昆明一中2019届高三年级第一次月考数学理

昆明一中2019届高三年级第一次月考

数学试题（理）

考试用时120分钟。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．

1．设集合，集合，则 （ ）

A． B．

C． D．

2．定义映射：→，若集合中元素在对应法则作用下的象为，则中元素9的象是 （ ）

A．3 B．2 C．2 D．3

3．已知复数是纯虚数，则a的值等于 （ ）

A． B． C．1 D．

4．设，集合，。若，则的取值范围是 （ ）

A． B． C． D．

5．已知是公比为的等比数列，且成等差数列．则 （ ）

A．1或 B．1 C． D ．

6．若a>b，则下列不等式中正确的是 （ ）

A． B． C． D．

7．下列函数既是奇函数，又在区间上单调递减的是 （ ）

A． 　 B．

C． D．

8．设为两条直线，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是 （ ）

A．若与所成的角相等，则

B．若，，则

C．若，则

D．若，，则

9．二次方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件是 （ ）

A． B． C． D．

10．在中，．．所对的边长分别是．．．满足．

则的最大值是 （ ）

A． B． C． D．

11．已知是其定义域上的单调递增函数，它的反函数是，且 的图象过两点，若，则x的取值范围是 （ ）

A． B． C． D．

12．若是取自集合中的三个不同的数，且满足为奇数，则不同选取方法共有 （ ）

A．132种 B．96种 C．60种 D．24种

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分,把答案直接填在题中横线上．

13．的展开式中，常数项为 ．（用数字作答）

14．设F为抛物线的焦点，与抛物线相切于点的直线l与x轴的交点为Q，_________________．

15．已知实数．满足则的最大值是 ．

16．若球的表面积为，边长为2的正三角形的三个顶点在球的表面上，则球心到平面的距离为 ．

三．解答题：本大题共6小题,共70分．解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程．

17．（本小题满分10分）

设函数=p·q,其中向量p=,q= xR．

（Ⅰ）求函数的最大值；

（Ⅱ）求函数的单调递增区间．

18．（本小题满分12分）

如图，等边与直角梯形ABDE所在平面垂直，，AE⊥AB，，O为AB的中点．

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）求二面角的大小．

19．（本小题满分12分）

甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球，其中甲袋装有1个红球，4个白球；乙袋装有2个红球，3个白球。现从甲．乙两袋中各任取2个球。

（Ⅰ）用表示取到的4个球中红球的个数，求的分布列及的数学期望；

（Ⅱ）求取到的4个球中至少有2个红球的概率。

20．（本小题满分12分）

设数列的前项和为，且满足．

（Ⅰ）求证：数列为等比数列；

（Ⅱ）设,求证：．

21．（本小题满分12分）

已知双曲线=1（a>0，b>0）的一条渐近线方程为y=,两条准线的距离为1．

（Ⅰ）求双曲线的方程；

（Ⅱ）直线l过坐标原点O且和双曲线交于两点M，N，点P为双曲线上异于M，N的一点，且直线PM，PN的斜率均存在，求kPM·kPN的值．

22．（本小题满分12分）

设a∈R，函数（），其中e是自然对数的底数．

（Ⅰ） 判断函数在R上的单调性;

（Ⅱ） 当时，求函数在[1，2]上的最小值．

参考答案

注意：本评分标准仅供参考，其他正确解答请参照评分标准酌情给分

一、选择题：

二、填空题：

13．； 14．15； 15．； 16．。

三、解答题：本大题共6小题,共70分．解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程．

17．解：（Ⅰ）∵p = （sinx,cosx+sinx），q=（2cosx,cosx－sinx）,

∴= p·q= = ∴函数f（x）的最大值为．…………………5分

（Ⅱ）由2－≤2x+≤2+ （kZ） 得－≤x≤+（kZ），

∴函数f（x）的单调递增区间为［－,+］ （k∈Z）．…………10分

18．

方法一：（Ⅰ）证明：因为等边三角形，且O为AB中点

又平面ABDE平面ABCCO平面ABDE

DE平面ABDECODE ……………5分

（Ⅱ）解：过O作于，连接，则由三垂线定理得

所求二面角的平面角为

在正三角形中可求得，在直角梯形中可求得，

所以所求二面角的大小为 ………12分

方法二：以的中点为原点建立直角坐标系（如图），则，，

，，，

（Ⅰ）证明：，， ， ，

（Ⅱ）解：显然，面的一个法向量，

设面的一个法向量为，则

由得， 由得，

解得， 所以所求二面角的大小为

19．解：（Ⅰ）： ，

，

随机变量的分布列为

数学期望………………………………………8分

（Ⅱ）所求的概率…………12分

20．证明：（Ⅰ）,

． 又,

是首项为，公比为的等比数列且．………………4分

（Ⅱ）时，,

时， ．

故．………………8分

．………………12分

21．（Ⅰ）解：依题意有：

解得a2=1,b2=3． 所以双曲线方程为x2……………6分

（Ⅱ）解：设M（x0,y0）,由双曲线的对称性,可得N（－x0,－y0）． 设P（xP,yP）,

则．又

所以 同理

所以………12分

22．解：（Ⅰ）．…2分

由于, 只需讨论函数的符号:

当a = 0时, ，即，函数在R上是减函数； ……4分

当a>0时, 由于，可知，

函数在R上是减函数； ……6分

当a<0时, 解得，且．

在区间和区间上，，

函数是增函数；在区间上，，

函数是减函数．……9分

综上可知：当a≥0时，函数在R上是减函数；当a<0时,

函数在区间上是增函数；

在区间上是减函数；在区间上是增函数．

（Ⅱ） 当时，,

所以, 函数在区间[1，2]上是减函数，其最小值是． ……12分

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/664bc31d85868762caaedd3383c4bb4cf7ecb799.html