神奇的数字

设这个六位数是: ABCDEF.

1。A=1。若A不为1，则X6后就会成为7位数。

2。六位数里不包含0。ABCDEF乘以1,2,3,4,5,6后得到的六位数的最高位分别是要求的六个数字（不可能出现两个六位数最高位相同），所以没有0。

3。个位为奇数。否则X5后的六位数中将出现0。

4。个位为7。若为1，与最高位重复；若为3，乘以1，2，3，4，5，6后最后位得3，6，9，2，5，8六个数字，在加上A=1，是7个数，不符；若为5，分别乘后出现0；若为9，乘以1，2，3，4，5，6后得9，8，7，6，5，4加1也是7个数字了；只可能是7。

5。六个数字为1，4，2，8，5，7。 个位数是7后，分别乘以1，2，3，4，5，6后结果的个位数是：7，4，1，8，5，2，刚好六个数字。

6。六位数是142857。1BCDE7其他的再推一下就可以出来，大家也都会了，实在不行，挨个验证一下。

与 7 的特殊关系如下：

1/7＝0.142857142857……

2/7＝0.285714285714……

3/7＝0.428571428571……

4/7＝0.571428571428……

5/7＝0.714285714285……　

6/7＝0.857142857142……　

奇妙的数字

古时候，两个秀才在一起讨论题目，甲秀才说：“乙兄台，这次我有一个难题目，你肯定不会，快快甘拜下风吧！”乙秀才却不以为然：“有我不会做的题目吗？”甲的题目是这样的：有一个六位数，这个六位数的最左边一位是1，把它乘以3之后，发生了奇怪的变化，最左边一位1移到了最后（如831——318）其他五位各向前移了一位，这个数是多少呢？乙秀才眼睛一转，便有了答案，得意洋洋地说：“这个数不但乘以3有变化，乘以2、4、5、6、7也有变化！”甲秀才听了之后，连连赞叹乙聪明，自己甘拜下风。乙秀才有说了：“我也有一题，有一个数是2520，这个数十分特别，它能被2、3、4、5、6、7、8、9、10整除，你能不用计算说出2520能被2、3、4、5、6、7、8、9、10整除呢？”甲秀才思考了半天，也没有答案，便向乙请教，听了乙的一番讲解以后，甲也恍然大悟。同学们，你们知道乙是怎样解决题目的吗？

第一题：

有一个六位数将它乘以3以后，最左边一位的1移到了最右边，其余五位数都向前进了一位，这个六位数是多少呢？

我们不妨来列一个表格：[设第五位数用A表示，第四位数用B表示，第三位数用C表示，第二位数用D表示，第一位数用E表示]

第六位数 第五位数 第四位数 第三位数 第二位数 第一位数

1 A B C D E

注：第六位数我们已知道为1。

乘以3

第六位数 第五位数 第四位数 第三位数 第二位数 第一位数

A B C D E 1

从表格中，我们不难看出，3E的个位数字为1，而E范围是0~9，3乘以1等于3，3乘以2等于6，3乘以3等于9，3乘以4的个位数为2，3乘以5的个位数为5，3乘以6的个位数为8，3乘以7的个位数为1，3乘以8的个位 数为43乘以9的个位数为7，只有7符合要求，所以E为7。

3乘以7可以从第一位数往第二位数进2，所以3D+2=7可以转换成3D=5（个位数字），3乘以1为3，3乘以2为6，3乘以3为9，3乘以4个位数为2，3乘以5个位数为5，3乘以6个位数为8，3乘以7个位数为1，3乘以8个位数为4，3乘以9个位数为7。可以看出只有5符合，所以D=5。

3乘以5可以从第二位数向第三位数进1，得3C+1=5可以转换成3C=4，3乘以1为3，3乘以2为6，3乘以3为9，3乘以4个位数为2，3乘以5个位数为5，3乘以6个位数为8，3乘以7个位数为1，3乘以8个位 数为4，3乘以9的个位数为7。可以看出只有8符合，所以C=8。

3乘以8可以从第三位数向第四位数进2，得3B+2=8可以转换成3B=6，3乘以1为3，3乘以2为6，3乘以3为9，3乘以4的个位数为2，3乘以5的个位数为5，3乘以6的个位数为8，3乘以7的个位数为1，3乘以8的个位数为4，3乘以9的个位数为7。可以看出只有2符合，所以B=2。

2乘以3不可以向前进数，所以3A=2，3乘以1为3，3乘以2为6，3乘以3为9，3乘以4的个位数为2，3乘以5的个位数为5，3乘以6的个位数为8，3乘以7的个位数为1，3乘以8的个位数为4，3乘以9的 个位数为7。可以看出只有4符合，所以A=4。

经过一连串的推算，我们已算出A、B、C、D、E。又可以列出表格。

第六位数 第五位数 第四位数 第三位数 第二位数 第一位数

1 4 2 8 5 7

所以这个六位数是142857。

我们既然已算出142857，也可以用此类方法解其它类型的题，我们不妨再用这个数乘以2、4、5、6、7试试。

142857乘以2得285714 结果是把142857的14放到数尾。

142857乘以3得428571 结果是把1放到最后（这也是我们刚才所求的。）

142857乘以4得571428 结果是把数尾的57放到数的前面。

142857乘以5得714285 结果是把数尾的7放到最前面。

142857乘以6得857142 结果是把数尾的857与前面的142交换位置。

142857乘以7得999999 这次结果更干脆了，都是9了999999。

怎么样，142857是不是十分特别呢？不过，刚才题目也提到了另一个奇怪的数：2520，怎么样不通过计算来证明2520能被2、3、4、5、6、7、8、9、10整除呢？

要想知道怎样不通过计算而证明2520能被2、3、4、5、6、7、8、9、10整除？必须要知道能被这些数整除的特性（都指自然数。）

1、 能被2整除：必须是一个偶数，能被2整除。

2、 能被3整除：各个数位的和相加若能被3整除，则这个数能被3整除。

3、 能被4整除：是这个数末两位数或三位数能被4整除，则这个数能被4整除。

4、 能被5整除：是这个数的末尾不是5就是0。

5、 能被6整除：若这个数能同时被2、3整除，则这个数能被6整除。

6、 能被7整除：这个数个位数字以前的数字组成的数与个位数字的2倍的差能被7整除，则这个数能被7整除。

7、 能被8整除：是这个数的末尾两位数或三位数能被8整除。

8、 能被9整除：各个数位之和能被9整除，则这个数能被9整除。

9、 能被10整除：这个数的个位一定为0，则这个数能被10整除。

我们知道了这些，解这道题就简单了，只要看一下符不符合以上条件，结果2520完全符合，所以我们说2520能被2、3、4、5、6、7、8、9、10整除。

这个六位数乘以2、3、4、5、6，得到了五个六位数，总共有六个六位数，而这六个六位数的数字都相同，只是次序不同。因此得出的第一个结论是：这六个数字都有机会排在第一位；而且这六个数字都不相同；也不能有0。这六个数字也必然会分别排在最后一位。否则就不符合题意了。（如不是“这六个数字都有机会排在第一位”，就有可能某个数字两次排在第一位，这两个六位数相减，最多只能是五位数；如不是“这六个数字都不相同”就有相同的两个数字都会出现在第一位，两者相减也最多只能是五位数；如有个数字为0，当它排在第一位时，也成了五位数了）。如不分别出现在最后一位，那有可能这两个数之差的最后一位为0，也与题意不合。

二、第二个结论是：这个六位数的第一位只能是1。如是2或以上，则乘以5或6，就要是七位数了。

三、因为这六个数这有了1，这个1也有机会排在最后一位。所以结论三是：这六位数最后一位只能是奇数。（因为偶数乘任何数都是偶数，不会有1出现在最后一位）。而因为已经有了1出现在第一位，所以最后一位只可能有3、7、9这三种可能。5是不可能的，5乘2、4、6都会有0出现，不符合题意。

四、3和9也是不可能的。因为最后一位是3，只有乘以7；最后一位是9，只有乘以9，才可能出现1。结论四是：这个六位数的最后一位数是7。

五、7乘以2、3、4、5、6后得出最后一位数是：4、1、8、5、2。结论五是：这六个六位数都由7、4、1、8、5、2这六个数字组成的。

六、这个六位数第一位是1，第六位是7；，第二位只能是4。如果第二位是5、8，则乘以6后第一位会出现9，不在这六个数字之中；如第二位是2，则乘以6第一位只有7，没有8。均不符合题意。

七、这个六位数的第三位只能是2。如是5、8，则乘以2后，要进1，第二位上会出现9，不在这六个数字之中，不符合题意。

八、这个六位数的第四位只能是8。如是5，则乘以3、4、5、6后，数字全乱了。

九、由此得出这个六位数是142857

十、该六位数乘以2、3、4、5、6后得：

285714

428571

571428

714285

857142

从而得出该数字是符合题意的。这六个六位数只是把位置平移了一下，排列顺序还是142857。而且如把它分成3组：14、28、57，28是14的2倍，57是28的2倍加1。很好记。

而乘以7，则得到：999999，再加1，就是1000000。

十一、这六个六位数很有规律，如果你把1、2、3、4、5、6分别除以7，会得到循环小数，它们的循环节就是这六个六位数。

题目:求一个六位数,分别乘以2-6,所得到的各个积都是六位数,且与原数的各个数字相同,仅是顺序不同.
解: 设这个六位数为N=a[6]a[5]a[4]a[3]a[2]a[1].
     (1).若a6>=2,则6N为七位数,与题意不符,故a6=1
     (2).因为六个数相邻二数之差为N,若第一位相同,则差的第一位为0,与a6=1矛盾.所以:N,2N,3N,4N,5N,6N的左起第一个数字为互异非零数字.
     (3).若a1=5,则2N末位为0.若a1为偶数,则5N末位为0.而a[i](i=1..5)必做一个首位,故都大于1,故a1必须大于1,所以a1=3或7或9.
           若a1=3,则iN的末位数分别为:6,9,2,5,8.此时六位数由3,6,9,2,5,8六个数组成,但已知a6=1,所以不符合.
           若a1=9,末位数字为8,7,6,5,4,同理不符合.
           所以a1=7,由iN末位数可知,六个数为:1,4,8,5,2,7
     (4)若六个数中有两个数的某一位数相同,则它们的差的这一位数字为0或9,差为iN(i=1..5).而组成数字中没有0或9,所以不可能存在两个六位数中的某一位数相同.
     (5)由 1+4+8+5+2+7=27得,N+2N+3N+4N+5N+6N=21N=124578+124587+...=2999997
          所以N=2999997/21=142857

1/3 果真等于0.33333…吗?

========================分割线====以下引用任月扬论文====================
典型的常识1/3 等于0.33333…导致五个大荒唐
                        任月扬
   
   荒唐一.  常量 = 变量
   1/3这个分数，在0至1的线段中，是一个固定的点，它是常量；0.33333…，这不是一个小数，而是代表无数多个1/3的近似值，小数点后面的3越多的近似值，越接近于1/3，这个接近的过程，永远不会结束！因此 0.33333…是变量。
 “有一大类分数无法转换成小数的形式。1/3这个简单分数就不能用十进制小数表示出来”。这是著名数学家兼物理学家兰佐斯的观点。（兰佐斯《无穷无尽的数》一书P126）
       
   荒唐二.  整数 = 小数
   1/3 = 0.33333…这个所谓的等式，两边各乘于3就会又推出如下的荒唐的等式：
   整数1 = 小数0.99999…。
   据此，又可以推出：“全体自然数都是小数”的荒唐结论！
   
   荒唐三.  近似值 = 极限
   变量0.33333…代表无数多个近似值：0.3，0.33，0.333，0.3333，0.33333，……，0.333…33等等。这些近似值的极限是1/3。“近似值的极限是1/3”这句话，等同于：“近似值的极限 = 1/3”；也等同于：“0.33333…型小数的极限 = 1/3”。其中：0.33333…型小数，是定语；极限，是主语；1/3，是谓语。不能将定语变成主语。省略语为：极限是1/3，但是，绝对不等同于如下的等式：
   近似值 = 1/3  （近似值是分数，这个句子的逻辑也不通）
   0.33333…=1/3（所谓无限循环小数是分数，句子的逻辑也不通）  
   
   荒唐四.  无穷小 = 0
   1/3 = 0.333…33 + 0.000…01/3，这是一个无比正确的等式，是真理！而1/3 = 0.333…33或者写为：1/3 = 0.33333…，这两种等式，是荒谬的写法！因为，其前提是：0.000…01/3 = 0。
   而0.000…01/3是1÷3除法永远除不尽的剩余，即，与1/3有关的无穷小永远大于0，因此，无穷小 = 0是荒谬的！前提是错误的！从而1/3 = 0.33333…当然是荒谬的！！！
       
   荒唐五.  1 = 0
   1/3 = 0.333…33 + 0.000…01/3，可以变换为如下形式：
   1/3 = （10^n - 1）/（3×10^n） + 1/（3×10^n）其中n可以代入任何自然数。
   不少人蛮横地认为：
   1/（3×10^n）= 0
   从而认为如下这个把1/（3×10^n）删除后的等式才是真理：
   1/3 = （10^n - 1）/（3×10^n）
   但是，
   1/3 = （10^n - 1）/（3×10^n） + 1/（3×10^n）就是：
   1/3 = （10^n - 1）×1/（3×10^n） + 1/（3×10^n）
   按照1/（3×10^n）= 0的蛮横规定上述等式，就得到：
   1/3 = （10^n - 1）×1/（3×10^n） + 1/（3×10^n）
   1/3 = （10^n - 1）×0 + 0  两边同乘以3就可以得到：
   1 = 0
   1 = 0，是表示荒谬的典型数学语言、最荒唐的逻辑符号！

==========================分割线======以下引用兰佐斯论文==================
兰佐斯说“1/3这个简单分数就不能用十进制小数表示出来”也等于提醒我们可从进制比较中找到逻辑。我经过分析发现，除了3进制、6进制、9进制、…、3n进制以外，用其它进制小数来表示1/3都是不可能的。也等于说，这些小数都是不存在的！
   令我最为兴奋的一个逻辑推理方法：
   假设：十进制1/3 = 0.33333…，为真理
   就立即推出：三进制0.1 = 0.022222…这个荒谬等式也为真理！
   明明是有限小数,怎么一下子能等于“无限循环小数”了呢？！
   任何花言巧语都将无法掩盖这个大荒唐！除非在学术上使用反民主的蛮横的“暴力镇压”！！！
   以下将0.333333…和1/3的不同进位制列表如下：

 不同进位制         小数          分数      是否可表示为小数
   
   十进制        0.333333…  ≈   1/3       =     不能
   二进制        0.010101…  ≈   1/11      =     不能
   三进制        0.022222…  ≈   1/10      =     0.1  能
   四进制        0.111111…  ≈   1/3       =     不能
   五进制        0.131313…  ≈   1/3       =     不能
   六进制        0.155555…  ≈   1/3       =     0.2  能
   七进制        0.222222…  ≈   1/3       =     不能
   八进制        0.252525…  ≈   1/3       =     不能
   九进制        0.288888…  ≈   1/3       =     0.3  能

   类似的荒谬还有无数，但是，人们都熟视无睹！例如：
   
   十进制   4.428571428571… ≈   31/7      =     不能
   七进制   4.266666666666… ≈   43/10     =     4.3  能

   讨论“1/3 = 0.333333…”这个常识是否正确，关系重大。
   0.33333…与1/3之间有间隙，表示两者不相等。就意味着所有实数都能分得清，就有可数性。自然数小数等量。数学基础的理论就必须修正。
   0.33333…与1/3之间无间隙，表示两者是同一个数，全体实数就不可数。全体小数的数量就多于全体自然数。
=======================分割线========引用完=======================

1/3<>0.33333... ,说明了对待问题不能想当然.,也引发了我们对无限循环小数的思考.类似于1/3这样的数,比如1/6=0.166666...吗?,1/9=0.11111...吗?由上面可以类推出一系列谬论.造成这个的原因,是lim(x+0.3^n)<>3吗?(博客原因..意思一下).而该极限似乎又是正确的.在图像上作出y=1/3和y=0.3333..,是相同的水平线吗?还是有间距呢?y=1/3x和y=0.3333...x的斜率是否相同呢?

这里对y=1/3x和y=0.3333...x的斜率进行讨论.构造y=1/3x,y=0.333...x+1
如果两斜率相同,则它们之间的平行线处处相等.而当x=0时,显然数值方向相差1.而当x=1时,y1=1/3,y2=0.333...+1.若1/3=0.3333..,则两式相等成立.(直接相减也可以).而若1/3<>0.333....,那么两式不相等,再取x=-1与x=0比较,两式差值与x=1,x=0相等,那么x=-1和x=1时相等.这是否有矛盾?

两个难以解释的数学巧合

一.123456789

将123456789翻一倍，你会发现结果仍然是这9个数字的一个排列：123456789 x 2 = 246913578

我们再次将246913578翻倍，发现：246913578 x 2 = 493827156

结果依旧使用了每个数字各一次。我们继续翻倍：493827156 x 2 = 987654312

一个很有特点的数987654312，显然每个数字又只用了一次。

你或许会想，这下到头了吧，再翻倍就成10位数了。不过，请看：987654312 x 2 = 1975308624

又使用了每个数字各一次，只不过这一次加上了数字0。再来？

1975308624 x 2 = 3950617248又是每个数字各出现一次。

出现了这么多巧合之后我们开始怀疑，这并不是什么巧合，一定有什么简单的方法可以解释这种现象的。但是，下面的事实让这个问题更加复杂了。到了第6次后，虽然仍然是10位数，但偏偏就在这时发生了一次例外：3950617248 x 2 = 7901234496 <-- 第一次出现例外。

于是，我们不得不相信，前面这一切很可能只是一个巧合，它背后并没有什么简单的原理。

即使有办法解释这种巧合，解释方法可能也很麻烦。寻找一个漂亮的解释是一个有趣的课题。

二.142857

先把9999997÷7=142857

然后我们将它乘以2,得到142857×2=285714

将它乘3得到142857×3=428571

乘4得到142857×4=571428

继续依次乘以5和6,得到:142857×5=714285，142857×6=857142

可见每一个数字都只由124578组成.更为神奇的是: 1/7=0.142857142857142857

这中间的某种联系,难道也只是巧合?

三.其它的一些有趣运算

1 x 8 + 1= 9

12 x 8 + 2= 98

123 x 8 + 3= 987

1234 x 8 + 4= 9876

12345 x 8 + 5= 98765

123456 x 8 + 6= 987654

1234567 x 8 + 7= 9876543

12345678 x 8 + 8= 98765432

123456789 x 8 + 9= 987654321

1 x 9 + 2= 11

12 x 9 + 3= 111

123 x 9 + 4= 1111

1234 x 9 + 5= 11111

12345 x 9 + 6= 111111

123456 x 9 + 7= 1111111

1234567 x 9 + 8= 11111111

12345678 x 9 + 9= 111111111

123456789 x 9 +10= 1111111111

9 x 9 + 7= 88

98 x 9 + 6= 888

987 x 9 + 5= 8888

9876 x 9 + 4= 88888

98765 x 9 + 3= 888888

987654 x 9 + 2= 8888888

9876543 x 9 + 1= 88888888

98765432 x 9 + 0= 888888888

1 x 1= 1

11 x 11= 121

111 x 111= 12321

1111 x 1111= 1234321

11111 x 11111= 123454321

111111 x 111111= 12345654321

1111111 x 1111111= 1234567654321

11111111 x 11111111= 123456787654321

111111111 x 111111111= 12345678987654321

神奇的循环小数

　　1/7的循环节

　　把1/7循环节作为六位数是142857。

　　1.142857乘以1-6各数：

　　142857×1=142857

　　142857×2=285714

　　142857×3=428571

　　142857×4=571428

　　142857×5=714285

　　142857×6=857142

　　142857×7=999999

　　142857×8=1142856

　　……

　　142857乘以1-6各数，很奇妙！得数是由1、4、2、8、5、7这6个数交换位置得到的。

　　2.142857与它的平方：

　　142857■=20408122449，把20408122449拆成20408和122449，20408+122449=142857。神了，又回到142857了！

　　1/81的循环节

　　将1/81的循环节作为一个八位数是12345679。

　　1.12345679乘以9的倍数：

　　12345679×9=111111111

　　12345679×18=222222222

　　12345679×27=333333333

　　……

　　12345679乘以90以人9的倍数，得数是9个相同的数，这个数=乘数÷9。

　　2.12345679乘以3的倍数：

　　12345679×3=37037037（30）

　　12345679×6=74074074（33）

　　12345679×9=111111111（9）

　　12345679×12=148148148（39）

　　12345679×15=185185185（42）

　　12345679×18=222222222（18）

　　12345679×21=259259259（48）

　　12345679×24=296296296（51）

　　12345679×27=333333333（27）

　　12345679×30=370370370（30）

　　12345679×33=407407407（33）

　　12345679×36=444444444（36）

　　12345679×39=481481481（39）

　　12345679×42=518518518（42）

　　12345679×45=555555555（45）

　　12345679×48=592592592（48）

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　　a.它们各数上的数字和（括号中数）

　　○从“12345679×27”开始，各位数上的数字和与乘数相等。

　　○除掉9的倍数（斜体字）外，各数位上的数字和的规律是：以6个数字为一轮，分别是30，33，39，42，48，51。它们之间的规律是：+3，+6，+3，+6，+3。

　　b.从“12345679×12”开始，它们的乘积总是三个数字循环出现，成群结队。

神奇的数字

一个六位数当它分别乘以2、3、4、5、6时，所得的五个乘积仍然都是六位数，且每个六位数的全部数字都是原来六位数的数字，有谁能告诉我这是哪个六位数吗？

这个问题体现了数字里无穷的知识。“7”就是其中之一。

1/7=0.142857 142857 142857 ...

2/7=0.285714 285714 285714 ...

3/7=0.428571 428571 428571 ...

4/7=0.571428 571428 571428 ...

5/7=0.714285 714285 714285 ...

6/7=0.857142 857142 857142 ...

就是这么神奇，6个分数都是由同样的“6”个数字构成，仅差在数字的位置上。而位置又不是无规律的变化。仔细观察后会发现，“6”个数字的位置只是前后的移动，丝毫不乱。

这6个分数的倍数关系决定了 “6”个循环节之间的倍数关系。

所以：142857: 285714: 428571: 571428: 714285: 857142 = 1: 2: 3: 4: 5: 6

当然，我们也可以通过计算，得出结果。过程如下：

假设有一个“6”位数，如果将它的最高位数移到个位，得到的新数就是原数的N倍。并且 2≤N≤6 。

首先，令原数的最高位数等于 A ；其余5位等于 B ，倍数等于 N , 且: 2≤N≤6 。

那么，原数可表示为100000A＋B ； 移位后的新数就可以表达为 10B＋A

建立等式关系：10B＋A=N×(100000A＋B)， 通过讨论,N =2、4、5、6 均不可。N 当且仅当等于 3

等式可变为：10B＋A=3×(100000A＋B)——〉7B=2999999A——〉B=42857A

再通过讨论，A 只能 取1 ， B得 42857

得出原数为： 142857

将 142857 分别移动 1 位 、 2 位 、3 位 、4 位 、5 位 后，得到的新数不难发现它们与原数之间的倍数关系。

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/67e7c672a417866fb84a8ed7.html