2.1.1 平面的教学设计
一、教材分析
本节课选自人教版《数学》必修二的 2.1.1平面第一课时,主要内容是平面的
概念及三个公理。平面的基本性质虽然在高考中一般以选择和填空题型为主,但
是它是研究立体几何的理论基础,也是以后论证推理的逻辑依据。这节内容是学
生已有的平面几何观念的拓展,帮助学生观念逐步从平面转向空间。因此,掌握
平面的三条基本性质至关重要。
二、设计思想:
本节课采用探究式课堂教学模式,即在教学过程中,在教师的启发引导下,
以学生独立自主和合作交流为前提,以问题串为导向设计教学情境,以“平面及
其基本定理”为基本探究内容,为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问
题的机会,让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动,在知识的
形成、发展过程中展开思维,逐步培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能
力和创造性思维的能力。
三、 教学目标
根据本节课的教学内容、特点及教学大纲对学生的要求,结合学生现有的知
识水平和理解水平,确定本节课的教学目标:
【知识目标】
(1)掌握平面的概念、画法、表示方法;
(2)通过联想、观察图形,用图形和符号语言表示平面;
(3)准确的理解并表述平面的三个基本性质、正确运用平面的基本性质进
行共面、共线、共点问题的证明。
【能力目标】
(1)通过实例和多媒体直观教学,培养学生的观察能力和空间想象能力;
(2)通过对生活中平面实例及其性质的举例、分析、解释过程,培养学生
逻辑思维能力。
【情感目标】
让学生在发现中学习,增强学习的积极性,提高学生的学习兴趣。
四、教学的重点难点
重点 :1、平面的概念及表示方法。
2、平面的基本性质,注意其条件、结论、作用、图形语言及符号语言。
难点 :平面基本性质的掌握与运用。
五、教法与学法
本节课是一节较为抽象的数学几何概念课。因此, 1 、教法上应注意:
(1)通过学生熟悉的实际生活问题引入课题,为概念学习创设情境,拉近数
学与现实的距离,激发学生的求知欲,调动了学生主动参与的积极性;
(2)在鼓励学生主体参与的同时,不可忽视教师的主导作用,具体表现在设
问、讲评和规范书写等方面,要教会学生清晰地思维、严谨的推理,并
成功地完成书面表达;
(3)采用直尺、三角板直观地表示平面的基本性质,以及运用计算机多媒体
等教学手段,是学生更容易地理解教学内容。
2 、在学法上:
(1)让学生从问题中质疑、尝试、归纳、总结、运用,培养学生研究问题
和解决问题的能力。
(2)让学生利用图形直观启迪思维, 来完成从感性认识到理性思维的一个飞跃。
六、教学过程
(一)创设情境,引入新课
问题 1:平静的湖面,广阔的草原,这些画面会给你留下怎样的印象呢?
问题 2: 现实生活中还有哪些事物能够给我们以平面的形象?
1)学生举出生活中一些平面的例子:如黑板面、桌面、墙面等。
2)教师用多媒体展示一些平面的图片: “海平面”、“湖面”等。
(设计意图:创设两个与日常生活相联系的简单问题,在轻松、融洽的
教学氛围中,引出平面的概念,使学生觉得很简单、很有趣,想听课。 )
(二)问题线索,探索研究
平面的概念(重点 1)
以上问题给了我们“平面”的直观形象,平面具有“ 平”、“无限延展 ”“无厚
薄”的特点.
练习 1、判断下列各题的说法正确与否 .
1、一个平面长 4 米,宽 2 米; ( )
2、平面上一条直线可以把这个平面分成两部分 ( )
3、10 个平面叠在一起要比一个平面厚 ( )
4、菱形的面积是 4 cm 2; ( )
5、一个平面可以把空间分成两部分 . ( )
平面的画法和表示
问题 1.在平面几何中,怎样画直线? .我们能否根据直线的画法,想出平面的画法
来?
(设计意图:从已学的直线画法入手,简单易懂,增加学生学习的信心和兴趣 ,
将平面和直线进行类比,使学生明白,只要画出平面的一部分 , 加以想象——四
周无限扩展即可表示平面)
问题 2 哪位同学来画一下?
(设计意图:让学生自己动手吧,感悟平面的画法,调动学生的积极性和创造
精神,可以画圆形、三角形、四边形、多边形及任意封闭图形。 )
师总结:平面的画法及表示。 (用多媒体展示)
(设计意图:在学生动手之后再给出一般的表示方法, 让学生易于接受、 掌握。)
空间中点、直线、平面的位置关系(难点 1)
问题 1.我们可以通过怎样的方式形成平面?
——平面可以看成是一条直线沿着某一方向平移得到的。 (当然, 也可以把平
面想象成是由一条直线绕某一点旋转而成)
(设计意图:自然引出点线面之间的数学符号表示,也为以后学习线面平行、
线面垂直等内容打下基础。 )
问题 2.直线可以看成是以点作为元素的集合,平面是否可视为点构成的集合?可
以用怎样的数学符号表示点、直线与平面之间的关系?
——自然地投影给出点与直线、点与平面、直线与直线的位置关系及图形、
符号语言。
(设计意图: 由学生熟悉的 “集合”的知识入手, 易于学生的理解和接受;“读
法”是学生容易错的,应做重点强调;让学生体会数学知识间的相互联系。 )
练习: 用符号表示下列语句,并画出相应的图形:
(1)点 A 在平面 内,但点 B 在平面 外;
(2)直线 a 经过平面 外的一点 M;
(三) 分析归纳、自主定义(重点 2)
平面的基本性质 (1)(公理 1)
问题 1.将手中的笔假想成一条直线,将课桌面或者课本面假想成一个平面,你觉
得在什么情况下,才能使你的笔所代表的直线上所有的点都能在桌面上?(动手
做一下)
(设计意图:通过笔和课桌面直观感知原本难以想象的直线和平面的关系,有
利于降低学习难度,调动学习积极性,增强学习兴趣。 )
问题 2. 将笔放在桌面上,让它的一部分伸出桌面外,此时直线不完全在桌面所
在的平面内吗? 能否摆出直线和平面不存在交点的情形?
——学生有可能会将原本立于课桌面的笔稍微挪远一些,使得笔和桌面没有
交点,这时候就要紧接着再问:这样是不是就代表直线和平面没有交点了?为什
么?
(设计意图:使学生明白直线具有无限延伸性,平面具有无限延展性。 )
问题 3.能否摆出直线和平面只有两个交点的情形?
——学生能够发现不存在这样的情形, 并把这个结论叙述出来, 也就是公理 1:
如果一条直线上的两点在一个平面内, 那么这条直线上所有的点都在这个平面内.
(设计意图:这三个问题可以由学生进行操作之后回答,易于想象、归纳,
问题难度层层递进,最终由学生自己阐述公理 1,老师只需要总结即可。 )
教师(归纳总结)多媒体展示(板书)公理一①文字语言②图形语言③符号
语言 学生总结整理
(设计意图:培养学生速记笔记的良好的学习习惯。 )
问题 4: 你认为公理 1 有什么作用?
(设计意图:在学生思考的的基础上进行适当的提示,使学生理解公理 1 的
本质是平面是平的、无限大的,它可以用来证明直线是否在平面内。 )
练习、已知 ABC 的边 AB , BC 在平面 内,判断 AC 是否在平面 内,并说明
你的结论。
平面的基本性质 (2)(公理 2)
问题 1: 空间中,经过两点有且只有一条直线,即两点确定一条直线,那么两点能
否确定一个平面?经过三点、四点可以确定多少个平面?
——学生通过讨论、辨析,能够表述:确定的意思是指有且只有,即存在且
唯一。
(设计意图:帮助学生理解接下来的公理 2:不共线的三点确定一个平面的准
确含义。)
问题 2: 照相机,测量仪等器材的支架为何要做成三脚架?
(设计意图:从生活经验和实际问题入手 , 引导学生思考,归纳得出公理 2,
培养实践归纳能力。 )
教师(归纳总结)多媒体展示(板书)公理二①文字语言②图形语言③符号语
言
公理 2 作用 :确定平面的主要依据. ( 符号语言先让学生上黑板扮演;然后集体纠
正)
(设计意图:经历公理的归纳概括过程后,通过直观感知、理性思考,形成
对公理的完整认识,深化对公理 2 的理解。)
练习 1、下列命题正确的是( )
(A)经过三点确定一个平面
(B)经过一条直线和一个点确定一个平面
(C)四边形确定一个平面
(D)两两相交且不共点的三条直线确定一个平面
2、(1)共点的三条直线可以确定几个平面?
(2)三条直线两两平行且不共点,可以确定几个平面?
平面的基本性质 (3)(公理 3)
问题 1.将手中的课本面、课桌面假想成两个平面,能否摆出平面和平面没有交点
的情形?
(设计意图:将平面和平面之间的关系具体成课桌面和课本面的关系,降低
想象的难度。)
问题 2. 平面与平面有只有一个公共点的情况吗?可以是两个吗?三个吗?能否
将你得到的这个结论用自己的话总结一下?(平面是无限延展的)
(设计意图:通过动手实验操作,加深学生对公理的理解和记忆;主动参与教学
过程,发挥学习的主动性;培养学生解决立体几何问题要借助身边模型的思想方
法. 通过老师的提示,学生的相互补充,让学生自行将公理 3 完整地叙述出来:如
果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,这些公共点的集合是经过
此公共点的一条直线。 )
教师(归纳总结)多媒体展示(板书)公理三①文字语言②图形语言③符号语言
培养学生速记笔记的良好的学习习惯
问题 3.你认为公理 3 有什么作用?
(设计意图:在学生理解定理的基础上引发深层次的思考, 使学生理解公理 3
的本质是平面没有厚度,能够激发学生的探究兴趣,培养学生的逻辑思维能力,
①判断两个平面相交的依据;②判断多点共线的依据。 )
(四)、例题精讲 ,应用反思(难点 2)
例 1、如图,用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系。
α
a
ι
β
α
β
a
b A B P
(1) (2)
(设计意图:通过例子,让学生掌握图形中点、线、面的位置关系及符号的
正确使用。)
例 2、已知△ABC在平面 α外,它的三边所在直线分别交 α于 P,Q,R. 求证:P,
Q,R三点共线.
A
C
B
R
Q
P
(设计意图: 证明多点共线通常利用公理 3,即两相交平面交线的唯一性, 通
过证明点分别在两个平面内,证明点在相交平面的交线上,也可以先通过其中的
两点将线确定下来,再证其他点也在这条线上。 )
练习巩固:
(多媒体展示)
练习 1:如图, l, A、B ,C 且C l , AB l R ,
设过 A、B、C 三点的平面为平面 ,则 是( )
A. 直线 AC B. 直线 BC
C.直线 CR D. 以上均不正确
练习 2、在正方体 | 1 1 1 1 ABCD A B C D 中,点E、F 分别为 CC1 和AA1的中点, 画出平 | ||||
面 | BED F 与平面 ABCD 的交点. 1 | ||||
D1 C
1
A 1 | B1 | E | |||
F D C
A
B
(设计意图:通过练习,学生能够整体回顾本节课的内容,把握易错点,牢
固掌握各知识点。)
(五)课堂小结
问题: 本节课你印象最深的有哪些知识点?能否表述出来?
(设计意图:由学生自己来讲,这样能调动学生的积极性,使学生及时回顾,
再次加深对平面基本性质的认识,同时可以培养学生归纳、概括等能力,进一步
完成能力目标和情感目标。 )
(六)板书设计
2.1.1平面
一、平面的认识 三、平面的性质 例 1、
1、特点: 公理 1:(文字语言)
2、画法: (图形、符号语言) 小结:
3、表示:
公理 2:(文字语言) 例 2、
二、点、线、面的位置关系 (图形、符号语言)
点 线 面 小结:
(元素 集合 集合) 公理 3:(文字语言)
(图形、符号语言) 例 3
小结:
(七)作业布置
1、课本 P51习题 1、2、5;
2、预习空间直线与直线之间的位置关系
(设计意图:体现作业的巩固性和发展性原则。 )
七、教学反思
本节课以问题串的形式呈现教学,并将抽象难懂的点、直线、平面具体化,
可操作性强,为学生搭建自我展示的平台,激发学生学习数学的兴趣,学生参与
热情高,表现精彩,达到有效探究的目的 , 从而圆满完成教学目标。
以上只是我预设的一种方案,但课堂是千变万化的,会随着学生和教师的发
挥随即生成的,预设效果如何,最终还有待于课堂实践的检验。
平
面
的
教
学
设
计
淄
博
十
七
中
学
王
立
梅
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