2008年普通高等学校招生全国统一考试福建卷数学试题（文科）全解全析

中学学科网2008年普通高等学校招生全国统一考试福建卷

数学试题（文科）全解全析

解析作者：李辉 

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

（1）若集合A={x|x2-x＜0},B={x|0＜x＜3},则A∩B等于

A.{x|0＜x＜1} B.{x|0＜x＜3}

C.{x|1＜x＜3} D.￠

【标准答案】A
【试题解析】A={x|0<x<1}A∩B={x|0＜x＜1}

【高考考点】简单的集合的运算.

【易错提醒】概念不清会导致部分同学失分.

【学科网备考提示】集合在高考的考查是以基础题为主，题目比较容易，复习中我们应从基础出发。

（2）“a=1”是“直线x+y=0和直线x-ay=0互相垂直”的

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

【标准答案】C
【试题解析】验证即可.

【高考考点】本题主要考查分式不等式及四种命题

【易错提醒】很容易混淆充分条件和必要条件的推导方向即那个为条件那个为结论.

【学科网备考提示】一定要劳记充分条件或者必要条件是由谁推谁?特别注意“A的充分不必要条件是（）”题型.

（3）设是等差数列，若a2=3,a7=13,则数列{an}前8项的和为

A.128 B.80 C.64 D.56

（4）函数f(x)=x3+sinx+1(x∈R)，若f(a)=2,则f(-a)的值为

A.3 B.0 C.-1 D.-2

【标准答案】B
【试题解析】注意到为奇函数，又故即.

【高考考点】函数奇偶性的应用.

【易错提醒】往往有的考生不注意观察函数在形式上的特征以至于找不到问题的切入点.

【学科网备考提示】在备考过程中要多引导学生自己发现并及时总结.

(5)某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为，那么播下3粒种子恰有2粒发芽的概率是

A. B.

C. D.

【标准答案】C
【试题解析】由

【高考考点】独立重复实验的判断及计算

【易错提醒】容易记成二项展开式的通项.

【学科网备考提示】请考生注意该公式与二项展开式的通项的区别,所以要强化公式的记忆.

(6)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为

A. B. C. D.

【标准答案】D
【试题解析】连,则为所成角,下面就是计算了.

【高考考点】线面角的做法

【易错提醒】有的考生可能会误认为线面角就是.

【学科网备考提示】主要是要一个线面垂直关系,所以只要做到了这点对于计算只要考生认真就一定没有问题.

（7）函数y=cosx(x∈R)的图象向左平移个单位后，得到函数y=g(x)的图象，则g(x)的解析式为

A.-sinx B.sinx C.-cosx D.cosx

【标准答案】A
【试题解析】

【高考考点】三角函数的平移变换.

【易错提醒】按向量平移要注意方向.

【学科网备考提示】劳记三角函数诱导公式及平移变换法则.对于三角这一部分考纲应该要求是在降低,所以一定要把握基础.

(8)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a2+c2-b2=ac,则角B的值为

A. B. C.或 D.或

【标准答案】A
【试题解析】由得即

,又在△中所以B为.

【高考考点】余弦定理的应用

【易错提醒】忽略三角形中的条件,所以就有可能出现两个答案.

【学科网备考提示】注意结果取舍问题,在平时的练习过程中一定要注意此点.

(9)某班级要从4名男士、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为

A.14 B.24 C.28 D.48

【标准答案】A
【试题解析】由于只少一各女生所以考虑用间接法即,还可考虑直接法.

【高考考点】简单的排列组合

【易错提醒】有些同学用直接法,往往会分类不全.

【学科网备考提示】建议如果下面考虑太复杂的题目最好用间接法,以避免直接的分类不全情况出现.

(10)若实数x、y满足则的取值范围是

A.（0，2） B.（0，2） C.(2,+∞) D.[2，+∞)

【标准答案】D
【试题解析】可看做可行域中的点与原点构成直线的低斜率.

【高考考点】简单的线性规划及目标函数的几何意义.

【易错提醒】对于可行域的确定.

【学科网备考提示】对于线性规划考纲中也明确说明只要掌握简单的线性目标函数即可,所以这部分不需要过多的提高.

（11）如果函数y=f(x)的图象如右图，那么

导函数y=f(x)的图象可能是

【标准答案】A
【试题解析】由原函数的单调性可以得到导函数的正负情况依次是正→负→正→负,所以只有答案A满足.

【高考考点】导函数的意义

【易错提醒】导函数的概念不清,不知道两函数之间的关系.

【学科网备考提示】建议让学生在最后一轮一定要回归课本,抓课本基本概念.

（12）双曲线（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2，若P为其上一点，且|PF1|=2|PE2|，则双曲线离心率的取值范围为

A.（1，3） B. C.（3，+∞） D. [3，+∞]

【标准答案】B
【试题解析】可用三角形的两边和大于第三边,及两边差小于第三边,但要注意前者可以取到等号成立,因为可以三点一线. 也可用焦半径公式确定a与c的关系

【高考考点】关于离心率范围的确定.

【易错提醒】有些同学想直接算出e,然后再通过确定其中参数的范围从而确定e, 这是不可能的,既然题目要范畴所以一定要想办法构造不等式才可以.

【学科网备考提示】可以在平时的教学过程中总结常见的有关离心率的求法及范围的求法.

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置.

（13）（x+）9展开式中x3的系数是 .（用数字作答）

【标准答案】84
【试题解析】,令,

【高考考点】二项展开式的特定项的求法.

【易错提醒】公式记不清楚导致计算错误.

【学科网备考提示】劳记公式.

（14）若直线3x+4y+m=0与圆x2+y2-2x+4y+4=0没有公共点，则实数m的取值范围是 .

【标准答案】
【试题解析】此圆的圆心为(-1.2),因为要没有公共点,所以根据圆心到直线的距离大于半径即可;或者可以联立方程根据二次函数的.

【高考考点】直线与圆的位置关系的判断.

【易错提醒】本题出现最多的问题应该是计算上的问题,我班上有个平时相当不错的学生就跟我说他就算错了.哭死…

【学科网备考提示】平时要强化基本功的练习.因为使用新课标后他们小学的计算都是按计算器过来的,而高考又不能用,所以有的学生计算能力就相当差了.

（15）若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是 .

【标准答案】9　
【试题解析】依题可以构造一个正方体,其体对角线就是外接球的直径.

,

【高考考点】立几中的构造法及球的表面积计算.

【易错提醒】体红外线应该是外接球的直径,往往有的学生就当成半径来算导致错误.

【学科网备考提示】对于有关外接球的问题要注意归纳几种的典型的构造方法,再比如正四面体的外接球的构造法,还有对棱相等的构造方法等.

（16）设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a、b∈P，都有a+b、a-b、ab、∈P（除数b≠0）则称P是一个数域，例如有理数集Q是数域，有下列命题：

①数域必含有0，1两个数；

②整数集是数域；

③若有理数集QM,则数集M必为数域;

④数域必为无限集.

其中正确的命题的序号是 .（把你认为正确的命题的序号都填上）

【标准答案】①④
【试题解析】要满足对四种运算的封闭,只有一个个来检验，如②对除法如不满足，所以排除；对③当M中多一个元素则会出现所以它也不是一个数域；①④成立.

【高考考点】新定义概念的理解能力.

【易错提醒】很多学生考完后对我说④也不是,他的例子是殊不知，导致不应有的失分.

【学科网备考提示】

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

（17）（本小题满分12分）

已知向量,且

(Ⅰ)求tanA的值；

(Ⅱ)求函数R)的值域.

【标准答案】

解：（Ⅰ）由题意得

m·n=sinA-2cosA=0,

因为cosA≠0,所以tanA=2.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知tanA=2得

因为xR,所以.

当时，f(x)有最大值，

当sinx=-1时，f(x)有最小值-3，

所以所求函数f(x)的值域是

【试题解析】

【高考考点】本小题主要考查平面向量的数量积计算、三角函数的基本公式、三角恒等变换、一元二次函数的最值等基本知识，考查运算能力.属于简单题.

【易错提醒】不注意正弦函数的有界性.

【学科网备考提示】第二问属于二次函数在区间上的值域问题,要注意结合单调性在区间上取最值.

（18）（本小题满分12分）

三人独立破译同一份密码.已知三人各自破译出密码的概率分别为且他们是否破译出密码互不影响.

(Ⅰ)求恰有二人破译出密码的概率；

(Ⅱ)“密码被破译”与“密码未被破译”的概率哪个大？说明理由.

【标准答案】解：记“第i个人破译出密码”为事件A1(i=1,2,3)，依题意有

且A1，A2，A3相互独立.

（Ⅰ）设“恰好二人破译出密码”为事件B，则有

B＝A1·A2··A1··A3+·A2·A3且A1·A2·，A1··A3，·A2·A3

彼此互斥

于是P(B)=P(A1·A2·)+P（A1··A3）+P（·A2·A3）

　　　　＝

　　　　＝.

答：恰好二人破译出密码的概率为.

（Ⅱ）设“密码被破译”为事件C，“密码未被破译”为事件D.

D＝··，且，，互相独立，则有

P（D）＝P（）·P（）·P（）＝＝.

而P（C）＝1-P（D）＝，故P（C）＞P（D）.

答：密码被破译的概率比密码未被破译的概率大.

【试题解析】

【高考考点】本小题主要考查概率的基本知识与分类思想，考查运用数学知识分析问题、解决问题的能力.满分12分.

【易错提醒】对于恰有二人破译出密码的事件分类不清.

【学科网备考提示】对于概率大家都知道要避免会而不全的问题,上述问题就是考虑不周全所造成的,所以建议让学生一定注重题干中的每一句话,每一个字的意思.只有这样才能做到满分.

（19）（本小题满分12分）

如图，在四棱锥P—ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA＝PD=,底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2，O为AD中点.

(Ⅰ)求证:PO⊥平面ABCD；

(Ⅱ)求异面直线PB与CD所成角的余弦值；

(Ⅲ)求点A到平面PCD的距离.

【标准答案】解法一：

（Ⅰ）证明：在△PAD卡中PA＝PD，O为AD中点，所以PO⊥AD.

又侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO平面PAD，

所以PO⊥平面ABCD.

（Ⅱ）连结BO，在直角梯形ABCD中，BC∥AD,AD=2AB=2BC，

有OD∥BC且OD＝BC，所以四边形OBCD是平行四边形，

所以OB∥DC.

由（Ⅰ）知PO⊥OB，∠PBO为锐角，

所以∠PBO是异面直线PB与CD所成的角.

因为AD＝2AB＝2BC＝2，在Rt△AOB中，AB＝1，AO＝1，所以OB＝，

在Rt△POA中，因为AP＝，AO＝1，所以OP＝1，

在Rt△PBO中，PB＝,

cos∠PBO=,

所以异面直线PB与CD所成的角的余弦值为.

(Ⅲ)由（Ⅱ）得CD＝OB＝，

在Rt△POC中，PC＝，

所以PC＝CD＝DP，S△PCD=·2=.

又S△=

设点A到平面PCD的距离h，

由VP-ACD=VA-PCD，

得S△ACD·OP＝S△PCD·h，

即×1×1＝××h，

解得h＝.

解法二：

（Ⅰ）同解法一，

（Ⅱ）以O为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系O-xyz.

则A（0，-1，0），B（1，-1，0），C（1，0，0），

D（0，1，0），P（0，0，1）.

所以＝（-1，1，0），＝（t，-1，-1），

∞〈、〉=，

所以异面直线PB与CD所成的角的余弦值为，

（Ⅲ）设平面PCD的法向量为n＝（x0,y0,x0），

由（Ⅱ）知=（-1，0，1），＝（-1，1，0），

则　　n·＝0，所以　　-x0+ x0=0,

n·＝0，　　　　-x0+ y0=0，　
即x0=y0=x0,　　　　

取x0=1，得平面的一个法向量为n=(1,1,1).

又=(1,1,0).

从而点A到平面PCD的距离d＝

【试题解析】

【高考考点】本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成角、点到平面的距离等基本知识，考查空间想象能力，逻辑思维能力和运算能力.满分12分.

【易错提醒】第一问就建立坐标系的就会导致错误.再者就是线与线所成角应该在才可

【学科网备考提示】因为立几的难度一再降低,所以一定要求学生掌握坐标法,劳记公式.

（20）（本小题满分12分）

已知｛an｝是正数组成的数列，a1=1，且点（）（nN*）在函数y=x2+1的图象上.

(Ⅰ)求数列｛an｝的通项公式；

(Ⅱ)若列数｛bn｝满足b1=1,bn+1=bn+，求证：bn ·bn+2＜b2n+1.

【标准答案】解法一：

（Ⅰ）由已知得an+1=an+1、即an+1-an=1，又a1=1,

所以数列｛an｝是以1为首项，公差为1的等差数列.

故an=1+(a-1)×1=n.

(Ⅱ)由（Ⅰ）知：an=n从而bn+1-bn=2n.

bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+···+（b2-b1）+b1

=2n-1+2n-2+···+2+1

【试题解析】

【高考考点】本小题主要考查等差数列、等比数列等基本知识，考查转化与化归思想，考查推理与运算能力.满分12分.

【易错提醒】第二问中的比较大小直接做商的话还要说明bn的正负,而往往很多学生不注意.

【学科网备考提示】对于递推数列要学生掌握常见求法,至少线性的要懂得处理.

(21)（本小题满分12分）

已知函数的图象过点（-1，-6），且函数的图象关于y轴对称.

(Ⅰ)求m、n的值及函数y=f(x)的单调区间；

(Ⅱ)若a＞0，求函数y=f(x)在区间（a-1,a+1）内的极值.

【标准答案】解：（1）由函数f(x)图象过点（－1，－6），得m-n=-3, ……①

由f(x)=x3+mx2+nx-2，得f′（x）=3x2+2mx+n,

则g(x)=f′(x)+6x=3x2+(2m+6)x+n;

而g(x)图象关于y轴对称，所以－＝0，所以m=-3,

代入①得n=0.

于是f′(x)＝3x2-6x=3x(x-2).

由f′(x)>得x>2或x<0,

故f(x)的单调递增区间是（－∞，0），（2，＋∞）；

由f′(x)<0得0<x<2,

故f(x)的单调递减区间是（0，2）.

(Ⅱ)由（Ⅰ）得f′(x)＝3x(x-2),

令f′(x)＝0得x=0或x=2.

当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：

由此可得：

当0<a<1时，f(x)在（a-1,a+1）内有极大值f(O)=-2,无极小值；

当a=1时，f(x)在（a-1,a+1）内无极值；

当1<a<3时，f(x)在（a-1,a+1）内有极小值f(2)＝－6，无极大值；

当a≥3时，f(x)在（a-1,a+1）内无极值.

综上得：当0<a<1时，f(x)有极大值－2，无极小值，当1<a<3时，f(x)有极小值－6，无极大值；当a=1或a≥3时，f(x)无极值.

【试题解析】

【高考考点】本小题主要考察函数的奇偶性、单调性、极值、导数、不等式等基础知识，考查运用导数研究函数性质的方法，以及分类与整合、转化与化归等数学思想方法，考查分析问题和解决问题的能力.

【易错提醒】对于a的讨论标准找不到或对其讨论不全造成结果错误.

【学科网备考提示】分类讨论思想在数学中是非常重要的思想之一,所以希望能加强这方面的训练.

(22)（本小题满分14分）

如图，椭圆（a＞b＞0）的一个焦点为F(1,0)，且过点（2，0）.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）若AB为垂直于x轴的动弦，直线l:x=4与x轴交于点N，

　　　直线AF与BN交于点M.

(ⅰ)求证：点M恒在椭圆C上；

(ⅱ)求△AMN面积的最大值.

【标准答案】解法一：

（Ⅰ）由题设a=2,c=1,从而b2=a2-c2=3,

所以椭圆C前方程为.

(Ⅱ)(i)由题意得F(1,0),N(4,0).

设A(m,n),则B(m,-n)(n≠0), =1. ……①

AF与BN的方程分别为：n(x-1)-(m-1)y=0，

n(x-4)-(m-4)y=0.

设M(x0,y0),则有 n(x0-1)-(m-1)y0=0, ……②

n(x0-4)+(m-4)y0=0, ……③

由②，③得

x0=.

所以点M恒在椭圆G上.

(ⅱ)设AM的方程为x=xy+1,代入＝1得（3t2+4）y2+6ty-9=0.

由④代入①，得=1（y≠0）.

当x=时，由②，③得：

解得与a≠0矛盾.

所以点M的轨迹方程为即点M恒在锥圆C上.

（Ⅱ）同解法一.

【试题解析】

【高考考点】本小题主要考查直线与椭圆的位置关系、轨迹方程、不等式等基本知识，考查运算能力和综合解题能力，满分14分,

【易错提醒】

【学科网备考提示】此题为压轴题,所以平时可以让学生学会放弃一些自己能力范围之外的题目,把多余的时间多花点在中低档题目上,可是80%的分数呀,多么可观,可是纵观历年的高考成绩来看又有多少人真正的做到了这120分?

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/625aa8f2f90f76c661371a95.html