第2节 排列与组合
【选题明细表】
基础巩固(时间:30分钟)
1.(2017·濮阳市一模)某电视台曾在某时间段连续播放5个不同的商业广告,现在要在该时间段只保留其中的2个商业广告,新增播一个商业广告与两个不同的公益宣传广告,且要求两个公益宣传广告既不能连续播放也不能在首尾播放,则不同的播放顺序共有( B )
(A)60种 (B)120种 (C)144种 (D)300种
解析:要在该时间段只保留其中的2个商业广告,有=20种方法,增播一个商业广告,利用插空法有3种方法,再在2个空中,插入两个不同的公益宣传广告,共有2种方法,根据分步乘法计数原理,共有20×3×2=120种方法.故选B.
2.(2017·太原市一模)现有12张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各三张,从中任取3张,要求这3张卡片不能是同一种颜色,且红色卡片至多1张,不同的取法种数为( C )
(A)135 (B)172 (C)189 (D)162
解析:由题意,不考虑特殊情况,共有种取法,其中每一种卡片各取三张,有4种取法,两张红色卡片,共有
种取法,故所求的取法共有
-4-
=189种.故选C.
3.(2017·郑州市三模)为防止部分学生考试时用搜题软件作弊,命题组指派5名教师对数学卷的选择题、填空题和解答题这3种题型进行改编,则每种题型至少指派一名教师的不同分派方法种数为( A )
(A)150 (B)180 (C)200 (D)280
解析:人数分配上有两种方式即1,2,2与1,1,3.若是1,1,3,则有×
=60种,若是1,2,2,则有
×
=90种,所以共有150种不同的方法.故选A.
4.某班班会准备从含甲、乙的7名学生中选取4人发言,要求甲、乙2人至少有一人参加,若甲、乙同时参加,则他们发言时顺序不能相邻,那么不同的发言顺序种数为( C )
(A)720 (B)520 (C)600 (D)360
解析:根据题意,分2种情况讨论:若甲、乙其中一人参加,有=480种;若甲、乙2人都参加,共有
=240种发言顺序,其中甲、乙相邻的情况有
=120种,故有240-120=120种.则不同的发言顺序种数为480+120=600. 故选C.
5.某高校从5名男大学生志愿者和4名女大学生志愿者中选出3名派到3所学校支教(每所学校一名志愿者),要求这3名志愿者中男、女大学生都有,则不同的选派方案共有( B )
(A)210种 (B)420种 (C)630种 (D)840种
解析:从这9名大学生志愿者中任选3名派到3所学校支教,则有种选派方案,3名志愿者全是男生或全是女生的选派方案有
+
种,故符合条件的选派方案有
-(
+
)=420种.故选B.
6.身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人,身穿蓝色衣服的有一人,现将这五人排成一行,要求穿相同颜色衣服的人不能相邻,则不同的排法种数为( D )
(A)24 (B)28 (C)36 (D)48
解析:穿红色衣服的人相邻的排法有=48种,同理穿黄色衣服的人相邻的排法也有48种.而红色、黄色同时相邻的有
=24种.故穿相同颜色衣服的不相邻的排法有
-2×48+24=48种.故选D.
7.将7个相同的球放入4个不同的盒子中,则每个盒子都有球的放法共有 种.
解析:将7个相同的球放入4个不同的盒子,即把7个球分成4组,因为要求每个盒子都有球,所以每个盒子至少放1个球,不妨将7个球摆成一排,中间形成6个空,只需在这6个空中插入3个隔板将它们隔开,即分成4组,不同的插入方法共有=20种,所以每个盒子都有球的放法共有20种.
答案:20
8.(2017·长春市二模)某班主任准备请2016届毕业生做报告,要从甲、乙等8人中选4人发言,要求甲、乙两人至少一人参加,若甲、乙同时参加,则他们发言中间需恰隔一人,那么不同的发言顺序共有
种.(用数字作答)
解析:根据题意,分2种情况讨论:①若甲、乙同时参加,先在其他6人中选出2人,有种选法,选出2人进行全排列,有
种不同顺序,甲、乙2人进行全排列,有
种不同顺序,甲、乙与选出的2人发言,甲、乙发言中间需恰隔一人,有2种情况,此时共有2
=120种不同顺序;②若甲、乙有一人参与,在甲、乙中选1人,有
种选法,在其他6人中选出3人,有
种选法,选出4人进行全排列,有
种不同情况,此时共有
=960种,从而总共的发言顺序有1 080种不同顺序.
答案:1 080
能力提升(时间:15分钟)
9.从1,3,5,7中任取2个数字,从0,2,4,6,8中任取2个数字,组成没有重复数字的四位数,其中能被5整除的四位数共有( B )
(A)252个 (B)300个 (C)324个 (D)228个
解析:(1)若仅仅含有数字0,则选法是,可以组成四位数
=
12×6=72个;
(2)若仅仅含有数字5,则选法是,可以组成四位数
=18×
6=108个;
(3)若既含数字0,又含数字5,选法是,排法是若0在个位,有
=6种,若5在个位,有2×
=4种,故可以组成四位数
(6+4)=120个.
根据加法原理,共有72+108+120=300个.故选B.
10.(2017·鹰潭市一模)用四种不同的颜色为正六边形(如图)中的六块区域涂色,要求有公共边的区域涂不同颜色,一共有 种不同的涂色方法.
解析:A,C,E用同一颜色,此时共有4×3×3×3=108种方法.
A,C,E用2种颜色,此时共有×6×3×2×2=432种方法.A,C,E用3种颜色,此时共有
×2×2×2=192种方法.共有108+432+192=732种不同的涂色方法.
答案:732
11.数字1,2,3,4,5,6按如图形式随机排列,设第一行的数为N1,其中N2,N3分别表示第二、三行中的最大数,则满足N1
解析:(元素优先法)由题意知6必在第三行,安排6有种方法,第三行中剩下的两个空位安排数字有
种方法,在留下的三个数字中,必有一个最大数,把这个最大数安排
在第二行,有种方法,剩下的两个数字有
种排法,根据分步乘法计数原理,所有排列的个数是
=240.
答案:240
12.六个人按下列要求站成一排,分别有多少种不同的站法?
(1)甲不站在两端;(2)甲、乙必须相邻;(3)甲、乙不相邻;(4)甲、乙之间恰有两人;(5)甲不站在左端,乙不站在右端;(6)甲、乙、丙三人顺序已定.
解:(1)=480.
(2)=240.
(3)=480.
(4)=144.
(5)-2
+
=504.
(6)=120.
13.4个不同的球,4个不同的盒子,把球全部放入盒内.
(1)恰有1个盒不放球,共有几种放法?
(2)恰有1个盒内有2个球,共有几种放法?
解:(1)为保证“恰有1个盒不放球”,先从4个盒子中任意取出去一个,问题转化为“4个球,3个盒子,每个盒子都要放入球,共有几种放法?”即把4个球分成2,1,1的三组,然后再从3个盒子中选1个放2个球,其余2个球放在另外2个盒子内,由分步乘法计数原理,共有=144(种).
(2)“恰有1个盒内有2个球”,即另外3个盒子放2个球,每个盒子至多放1个球,也即另外3个盒子中恰有一个空盒,因此,“恰有1个盒内有2个球”与“恰有1个盒不放球”是同一件事,所以共有144种放法.
14.按下列要求分配6本不同的书,各有多少种不同的分配方式?
(1)分成三份,1份1本,1份2本,1份3本;
(2)甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本;
(3)平均分成三份,每份2本;
(4)平均分配给甲、乙、丙三人,每人2本;
(5)分成三份,1份4本,另外两份每份1本;
(6)甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外两人每人得1本;
(7)甲得1本,乙得1本,丙得4本.
解:(1)无序不均匀分组问题.
先选1本,有种选法;再从余下的5本中选2本,有
种选法;最后余下3本全选,有
种选法.
故共有=60(种).
(2)有序不均匀分组问题.
由于甲、乙、丙是不同的三人,在(1)题基础上,还应考虑再分配,共有=360(种).
(3)无序均匀分组问题.
先分三步,则应是种方法,但是这里出现了重复.不妨记六本书为A,B,C,D,E,F,若第一步取了AB,第二步取了CD,第三步取了EF,记该种分法为(AB,CD,EF),则
种分法中还有(AB,EF,CD),(CD,AB,
EF),(CD,EF,AB),(EF,CD,AB),(EF,AB,CD),共有种情况,而这
种情况仅是AB,CD,EF的顺序不同,因此只能作为一种分法,故分配方式有
=15(种).
(4)有序均匀分组问题.
在(3)的基础上再分配给3个人,
共有分配方式·
=
=90(种).
(5)无序部分均匀分组问题.共有=15(种).
(6)有序部分均匀分组问题.
在(5)的基础上再分配给3个人,
共有分配方式·
=90(种).
(7)直接分配问题.
甲选1本,有种方法;乙从余下的5本中选1本,有
种方法,余下4本留给丙,有
种方法,故共有分配方式
=30(种).
本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/68fb97bb00f69e3143323968011ca300a7c3f696.html
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