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福安一中2015届高考模拟考试卷

数学（理科）

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分。

1．设全集，集合，集合，则图中阴影部分所表示的集合是（　　 ）

A. B.

C. D.

2．抛物线的焦点是( )

A．（０，１）　　　B．（１，０） C．（０，２） D．（２，０）

3．如图是一个无盖器皿的三视图，正视图、侧视图和俯视图

中的正方形边长为2，正视图、侧视图中的虚线都是半圆，则

该器皿的表面积是

A． B．

C． D．

4. 已知集合，，若“”是“”的充分而不必要条件，则实数的取值可以是（ ）

A． B． C． 1 D．

5.已知等比数列的前项和为，公比为，若，则等于（ ）

A． B．3 C． D．1

6. 阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出

的值依次为（ ）

A．32,63 B．64,63

C．63,32 D．63,64

7. 已知外接圆的半径为1，圆心为，且，则的值是( )

A．3 B． C． D．1

8. 设函数上既是奇函数又是减函数，则的图象是( )

9. 设F是双曲线的左焦点，A(1，4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF| +|PA|的最小值为( )

A. 5 B. C. 7 D. 9

10.若，则函数存在极值的概率为（ ）

A. B. C. D.

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分。

11.已知b为实数，i为虚数单位，若为实数，则b=__________.

12.若的展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64，则n=_____.

13.将编号为1,2,3,4,5的五个球放入编号为1,2,3,4,5的五个盒子，每个盒内放一个球，若恰好有两个球的编号与盒子编号相同，则不同的投放方法的种数为_____.

14.下列命题中正确命题是_____________（写出所有正确命题的序号）

命题 “” 的否定是 “”；

，则的最小正周期是;

若将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数后，则样本的方差不变；

平面，直线满足：，，必存在与都垂直的直线.

15．已知在平面直角坐标系中有一个点列：.若点到点的变化关系为： ，

则=______.

三、解答题：本大题共6小题，共80分．

16．（本题满分13分）设函数已知函数f(x)的图象的相邻对称轴的距离为.

(Ⅰ)求函数f(x)的解析式；

(Ⅱ)若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且f(A)＝，△ABC的面积为S＝6，a＝2，求的值．

17．（本题满分13分）如图，四棱锥中，底面为平行四边形，⊥底面，是棱的中点，且，．

（1）求证：⊥平面；

（2）如果是棱上一点，且直线与平面所成角的正弦值为，求的值

18.（本小题满分13分）

某市在2 015年2月份的高三期末考试中对数学成绩数据统计显示，全市10000名学生的成绩服从正态分布N (120，25)，现某校随机抽取了50名学生的数学成绩分析，结果这50名同学的成绩全部介于80分到140分之间现将结果按如下方式分为6组，第一组[85，95)，第二组[95，105），……第六组[135，145]，得到

如右图所示的频率分布直方图.

(I)试估计该校数学的平均成绩；

(Ⅱ)这50名学生中成绩在125分（含125分）

以上的同学中任意抽取3人，该3人在全市前

13名的人数记为X，求X的分布列和期望。

附：若，则

19.(本小题满分13分)

已知为平面内的两个定点，动点满足,记点的轨迹为曲线．

（Ⅰ）求曲线的方程；

（Ⅱ）设点为坐标原点，点，，是曲线上的不同三点，且．试探究：直线与的斜率之积是否为定值？证明你的结论；

20.（本题满分14分）

函数, ,其中a为常数,且函数和的图像在其与坐标轴的交点处的切线互相平行．

(Ⅰ)求a的值；

(Ⅱ)若存在x使不等式成立，求实数m的取值范围；

(Ⅲ)对于函数和公共定义域中的任意实数，我们把的值称为两函数在处的偏差.求证:函数和在其公共定义域内的所有偏差都大于2．

21．（本题满分14分）本题设有（1）（2）（3）三个选考题，每题7分，请任选2题做答．如果多做，则按所做的前两题计分．

(1)（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换

(Ⅰ)对矩阵,求其逆矩阵;

(Ⅱ) 利用矩阵知识解二元一次方程组．

(2)（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程

平面直角坐标系xoy中，圆C1的参数方程为为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C2的极坐标方程为＝4sin.

（I）写出圆C1的普通方程及圆C2的直角坐标方程；

（II)圆C1与圆C2是否相交，若相交，请求出公共弦的长；若不相交，请说明理由．

(3)（本小题满分7分）选修4－5：不等式选讲

已知且，若恒成立，

(Ⅰ)求的最小值；

（Ⅱ）若对任意的恒成立，求实数的取值范围.

福安一中2015届高考模拟考试卷

数学（理科） 参考答案 2015.5.22

1-10 BADCB DDCDA

11.-2 12.6 13,20 14.③④ 15.

16． 解：（1）

，

（2）由（1）知

17． 解析：（1）连结．

因为在中，

，，

所以，所以．

因为∥，所以．

又因为底面， 所以．

因为，

所以⊥平面．--------------------------- 4分

（2）如图以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系.

则，，，，．

因为是棱的中点，所以.

所以，．

设为平面的法向量，

所以， 即，

令，则，

所以平面的法向量．--------------------------------- 8分

因为是在棱上一点，所以设，．

设直线与平面所成角为，

因为平面的法向量，

所以

.

解得，即，，所以.---------------------------- 12分

18.解：（1）由频率分布直方图可知的频率为

所以估计该校全体学生的数学平均成绩约为

（2）由于根据正态分布：

故

所以前13名的成绩全部在130分以上

根据频率分布直方图可知这50人中成绩在135以上（包括135分）的有人，而在的学生有

所以X的取值为0,1,2,3

19. 解法一：（Ⅰ）由条件可知， 点到两定点的距离之和为定值，

所以点的轨迹是以为焦点的椭圆．………………………2分

又，，所以，

故所求方程为．…………………………………………4分

（Ⅱ）设，，．

由，得，．…………5分

设直线的方程为，

代入并整理得，，

依题意，，则 ，，

从而可得点的坐标为，．

因为，所以直线与的斜率之积为定值．……………8分

解法二： （Ⅱ）设，，．

由得：，……………5分

（ⅰ）因为点，在椭圆上，

所以有：，，

两式相减，得，

从而有．

又，，

所以，即直线与的斜率之积为定值．………………8分

20.解：（Ⅰ），，的图像与坐标轴的交点为，的图像与坐标轴的交点为，由题意得，即

又∵，∴。

（Ⅱ）由得，故在有解，

令，则。当时，；

当时，∵，∵，

∴，∴

故

即在区间上单调递减，故，∴

即实数m的取值范围为 。

（Ⅲ）解法一：

∵函数和的偏差为：，

∴，设为的解，则当，；

当，，∴在单调递减，在单调递增

∴

∵，，∴

故

即函数和在其公共定义域内的所有偏差都大于2。

解法二：

由于函数和的偏差：，

令，；令，

∵，，∴在单调递增，在单调递减，在单调递增

∴，，∴

即函数和在其其公共定义域内的所有偏差都大于2。

21．1.解：(1)………3分

(2)方程组可写为， 4分

因此原方程组的解为,即.7分

2. 解 (Ⅰ) 圆C1的普通方程为,圆C2的直角坐标方程为…2分

(Ⅱ)因为两圆圆心距,所以两圆相交.

由,两式相减,此即为两圆公共弦方程.

同时注意到两圆均过原点,

所以圆C1圆心到公共弦的距离为,所以公共弦长.

(3)解:(Ⅰ)由柯西不等式, ,即.

又恒成立,则.所以的最小值为3 ……..3分

(Ⅱ) 由对任意的恒成立,则.

所以,或或

解得或无解或.

即实数的取值范围为…………7分

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/5eccf1e06edb6f1afe001ff5.html