志英杯备考-2012年全国初中数学竞赛试题（含答案）

中国教育学会中学数学教学专业委员会2012年

全国初中数学竞赛试题

一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）

1．如果实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，那么代数式可以化简为（ ）．

（A）2c－a （B）2a－2b （C） －a （D）a

2．如果正比例函数y = ax（a ≠ 0）与反比例函数y =（b ≠0 ）的图象有两个交点，其中一个交点的坐标为（－3，－2），那么另一个交点的坐标为（ ）．

（A）（2，3） （B）（3，－2） （C）（－2，3） （D）（3，2）

3．如果为给定的实数，且，那么这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是（ ）．

（A）1 （B） （C） （D）

4．小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币．小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的n倍”；小玲对小倩说：“你若给我n元，我的钱数将是你的2倍”，其中n为正整数，则n的可能值的个数是（ ）．

（A）1 （B）2 （C）3 （D）4

5．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，3，4，5，6．掷两次骰子，设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0，1，2，3的概率为，则中最大的是（ ）．

（A） （B） （C） （D）

二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）

6．按如图的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值x”到“结果是否>487？”为一次操作. 如果操作进行四次才停止，那么x的取值范围是 .

7．如图，正方形ABCD的边长为2，E，F分别是AB，BC的中点，AF与DE，DB分别交于点M，N，则△DMN的面积是 .

8．如果关于x的方程x2+kx+k2－3k+= 0的两个实数根分别为，，那么 的值为 ．

9．2位八年级同学和m位九年级同学一起参加象棋比赛，比赛为单循环，即所有参赛者彼此恰好比赛一场．记分规则是：每场比赛胜者得3分，负者得0分；平局各得1分. 比赛结束后，所有同学的得分总和为130分，而且平局数不超过比赛局数的一半，则m的值为 .

10．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，AD = DC. 分别延长BA，CD，交点为E. 作BF⊥EC，并与EC的延长线交于点F. 若AE = AO，BC = 6，则CF的长为 .

三、解答题（共4题，每题20分，共80分）

11．已知二次函数，当时，恒有；关于x的方程的两个实数根的倒数和小于．求的取值范围．

12．如图，⊙O的直径为，⊙O 1过点，且与⊙O内切于点．为⊙O上的点，与⊙O 1交于点，且．点在上，且，BE的延长线与⊙O 1交于点，求证：△BOC∽△．

13．已知整数a，b满足：a－b是素数，且ab是完全平方数. 当a≥2012时，求a的最小值.

14．求所有正整数n，使得存在正整数，满足，且.

中国教育学会中学数学教学专业委员会2012年

全国初中数学竞赛试题参考答案

一、选择题

1．C 2．D 3．D 4．D

4、解：设小倩所有的钱数为x元、小玲所有的钱数为y元，均为非负整数. 由题设可得

消去x得 (2y－7)n = y+4，

2n =.

因为为正整数，所以2y－7的值分别为1，3，5，15，所以y的值只能为4，5，6，11．从而n的值分别为8，3，2，1；x的值分别为14，7，6，7．

5．D

解：掷两次骰子，其朝上的面上的两个数字构成的有序数对共有36个，其和除以4的余数分别是0，1，2，3的有序数对有9个，8个，9个，10个，所以，因此最大．

二、填空题

6．7＜x≤19

解：前四次操作的结果分别为

3x－2，3(3x－2)－2 = 9x－8，3(9x－8)－2 = 27x－26，3(27x－26)－2 = 81x－80.

由已知得 27x－26≤487，

81x－80＞487. 解得 7＜x≤19.

7．8

解：连接DF，记正方形的边长为2. 由题设易知△∽△，所以

，

由此得，所以.

在Rt△ABF中，因为，所以

，

于是 .

由题设可知△ADE≌△BAF，所以 ，

.

于是 ，

，

.

又，所以.

因为，所以.

8．

解：根据题意，关于x的方程有

=k2－4≥0，

由此得 (k－3)2≤0．

又(k－3)2≥0，所以(k－3)2=0，从而k=3. 此时方程为x2+3x+=0，解得x1=x2=.

故==．

9．8

解：设平局数为，胜（负）局数为，由题设知

，

由此得0≤b≤43.

又 ，所以. 于是

0≤≤43，

87≤≤130，

由此得 ，或.

当时，；当时，，

，不合题设.

故．

10．

解：如图，连接AC，BD，OD.

由AB是⊙O的直径知∠BCA =∠BDA = 90°.

依题设∠BFC = 90°，四边形ABCD是⊙O

的内接四边形，所以 ∠BCF =∠BAD,

所以 Rt△BCF∽Rt△BAD ，因此 .

因为OD是⊙O的半径，AD = CD，所以OD垂直平分AC，OD∥BC，

于是 . 因此.

由△∽△，知．因为，

所以 ，BA=AD ，故 .

三、解答题

11．解： 因为当时，恒有，所以，

即，所以． ………（5分）

当时，≤；当时，≤，即≤，

且 ≤，解得≤． ………（10分）

设方程的两个实数根分别为，由一元二次方程根与系数的关系得

．

因为，所以，

解得，或．因此． …………（20分）

12． 证明：连接BD，因为为的直径，所以．又因为，所以△CBE是等腰三角形． …………（5分）

设与交于点，连接OM，则．又因为，所以

． …………（15分）

又因为分别是等腰△，等腰△的顶角，所以△BOC∽△．………（20分）

13．解：设a－b = m（m是素数），ab = n2（n是正整数）.

因为 (a+b)2－4ab = (a－b)2，

所以 (2a－m)2－4n2 = m2，

(2a－m+2n)(2a－m－2n) = m2. ………（5分）

因为2a－m+2n与2a－m－2n都是正整数，且2a－m+2n＞2a－m－2n (m为素数)，所以

2a－m+2nm 2，2a－m－2n1.

解得 a，.

于是 = a－m. …………（10分）

又a≥2012，即≥2012.

又因为m是素数，解得m≥89. 此时，a≥=2025.

当时，，，.

因此，a的最小值为2025. …………（20分）

14．解：由于都是正整数，且，所以

≥1，≥2，…，≥2012．

于是 ≤．…………（10分）

当时，令，则

.…………（15分）

当时，其中≤≤，令

，则

．

综上，满足条件的所有正整数n为． …………（20分）

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/64350f1f1711cc7931b7168c.html