2015年普通高等学校招生全国统一考试（新课标1卷）文
一、选择题：每小题5分,共60分
1、已知集合，则集合
中的元素个数为
（A） 5 （B）4 （C）3 （D）2
2、已知点，向量
，则向量
（A） （B）
（C）
（D）
3、已知复数满足
，则
（ ）
（A） （B）
（C）
（D）
4、如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（ ）
（A） （B）
（C）
（D）
5、已知椭圆E的中心为坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线
的焦点重合，
是C的准线与E的两个交点，则
（A） （B）
（C）
（D）
6、《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问”积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（ ）
（A）斛 （B）
斛 （C）
斛 （D）
斛
7、已知是公差为1的等差数列，
为
的前
项和，若
，则
（ ）
（A） （B）
（C）
（D）
8、函数的部分图像如图所示，则
的单调递减区间为（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
9、执行右面的程序框图，如果输入的，则输出的
（ ）
（A） （B）
（C）7 （D）8
10、已知函数，
且，则
（A）
（B）
（C）
（D）
11、圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为
，则
( )
（A）
（B）
（C）
（D）
12、设函数的图像与
的图像关于直线
对称，且
，则
( )
（A） （B）
（C）
（D）
二、填空题：本大题共4小题,每小题5分
13、数列中
为
的前n项和，若
，则
.
14.已知函数的图像在点
的处的切线过点
，则
.
15. 若x,y满足约束条件,则z=3x+y的最大值为 ．
16.已知是双曲线
的右焦点，P是C左支上一点，
，当
周长最小时，该三角形的面积为 ．
三、解答题
17. （本小题满分12分）已知分别是
内角
的对边，
.
（）若
，求
（）若
，且
求
的面积.
18. （本小题满分12分）如图四边形ABCD为菱形，G为AC与BD交点，，
（）证明：平面
平面
；
（）若
，
三棱锥
的体积为
，求该三棱锥的侧面积.
19. （本小题满分12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的宣传费和年销售量
数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.
（）根据散点图判断，
与
，哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；
（）根据（
）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
（）已知这种产品的年利润z与x，y的关系为
，根据（
）的结果回答下列问题：
（）当年宣传费
=49时，年销售量及年利润的预报值时多少？
（）当年宣传费
为何值时，年利润的预报值最大？
20. （本小题满分12分）已知过点且斜率为k的直线l与圆C：
交于M，N两点.
（）求k的取值范围；
（）若
，其中O为坐标原点，求
.
21. （本小题满分12分）设函数.
（）讨论
的导函数
的零点的个数；
（）证明：当
时
.
请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号
22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图AB是O直径，AC是
O切线，BC交
O与点E.
（）若D为AC中点，证明：DE是
O切线；
（）若
，求
的大小.
23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，直线
，圆
，以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.
（）求
的极坐标方程.
（）若直线
的极坐标方程为
，设
的交点为
，求
的面积.
24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数.
（）当
时求不等式
的解集；
（）若
的图像与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围.
2015年普通高等学校招生全国统一考试（新课标1卷）文
答案
一、 选择题
（1）D （2）A （3）C （4）C （5）B （6）B
（7）B （8）D （9）C （10）A （11）B （12）C
二、 填空题
（13）6 （14）1 （15）4 （16）
三、 解答题
17、解：
（I）由题设及正弦定理可得=2ac.
又a=b，可得cosB==
……6分
（II）由（I）知=2ac.
因为B=，由勾股定理得
.
故，的c=a=
.
所以△ABC的面积为1. ……12分
18、解：
（I）因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD.
因为BE⊥平面ABCD,所以AC⊥BE,故AC⊥平面BED.
又AC平面AEC,所以平面AEC⊥平面BED. ……5分
（II）设AB=，在菱形ABCD中，又∠ABC=
，可得
AG=GC=，GB=GD=
.
因为AE⊥EC,所以在Rt△AEC中，可的EG=.
由BE⊥平面ABCD,知△EBG为直角三角形，可得BE=.
由已知得，三棱锥E-ACD的体积=
×
AC·GD·BE=
.
故=2 ……9分
从而可得AE=EC=ED=.
所以△EAC的面积为3，△EAD的面积与 △ECD的面积均为.
故三棱锥E-ACD的侧面积为3+2. ……12分
19、解：
（I）由散点图可以判断，y=c+d适宜作为年销售量y关于年宣传费
的回归方程式类型.
（II）令，先建立y关于w的线性回归方程式.由于
,
，
所以y关于w的线性回归方程为,因此y关于
的回归方程为
（Ⅲ）（i）由（II）知，当=49时，年销售量y的预报值
，
年利润z的预报值
……9分
（ii）根据（II）的结果知，年利润z的预报值
.
所以当，即
=46.24时，
取得最大值.
故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大. ……12分
20、解：
（I）由题设，可知直线的方程为
.
因为与C交于两点，所以
.
解得 .
所以k的取值范围为. ……5分
（II）设.
将代入方程
，整理得
.
所以.
.
由题设可得=12，解得k=1，所以
的方程是y=x+1.
故圆心C在上，所以
. ……12分
21、解：
（I）的定义域为
.
当≤0时，
没有零点；
当时，因为
单调递增，
单调递减，所以
在
单调递增，又
，
当b满足0＜b＜且b＜
时，
，故当
＜0时
存在唯一零点.
……6分
（II）由（I），可设在
的唯一零点为
，当
时，
＜0；
当时，
＞0.
故在
单调递减，在
单调递增，所以
时，
取得最小值，最小值为
.
由于，所以
.
故当时，
. ……12分
22、解：
（I）连接AE，由已知得，AE⊥BC,AC⊥AB.
在Rt△AEC中，由已知得，DE=DC,故∠DEC=∠DCE.
连结OE，则∠OBE=∠OEB.
又∠OED+∠ABC=，所以∠DEC+∠OEB=
，故∠OED=
，DE是
O的切线.
……5分
（II）设CE=1，AE=，由已知得AB=
，BE=
.由射影定理可得，
，
所以，即
.可得
，所以∠ACB=
.
……10分
23、解：
（I）因为，所以
的极坐标方程为
，
的极坐标方程为
. ……5分
（II）将代入
，得
，解得
.故
，即
由于的半径为1，所以
的面积为
. ……10分
24、解：
（I）当时，
化为
.
当时，不等式化为
，无解；
当时，不等式化为
，解得
；
当，不等式化为-
+2＞0，解得1≤
＜2.
所以的解集为
. ……5分
（II）由题设可得，
所以函数的图像与
轴围成的三角形的三个丁点分别为
,△ABC的面积为
.
由题设得＞6，故
＞2.
所以的取值范围为
. ……10分
本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/5dc3ba355fbfc77da369b11a.html
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