勾股定理及逆定理的练习题

6.如图所示，△ABC中，AB=26，BC=20，BC边上的中线AD=24，求AC．

类型一 已知两边求第三边

例1．在直角三角形中,若两边长分别为1cm，2cm ，则第三边长为_____________．

类型二 构造Rt△，求线段的长

例2．如图2，将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD折叠，使C点与A点重合，求EB的长．

例3．如图3，P为边长为2的正方形ABCD对角线AC上一动点，E为AD边中点，求EP+DP最小值.

例4、如图4，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是_____________ dm.

类型三 判别一个三角形是否是直角三角形

例5、如图5，正方形ABCD中，F为DC的中点，E为BC

上一点，且CE=BC．你能说明∠AFE是直角吗？

类型四、拼图

例6、在直线l上依次摆放着七个正方形(如图7)．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1＋S2＋S3＋S4＝_______．

类型五 实际运用

例6、由于过度采伐森林和破坏植被，我国部分地区频频遭受沙尘暴的侵袭.近日，A城气象局测得沙尘暴中心在A城的正西方向240km的B处，以每时12km的速度向北偏东 60度方向移动（如图7），距沙尘暴中心150km的范围为受影响区域. ①A城是否受到这次沙尘暴的影响？为什么？②若A城受到这次沙尘暴的影响，那么遭受影响的时间有多长？

三、达标检测，体验成功（时间10分钟，满分100分）

1．（18分）已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长是________________．

2．(18分)如图8为某楼梯,测得楼梯的长为5米,高3米,计划在楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少需要________________米．

3．（18分）一种盛饮料的圆柱形杯如图9，测得内部底面半径为2.5㎝，高为12㎝，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出4.6㎝，问吸管要做的长度为________________．

4．(22分)在直角△ABC中，斜边长为2，周长为2+，求△ABC的面积．

5．(24分)如图10,点A是一个为半径300m的圆形森林公园的中心，在森林公园附近有B、C两个村庄，在BC两个村庄之间修一条长1000m的笔直公路将两村连通，经测量得∠ABC=45°，∠ACB=30°，问次公路是否会穿过该森林公园？请通过计算进行说明.

练习一:

1．已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长________________．

2.某楼梯的侧面视图如图5，其中AB=4米，∠BAC=30°，∠C=90°，因某种活动要求铺设红色地毯，则在AB段楼梯所铺地毯的长度应为 ．

3．在数轴上作出表示的点．

4．三角形ABC中,AB=10,AC=17,BC边上的高线AD=8,求BC.

考点二、利用列方程求线段的长

例2．如图6，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？

练习二:如图7，小红用一张长方形纸片ABCD进行折纸，已知该纸片宽AB为8cm，长BC为10cm．当小红折叠时，顶点D落在BC边上的点F处（折痕为AE）．想一想，此时EC有多长？

考点三、判别一个三角形是否是直角三角形

例3、已知如图8，四边形ABCD中，∠B=90°，AB=4，BC=3，

CD=12，AD=13，求这个四边形的面积

练习三

1.若三角形的三别是a2+b2,2ab,a2-b2(a>b>0),则这个三角形是____________________．

2．若一个三角形的周长12cm,一边长为3cm,其他两边之差为cm,则这个三角形是______________________．

3．如图9，正方形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点，且CE=BC.你能说明∠AFE是直角吗？

考点四、与展开图有关的计算

例4、如图10,一个圆柱，底圆周长6cm，高4cm，一只蚂蚁沿外

壁爬行，要从A点爬到B点，则最少要爬行 cm

三、综合实践，能力提升

例5.如图11，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN=300，点A处有一所中学，AP=160米，假设拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否回受到噪声的影响？说明理由．如果受影响，已知拖拉机的速度为18千米/时，那么学校受影响的时间为多少秒？

四、达标检测，体验成功（时间10分钟，1-12每小题6分，满分100分）（可挑选一部分）

1．已知△ABC中，∠A= 2∠B= 3∠C，则它的三条边之比为（ 　 ）

A．1：1：2 B．1： ：2 C．1： ：2 D．1：4：1

2．已知直角三角形一个锐角60°，斜边长为1，那么此直角三角形的周长是（  　）

A．       B．3     C．        D．

3．下列各组线段中，能够组成直角三角形的是（ 　 ）

A．6，7，8    B．5，6，7    C．4，5，6    D．3，4，5

4．下列各命题的逆命题成立的是（  　）

A．全等三角形的对应角相等 B．如果两个数相等，那么它们的绝对值相等

C．两直线平行，同位角相等 D．如果两个角都是45°，那么这两个角相等

5．若等边△ABC的边长为2cm，那么△ABC的面积为（  　）

A． cm2    B．2 cm2    　　C．3 cm2     D．4cm2

6．在Rt△ABC中，已知其两直角边长a=1，b=3，那么斜边c的长为（　　　）．

7．如图12，等腰中，，AD是底边上的高，若AB=5cm,BC=6cm，则AD cm．

8.已知：如图，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB＝3,则图中阴影部分的面积为 ．

9．两只小鼹鼠在地下打洞，一只朝前方挖，每分钟挖8cm，另一只朝左挖，每分钟挖6cm，10分钟之后两只小鼹鼠相距（ 　）

A．50cm B．100cm C．140cm D．80cm

10．有两棵树，一棵高6米，另一棵高3米，两树相距4米．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了_______________米．

11．一座桥横跨一江，桥长12m，一般小船自桥北头出发，向正南方驶去，因水流原因到达南岸以后，发现已偏离桥南头5m，则小船实际行驶_______________m．

12.已知Rt△ABC的周长是，斜边上的中线长是2，则S△ABC＝____________

13．（13分）有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出1尺，斜放就恰好等于门的对角线长，已知门宽4尺．求竹竿高与门高．

14．(15分)如图13，台风过后，一希望小学的旗杆在离地某处断裂，

旗杆顶部落在离旗杆底部8m处，已知旗杆原长16m，你能求出

旗杆在离底部什么位置断裂的吗？请你试一试．

21. （6分）⑴请你至少用两种方法判断下列格点图中三角形ABC是直角三角形.（每相邻两个格点之间的距离都等于1个长度单位）⑵计算△ABC的面积.

25．（8分）如图，将矩形ABCD纸片沿直线AE折叠，顶点D恰好落在边BC上的点F处，已知AB=8cm,AD=10cm.

（1）请直接写出AF的长；

（2）求CE的长．

5.如图所示，有一个正方形水池，每边长4米，池中央长了一棵芦苇，

露出水面1米，把芦苇的顶端引到岸边，芦苇顶和岸边水面刚好相齐，

你能算出水池的深度吗？

13.如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？

17km

例6、由于过度采伐森林和破坏植被，我国部分地区频频遭受沙尘暴的侵袭.近日，A城气象局测得沙尘暴中心在A城的正西方向240km的B处，以每时12km的速度向北偏东 60度方向移动（如图7），距沙尘暴中心150km的范围为受影响区域. ①A城是否受到这次沙尘暴的影响？为什么？②若A城受到这次沙尘暴的影响，那么遭受影响的时间有多长？

3、如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A、B两个基地前去拦截，六分钟后同时到达C地将其拦截。已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西n°，问：甲巡逻艇的航向？

3.已知a，b，c为△ABC三边，且满足(a2－b2)(a2+b2－c2)＝0，则它的形状为（　　）

A.直角三角形 B.等腰三角形

C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形

【题型七】利用勾股定理求最值

1．（2009年北恩施）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点离点的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离是（　　　）

A． B．25 C． D．

参考答案：B.主要利用图形的展开、勾股定理.

2.一只蚂蚁从长为4cm、宽为3 cm，高是5 cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是____________cm。

参考答案：

7.如图1，一个梯子AB长2.5m，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5m，梯子滑动后停在DE的位置上，如图2，测得BD长为0.5m，求梯子顶端A下落了多少米．

参考答案：在Rt△ABC中，AB2＝AC2＋BC2

　　　　 ∴2.52＝AC2＋1.52，∴AC＝2（m）．

　　　　在Rt△EDC中，DE2＝CE2＋CD2，∴2.52＝CE2＋22

　　　　∴CE2＝2.25，∴CE＝1.5（m），

　　　　∴AE＝AC－CE＝2－1.5＝0.5（m）

　　　　 答：梯子顶端A下落了0.5m．

8.如图，矩形零件上两孔中心A、B的距离是多少（精确到个位）？

参考答案：43（提示：做矩形两边的垂线，构造Rt△ABC，利用勾股定理，

　　　　AB2＝AC2＋BC2＝192＋392＝1882，AB≈43）

9.（2009年湖北十堰）如图，在一次数学课外活动中，小明同学在点P处测得教学楼A位于北偏东60°方向，办公楼B位于南偏东45°方向．小明沿正东方向前进60米到达C处，此时测得教学楼A恰好位于正北方向，办公楼B正好位于正南方向．求教学楼A与办公楼B之间的距离（结果精确到0．1米）．（供选用的数据：≈1．414，≈1．732）

参考答案：由题意可知：∠ACP＝ ∠BCP＝ 90°，∠APC＝30°，∠BPC＝45°

在Rt△BPC中，∵∠BCP＝90°，∠BPC＝45°，∴

在Rt△ACP中，∵∠ACP＝90°，∠APC＝30°，∴

∴

≈60+20×1．732 ＝94．64≈94．6(米)

答：教学楼A与办公楼B之间的距离大约为94．6米．

10.如图，甲船以 16海里／时的速度离开港口 O向东南方向航行，乙船在同时同地向西南方向航行，已知他们离开港口一个半小时后分别到达B、A两处，且知AB长为30海里，求乙船的速度.

参考答案：12海里／时

11.树根下有一蛇洞，树高 15 m，树顶上的一只苍鹰，它看见一条蛇迅速向洞口爬去，与洞口的距离还有3倍树高时，鹰向蛇扑过去，如果鹰与蛇的速度相等收与蛇的路线都是直线段，请求出鹰向何处扑击才能恰好抓到蛇？

参考答案：20米

12. 甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，没有了水，需要寻找水源．为了不致于走散，他们用两部对话机联系，已知对话机的有效距离为15千米．早晨8：00甲先出发，他以6千米/时的速度向东行走，1小时后乙出发，他以5千米/时的速度向北行进，上午10：00，甲、乙二人相距多远？还能保持联系吗？

参考答案：如图，甲从上午8：00到上午10：00一共走了2小时，

走了12千米，即OA=12．

乙从上午9：00到上午10：00一共走了1小时，

走了5千米，即OB=5．

在Rt△OAB中，AB2=122十52＝169，∴AB=13，

　　　　因此，上午10：00时，甲、乙两人相距13千米．

∵15＞13， ∴甲、乙两人还能保持联系．

13.海中有一小岛A，如图，在该岛周围10海里内有暗礁，今有货船由西向东航行，开始在A岛南偏西45º的B处，往东航行20海里后达到该岛南偏西30º的C处，之后继续向东航行，你认为货船继续向东航行会有触礁的危险吗？计算后说明理由.

14.如图，点A是一个半径为300米的圆形森林公园的中心，在森林公园附近有B、C两个村庄，现要在B、C两村庄之间修一条长为1000米的笔直公路将两村连通.经测得∠ABC=45°，∠ACB=30°，问此公路是否会穿过该森林公园？请通过计算进行说明.

15．如图，A、B两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？

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