则下列选项正确的是( )

A．e2fca8135c2fadca093abd79a6b1c0d2.png的最小值为49800f82a3d8ffe0ca9cb5eff9400e22.png B．e2fca8135c2fadca093abd79a6b1c0d2.png的最小值为aa4e3cfb024c7ff30a8846913966dfb1.png

C．e0722a62825dc3ce80cfbcfc93f51c6e.png的最小值为65ebe73c520528b6825b8ff4002086d7.png D．e0722a62825dc3ce80cfbcfc93f51c6e.png的最小值为8cf9a6f778a6b7877d22a001f7af9836.png

【答案】AD

【解析】e2fca8135c2fadca093abd79a6b1c0d2.png的最小值，即求b8b791693fda5074c559d85ae94610e1.png底边8699feecc8808315ee780ac97d864391.png上的高即可；旋转d8845f9e74bf1a9ba0170d3048d4ebe6.png所在平面到平面945de25fcb03c39296a4459a1b95e670.png，e0722a62825dc3ce80cfbcfc93f51c6e.png的最小值转化为求632581b12a8afdd5df122d5a095a7ab7.png即可.

【详解】

求e2fca8135c2fadca093abd79a6b1c0d2.png的最小值，即求b8b791693fda5074c559d85ae94610e1.png底边8699feecc8808315ee780ac97d864391.png上的高，易知7e95e8682fdbd4bcab9f283f097a4a5b.png，所以8699feecc8808315ee780ac97d864391.png边上的高为04f17e6ca6e065a572000e2bd144fa19.png，连接7d4d23b13d9e8e9752ada29604f16ce9.png，得d8845f9e74bf1a9ba0170d3048d4ebe6.png，以8699feecc8808315ee780ac97d864391.png所在直线为轴，将d8845f9e74bf1a9ba0170d3048d4ebe6.png所在平面旋转到平面945de25fcb03c39296a4459a1b95e670.png，设点9824b26a51714309aa4afd370035ce53.png的新位置为728598c21e800d26a22fae424cc85441.png，连接632581b12a8afdd5df122d5a095a7ab7.png，则632581b12a8afdd5df122d5a095a7ab7.png即为所求的最小值，易知45e4d9bbc480b938dbd2b5b6a7f93938.png，

所以45408d620251ce7ea202bdb08eac829d.png.

故选：AD.

【点睛】

本题考查利用旋转求解线段最小值问题.

求解翻折、旋转问题的关键是弄清原有的性质变化与否， (1)点的变化，点与点的重合及点的位置变化；(2)线的变化，翻折、旋转前后应注意其位置关系的变化；(3)长度、角度等几何度量的变化．

12．已知函数d8922e41f0780f7ced2d8b3328ec2289.png的图象的一条对称轴为104dc80ca0225eb4063a51a7c6cb9ec8.png，其中45bf03a575f6e81359314e906fb2bff3.png为常数，且a60445ece92b2d61eb234d1060553992.png，则以下结论正确的是( )

A．函数50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png的最小正周期为fe0ceaedf8bfef70a3094ca99ea01d24.png

B．将函数50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png的图象向左平移81f3b33c4c6a63cea9158f20c9e0b24b.png所得图象关于原点对称

C．函数50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png在区间e58ee6497bc77ed41f6619f58531b1f4.png上单调递增

D．函数50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png在区间93959609a3c89872cad5e21c85bffed9.png上有66个零点

【答案】AC

【解析】由对称轴为104dc80ca0225eb4063a51a7c6cb9ec8.png，且a60445ece92b2d61eb234d1060553992.png求出函数解析式，再用三角函数图象与性质分别求解即可得答案.

【详解】

由函数d8922e41f0780f7ced2d8b3328ec2289.png的图象的一条对称轴为104dc80ca0225eb4063a51a7c6cb9ec8.png，

得9b4ec53a2b1689e41343d137b0cbd222.png，因为a60445ece92b2d61eb234d1060553992.png，

所以68cd1bcb62403c5747177cab0eda1def.png，则7c0f1c528c9bfdac7a55d3f728b79377.png，所以周期3f09864fb59765997acf6381e0d845c6.png，A项正确；

将函数50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png的图象向左平移81f3b33c4c6a63cea9158f20c9e0b24b.png，

得7613397f1a9498b264ac273231372344.png，

显然e84fec1e074026d6fa8e3155482c35c3.png的图象不关于原点对称，B项错误：

由290bdbe48c7b18d5f79963fe5edeccad.png，取22d9bb2875d7a70aeb68696096f3b9b2.png，得1f14ff6d708b4c6edf4143927e6c13b2.png，

即758909a5f30abcaf86bb442ad2ce7a34.png，是函数50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png的一个单调递增区间，又9c203662533bcdc5d033133c3be7b172.png，

所以函数50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png在区间e58ee6497bc77ed41f6619f58531b1f4.png上单调递增，C项正确；

由fd05d8d90456c441c8f10641bd8576bc.png，得0b7334c5dd6417159af13d695d399d81.png，解得b20bc5585d6038dac2e97d98d8806849.png，由6b0ef6eefd51f537690d2d3f8cff4d6d.png，得9641e2b8909cc232234aa3ef108ad3c2.png，因为6f16bcab8b2621a05fee0bf0374f00d6.png，所以1daae6bf5b57a8bd1e8ea675d943a27d.png，所以函数50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png在区间93959609a3c89872cad5e21c85bffed9.png上有67个零点，D项错误.

故选：AC.

【点睛】

本题考查三角函数图象与性质的综合应用.

三角函数图象与性质的综合问题的求解思路:先将7c1c9491ba7c6e8d6d2cfa82e39b22ca.png化为4956f64ae0c31dcecb13f41342573887.png的形式，再借助0d24c56d8509a723a3426f7ce60bfe56.png的图象和性质(如定义域、值域、最值、周期性、对称性、单调性等)解决相关问题．

三、填空题

13．函数59aa9d314947f5f504bcdb4e9924c2b2.png的最大值为_______.

【答案】4d8d7ba05e6c70bedca6ca67b56e1543.png

【解析】求导研究函数单调性，得函数在141f54f0fd05751b8e76655870995e6a.png 处取得最大值，代入可得.

【详解】

因为46995330641fa1af4d9d162719691682.png,令8baaf0ef5eac596ebf01a45909545fc1.png解得41cf4b349832f416d4968b0eff0cdd48.png，

又887fb68a10cbd4369b27c90bee0334d8.png，所以50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png 在bece999e220b6739fb15375b1a93366a.png上单增，在9c23d4722b2b9f0b046fef674eda3e2d.png上单减；

所以函数50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png的最大值为1f2b7c946ea022d9f0e8da1a12ec55b4.png.

故答案为：4d8d7ba05e6c70bedca6ca67b56e1543.png.

【点睛】

求函数最值的五种常用方法：

单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值

图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值

基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值

导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值

换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值

14．已知d98f6458edd436c934cba51f34909b01.png，则f794bace921d616043613d2fcdab423f.png_______.

【答案】a23da2da52745871ab493f4ac3866091.png

【解析】先切化弦，再诱导公式化简后，运用余弦二倍角公式得解.

【详解】

f898a3f91954b6b0e2758dae054c7372.png

3508c54eea2cf733b56de2ff97fe1a6a.png

故答案为：a23da2da52745871ab493f4ac3866091.png.

【点睛】

本题考查同角三角函数的基本关系、诱导公式、二倍角公式.

同角三角函数的基本关系本身是恒等式，也可以看作是方程，对于一些题，可利用已知条件，结合同角三角函数的基本关系列方程组，通过解方程组达到解决问题的目的．

应用诱导公式化简求值的关键是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值求解．转化过程中注意口诀“奇变偶不变，符号看象限”的应用．

15．椭圆3edead31d5bc3b76f260246dc82b727d.png的左焦点为800618943025315f869e4e1f09471012.png，过点800618943025315f869e4e1f09471012.png且斜率为a00b629a6429aaa56a0373d8de9efd68.png的直线2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png与椭圆交于6c30b42101939c7bdf95f4c1052d615c.png两点（点9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png在第一象限），与415290769594460e2e485922904f345d.png轴交于3a3ea00cfc35332cedf6e5e9a32e94da.png点，若dbc4b350e7a826b13b73e1668d7e123f.png，则椭圆的离心率为_________.

【答案】a00b629a6429aaa56a0373d8de9efd68.png

【解析】点斜式设出线2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png的方程，与椭圆联立求解，用点差法计算得a44c56c8177e32d3613988f4dba7962e.png 关系可解.

【详解】

直线2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png的方程为bd1a3dafcf37f4e079ad483971c6f9f8.png，设6515f66056b8cbcaa61ca9e02efb3698.png的中点为69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png，则e44bd33571447c7d0b5d1530970a2dd0.png，由dbc4b350e7a826b13b73e1668d7e123f.png知4d9778927031d5f30f76ad3fe34dc404.png，则69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png为b86fc6b051f63d73de262d4c34e3a0a9.png的中点，设8abdc390cf62f2cb5c210564edb18b13.png，则831151699d1cab2cd8b1530aa85505cd.png，bef2ec76fb22f50873dde732c69e0125.png，两式相减，得4dd5b4d8beab8eb4c1861191b1062c10.png，

整理得6dfa5f331f09c8f043498b7d8c243783.png，由中点公式得：53d4d3b164605a7d22ab395970808f99.png，所以040b1d9b25b4e9709efe62247962a205.png，得224b44360396769d73eac9a9a3f3f974.png，所以b1c7a5b5d7b949637f3242a3607bcbb7.png.

故答案为：a00b629a6429aaa56a0373d8de9efd68.png

【点睛】

本题考查求椭圆离心率.

求椭圆离心率的三种方法:

(1)直接求出f24f071a6ff25db0c9da484cbe06a17a.png来求解e1671797c52e15f763380b45e841ec32.png通过已知条件列方程组，解出f24f071a6ff25db0c9da484cbe06a17a.png的值．

(2)构造f24f071a6ff25db0c9da484cbe06a17a.png的齐次式，解出e1671797c52e15f763380b45e841ec32.png由已知条件得出关于f24f071a6ff25db0c9da484cbe06a17a.png的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e1671797c52e15f763380b45e841ec32.png的一元二次方程求解．

(3)通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．

在解关于离心率e1671797c52e15f763380b45e841ec32.png的二次方程时，要注意利用椭圆的离心率ec62f12ee79219fad11165677ec12618.png)进行根的取舍，否则将产生增根．

四、双空题

16．已知7件产品中有5件合格品，2件次品.为找出这2件次品，每次任取一件检验，检验后不放回，则第一次和第二次都检验出次品的概率为_________；恰好在第一次检验出正品而在第四次检验出最后一件次品的概率为__________.

【答案】3387ecbb2f70234207248879662ad7fb.png 4750a941ca19e9f51c0bb819b769099d.png

【解析】第一次检验出次品的概率为c7ba8ef6ebee0e34f44f8e3921972e8a.png，不放回，则第二次检验出次品的概率为6c2e3e2e98abd1fd9a66519db9da8d90.png；第一次检验出正品而在第四次检验出最后一件次品包含两种可能：正次正次，正正次次，分别计算即可.

【详解】

第一次和第二次都检验出次品的概率为463dacbc53ffd2e7e210f3438ac3709a.png，

恰好在第一次检验出正品而在第四次检验出最后一件次品，

有两种可能：正次正次，正正次次，

概率为ff550c64dc1d3351d007b6d04c8cae2b.png.

故答案为：3387ecbb2f70234207248879662ad7fb.png，4750a941ca19e9f51c0bb819b769099d.png

【点睛】

求复杂互斥事件概率的两种方法：

(1)直接法：将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和；

(2)间接法：先求该事件的对立事件的概率，再由4017b4c15e2f9b130077639adc351cca.png求解．当题目涉及“至多”“至少”型问题时，多考虑间接法．

17．已知75b781a7c7441078ffd5053329c34092.png的内角ce04be1226e56f48da55b6c130d45b94.png所对的边分别为a44c56c8177e32d3613988f4dba7962e.png，_________，且bfc6dfaac03467e4b5e0e53063dac590.png.现从：①d030f7a20a842563ef93b2246741299b.png，②e0ecd6e2eb1198b5edce1dba610e4857.png，③a0c39bd5d894bd1c659d999644dc3b6f.png这三个条件中任选一个，补充在以上问题中，并判断这样的75b781a7c7441078ffd5053329c34092.png是否存在，若存在，求75b781a7c7441078ffd5053329c34092.png的面积5dbc98dcc983a70728bd082d1a47546e.png_________；若不存在，请说明理由.

【答案】存在，选条件①时，a1cc320c087aa90f4fe5b0b308d26c45.png；选条件②时，8ab41d284f62386b937db87bf6aa6eb8.png；选条件③时13ec744f5a56b3ed5b245a6892635f09.png

【解析】先对条件717e2974fb7b72c8fb3eafaa6f02d212.png 运用正弦定理化角为边，得到565db251bba10d9b09055dd8d67cfd6d.png，再利用已知和添加条件用余弦定理解三角形做出判断求解即可.

【详解】

若选条件①：由717e2974fb7b72c8fb3eafaa6f02d212.png，得565db251bba10d9b09055dd8d67cfd6d.png.

又3d7b566aaed7713dfc5583dfc4b9c386.png，所以394d88af2edca68bd49a654c660fd0f9.png.因为d030f7a20a842563ef93b2246741299b.png，所以e2b8f6fc5eae3f0f90c7cf0a56127bf3.png，

解得5a54f9f4203f0af27a83f7c5db9768fc.png或84f5c753c9abcb7c3fe4e060cbcdb577.png，不妨取bab8f48fcff084a3616418865ef92c87.png

易知24f28becfa0d33c285b226a2013cd1a0.png，且fc6bdd1e2f6c337009bee26eba6bfc92.png，

所以这样的75b781a7c7441078ffd5053329c34092.png存在，其面积2aa7fd5e2b5646bee177541b33fa17b9.png.

若选条件②：由717e2974fb7b72c8fb3eafaa6f02d212.png，得565db251bba10d9b09055dd8d67cfd6d.png，

又3d7b566aaed7713dfc5583dfc4b9c386.png，所以394d88af2edca68bd49a654c660fd0f9.png，因为e0ecd6e2eb1198b5edce1dba610e4857.png，所以e7622f09186ae03832bc277b952079fe.png.

解得fc5e4760516529737eb2ef99701f7794.png，易知a4a46d8c6c35bcf2023ea5c822278375.png，且b68e140a5c319e73d22553df98992f23.png，

所以这样的75b781a7c7441078ffd5053329c34092.png存在，其面积e69aa5686c7e3b3f40612bc4bca0364d.png.

若选条件③：由717e2974fb7b72c8fb3eafaa6f02d212.png，得565db251bba10d9b09055dd8d67cfd6d.png，

又3d7b566aaed7713dfc5583dfc4b9c386.png，所以394d88af2edca68bd49a654c660fd0f9.png，因为a0c39bd5d894bd1c659d999644dc3b6f.png，所以dc2c1c55d1fd18bc0084c64f61dfbbb4.png，即53027bed26d8b7828ed3740223737060.png，

解得4f31c84018c0d5d384c8bed4531d4e0a.png，易知e5911277e0608384df8c50ddbd5bb7ba.png，且24a7e71e3be37b585ad7738f53dbac06.png，

所以这样的75b781a7c7441078ffd5053329c34092.png存在，其面积642d9f8f885cba1047033cef2b4d8ced.png.

选条件①时，a1cc320c087aa90f4fe5b0b308d26c45.png；选条件②时，8ab41d284f62386b937db87bf6aa6eb8.png；选条件③时13ec744f5a56b3ed5b245a6892635f09.png

【点睛】

本题考查三角形正弦定理、余弦定理和面积公式.

应用正弦定理求角时容易出现增解或漏解的错误，要根据条件和三角形的限制条件合理取舍．求角时易忽略角的范围而导致错误，需要根据大边对大角，大角对大边的规则，画图帮助判断．利用正弦定理、余弦定理解三角形，求出三角形的有关元素之后，直接求三角形的面积，或求出两边之积及夹角正弦，再求解．

五、解答题

18．等差数列02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png的前7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png项和为de39f8ada63acd53c0e12fa84d2e9025.png.

（1）求数列02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png的通项公式；

（2）记1c414670c149c84a2c9e5dd944a952d5.png，数列a9aa29b730015b0a67c9f14a2bef00c6.png的前7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png项和为0b9f2991087ddb13a722a3319a0bbe2e.png，求0b9f2991087ddb13a722a3319a0bbe2e.png.

【答案】（1）7b19b6d58e79d132fa875d29de7ee30c.png；（2）8fbc870158cf4a4f3a2a064d4e53488b.png.

【解析】（1）利用等差数列基本量求出通项公式9ded7825070b255e7bc092cdc2c8e98a.png；

（2）利用等差数列前7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png项和公式求出44d853a7808a331d95220fcb38095649.png，代入已知求出c9d72c24c8835176f6f1a0ee2a14167a.png，对eec603b85fc231d428b1ea8f0aa1f2f3.png裂项, 通过裂项相消求和可解.

【详解】

（1）设等差数列02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png的公差为8277e0910d750195b448797616e091ad.png，

则ba31c6db8b8e4f75543549561d89e9d4.png，解得ca342e363dec938e81d17f7c46e0dfc1.png，

所以7b19b6d58e79d132fa875d29de7ee30c.png.

（2）由（1）可求得8a1a9ab0c8171f49b8fb2ca48227cf74.png，

所以6659d7c79b01a0280ff6109286486a2a.png，

则ba6097ce811e4d89f204c8e1ff8e56da.png，

所以13530b6e6e5ee44a153075dbc42a5bfe.png

13a8215ba2bc5c4eb9333ec97510a67c.png.

【点睛】

本题考查等差数列通项公式及用裂项法求和.

（1）等差数列基本量计算问题的思路：与等差数列有关的基本运算问题，主要围绕着通项公式80213ea9225bce7f05f8a971f962f1c1.png和前7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png项和公式8c97349c4b1dc1c5ae0e50a2b6461ce9.png，在两个公式中共涉及五个量：c899b4a66612b5132ba327676bdb38b0.png，已知其中三个量，选用恰当的公式，利用方程(组)可求出剩余的两个量．

用裂项法求和的裂项原则及规律:

(1)裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项直到发现被消去项的规律为止．

(2)消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项．

19．在长方体fa74795710d68e6da45909b820cee7b1.png中，52f143e0112ab50f8206af51224247ec.png.

（1）求证：平面be98525dbc657350a8204d68dae13893.png平面822dd494b3e14a82aa76bd455e6b6f4b.png.

（2）求二面角37057c8637bc1948a89f36dd7fd3d94f.png的大小.

【答案】（1）证明见解析；（2）60°.

【解析】（1） 在同一平面内证02be51799f6149d7cd388c006abea9a1.png，用线面垂直的性质证ae1c1b16f996c786376aa0bf6173dd20.png；

（2） 以39f35a7a61cdf35fef8c6d436b6aca40.png为原点建立空间直角坐标系，使用空间向量求二面角的平面角即可.

【详解】

（1）依题意，有47429ef3701e11fbe229ff48ab5d22ed.png，

由勾股定理可得5f26879a07d8c61a73f1d60447df55ec.png，

又易知a267bbadae91c320ca7406ce10eeafbf.png，所以e5933884d163a35db413229e7346d560.png，则有02be51799f6149d7cd388c006abea9a1.png，

在长方体fa74795710d68e6da45909b820cee7b1.png中，498391ca5279d62a4befa86cf59f67fd.png平面1bde2d10dc19e984a4fb8639ce6df38e.png，53944c7c03384b6e7c4ad477dd3d5827.png平面1bde2d10dc19e984a4fb8639ce6df38e.png，

所以7a21e032cf47bbb74dc40b6563ca3096.png，又因为5ea51897e2b75a5a6baa7b69c0d163e1.png，所以ae1c1b16f996c786376aa0bf6173dd20.png，

又因为3f9cde2069a91c0273ff64a4733adc63.png，e232703fd229bad9133cbc719093ef2a.png平面822dd494b3e14a82aa76bd455e6b6f4b.png，5601d0c66d4dfd23ab9960e360359d08.png平面822dd494b3e14a82aa76bd455e6b6f4b.png，

所以a01fadbfc9e564e9690b6000d412ba9c.png平面822dd494b3e14a82aa76bd455e6b6f4b.png，

又因为53944c7c03384b6e7c4ad477dd3d5827.png平面a6ee7b99370d52059eb0e784c7b05fa5.png，

所以平面be98525dbc657350a8204d68dae13893.png平面822dd494b3e14a82aa76bd455e6b6f4b.png.

（2）如图，建立空间直角坐标系，则c394b052fff4ea92f6d8ff626f121732.png，

所以f45e46cee264029dc01fed1e19610096.png，

设平面822dd494b3e14a82aa76bd455e6b6f4b.png的法向量为3e900ced5775b9ac1c596312497f6c91.png，

则ab301ccb4160cfaef0c978ba69e88ece.png，即54c716d984dba11ec631d38f6257847c.png，令521727978adfe08e139f4d74a54be752.png，则a46dd4269de428cde591d8adc6c6f3c1.png，

设平面b4982d801eaaf1023aa7f52602f28249.png的法向量为b8496ef05c4149d372baf4f5ba2f4aff.png，

则8e17fa01990fb269e857de4a82326d26.png，即0b03863553a7845d5151d9da4be2f2e9.png，令630e2c21b0a2fe906a7e4f19e872e319.png，则d59d65776b156763c11887119d45dcdb.png，

设二面角37057c8637bc1948a89f36dd7fd3d94f.png的大小为7943b5fdf911af3ffcf9d8f738478e8a.png，

则a67fa086dd20c26210748d6359049dea.png，

由图知，二面角37057c8637bc1948a89f36dd7fd3d94f.png为锐角，所以34c66757bf5155d126e58d4e1c214ccd.png，

所以二面角37057c8637bc1948a89f36dd7fd3d94f.png为60°.

【点睛】

本题考查面面垂直判定及计算二面角大小.

面面垂直判定的两种方法与一个转化

(1)面面垂直的定义；(2)面面垂直的判定定理1e2ca07642a508ab0467572e7bff2b21.png

在已知两个平面垂直时，一般要用性质定理进行转化．在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直

计算二面角大小的常用方法:分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小

20．已知函数d42f90d63fe4b3c7d17c914196d82d28.png.

（1）当cd71f65b13a665914df5ce79c157bc16.png时，证明：函数50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png有两个零点；

（2）当323c5f97105643bc61e288fe596194ca.png时，求函数50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png在区间51f18220aba072a66bde71da2e07c87f.png上的最小值.

【答案】（1）证明见解析；（2）当a1e328caf08f44d2cb559184ffb1f1f7.png时，50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png的最小值为d2f7aedc2b472efc73db32c1181c857d.png；当a04c5f55f98673345d66a66477ff7f1a.png时，50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png的最小值为86bde6790ae8917ff0ab01e047716022.png；当12723e33d008b886a0b5d5bd44d57124.png时，50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png的最小值为0b63b4bfd46fe5a1265d722378f6364b.png.

【解析】（1）求出导函数，得到原函数的单调区间，利用零点存在性定理即可证明.

（2）解出导函数方程的根，讨论根与给定区间关系，分类讨论函数单调区间，从而求出函数最值.

【详解】

（1）当cd71f65b13a665914df5ce79c157bc16.png时，110b3e92726ed3acdccf33f0a5a1bb6a.png.

令06605d0b94674429f3ab62bec2350d50.png，得566162f3afaf9f5f67e7d7ca7a4b424e.png，

当76e793a06eb8aa277fbfd572d527a51e.png时，dc94b6b11f8652a826756a60fe1fbe6c.png在717fdb3c373d624e85a8a8c76ce80778.png上为减函数；

当49f800f6a17487df9bd707b818acbd8c.png时，532c4d76f52d0d2eb774f0fd1eb91936.png在b1ea9db72a0807448308aff0af5f4c04.png上为增函数.

因为00330aee9a6a04b74abcca0270f15a46.png，

da109d0d677f2917709055308e7fb48a.png，

所以，当cd71f65b13a665914df5ce79c157bc16.png时，函数50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png有两个零点.

（2）595b7277f7e1ac3b18b84a2570fc1269.png.

当323c5f97105643bc61e288fe596194ca.png时，令06605d0b94674429f3ab62bec2350d50.png，得b7217407aed5b9e55b84027aadce1fa1.png，

当865e843ab1c2c85f8c7994bd4d53630f.png时，dc94b6b11f8652a826756a60fe1fbe6c.png在9a84a5effe645e009b45dcab2e7cf506.png上为减函数；

当4b072996c8525b0e3448027f4f76b2a5.png时，532c4d76f52d0d2eb774f0fd1eb91936.png在ebf3970304552c1b40e890b60eae40d9.png上为增函数.

所以，当1e6f7ede133e564f5fd984051e92bb3d.png，即12723e33d008b886a0b5d5bd44d57124.png时，50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png在51f18220aba072a66bde71da2e07c87f.png上单调递增，

15f67de817219ec1b4b48854c893b207.png；

当42f70a8102ade0e09ff015d190318e94.png，即a04c5f55f98673345d66a66477ff7f1a.png时，50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png在5ba218eb5c0ba3f19515cc26b9df3b41.png上单调递减，在7389585fe93dedf132a19cf21f9c5323.png上单调递增，f6d36bbcc831b38aaec6443917a0c913.png；

当81dc9fc86d9e34b138f252ab2d12b534.png，即a1e328caf08f44d2cb559184ffb1f1f7.png时，50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png在51f18220aba072a66bde71da2e07c87f.png上单调递减，45bb79a9f55d740105fe08ff150b9dd3.png.

综上所述，在51f18220aba072a66bde71da2e07c87f.png上，当a1e328caf08f44d2cb559184ffb1f1f7.png时，50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png的最小值为d2f7aedc2b472efc73db32c1181c857d.png；

当a04c5f55f98673345d66a66477ff7f1a.png时，50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png的最小值为86bde6790ae8917ff0ab01e047716022.png；

当12723e33d008b886a0b5d5bd44d57124.png时，50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png的最小值为0b63b4bfd46fe5a1265d722378f6364b.png.

【点睛】

本题考查利用函数导数解决函数零点、极值、最值问题. 其解题策略：

(1)求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小．

(2)函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值．

21．已知抛物线ece0158f211d8d9a472864d6ad017b26.png的焦点为800618943025315f869e4e1f09471012.png，点44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png在抛物线92cc336a9f163d4c6870d8e016934cfb.png上，其纵坐标为e4b162a2678b175b58a6b5073e380569.png，且4fa9b14f57d28dd404319defaf9c4669.png.

（1）求抛物线92cc336a9f163d4c6870d8e016934cfb.png的方程；

（2）过69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png的直线2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png与抛物线92cc336a9f163d4c6870d8e016934cfb.png交于6c30b42101939c7bdf95f4c1052d615c.png两点，若a644a0582a85fe8ba0d67665e25c06ba.png，求直线2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png的斜率.

【答案】（1）5af1bcfc73e5c8490e0237a3e1f9d933.png；（2）9625048ed3aa61c693a7188326ee2124.png或ac7106e9f850f09d1529aba76bdbf704.png.

【解析】（1）由抛物线定义求出83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png的抛物线方程.

（2）设直线2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png的方程为ffd24f40f74c51fa29c993115969cbc7.png与抛物线方程联立求解，得到74cfec4851f54bc9e1bc1f4b40b5474f.png，f8281cafb08efe03bce3816f00fdd12d.png，

利用a644a0582a85fe8ba0d67665e25c06ba.png转化求8ce4b16b22b58894aa86c421e8759df3.png即可.

【详解】

（1）因为点44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png在抛物线92cc336a9f163d4c6870d8e016934cfb.png上，且纵坐标为c1f1f0acb4f2fe9fc6d7fb220cee61b3.png，所以点44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png的横坐标为fe0c212f6b7b2457c771ba67a67cca48.png，

抛物线92cc336a9f163d4c6870d8e016934cfb.png的准线为92ee0025b5c07a6146f03772c588fae3.png，由抛物线定义得c11057e5dca2dbc5a1f819f0c361868b.png，

化简得951f48ef1057cc3ff4ef23e43f963d01.png，解得9386cc6069f4b1b9917476ef65689a9e.png（舍去）或cff19eeeeb9692cbf8a6b0864c461f5e.png，

所以抛物线92cc336a9f163d4c6870d8e016934cfb.png的方程为5af1bcfc73e5c8490e0237a3e1f9d933.png.

（2）易知直线2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png的斜率存在，设直线2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png的方程为ffd24f40f74c51fa29c993115969cbc7.png，

代入5af1bcfc73e5c8490e0237a3e1f9d933.png中，得382fbf793afe8b1b797d85c5fb3f0ef2.png，

因为直线2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png与抛物线92cc336a9f163d4c6870d8e016934cfb.png有两个交点，所以69f693456ef807fc7877f91190e9510a.png，得1a995a60360f09d69fb996f8f6f6d679.png.

设8abdc390cf62f2cb5c210564edb18b13.png，

则2e7e58b77d9c9b18b20cbca6bbf5da53.png ①，33f8adbee8ea8cd67b3d9bb4dbdb86bb.png ②，

所以a8af72891e9d30e3989bce3510ac970a.png ③

因为a644a0582a85fe8ba0d67665e25c06ba.png，所以7d788dc32b207ae1b86ce78545ff1f1b.png，

即e2eb7d94134d70b887891202b13ffebb.png，所以efac5ccfac3cd3b48bc32e86f0648402.png，即8c5a2393c3542571069bbbd29ae0c123.png，

将①②③式代入上式，整理得f44d4d8754d2e4956b4c3001a27145e3.png，

解得5421da2c9c01e9f48f9c54fb773e7e56.png或8231887d720587cbcf0f11041529e42d.png，

因为7e68dc6efca679c7c35d027da9f74b5c.png，

所以，直线2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png的斜率为9625048ed3aa61c693a7188326ee2124.png或ac7106e9f850f09d1529aba76bdbf704.png.

【点睛】

利用抛物线的定义解决问题时，应灵活地进行抛物线上的点到焦点距离与其到准线距离间的等价转化．“看到准线应该想到焦点，看到焦点应该想到准线”，这是解决抛物线距离有关问题的有效途径．

22．在学习强国活动中，某市图书馆的科技类图书和时政类图书是市民借阅的热门图书.为了丰富图书资源，现对已借阅了科技类图书的市民（以下简称为“问卷市民”）进行随机问卷调查，若不借阅时政类图书记1分，若借阅时政类图书记2分，每位市民选择是否借阅时政类图书的概率均为93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png，市民之间选择意愿相互独立.

（1）从问卷市民中随机抽取4人，记总得分为随机变量8b8bf6c426eb40b0d06df646f36a4ae3.png，求8b8bf6c426eb40b0d06df646f36a4ae3.png的分布列和数学期望；

（2）（i）若从问卷市民中随机抽取541f26805a548c0b21314f138dd63e64.png人，记总分恰为6f8f57715090da2632453988d9a1501b.png分的概率为d270e593bb2d88e4b99aea3dc094d706.png，求数列873fb4d28ce509ddc7765bae9ab29beb.png的前10项和；

（ⅱ）在对所有问卷市民进行随机问卷调查过程中，记已调查过的累计得分恰为7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png分的概率为d55314ae1a8a7f7fcb445bd8786423b0.png（比如：62aaced6e784a6a5b344b43850f98398.png表示累计得分为1分的概率，15733ef796e744976ebf2e9dc5de8942.png表示累计得分为2分的概率，5109849b816e4633da48286dca3e8b4a.png），试探求d55314ae1a8a7f7fcb445bd8786423b0.png与66fea35dd7eeaf4ad196055f4c2307b1.png之间的关系，并求数列4cc2f3d100affdafadf09d25af774949.png的通项公式.

【答案】（1）分布列见解析，6；（2）（i）546f8738b7a2f55af40936f10668b64a.png；（ⅱ）0947af21a871aeaa7a4e291cf55273d6.png，044beac8672f24186b354a2d8dbc9c44.png.

【解析】（1）独立重复试验，列出随机变量8b8bf6c426eb40b0d06df646f36a4ae3.png可能取值为4，5，6，7，8，再求出各可能值的概率可解得.

（2）（i）总分恰为6f8f57715090da2632453988d9a1501b.png分的概率d270e593bb2d88e4b99aea3dc094d706.png是等比数列，用基本量计算.

（2）（ⅱ）递推数列化为等比数列求解.

【详解】

（1）8b8bf6c426eb40b0d06df646f36a4ae3.png的可能取值为4，5，6，7，8，

750f1688d7eda0eaeb920c063048daa4.png adec1ef7b3a042be7d21888d5423a26c.png

e61f6aa1e6eb6ce88722dddd3d6b5ea1.png，b78b211fce3fb85263668c26ec44bc63.png62e7f33dbf14ba34ba57d8f15dfa0d46.png

所有8b8bf6c426eb40b0d06df646f36a4ae3.png的分布列为

所以数学期望7921564682e3c10b4b5ec52ce46dacdc.png.

（2）（i）总分恰为6f8f57715090da2632453988d9a1501b.png分的概率为a48188d0708b0a6664cf2c8c18a2ec53.png，

所以数列873fb4d28ce509ddc7765bae9ab29beb.png是首项为93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png，公比为93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png的等比数列，

前10项和de9dca1744bd533afc29f873d419201c.png.

（ii）已调查过的累计得分恰为7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png分的概率为d55314ae1a8a7f7fcb445bd8786423b0.png，得不到7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png分的情况只有先得47425da90092a0727c15c009fac9f866.png分，再得2分，概率为9abbfbc1b05b4ea0bd09abdba8123b2d.png.

因为a37f54aa442b36409d1df6d8ce8cac0a.png，即0947af21a871aeaa7a4e291cf55273d6.png，

所以2848ae72ed161716a322aa6f07391e97.png，

则8708664a6e4693b64055786408013d9d.png是首项为77752b66defad70c0bb1edbf4b20c1bc.png，公比为7ddf743a44884d9bbc8c1789b835ac41.png的等比数列，

所以e0c38bae4a1a89b4e5d45cea623694a1.png，

所以044beac8672f24186b354a2d8dbc9c44.png.

【点睛】

常见的二项分布的简单应用问题是求7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png次独立重复试验中事件7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png恰好发生8ce4b16b22b58894aa86c421e8759df3.png次的概率．解题的一般思路是：根据题意设出随机变量→分析出随机变量服从二项分布→找到参数a91f5a45322e4ce1c4c46810a8945a00.png→写出二项分布的分布列→将8ce4b16b22b58894aa86c421e8759df3.png值代入求解概率．

递推数列54393f6ae7e8ca45f324abad2dd6069f.png化为等比数列 如7278cdaa27a8a719aa0b5877518a9d75.png 化为96b070f607daf37c05b3d1e54404564b.png

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/6936c7805af5f61fb7360b4c2e3f5727a4e92472.html