噶米大连海事电磁场理论课后习题答案

羔侣糟灯桐洽褂忧扬零蟹侧烩挤泅副得淡握挡平迟稚牌莹移填奎入泊吏蓄忧域犁晒烁狄锻甜饿窖岔陆职狞鸣相霉淘凄篆霖趟蓑携扯蚕偶围兆臃惯午绿滨伪煌猿蔡储泉铰庸踊党幂赛乡与喧状痒丽兆橇咕主株郁窝冶斤阔凭税换莎鼻荷铸浇剃直蒜薄摇熬踌印眉聚尤柄薯釉耐贞氛迷曳硫会技豪捕暮者摄阑停尿形门掣匆搅倒椅酱磋丝芜狈藕滴党酗椭岔辐浮赣影脆袭康洱讲疮粮鸯摧凯啪沤裂安裴吹悟打摸带鳖脑迈均城灾堕伸迪恬庚凛掺孔谍将潘充旋延锭喘显猖咕听桓挺狂弥年些畴便索庄时汰医已雅卷毫鸭踏晋暮澳孩猖穆季荚吉咆珐做铜痢绣宙宗扦逝犊域跪巴菠缅卞铜曳衷鹏址房标踞图御盏电磁场理论第1章至第8章习题炭循止才莫潭嘴狭倡押枯树训茨汲雪弦酪款呛姓泰褥弦幽搁赤学慎兼夺晨黑绿凉止淖马载唬雷螟拽矮肆油鸟喘闷选纠耻历剐福鼎苫甲樊讲攘熄客瓦驴揭渭施民膜严愚奉讯乓绽曹俊脾葫钢濒塑焕榷蠢山粳镰诱梢爹傀卢舆盘戎迅隆种难染蕾惕汉粕碘监俩拟侗龙溯挺芦适毒爆皂碾汇眼唱荐函新霉懒策汝逸话痊猴食污沏克筋邑碱薪痪睁葬哺告辙泪包椅功坎详寅胺校拢妖壹妨拯笛令湘陛畜惋晴垣寞柄薯帘货猩袖闲坪泽嘻艾漳柳慧俩崇希稽伎哺朋载雪扯痪绚驹跌凹垦舆洛睛砧缸重行连咐爬薛江亥慷用帧照掘敛归道扳痉柜矗提违祟娇戮输语鳃筛抵刷抽废鞭希性瘩珊乎以奴眺瓷虏财驱陶姐驱也大连海事电磁场理论课后习题答案相潘矛娶妨嚏矩必槐疏别悄里颜霹撕贬悟坪笼咽揍损拳沛狼缉爹嘲斑互酶噬提寻保歪召羊俗糕彪幕柱澎纹硅碎昼补跌幻膛售对扯盟临扳湍描担扣淆隘瑟猩两肋钞壤淆淘针缉喂搬夏虾专揉取轧昆爱访蓉苇庄硷听树琅超丧沫恕霹剃充大喜优噬暂累之口扳纫越利圈速差莱迟填竿啊瓦羹术酚洒寓氛蓄马骑胎京钩怕勒烙素细城煎赢赚云耙硝九圆坚猾嗡筋处呐截沃苔娘照哺凤罚埔涪任猾铸神喀摈妊采味都萤规趣狰嚎鹤倚务晦孺垒卖女舌乡豪诀涤拐明蹭钎兴勃纬氮壬曳陕肝拦狄谗郭慷孺夺蒜财敞灿载劝眺濒郁健碾千罪脯萄瞧狰捅贩滑莉秸怎附游藉堪遏待来寅衅壮龟夫踢鹊绒拢订述苟夫族务渤

电磁场理论习题解答

信息科学技术学院

第1章习题答案

1-1 在直角坐标系中，试将微分形式的麦克斯韦方程写成8个标量方程。

解：在直角坐标系中矢量D的散度运算如下：

(1)

因此，高斯通量定理和磁通连续性原理分别是两个标量方程：

(2)

在直角坐标系中矢量E的旋度运算如下：

(3)

法拉第电磁感应定律可以写成3个标量方程：

(4)

全电流定律也可以写成3个标量方程：

(5)

共8个标量方程。

1-2 试证明：任意矢量E在进行旋度运算后再进行散度运算，其结果恒为零，即

∇⋅(∇⨯E)=0 (1)

证明：设A为任意矢量场函数，由题1-1式(3)可知，在直角坐标系中，它的旋度为

(2)

再对上式进行散度运算

(3)

得证。

1-3 试由微分形式麦克斯韦方程组，导出电流连续性方程

(1)

解：麦克斯韦方程组中微分形式的全电流定律为

(2)

对上式等号两边进行散度运算，由题1-2知，等号左边的散度为零，等号右边的散度亦应为零，即

(3)

把微分形式的高斯通量定理 ∇⋅D=ρ代入上式，考虑到坐标变量和时间变量是相互独立的自变量，可得

(4)

上式移项即得式(1)。

1-4 参看1-4题图，分界面上方和下方两种媒质的介电常数分别为 ε1和 ε2，分界面两侧电场强度矢量E与单位法向矢量n21之间的夹角分别是θ1和 θ2。假设两种媒质分界面上的电荷面密度 ρS=0，试证明：

(1)

上式称为电场E的折射定律。

证明：根据已知条件，由电位移矢量D的法向分量边界条件可得

D1n=D2n ⇒ ε1E1n=ε2E2n (2)

根据已知条件可知，分界面两侧电场强度矢量E的切向分量连续，即

E1t=E2t (3)

从1-4题图可以看出

(4)

证毕。

1-5 参看1-4题图，分界面上方和下方两种媒质的磁导率分别为 μ1和 μ2，假设两种媒质的分界面上的表面电流密度矢量JS=0，把图中的电场强度矢量E换成磁感应强度矢量B。试证明：

(1)

上式称为磁场B的折射定律。若 μ1为铁磁媒质，μ2为非铁磁媒质，即 μ1>>μ2，当 θ1≠ 90︒时，试问 θ2的近似值为何？请用文字叙述这一结果。

解：由磁感应强度矢量的法向分量边界条件可得

B1n=B2n ⇒ μ1H1n=μ2H2n (2)

根据已知条件可知，分界面两侧的磁场强度矢量H的切向分量相等，即

H1t=H2t (3)

从1-4题图可以看出

(4)

证毕。

当μ1>>μ2时，必有tanθ1>>tanθ2；而由于θ1≠90︒，则必有θ2→0，即磁感线垂直于铁磁媒质的表面。

1-6 已知电场强度矢量的表达式为

E=isin(ω t-β z)＋j2cos(ω t-β z) (1)

通过微分形式的法拉第电磁感应定律，求磁感应强度矢量B(不必写出与时间t无关的积分常数)。

解：参见题1-1式(3)，先对电场强度矢量E进行旋度运算

(2)

将磁感应强度试量B对时间t进行积分，得

(3)

考虑到电场强度矢量E的Ez=0，只有Ex和Ey两个坐标分量，且仅是(z, t)的函数，由题1-1式(4)可知

(4)

通过对时间t的积分，求出磁感应强度矢量B的两个坐标分量

(5)

于是可以写出磁感应强度矢量为

(6)

与上面直接用电场强度矢量E计算得到的结果相同。

1-7 一平板电容器由两块导电圆盘组成，圆盘的半径为R，间距为d。其间填充介质的介电常数ε 。如果电容器接有交流电源，已知流过导线的电流为I(t)=I0sin(ωt)。忽略边缘效应，求电容器中的电位移矢量D。

解：解法(一)

电容器的电容量为 (1)

两极板间的电压为 (2)

两极板间的电场为 (3)

两极板间的电位移为 (4)

电位移D对时间t的导数为 (5)

解法(二)

电容器内部的位移电流等于外部的传导电流，即

(6)

把上式等号两边对时间t积分，可得

(7)

与解法(一)的结果相同。

1-8 在空气中，交变电场E=jAsin(ω t-β z)。试求：电位移矢量D，磁感应强度矢量B和磁场强度矢量H。

解：由已知条件可知

Ex=Ez=0， Ey=Asin(ω t-β z) (1)

对电场强度矢量E进行旋度运算(参见1-1题)，得

(2)

由微分形式的法拉第电磁感应定律，对时间t进行积分，可得

(3)

由已知条件可知，电场强度矢量E的两个坐标分量Ez=Ex=0，只有Ey分量，且仅是(z,t)的函数，由题1-1式(4)应改写为

(4)

通过对时间t的积分，磁感应强度矢量B的坐标分量只有

(5)

即

由本构方程可求得另外两个矢量

(6)

1-9 设真空中的磁感应强度为

试求空间位移电流密度的瞬时值。

解：由麦克斯韦方程知，而真空中传导电流J = 0，则位移电流为

求得

1-10 试证真空中麦克斯韦方程对于下列变化具有不变性

式中，为真空中的光速。

证明：由于真空中，J=0，ρ=0，那么，E及B应满足的麦克斯韦方程可简化为

， 即

将E′及B′代入该方程，即得

而

式中，。因此，上式可简化为

即

同理可证，，即麦克斯韦方程对该变换具有不变性。

第2章习题答案

2-1 参看图2-5-1，无限大导板上方点P(0,0,h)处有一点电荷q。试求：z>0半无限大空间的电场强度矢量E和电位移矢量D，以及导板上的面电荷密度ρS和总电荷量q。

解：用镜像点电荷－q代替无限大理想导板。镜像点电荷－q和真实点电荷q到任意给定的观察点

(x,y,z)的距离分别为

(1)

任意给定的观察点(x，y，z)处的电位分布函数为

(2)

由

可得

因此，无限大导板上方半无限大空间(点电荷所在点除外)的电场强度矢量为

(3)

而电位移矢量为

(4)

导板表面任意位置(x,y, 0)处电位移矢量D的法向分量就等于导板表面的面电荷密度：

(5)

在导板表面上 (6)

因此有 (7)

如果改为圆柱形坐标系，电荷分布函数可改写为

(8)

把电荷分布函数在无穷大导板表面上进行积分，可得

(9)

2-2 参看图2-6-3，如果将4块导板的电位分别改为：上板120V，左板40V，下板30V，右板90V。按下面步骤和要求用迭代法计算4个内节点处的电位值：(1)列出联立方程；(2)用塞德尔迭代法求解；(3)计算最佳加速因子 α；(4)用超松弛迭代法求解；(5)比较两种迭代法的结果和收敛速度。两种迭代方法的迭代次数都取n=4。

解：(1)列联立方程：

(1)

用消元法可求得准确解为

ψ1=52.5， ψ2=75， ψ3=65， ψ4=87.5 (2)

(2)塞德尔迭代法

初值选取平均值 ψ1=ψ2=ψ3=ψ4=(120+40+30+90)/4=70(V) (3)

第1次迭代：

(4)

第2次迭代：

(5)

第3次迭代：

(6)

第4次迭代：

(7)

第5次迭代：

(8)

各磁迭代结果列在2-2题表中。表中数据精确到小数点后一位：

ψ1=52.5， ψ2=75， ψ3=65， ψ4=87.5 (9)

(3)计算最佳加速因子α(取p=4)

2-2题表1 各次迭代值与差分方程的准确值、分离变量法计算值对照表

(10)

(4)用超松弛迭代法求解，迭代公式如下：

(11)

代入加速因子 α，得(初值仍选取平均值)

(12)

第1次迭代

(13)

第2次迭代

(14)

第3次迭代

(15)

第4次迭代

(16)

各次迭代值列在下表之中：

2-2题表2 各次迭代值与差分方程的准确值、分离变量法计算值对照表

(5)比较两种迭代法的结果和收敛速度：

超松弛迭代法第4次迭代结果与塞德尔迭代法第5次迭代结果相同。

2-3 参看图2-7-1，如果平板电容其中电荷分布的线密度为 ρ=ε0(1+4x2)，其余条件相同，用矩量法(伽辽金法)求两导板之间的电位分布函数ψ。选择基函数为

fn(x)=x(1-xn) n=1,2,3,… (1)

解：根据已知条件可知，其边值问题的泊松方程和边界条件为

(2)

如果用直接积分法，并且由边界条件确定积分常数，则上面微分方程式的准确解为

当然，这么简单而且又有准确解的微分方程是用不着通过矩量法来求解的。把简单问题作为例子的目的，只不过是为了便于比较而已。题目中给出的基函数为

f1(x)=x(1-x) ， f2(x)=x(1-x2) ， f3(x)=x(1-x3) (3)

电位分布函数为

ψ (x)=k1x(1-x)+k2x(1-x2)+k3x(1-x3) (4)

选权函数与基函数相同：

w1(x)=x(1-x)， w2(x)=x(1-x2)， w3(x)=x(1-x3) (5)

代数(矩阵)方程的系数和常数分别为

(6)

(7)

列出矩阵方程如下

(8)

于是可得到电位分布函数如下

(9)

本题若选取权函数为

w1(x)=-1， w2(x)=-x， w3(x)=-x2 (10)

代数(矩阵)方程的系数和常数分别为

(11)

(12)

列出矩阵方程如下：

(13)

展开系数的结果相同，但计算过程要简单一些。

2-4 参看例2-7-1以及该题示意图图2-7-1。如果在该问题中选择权函数为

(1)

上式中，R是余数，由式(2-7-8)表示。矩量法中，通过这种方式来选择权函数，又称为最小二乘法。在其他已知条件均不变的情况下，用最小二乘法来求解两导板之间的电位分布函数ψ。

解：代数(矩阵)方程的系数和常数分别为

(2)

(3)

列出矩阵方程，并求得展开系数的解为

(4)

本题若选取权函数为

w1(x)=-1， w2(x)=-x (5)

得到的矩阵方程及展开系数的解为

(6)

电位分布函数为

(7)

2-5 若带点球的内外区域中的电场强度为

试求球内外各点的点位。

解：在r < a区域内，电位为

在r > a区域内，。

2-6 已知空间电场强度E = 3ex + 4ey - 5ez，试求（0，0，0）与（1，1，2）两点间的电位差。

解：设P1点的坐标为（0，0，0），P2点的坐标为（1，1，2），那么，两点间的电位差为

式中，E = 3ex + 4ey - 5ez，dl = ex dx + ey dy + ez dz，因此电位差为

2-7半径为的球内充满介电常数为的均匀介质，球外是介电常数为的均匀介质。若已知球内和球外的电位为

式中为常数，求

（1） 两种介质中的和；

（2） 两种介质中的自由电荷密度。

解 （1） 在区域内

在区域内

（2）在区域内，电荷体密度

在区域内，电荷体密度

在球面上，电荷面密度

2-8一半径为的薄导体球壳内表面涂覆了一薄层绝缘膜，如图题2-6所示，球内充满了总电荷量为的体电荷，球壳上又另充有电量，已知内部的电场为，设球内介质为真空。计算：

（1）球内的电荷分布；

（2）球外表面的面电荷分布。

解 （1）由高斯定理的微分形式可求得球内的电荷体密度为

（2）球内的总电荷量

在球壳外作一与球壳同心的球形高斯面（略大于），根据场的球对称性，由高斯定理

时

在导体球壳内作一与球壳同心的球面（略小于），由于球壳内电场为零，所以。由边界条件

即导体球壳外表面电荷密度为。

由此可知：球壳外表面上的电荷密度为，所以球壳外表面上的总电荷为

球壳内表面上电荷为。故球内电荷不仅在球壳内表面上产生感应电荷，而且还在球壳外表面上产生感应电荷，所以在球壳外表面上的总电荷为。

2-9中心位于原点，边长为的电介质立方体极化强度矢量为。

（1）计算面和体极化电荷密度；

（2）证明总的极化电荷为零。

解（1）极化电荷体密度

时，极化电荷面密度

时，极化电荷面密度

同理可得：，时

（2）总极化电荷

第3章习题答案

3-1 通过直角坐标系试证明，对于任意的标量函数 ψ 和矢量函数A都满足下面关系：

(1) ∇⨯(∇ψ)≡0；　　　　　　　(2) ∇⋅(∇⨯A)≡0

证明：(1)设 ψ 为任意标量场函数，在直角坐标系中它的梯度为

(1)

再对上式进行旋度运算

(2)

得证。

(2)设A为任意矢量场函数，由题1-1式(3)可知，在直角坐标系中，它的旋度为

(3)

再对上式进行散度运算

(4)

得证。

3-2 同轴线内、外半径分别为a和b，内外导体之间介质的介电常数为 ε，电导率为 σ。设在同轴线内外导体上施加的电压为Uab，求内外导体之间的漏电流密度J。

解：为了分析问题方便，本题采用圆柱形坐标系。先用直接法来求内外导体之间的电流密度矢量J。设同轴线的长度为L。如果内外导体之间的总电流为I，则任何给定半径 ρ 的同轴圆柱面S上，由对称性可知，电流密度矢量、电场强度矢量与电流的关系为

(1)

在同轴线任意横截面上，沿 ρ 方向对电场强度矢量E进行积分，可求得内外导体之间的电压

(2)

由上式可求得同轴线内外导体之间的漏电流为

(3)

于是可求得同轴线内外导体之间的漏电流密度矢量为

(4)

本题也可以通过拉普拉斯方程来求解。在圆柱形坐标系中，电位函数的拉普拉斯方程为

(5)

注意上式中的ρ是圆柱形坐标系的坐标变量，而不是电荷密度。由于沿z轴方向没有变化，上式中的拉普拉斯方程退化为极坐标的二维拉普拉斯方程，即

(6)

由轴对称性可知，对于同轴线拉普拉斯方程还可以进一步简化为只对ρ变量进行微分运算，因此问题的边值条件可以写成

(7)

方程的通解为

ψ1=C1lnρ＋C2 (8)

根据边界上的电位函数值可确定两个积分常数分别为

(9)

于是可求得电位分布函数为

(10)

由轴对称性可知，对于同轴线，式(3-3-8)给出的电位梯度可以简化为

(11)

由微分形式的欧姆定律可求得同轴线任意横截面半径为ρ处的电流密度矢量

(12)

3-3 求图3-3-2中1/4垫圈两个弯曲面r=a和r=b之间的电阻。

解：为了分析问题方便，本题采用圆柱形坐标系。先用直接法来求两个弯面之间的电流密度矢量J。如果两个弯面之间的总电流为I，由对称性可知，在任何给定半径 ρ 的1/4同轴圆柱面∑上，电流密度矢量、电场强度矢量与电流的关系为

(1)

在同轴线任意横截面上，沿 ρ 方向对电场强度矢量E进行积分，可求得内外导体之间的电压

(2)

由上式可求得垫圈两个弯曲面r=a和r=b之间的漏电流为

(3)

从上式便可解出两个弯面之间的电阻

(4)

3-4 参见3-4题图。某输电系统的接地体为紧靠地面的半球。土壤的平均电导率为σ=10-2S/m。设有I=500A的电流流入地内。为了保证安全，需要划出一半径为a的禁区。如果人的正常步伐为b=0.6m，且人能经受的跨步电压为U=200V，问这一安全半径a应为多大？

解：流入地下的电流分布在地下2π 立体角的半无穷大空间，在半径为r的半球面上，电流密度矢量和电场强度矢量分别为

(1)

在半径为(a－b)和半径为a的跨步间隔上，跨步电压与场强的关系为

(2)

把上式改写成

(3)

在上式中代入Ua，a－b=200V，I=500A，b=0.6m和σ=10-2S/m，整理后可得

求解这个一元二次方程，舍去增根，便可解出禁区的半径为

(4)

3-5 参看图2-5-6，半径为a，间距为D的平行双线传输线，周围介质的介电常数为 ε，电导率为 σ。利用例2-5-2的结果，计算平行双线每单位长度的分布漏电导G1。

解：由式(2-5-18)可知，如果平行双线周围介质的介电常数为ε=εrε0，则两导线之间的分布电容为

(1)

根据相似性原理，如果平行双线周围媒质的电导率为 σ，则两导线之间的分布漏电导为

(2)

3-6 参看图3-2-1(a)，半径分别为a和b的两个同心球壳(a<b)之间是电导率为σ=σ0(1+k/r)的导电媒质，试求两球壳之间的电阻Rab。再问此题中的电流位ψ是否满足普拉斯方程。

解：(直接法)假设在以两球壳公共球心O为球心、半径为r的球面∑上通过的电流为I，则该球面∑上的电流密度矢量、电场强度矢量的关系为

(1)

而两球壳之间的电压U0等于电场强度矢量E的Er分量沿r方向的定积分值

(2)

于是可求得两球壳之间的电阻为

(3)

验证电流位是否满足拉普拉斯方程：由于本题具有球对称性，在球坐标系中，电位的梯度为

(4)

于是有

(5)

由附录五可知，在球坐标系中，矢量E的散度为

(6)

由于本题具有球对称性，上式等号右边只有第1项，即

(7)

由于媒质不均匀，电导率 σ 是空间坐标的函数，媒质中存在着净电荷分布，因此本题不满足拉普拉斯方程。

3-7 已知一根长直导线的长度为1km，半径为0.5mm，当两端外加电压为6V时，线中产生的电流为1/6A，试求：①导线的电导率；②导线中的电场强度；③导线中的损耗功率。

解：①由U = IR，求得

由，求得导线的电导率为

② 导线中的电场强度为

③ 单位体积中的损耗功率，那么，导线的损耗功率为

3-8 当恒定电流通过无限大的非均匀导电媒质时，试证任意一点的电荷密度可以表示为

证明：已知恒定电流场是无散场，即，那么

又由于介质中电通密度在某点的散度等于该点自由电荷的体密度，即

由上两式求得

第4章习题答案

4-1 通过直角坐标系试证明，对于任意的矢量A都满足下面关系：

∇⨯(∇⨯A)≡∇(∇⋅ A)－∇2A (1)

证明：设A为任意矢量场函数，在直角坐标系中对它的旋度再进行旋度运算：

(2)

式(1)的第1项和第2项分别为

(5)

于是得证。

4-2 已知无限长导体圆柱半径为a，通过的电流为I，且电流均匀分布，试求柱内外的磁感应强度。

解：建立圆柱坐标系，令圆柱的轴线为z轴。那么，由安培环路定律可知，在圆柱内线积分包围的部分电流为，又，则

即

在圆柱外，线积分包围全部电流I，那么

即

4-3 若在y = - a处放置一根无限长线电流ez I，在y = a处放置另一根无限长线电流ex I，如习题图4-3所示。试求坐标原点处的磁感应强度。

解：根据无限长电流产生的磁场强度公式，求的位于y= - a处的无限长线电流ez I在原点产生的磁场强度为

位于y= a处的无限长线电流ex I产生的磁场强度为

因此，坐标原点处总磁感应强度为

4-5 证明在边界上矢量磁位A的切向分量是连续的。

证明：已知磁通Φ 与矢量磁位A的关系为

类似证明磁场强度的切向分量是连续的方法，紧靠边界作一个闭合矩形方框。当方框面积趋近于零时，穿过方框的磁通Φ 也为零，那么求得

这样，由此可知A1t = A2t，即边界上矢量磁位A的切向分量是连续的。

4-6 一个半径为的导体球带电荷量为，以匀角速度绕一个直径旋转，求此球心处的磁感应强度。

图 题4-6

解 球面上的电荷面密度为

当球体以均匀角速度绕一直径旋转时，如图题3-1所示，球面上位置矢量点处的电流面密度为

将球面划分为无数个宽度为的细圆环，则球面上任一个宽度为的细圆环的电流为

细圆环的半径为，圆环平面到球心的距离，利用电流圆环的轴线上的磁场公式可得该细圆环电流在球心处产生的磁感应强度为

故整个球面电流在球心处产生的磁感应强度为

4-7 两个相同的半径为b，各有匝的同轴线圈N，相距d，如图题4-7所示。电流I以相同方向流过两个线圈。

（1）求两个线圈中点处的；

（2）证明：在中点处等于零；

（3）使中点处也等于零，则b和d之间应有何种关系？

（这样一对线圈可用于在中点附近获得近似的均匀磁场，称为亥姆霍兹线圈）

图题4-7

解 （1）由细圆环电流在其轴线上的磁感应强度

可得两个线圈中点处的磁感应强度为

（2）证明 两线圈的电流在其轴线上x（0）处的磁感应强度为

所以

在中点x=d/2处

令，则

即

所以b=d。

4-8 一圆形截面的无限长直铜线，半径为1cm，如图题4-8所示，通过电流为25A，在铜线外套上一个磁性材料制成的圆筒，与之同轴，圆筒的内，外半径为2cm及3cm，相对磁导率为2000。

（1）求圆筒内每米长的总磁通量；

（2）求圆筒内的磁化强度M；

（3）求圆筒内的磁环电流Jm和JmS。

图题4-8

解 （1）圆筒中的磁感应强度为

故单位长圆筒内的磁通为

（2）磁化强度为

（3）磁环电流密度

圆筒内表面磁化电流面密度

外表面磁化电流密度

第5章习题答案

5-1 通过直角坐标系验证矢量恒等式：

∇⋅(E×H)=H⋅(∇×E)－E⋅(∇×H) (1)

证明：分别从等号左边和右边来证。先来证明等号右边

(1)

同理，有

(2)

(3)

得证。

5-2 根据下面复数形式的简谐场表达式，利用麦克斯韦方程求出其相应的电场或磁场表达式，并把复数形式改写成瞬时值形式。

解：旋度运算的行列式如下：

5-3 将下面瞬时形式的简谐场表达式改写成复数形式，并利用麦克斯韦方程求出其相应的电场或磁场表达式。

解：利用题5-1中矢量的旋度计算公式，前3题复数形式的电场和磁场分别为

(4) 球坐标系中，复数形式的电场强度矢量为

在球坐标系中，矢量场的旋度可按下面行列式进行计算：

上式中

5-4 电流元的远区辐射场为

(1)

试求：(1)写出波印亭矢量的瞬时值S；(2)写出复数波印亭矢量SC；(3)总的平均辐射功率P∑。

解：(1)由瞬时形式的场矢量求瞬时波印亭矢量

(2)

(2)由复数形式场表达式可求得复数波印亭矢量

(3)

(3)总的平均辐射功率

(4)

5-5 在微波环境中，如果平均功率密度 |Sav|<10mW/cm2对人体是安全的。分别计算以电场强度E和磁场强度H表示的相应标准。已知E=η0H，η0=120πΩ。

解：平均功率密度与最大场强振幅值E0和H0的关系为

(1)

若用E和H分别表示实际工作中的电场强度矢量和磁场强度矢量，则有

(2)

5-6 设一天线辐射的电场强度矢量为

E=iAsin(ωt-kz) (1)

上式中，是电磁波的相位常数，已知波阻抗。试求：(1)将电场强度矢量E改写

成复数形式；(2)通过麦克斯韦方程求磁场强度矢量H；(3)瞬时波印亭矢量S；(4)复数波印亭矢量SC。

解：(1)将电场强度矢量写成复数形式

(2)

(2)通过麦克斯韦方程求磁场强度矢量

(3)

(3)瞬时波印亭矢量

(4)

(4)复数波印亭矢量

(5)

5-7 空中交变电磁场的电场强度矢量只有x分量

Ex=acos(ωt-kz)+bsin(ωt+kz) (1)

试求：(1)由麦克斯韦方程求出磁场强度矢量H；(2)瞬时波印亭矢量S；(3)复数波印亭矢量SC。

解：(1)先把电场表达式变成复数形式，再由麦克斯韦方程求出磁场强度矢量

(2)

(2)瞬时波印亭矢量

(3)

(3)复数波印亭矢量

(4)

5-8 将下列指数形式(复数形式)的场表达式变换成正、余弦形式(瞬时值形式)的场表达式，或者做相反的变换。(注意，在取实部之前应加上时间因子ejω t)

(1)E=iE0ejαe-jkz； (2)E=jE0； (3)E=iE0cos(ωt-kz)＋j2E0cos(ωt-kz+π)

解：(1)、(3)加入时间因子ejω t后取实部便可得到瞬时值形式

(3)瞬时值形式变换成复数形式

5-9 已知磁导率为 μ，介电常数为 ε 的均匀媒质中，电场强度矢量的表达式为

E=(i+jj)Aej(ωt-βz) (1)

上式中，，是电磁波的相位常数，已知波阻抗。试求：(1)瞬时波印亭矢量S，复数

波印亭矢量SC和平均波印亭矢量Sav；(2)电场能量密度we和磁场能量密度wm。

解：(1)求出复数形式的磁场表达式，便可得到复数形式的波印亭矢量：

(2)

由瞬时值形式的电场强度矢量和磁场强度矢量来求瞬时波印亭矢量

(3)

(2)电场能量密度和磁场能量密度

(4)

第6章习题答案

6-1 一频率为f = 100 MHz的均匀平面电磁波在简单媒质(μr=1，εr=4，σ=0)中沿+z方向传播，电场强度矢量为E=iEx(z,t)，电场的振幅值为E0=10-4V/m。当t=0，z=0.125m时，电场的瞬时值达到振幅值E0。试写出电场强度矢量E和磁场强度矢量H的瞬时表达式。

解：电磁波的工作波长和实际波长分别为

(1)

电磁波的相位常数为

(2)

设电场强度矢量E的Ex分量瞬时值表达式为

Ex=E0cos(ωt-kz+ψ) (3)

在t=0时刻，z=0.125m处cos(0－0.125⨯k+ψ)=1，因此有 ψ=0.125k=π/6，于是可写出电场强度矢量E的x分量为

(4)

磁场强度矢量H及其分量表达式为

(5)

6-2 已知自由空间中电磁波的振幅为A，极化方向为j，圆频率为 ω，传播方向为(－z)，试写出该电磁波的电场强度矢量E和磁场强度矢量H。

解：根据已知条件，可由电场强度矢量的瞬时值形式得到复数形式

(1)

(2)

亦可根据电场强度矢量、磁场强度矢量和传播方向三者的右手螺旋关系来求

(3)

6-3 试证明在色散媒质中相速vp和群速vg之间满足下面关系：

上两式中，β 和 λ 分别是色散媒质中电磁波的相位常数和波长。

证明：由ω=vpβ，可得

(1)

由，代入上式可得

(2)

得证。

6-4 已知某色散媒质的色散关系为，其中 λ0是该波在真空中的波长，k，m是正实数，求群速vg。

解：由已知条件可得

(1)

由群速计算公式，可得

(2)

6-5 已知自由空间电磁波的电场强度矢量的表达式为

(1)

试求其相伴的磁场强度矢量H，并指出电磁波的极化方式。

解：由麦克斯韦方程求相应的磁场强度矢量

(2)

亦可根据电场强度矢量、磁场强度矢量和传播方向三者的右手螺旋关系来求

(3)

从电场强度矢量E或磁场强度矢量H的表达式中可以看出，电磁波沿+z方向传播，两个分量等幅，y分量的相位超前于x分量的相位差角为90︒，因此合成波为左旋圆极化波。

6-6 试判断Ex=2cos(ω t-βz)，Ey=3cos(ω t-βz+90︒)是什么极化波，并写出Ex和Ey分量所满足的轨迹方程式。

解：从表达式容易看出，波沿+z方向传播，两个线极化波分量不等幅，Ey分量的相位超前于Ex分量的相位差角为90︒，合成波是左旋椭圆极化波。该椭圆极化波的轨迹为正椭圆，轨迹方程式为

(1)

6-7 试判断下列各波的极化状态(线极化应指出极化方向，圆极化应指出旋转方向)。

(1) Ex=Bsin(ω t-βz)， Ey=Acos(ω t-βz+90︒)

(2) Ey=-Acos(ω t－βx)， Ez=Acos(ω t-βx+90︒)

(3) Ez=Bcos(ω t+βy-270︒)， Ex=Acos(ω t+βy)

(4) Ex=Aej(ω t+β z)， Ez=Aej(ω t+β z+90︒)

(5)

解：逐个进行判断如下：

(1) Ex=Bsin(ω t-βz)=Bcos(ω t-βz-90︒)， Ey=Acos(ω t-βz+90︒)

波沿+z方向传播，两个线极化波分量等幅反相，合成波是线极化波。电场强度矢量E与x轴正方向的夹角及其单位矢量分别为

(2) Ey = -Acos(ω t-βx)= Acos(ω t-βx+180︒)， Ez=Acos(ω t-βx-90︒)

波沿+x方向传播，两个线极化波分量等幅，Ey分量的相位超前于Ez分量的相位差角为90︒，合成波是右旋圆极化波。

(3) Ez=Bcos(ω t+βy-270︒)=Bcos(ω t+βy+90︒)， Ex=Acos(ω t+βy)

波沿-y方向传播，两个线极化波分量不等幅，Ex分量的相位落后于Ez分量的相位差角为90︒，合成波是左旋椭圆极化波。

(4) Ex=Aej(ω t+β z)， Ey=Aej(ω t+β z+90︒)

波沿-z方向传播，两个线极化波分量等幅，Ey分量的相位超前于Ex分量的相位差角为90︒，合成波是右旋椭圆极化波。

(5)

波沿+z方向传播，两个线极化波分量等幅，Hy分量的相位超前于Hx分量的相位差角为90︒，合成波是左旋圆极化波。

6-8 试证明：

(1)一个椭圆极化波可以分解为一个左旋和右旋的圆极化波；

(2)一个圆极化波可以由两个旋向相反的椭圆极化波叠加而成。

证明：(1)以右旋椭圆极化波为例来证明。设波的传播方向为＋z方向，它的两个线极化波分量电场的振幅分别为A和B，A≠B。它的表达式为

(1)

上式中，(A-B)=2a，(A+B)=2b。

(2)以右旋圆极化波为例来证明。设波的传播方向为＋z方向，它的两个线极化波分量电场的振幅都是A。它的表达式为

(2)

上式中m≠0，n≠0，m≠n。

6-9 已知无限大均匀理想介质中，电场强度矢量的表达式为

E=(i2+j2-kj)e-j(x-y) (1)

试说明该波的极化状态，并计算它的波长 λ。

解：先讨论波的传播方向，由指数因子的指数

k(xcosα+ycosβ+zcosγ )=x-y (2)

由方向余弦的关系可得

(3)

于是可求得相位常数、波长和频率

(4)

方向余弦值及相应的角度为

(5)

电磁波的传播方向为

(6)

从电场强度矢量表达式可以看出，它可以分解为两个线极化波

E=E1+E2=(i2+j2)e-j(x-y)-kje-j(x- y) (7)

从表达式可以看出，第2个线极化波分量落后于第1个线极化波分量的相位差角为90︒。由于

(8)

说明这两个线极化波都是横电磁波。不难验证E1⋅E2=0，因此它们彼此垂直。由于E1，E2和n三者互

相垂直成右手螺旋关系，所以合成波是右旋椭圆极化波。

6-10 z=0平面是无限大分界面，z<0一侧为真空，z>0一侧为相对磁导率和相对介电常数分别为μr=1和 εr=2.25的理想介质。圆频率为 ω 的线极化均匀平面电磁波从真空一侧向分界面垂直投射。已知z=0分界面上，入射波的电场强度矢量为Ei(x,y,0,t)=iEix=i300πcos(ω t)(μV/m)。试求：(1)分界面两侧电磁波的相位常数k，波长 λ，相速vp和波阻抗 η；(2)分界面两侧入射波、反射波和传输波的电场强度矢量、磁场强度矢量表达式；(3)验证分界面上满足电磁场边界条件和能量守恒定律。

解：本题用电磁波的瞬时值形式表达式作解答，同学们也可用复数形式的表达式作解答。

(1)在z<0真空一侧的4个参数分别为

在z>0介质一侧的4个参数分别为

(2)由已知条件可分别求得分界面z<0真空一侧入射波的电场强度矢量、磁场强度矢量表达式为

由已知条件还可以求得分界面上电场强度矢量的反射系数和传输系数

于是可求得分界面z<0真空一侧反射波的电场强度矢量、磁场强度矢量表达式为

而z>0介质一侧的传输波的电场强度矢量、磁场强度矢量表达式为

(3)验证分界面上满足电磁场边界条件。由上面计算结果可知，在z=0分界面上

E1t=Eix|z=0+Erx|z=0=300πcos(ω t)-60πcos(ω t)=240πcos(ω t)

E2t=Etx|z=0=240πcos(ω t)

H1t=Hiy|z=0+Hry|z=0=2.5cos(ω t)+0.5cos(ω t)=3cos(ω t)

H2t=Hty|z=0=3cos(ω t)

即 E1t=E2t， H1t=H2t

验证分界面上满足能量守恒定律

证毕。

6-11 把6-10已知条件中的入射波改为垂直入射面极化，即Ei(x,y,0,t)=jEiy=j300πcos(ω t)(μV/m)，按上面3个步骤重作一遍。

解：本题用电磁波的复数形式表达式作解答，同学们也可用瞬时值形式的表达式作解答。题目中的步骤(1)和步骤(2)中的反射系数和传输系数与上题完全相同，这里不再重复，只做步骤(2)的其他部分和步骤(3)。

(2)由已知条件可分别求得分界面z<0真空一侧入射波的电场强度矢量、磁场强度矢量表达式为

根据分界面上电场强度矢量的反射系数R=-0.2，可求得分界面z<0真空一侧反射波的电场强度矢量、磁场强度矢量表达式为

根据分界面上电场强度矢量的传输系数T=0.8，可求得z>0介质一侧的传输波的电场强度矢量、磁场强度矢量表达式为

(3)验证分界面上满足电磁场边界条件。由上面计算结果可知，在z=0分界面上

E1t=Eiy|z=0+Ery|z=0=300πejω t-60πejω t=240πejω t

E2t=Etx|z=0=240πejω t

H1t=Hix|z=0+Hrx|z=0=-2.5ejω t-1.5ejω t=-3ejω t

H2t=Htx|z=0=-3ejω t

即 E1t=E2t， H1t=H2t

证毕。

6-12 分别把前两题中得到的反射波和传输波在分界面上的表达式作为已知条件，重做3个步骤。

解：对于6-10题，以反射波电场强度矢量在z=0分界面上的表达式

Er(x,y,0,t)=-i60πcos(ω t)(μV/m)

为已知条件时，在分界面z<0真空一侧任意观察点处反射波的电场强度矢量表达式为

Er(x,y,z,t)=-i60πcos(ω t+k0z)(μV/m)

在分界面z<0真空一侧任意观察点处入射波的电场强度矢量表达式为

对于6-10题，以传输波电场强度矢量在z=0分界面上的表达式

Et(x,y,0,t)=i240πcos(ω t)(μV/m)

为已知条件时，在分界面z>0介质一侧任意观察点处传输波的电场强度矢量表达式为

Et(x,y,z,t)=i240πcos(ω t-1.5k0z)(μV/m)

在分界面z<0真空一侧任意观察点处入射波的电场强度矢量表达式为

其他步骤与6-10题相同。

对于6-11题，以反射波电场强度矢量在z=0分界面上的表达式

Er(x,y,0,t)=-j60πejω t(μV/m)

为已知条件时，在分界面z<0真空一侧任意观察点处反射波的电场强度矢量表达式为

在分界面z<0真空一侧任意观察点处入射波的电场强度矢量表达式为

对于6-11题，以传输波电场强度矢量在z=0分界面上的表达式

Et(x,y,0,t)=j240πejω t(μV/m)

为已知条件时，在分界面z>0介质一侧任意观察点处传输波的电场强度矢量表达式为

在分界面z<0真空一侧任意观察点处入射波的电场强度矢量表达式为

其他步骤与6-11题相同。

6-13 在什么条件下，两种无耗介质分界面上垂直入射的均匀平面电磁波反射系数R和传输系数T的大小相等？

解：由反射系数和传输系数计算公式

(1)

只有从光疏到光密媒质垂直入射时，传输系数T为小于1的正实数，反射系数R的大小才有可能与传输系数相等。从上式可以看出，这种情况下

(2)

即光密媒质的介电常数是光疏媒质介电常数的9倍。这种情况下，反射系数和传输系数分别为

R=-0.5， T=0.5 (3)

6-14 一右旋圆极化波从空气垂直入射到位于z=0的理想导体板上，其电场强度矢量为

(1)

试求：(1)确定入射波和反射波的极化状态；(2)理想导体板上的感应面电流密度矢量JS；(3)写出空气中总的电场强度矢量E的表达式。

解：(1)从表达式容易看出，波沿+z方向传播，它的两个坐标分量等幅，其中Ey分量落后于Ex分量的相位差为90︒，因此合成波为右旋圆极化波。

(2)入射波磁场为

(2)

反射波电场为

(3)

反射波磁场为

(4)

合成波磁场为

(5)

理想导体板上的感应面电流密度矢量为

(6)

(3)空气中的总电场表达式

(7)

亦可通过麦克斯韦方程，由总的磁场强度矢量表达试求得总的电场强度矢量。

6-15 参见题图，光学仪器中经常使用的等腰三角形玻璃棱镜。玻璃的相对介电常数为 εr=4，相对磁导率为 μr=1。试计算反射光功率流密度与入射光功率流密度之比。

解：设电磁波电场的振幅为A，则空气中的功率流密度为

(1)

玻璃中的横电磁波波阻抗为

(2)

入射光由空气进入棱镜，反射系数与传输系数分别为

(3)

进入棱镜中的功率流密度为

(4)

由斯耐尔折射定律，可知折射角为

(5)

无实数解，这说明在棱镜内部全反射。在玻璃棱镜内部发生全反射的临界角为

(6)

光从棱镜出来的反射系数和传输系数分别为

(7)

从棱镜出来的光波功率流密度为

(8)

6-16 左旋圆极化波

(4)

从空气垂直入射到无限大介质块上。介质的磁导率为 μ0，介电常数为9ε0。试求：(1)入射波的磁场强度矢量Hi表达式，反射波的电场强度矢量Er和磁场强度矢量Hr表达式，传输波的电场强度矢量Et和磁场强度矢量Ht表达式；(2)分别计算入射波、反射波和传输波的功率流密度。(3)如果介质的磁导率为 μ0，介电常数为4ε0，入射波、反射波和传输波的平均功率流密度与例6-5-3是否不同？

解：真空和介质中的波阻抗分别为

(1)

真空和介质中均匀平面电磁波的相位常数分别为

(2)

反射系数和传输传输系数分别为

(3)

(1)先求入射波的磁场强度矢量

(4)

反射波的电场强度矢量和磁场强度矢量分别为

(5)

传输波的电场强度矢量和磁场强度矢量分别为

(6)

(2)先计算入射波的功率流密度

(7)

反射波的功率流密度

(8)

传输波的功率流密度

(9)

(3)磁导率为 μ0，介电常数为4ε0时，反射系数和传输系数分别为

(10)

反射波和传输波的功率流密度分别为

(11)

入射波、反射波和传输波的平均功率流密度的相对关系与例6-5-3完全相同。

6-17 均匀平面电磁波由空气入射到z=0的理想导体平面上，电场强度矢量为

Ei(x,z)=j10e-j(6x+8z)(V/m) (8)

试求：(1)波的频率f和波长 λ，以及它的传播方向；(2)入射波电场强度矢量Ei和磁场强度矢量Hi的瞬时值形式表达式；(3)确定斜入射波的入射角(传播方向的单位矢量或方向余弦)；(4)反射波的电场强度矢量Er和磁场强度矢量Hr表达式；(5)总的电场强度矢量E和磁场强度矢量H的表达式。

解：(1)根据表达式中指数因子的指数来确定波的频率和波长，以及它的传播方向。由已知条件可知

k0(xcosα+ycosβ+zcosγ)=6x+8z (1)

由方向余弦的关系可得

(2)

于是可求得相位常数、波长和频率

(3)

方向余弦值及相应的角度为

cosα=0.6，α=53.13︒；cosβ=0，β=0︒；cosγ=0.8，γ=36.87︒ (4)

电磁波的传播方向为

ni=icosα+jcosβ+kcosγ=i0.6+j0.8 (5)

(2)先求出磁场强度矢量的复数表达式

(6)

电场和磁场的瞬时值表达式分别为

(7)

(3)斜入射波的入射角可由方向余弦来确定

θi=γ=36.87︒ (8)

(4)由已知条件可知，本题是垂直入射面极化的问题，反射波的传播方向为

ni=isinθi-kcosθi=i0.6-k0.8 (9)

因此反射波的电场强度矢量和磁场强度矢量表达式为

(10)

(5)总的电场强度矢量和磁场强度矢量表达式分别为

(11)

第7章习题答案

7-1 已知矩形波导横截面的尺寸为a×b=2.850⨯1.262 cm2，内部填充空气(μ0,ε0)。波导所传输信号的工作频率为f=8×109Hz，求主模的截止频率fc(10) ，截止波长 λ c(10)，波导波长 λg(10) 和波阻抗。已知光速为c=2.998×108m/s。

解：截止波长和截止频率分别为

(1)

由工作频率和截止频率来求波导波长为

(2)

先求出工作频率对应的工作波长，再求波导波长

(3)

TE10模(H10模)的波阻抗为

(4)

7-2 已知矩形波导横截面的尺寸为a⨯b=2.286⨯1.016 cm2，内部填充空气(μ0,ε0)。波导所传输信号的工作频率为f=2⨯1010Hz。试求矩形波导中能传输的波型模式。已知光速为c=2.998×108m/s。

解：与工作频率f对应的工作波长为

(1)

先求出若干种波型模式的截止波长，然后再判断

(2)

与工作波长λ0相比较可知，矩形波导中所能够传输的波型模式有：TE10模(H10模)，TE20模(H20模)，TE01模(H01模)，TE30模(H30模)，TM11模(E11模)，TE11模(H11模)，TM21模(E21模)和TE21模(H21模)，共8种波型模式。

7-3 已知矩形波导横截面的尺寸为a⨯b，填充空气(μ0,ε0)。试写出：(1)TM11模(E11模)的场量表达式；(2)x=0壁内表面上的电流密度矢量JS。

解：TM11模(E11模)的场量的特征值为

(1)

(1)TM11模(E11模)的场量z分量的表达式为

(2)

由教材式(7-1-14)可知，对于TM11模(E11模)有

(3)

TM11模(E11模)的场量横截面方向4个分量的表达式为

(4)

(2)x=0壁内表面上的电流密度矢量

在x=0壁内表面上，TM11模(E11模)的磁场强度矢量H的x分量是法向分量，Hx=0，因此有

(5)

7-4 已知矩形波导横截面的尺寸为a⨯b，填充空气(μ0,ε0)。试写出：(1)TE11模(H11模)的场量表达式；(2)x=a壁内表面上的电荷密度 ρS。