固安县高中2018-2019学年高二下学期第一次月考试卷数学

固安县高中2018-2019学年高二下学期第一次月考试卷数学

一、选择题

1． 设集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为(　　)。

A3

B4

C5

D6

2． 若复数z=（其中a∈R，i是虚数单位）的实部与虚部相等，则a=（ ）

A．3 B．6 C．9 D．12

3． 函数f（x）=﹣x的图象关于（ ）

A．y轴对称 B．直线y=﹣x对称 C．坐标原点对称 D．直线y=x对称

4． 半径R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为（ ）

A．πR3 B．πR3 C．πR3 D．πR3

5． 如图Rt△O′A′B′是一平面图形的直观图，斜边O′B′=2，则这个平面图形的面积是（ ）

A． B．1 C． D．

6． 命题“，使得”是“”成立的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

7． 若命题p：∀x∈R，2x2﹣1＞0，则该命题的否定是（ ）

A．∀x∈R，2x2﹣1＜0 B．∀x∈R，2x2﹣1≤0

C．∃x∈R，2x2﹣1≤0 D．∃x∈R，2x2﹣1＞0

8． 在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E为底面ABCD上的动点．若三棱锥B﹣D1EC的表面积最大，则E点位于（ ）

A．点A处 B．线段AD的中点处

C．线段AB的中点处 D．点D处

9． 高三年上学期期末考试中，某班级数学成绩的频率分布直方图如图所示，数据分组依次如下：[70，90），[90，110），[100，130），[130，150），估计该班级数学成绩的平均分等于（ ）

A．112 B．114 C．116 D．120

10．函数f（x）=tan（2x+），则（ ）

A．函数最小正周期为π，且在（﹣，）是增函数

B．函数最小正周期为，且在（﹣，）是减函数

C．函数最小正周期为π，且在（，）是减函数

D．函数最小正周期为，且在（，）是增函数

11．如右图，在长方体中，=11，=7，=12，一质点从顶点A射向点，遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理），将次到第次反射点之间的线段记为，，将线段竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是（   ）

A

B

C

D

12．已知圆过定点且圆心在抛物线上运动，若轴截圆所得的弦为，则弦长

等于（ ）

A．2 B．3 C．4 D．与点位置有关的值

【命题意图】本题考查了抛物线的标准方程、圆的几何性质，对数形结合能力与逻辑推理运算能力要求较高，难度较大.

二、填空题

13．已知函数y=f（x），x∈I，若存在x0∈I，使得f（x0）=x0，则称x0为函数y=f（x）的不动点；若存在x0∈I，使得f（f（x0））=x0，则称x0为函数y=f（x）的稳定点．则下列结论中正确的是　　　　　　．（填上所有正确结论的序号）

①﹣，1是函数g（x）=2x2﹣1有两个不动点；

②若x0为函数y=f（x）的不动点，则x0必为函数y=f（x）的稳定点；

③若x0为函数y=f（x）的稳定点，则x0必为函数y=f（x）的不动点；

④函数g（x）=2x2﹣1共有三个稳定点；

⑤若函数y=f（x）在定义域I上单调递增，则它的不动点与稳定点是完全相同．

14．计算：×5﹣1=　　．

15．已知点F是抛物线y2=4x的焦点，M，N是该抛物线上两点，|MF|+|NF|=6，M，N，F三点不共线，则△MNF的重心到准线距离为　　　　　　．

16．已知函数为定义在区间[﹣2a，3a﹣1]上的奇函数，则a+b=　　　　　　．

17．已知（ax+1）5的展开式中x2的系数与的展开式中x3的系数相等，则a=　　　　　　．

18．【2017-2018第一学期东台安丰中学高三第一次月考】若函数在其定义域上恰有两个零点，则正实数的值为______．

三、解答题

19．已知复数z1满足（z1﹣2）（1+i）=1﹣i（i为虚数单位），复数z2的虚部为2，且z1z2是实数，求z2．

20．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|．

（I）若a=﹣1，解不等式f（x）≥3；

（II）如果∀x∈R，f（x）≥2，求a的取值范围．

21．某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|＜）在某一个周期内的图象时，列表并填入的部分数据如表：

（Ⅰ）请求出表中的x1，x2，x3的值，并写出函数f（x）的解析式；

（Ⅱ）将f（x）的图象向右平移个单位得到函数g（x）的图象，若函数g（x）在区间[0，m]（3＜m＜4）上的图象的最高点和最低点分别为M，N，求向量与夹角θ的大小．

22．（本小题满分12分）111]

在如图所示的几何体中，是的中点，.

（1）已知，，求证：平面；

（2）已知分别是和的中点，求证： 平面.

23．已知等差数列{an}，满足a3=7，a5+a7=26．

（Ⅰ）求数列{an}的通项an；

（Ⅱ）令bn=（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Sn．

24．如图，四边形ABCD内接于⊙O，过点A作⊙O的切钱EP交CB 的延长线于P，己知∠PAB=25°．

（1）若BC是⊙O的直径，求∠D的大小；

（2）若∠DAE=25°，求证：DA2=DC•BP．

25．已知y=f（x）的定义域为[1，4]，f（1）=2，f（2）=3．当x∈[1，2]时，f（x）的图象为线段；当x∈[2，4]时，f（x）的图象为二次函数图象的一部分，且顶点为（3，1）．

（1）求f（x）的解析式；

（2）求f（x）的值域．

26．求点A（3，﹣2）关于直线l：2x﹣y﹣1=0的对称点A′的坐标．

固安县高中2018-2019学年高二下学期第一次月考试卷数学（参考答案）

一、选择题

1． 【答案】B

【解析】由题意知x＝a＋b，a∈A，b∈B，则x的可能取值为5,6,7,8.因此集合M共有4个元素，故选B

2． 【答案】A

【解析】解：复数z===．

由条件复数z=（其中a∈R，i是虚数单位）的实部与虚部相等，得，18﹣a=3a+6，

解得a=3．

故选：A．

【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，考查计算能力．

3． 【答案】C

【解析】解：∵f（﹣x）=﹣+x=﹣f（x）

∴是奇函数，所以f（x）的图象关于原点对称

故选C．

4． 【答案】A

【解析】解：2πr=πR，所以r=，则h=，所以V=

故选A

5． 【答案】D

【解析】解：∵Rt△O'A'B'是一平面图形的直观图，斜边O'B'=2，

∴直角三角形的直角边长是，

∴直角三角形的面积是，

∴原平面图形的面积是1×2=2

故选D．

6． 【答案】C

7． 【答案】C

【解析】解：命题p：∀x∈R，2x2﹣1＞0，

则其否命题为：∃x∈R，2x2﹣1≤0，

故选C；

【点评】此题主要考查命题否定的定义，是一道基础题；

8． 【答案】A

【解析】解：如图，

E为底面ABCD上的动点，连接BE，CE，D1E，

对三棱锥B﹣D1EC，无论E在底面ABCD上的何位置，

面BCD1 的面积为定值，

要使三棱锥B﹣D1EC的表面积最大，则侧面BCE、CAD1、BAD1 的面积和最大，

而当E与A重合时，三侧面的面积均最大，

∴E点位于点A处时，三棱锥B﹣D1EC的表面积最大．

故选：A．

【点评】本题考查了空间几何体的表面积，考查了数形结合的解题思想方法，是基础题．

9． 【答案】B

【解析】解：根据频率分布直方图，得；

该班级数学成绩的平均分是

=80×0.005×20+100×0.015×20

+120×0.02×20+140×0.01×20

=114．

故选：B．

【点评】本题考查了根据频率分布直方图，求数据的平均数的应用问题，是基础题目．

10．【答案】D

【解析】解：对于函数f（x）=tan（2x+），它的最小正周期为，

在（，）上，2x+∈（，），函数f（x）=tan（2x+）单调递增，

故选：D．

11．【答案】C

【解析】根据题意有：

A的坐标为：（0，0，0），B的坐标为（11，0，0），C的坐标为（11，7，0），D的坐标为（0，7，0）；

A1的坐标为：（0，0，12），B1的坐标为（11，0，12），C1的坐标为（11，7，12），D1的坐标为（0，7，12）；

E的坐标为（4，3，12）

（1）l1长度计算

所以：l1=|AE|==13。

（2）l2长度计算

将平面A1B1C1D1沿Z轴正向平移AA1个单位，得到平面A2B2C2D2；显然有：

A2的坐标为：（0，0，24），B2的坐标为（11，0，24），C2的坐标为（11，7，24），D2的坐标为（0，7，24）；

显然平面A2B2C2D2和平面ABCD关于平面A1B1C1D1对称。

设AE与的延长线与平面A2B2C2D2相交于：E2（xE2，yE2，24）

根据相识三角形易知：

xE2=2xE=2×4=8，

yE2=2yE=2×3=6，

即：E2（8，6，24）

根据坐标可知，E2在长方形A2B2C2D2内。

12．【答案】A

【解析】过作垂直于轴于，设，则，在中，，为圆的半径，为的一半，因此

又点在抛物线上，∴，∴，∴.

二、填空题

13．【答案】　①②⑤　

【解析】解：对于①，令g（x）=x，可得x=或x=1，故①正确；

对于②，因为f（x0）=x0，所以f（f（x0））=f（x0）=x0，即f（f（x0））=x0，故x0也是函数y=f（x）的稳定点，故②正确；

对于③④，g（x）=2x2﹣1，令2（2x2﹣1）2﹣1=x，因为不动点必为稳定点，所以该方程一定有两解x=﹣，1，

由此因式分解，可得（x﹣1）（2x+1）（4x2+2x﹣1）=0

还有另外两解，故函数g（x）的稳定点有﹣，1，，其中是稳定点，但不是不动点，故③④错误；

对于⑤，若函数y=f（x）有不动点x0，显然它也有稳定点x0；

若函数y=f（x）有稳定点x0，即f（f（x0））=x0，设f（x0）=y0，则f（y0）=x0

即（x0，y0）和（y0，x0）都在函数y=f（x）的图象上，

假设x0＞y0，因为y=f（x）是增函数，则f（x0）＞f（y0），即y0＞x0，与假设矛盾；

假设x0＜y0，因为y=f（x）是增函数，则f（x0）＜f（y0），即y0＜x0，与假设矛盾；

故x0=y0，即f（x0）=x0，y=f（x）有不动点x0，故⑤正确．

故答案为：①②⑤．

【点评】本题考查命题的真假的判断，新定义的应用，考查分析问题解决问题的能力．

14．【答案】　9　．

【解析】解：×5﹣1=×=×=（﹣5）×（﹣9）×=9，

∴×5﹣1=9，

故答案为：9．

15．【答案】　　．

【解析】解：∵F是抛物线y2=4x的焦点，

∴F（1，0），准线方程x=﹣1，

设M（x1，y1），N（x2，y2），

∴|MF|+|NF|=x1+1+x2+1=6，

解得x1+x2=4，

∴△MNF的重心的横坐标为，

∴△MNF的重心到准线距离为．

故答案为：．

【点评】本题考查解决抛物线上的点到焦点的距离问题，利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离．

16．【答案】　2　．

【解析】解：∵f（x）是定义在[﹣2a，3a﹣1]上奇函数，

∴定义域关于原点对称，

即﹣2a+3a﹣1=0，

∴a=1，

∵函数为奇函数，

∴f（﹣x）==﹣，

即b•2x﹣1=﹣b+2x，

∴b=1．

即a+b=2，

故答案为：2．

17．【答案】　　．

【解析】解：（ax+1）5的展开式中x2的项为=10a2x2，x2的系数为10a2，

与的展开式中x3的项为=5x3，x3的系数为5，

∴10a2=5，

即a2=，解得a=．

故答案为：．

【点评】本题主要考查二项式定理的应用，利用展开式的通项公式确定项的系数是解决本题的关键．

18．【答案】

【解析】考查函数，其余条件均不变，则：

当x⩽0时,f（x）=x+2x，单调递增，

f（−1）=−1+2−1<0,f（0）=1>0，

由零点存在定理,可得f（x）在（−1,0）有且只有一个零点；

则由题意可得x>0时,f（x）=ax−lnx有且只有一个零点，

即有有且只有一个实根。

令，

当x>e时,g′（x）<0,g（x）递减;

当0<x<e时,g′（x）>0,g（x）递增。

即有x=e处取得极大值,也为最大值,且为，

如图g（x）的图象,当直线y=a（a>0）与g（x）的图象

只有一个交点时,则.

回归原问题，则原问题中.

点睛： （1）求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f（f（a））的形式时，应从内到外依次求值．

（2）当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．

三、解答题

19．【答案】

【解析】解：

∴z1=2﹣i

设z2=a+2i（a∈R）

∴z1z2=（2﹣i）（a+2i）=（2a+2）+（4﹣a）i

∵z1z2是实数

∴4﹣a=0解得a=4

所以z2=4+2i

【点评】本题考查复数的除法、乘法运算法则、考查复数为实数的充要条件是虚部为0．

20．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）当a=﹣1时，f（x）=|x+1|+|x﹣1|，

由f（x）≥3即|x+1|+|x﹣1|≥3

当x≤﹣1时，不等式可化为﹣x﹣1+1﹣x≥3，解得x≤﹣；

当﹣1＜x＜1时，不等式化为x+1+1﹣x≥3，不可能成立，即x∈∅；

当x≥1时，不等式化为x+1+x﹣1≥3，解得x≥．

综上所述，f（x）≥3的解集为（﹣∞，﹣]∪[，+∞）；

（Ⅱ）由于|x﹣1|+|x﹣a|≥|（x﹣1）﹣（x﹣a）|=|a﹣1|，

则f（x）的最小值为|a﹣1|．

要使∀x∈R，f（x）≥2成立，

则|a﹣1|≥2，解得a≥3或a≤﹣1，

即a的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）．

【点评】本题考查绝对值不等式的解法，考查不等式恒成立问题转化为求函数的最值，运用分类讨论和绝对值不等式的性质，是解题的关键．

21．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）由条件知，，，

∴，，

∴，．

（Ⅱ）∵函数f（x）的图象向右平移个单位得到函数g（x）的图象，

∴，

∵函数g（x）在区间[0，m]（m∈（3，4））上的图象的最高点和最低点分别为M，N，

∴最高点为，最低点为，∴，，

∴，又0≤θ≤π，∴．

【点评】本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，向量夹角公式的应用，属于基本知识的考查．

22．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.

【解析】

试题分析：（1）根据,所以平面就是平面,连接DF,AC是等腰三角形ABC和ACF的公共底边，点D是AC的中点，所以,,即证得平面的条件；（2）要证明线面平行，可先证明面面平行，取的中点为，连接，，根据中位线证明平面平面,即可证明结论.

试题解析：证明：（1）∵，∴与确定平面.

如图①，连结. ∵，是的中点，∴.同理可得.

又，平面，∴平面，即平面.

考点：1.线线，线面垂直关系；2.线线，线面，面面平行关系.

【方法点睛】本题考查了立体几何中的平行和垂直关系，属于中档题型，重点说说证明平行的方法，当涉及证明线面平行时，一种方法是证明平面外的线与平面内的线平行，一般是构造平行四边形或是构造三角形的中位线，二种方法是证明面面平行，则线面平行，因为直线与直线外一点确定一个平面，所以所以一般是在某条直线上再找一点，一般是中点，连接构成三角形，证明另两条边与平面平行.

23．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）设{an}的首项为a1，公差为d，

∵a5+a7=26

∴a6=13，，

∴an=a3+（n﹣3）d=2n+1；

（Ⅱ）由（1）可知，

∴．

24．【答案】

【解析】解：（1）∵EP与⊙O相切于点A，∴∠ACB=∠PAB=25°，

又BC是⊙O的直径，∴∠ABC=65°，

∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ABC+∠D=180°，

∴∠D=115°．

证明：（2）∵∠DAE=25°，∴∠ACD=∠PAB，∠D=∠PBA，

∴△ADC∽△PBA，∴，

又DA=BA，∴DA2=DC•BP．

25．【答案】

【解析】解：（1）当x∈[1，2]时f（x）的图象为线段，

设f（x）=ax+b，又有f（1）=2，f（2）=3

∵a+b=2，2a+b=3，

解得a=1，b=1，f（x）=x+1，

当x∈[2，4]时，f（x）的图象为二次函数的一部分，

且顶点为（3，1），

设f（x）=a（x﹣3）2+1，又f（2）=3，

所以代入得a+1=3，a=2，f（x）=2（x﹣3）2+1．

（2）当x∈[1，2]，2≤f（x）≤3，

当x∈[2，4]，1≤f（x）≤3，

所以1≤f（x）≤3．

故f（x）的值域为[1，3]．

26．【答案】

【解析】解：设点A（3，﹣2）关于直线l：2x﹣y﹣1=0的对称点A′的坐标为（m，n），

则线段A′A的中点B（，），

由题意得B在直线l：2x﹣y﹣1=0上，故 2×﹣﹣1=0 ①．

再由线段A′A和直线l垂直，斜率之积等于﹣1得 ×=﹣1 ②，

解①②做成的方程组可得：

m=﹣，n=，

故点A′的坐标为（﹣，）．

【点评】本题考查求一个点关于直线的对称点的坐标的方法，注意利用垂直及中点在轴上两个条件．

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/63af3c14ed3a87c24028915f804d2b160a4e8665.html