关于椭圆三个定义教学的一点思考

关于椭圆三个定义教学的一点思考

现行高中数学教材是类比圆的定义，利用一根绳子固定两端和一支铅笔给出椭圆的画法，让学生从中观察并提炼出椭圆的第一定义，然后推导椭圆的方程。这样的处理相当简洁且符合知识的逻辑体系，但从椭圆定义教学的现状和困惑中我们看到：学生对于椭圆的第一定义与圆锥曲线的名字不能统一起来，且繁琐的标准方程的推到过程，让蕴含在定义中的对称美与几何意义荡然无存，导致所学知识显得支离破碎。针对以上现状与困境，本篇文章旨在简化标准方程的推到过程，并从推导的过程中挖掘出椭圆三个定义，凸显它们之间的内在联系，供老师们教学参考.

椭圆的第一定义：

把平面内与两个定点39a427e0b250982dd0fab7c404b4e2c2.png ，162b23614f3de15ba9c77440d9b75780.png的距离的和等于常数e36314e624d2b2ca257e1f1ecb381f93.png（大于dcc68103ca69c6284b8d234393d517aa.png）的点的轨迹叫做椭圆.集合表示98d4d9f30d928411e4c7a7c2c5613f7e.png

由选修2—1课本39页根据椭圆的几何特征，建立适当的直角坐标系，由椭圆的集合表示，列出等式。直接或移项后平方，都要平方计算两次，计算较繁琐，且纯代数计算体会不到定义内蕴含的对称美及几何意义.其实在这里教师可以启发学生观察：

53c6b653327426f6ba1cf651fc568c7b.png 7acce3193127d4b71a6c2b140c22dc95.png

方程7acce3193127d4b71a6c2b140c22dc95.png式左边的特征，由表达式形式上的对称性可去猜想

fe1eb96c19281a02e24eb769e2dbe981.png

自然想到对 7acce3193127d4b71a6c2b140c22dc95.png式分子有理化处理如下：

d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png就可得到对称式的结果e4b00b4a65a415cf9ebaa9f83719c071.png式即

2ba8bf6e3307d0b84bae8a090f3fecb6.png e4b00b4a65a415cf9ebaa9f83719c071.png

由（1）—（2）可得

093b4f9b8cad4b7f7ce1700bc2fcc869.png 38560d3d403d928e8b6a1e4e8f9e93e1.png

对于38560d3d403d928e8b6a1e4e8f9e93e1.png式两边只进行一次平方计算后即得到教科书上的等式0585f32aa0f9acd623d1cc111b0ffb18.png fad3d57b4bef0f4ad55dff54679164a3.png

对上式两边同时除于01b15570b79465ef5c026bd9affae3d2.png可得到等式

e9d0b6ba021fc662c03c2510e3b2c75b.png 4e1d8cddfa0d7c2d9f336c22517f104f.png

再令33b62370f2d1c1c5ef540ca68d569ca0.png，则得到椭圆的标准方程e9d0b6ba021fc662c03c2510e3b2c75b.png

椭圆的第二定义：

把平面内到一定点800618943025315f869e4e1f09471012.png的距离与到一定直线2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png的距离之比为一常数4f852a19d58339c40faa001a136a55a5.png点的轨迹叫做椭圆.集合表示c25700c0b23ab39ba722340e42b85044.png

由选修2—1课本47页的例六，给学生归纳出椭圆的第二定义。其实可以由38560d3d403d928e8b6a1e4e8f9e93e1.png式直接推导出椭圆的第二定义.

185c5e954f3fa06c14d5c10756b07ff5.png即得到d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png

这个式子的几何意义为：一动点到一定点的距离与到一定直线的距离之比为一常数.即为椭圆的第二定义。

椭圆的第三定义：

把平面内到两个定点e283f48f6f3d4077546b2b697c3eebad.png，17b99e166258f650036939b57689bdec.png的斜率乘积为一个常数86c9080e75afa07a8e2676b8faa01d6f.png点的轨迹叫做椭圆.集合表示55da24152bc546970f0cf22d4765591b.png

教学时一般由选修2—1课本41页的例三，推广到一般情形给学生归纳出椭圆的第三定义。其实也可以由4e1d8cddfa0d7c2d9f336c22517f104f.png式直接推导出椭圆的第三定义.

对于4e1d8cddfa0d7c2d9f336c22517f104f.png式移项通分变形可得到等式

b2b596f1d22305fbe42c9bdb66a26e21.png

两边再同时除于a4791fd2e334993453b00d036ab792af.png 得到3c644e6614359de004acc15b6d0100fc.png

对上式右边因式分解得到d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png

这个式子的几何意义为：平面内的动点到两个定点的斜率乘积为一个常数即椭圆第三定义.

对于椭圆的第三定义中为了保证两条线的斜率均存在，动点当然不能取两个定点。故经常把这个定义当成椭圆的一个性质来应用，并且可以对它进行推广如下：

设6257f9ce3a58f16d62b9663f5da6dc0a.png，7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png为椭圆5e024d729d9a8c0c6b66803cdf7730ca.png上关于原点对称的任意两点.任取椭圆E上的一点6dfa81a9ee264b1c870d531ed02c7b16.png，若8ce4b16b22b58894aa86c421e8759df3.png，8ce4b16b22b58894aa86c421e8759df3.png均存在，则 d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png8e4aa17e44fa40d5b101350a5f96d3a3.png为定值.

证明：由题可得614d26ebe5561a1ac173b21969bf0dc6.png（1）-（2）得：475b110aff72ffe4a21f40d6897bf6d8.png即d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png而13131b1108a05af8bde8d96964dbd945.png

从而862f85647088c9976a4a16b9c55d139f.png；故得证.

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/6396230d14fc700abb68a98271fe910ef12daeed.html