广东东莞2019年高三数学（文）小综合专项练习：立体几何

广东东莞2019年高三数学（文）小综合专项练习：立体几何

东莞高级中学老师提供

【一】选择题

1、某几何体的正视图和侧视图均如下图，那么该几何体的俯视图不可能是

2、一个空间几何体的三视图如下图，那么该几何体的表面积为

A、word/media/image3_1.png B、word/media/image4_1.png

C、word/media/image5_1.png D、word/media/image6_1.png

A、假设两条直线和同一个平面所成的角相等,那么这两条直线平行

B、假设一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,那么这两个平面平行

C、假设一条直线平行于两个相交平面,那么这条直线与这两个平面的交线平行

D、假设两个平面都垂直于第三个平面,那么这两个平面平行

4.以下命题中，word/media/image7_1.png表示两条不同的直线，word/media/image8_1.png表示三个不同的平面、

①假设word/media/image9_1.png，那么word/media/image10_1.png；②假设word/media/image11_1.png，那么word/media/image12_1.png；

③假设word/media/image13_1.png，那么word/media/image14_1.png；④假设word/media/image15_1.png，那么word/media/image16_1.png.

正确的命题是

A、①③B、①④

C、②③D、②④

5.如图是正方体平面展开图，在那个正方体中:

①BF与ND平行；②CM与BF成60º角；

③CM与BN是异面直线；④DF与BM垂直.

以上四个命题中，正确命题的序号是

A.①②③ B.①③④

C.②④ D.③④

【二】填空题

6.如下图所示，直观图word/media/image18_1.png是有一个角为word/media/image19_1.png的三角形，那么其原平面图形的面积为________.

7、某几何体的三视图如下图,它的体积为________、

8、设word/media/image20_1.png是空间中的不同直线或不同平面，以下条件中能保证“假设word/media/image21_1.png，且word/media/image22_1.png，那么word/media/image23_1.png”为真命题的是________(填出所有正确条件的代号)、

①word/media/image24_1.png为直线，word/media/image25_1.png为平面；②word/media/image26_1.png为平面；③word/media/image27_1.png为直线，word/media/image28_1.png为平面；④word/media/image29_1.png为平面，word/media/image30_1.png为直线；⑤word/media/image31_1.png为直线、

9、如图，word/media/image33_1.png为圆word/media/image34_1.png的直径，点word/media/image35_1.png在圆周上(异于点word/media/image36_1.png)，直线word/media/image37_1.png垂直于圆word/media/image38_1.png所在的平面，点word/media/image39_1.png为线段word/media/image40_1.png的中点、有以下四个命题：

①word/media/image41_1.png平面word/media/image42_1.png；

②word/media/image43_1.png平面word/media/image44_1.png；

③word/media/image45_1.png平面word/media/image46_1.png；

④平面word/media/image47_1.png⊥平面word/media/image48_1.png.

其中正确的命题是________(填上所有正确命题的序号)、

10、如图，在长方形word/media/image49_1.png中，word/media/image50_1.png，word/media/image51_1.png，word/media/image52_1.png为word/media/image53_1.png的中点，word/media/image54_1.png为线段word/media/image55_1.png〔端点除外〕上一动点、现将word/media/image56_1.png沿word/media/image57_1.png折起，使平面word/media/image58_1.png平面word/media/image59_1.png、在平面word/media/image60_1.png内过点word/media/image61_1.png作word/media/image62_1.png，word/media/image63_1.png为垂足、设word/media/image64_1.png，那么word/media/image65_1.png的取值范围是、

【三】解答题

11.在长方体word/media/image66_1.png中,word/media/image67_1.png,过word/media/image68_1.png三点的平面截去长方体的一个角后，得到如下图的几何体word/media/image69_1.png，那个几何体的体积为word/media/image70_1.png、

word/media/image71_1.png〔1〕证明：直线word/media/image72_1.png∥平面word/media/image73_1.png；

〔2〕求棱word/media/image74_1.png的长；

〔3〕求通过word/media/image75_1.png四点的球的表面积.

12.三棱柱word/media/image76_1.png的三视图如下图，其中主视图word/media/image77_1.png和左视图word/media/image78_1.png均为矩形，在俯视图△word/media/image79_1.png中，word/media/image80_1.png.

(1)在三棱柱word/media/image76_1.png中，求证：word/media/image81_1.png；

(2)假设三棱柱的高为word/media/image82_1.png,求三视图中左视图的面积；

(3)假设三棱柱的高为word/media/image82_1.png，动点word/media/image83_1.png线段word/media/image84_1.png，求word/media/image85_1.png的最小值.

13.如图，word/media/image86_1.png是半径为word/media/image87_1.png的半圆，word/media/image88_1.png为直径，点word/media/image89_1.png为弧word/media/image88_1.png的中点，点word/media/image90_1.png和点word/media/image91_1.png为线段word/media/image92_1.png的三等分点，平面word/media/image93_1.png外一点word/media/image94_1.png满足word/media/image95_1.pngword/media/image96_1.png平面word/media/image97_1.png，word/media/image98_1.png=word/media/image99_1.png.

〔1〕证明：word/media/image101_1.png；

〔2〕求点word/media/image102_1.png到平面word/media/image103_1.png的距离.

14.如图，word/media/image105_1.png、word/media/image106_1.png为圆柱word/media/image107_1.png的母线，word/media/image108_1.png是底面圆word/media/image109_1.png的直径，word/media/image110_1.png、word/media/image111_1.png分别是word/media/image112_1.png、word/media/image113_1.png的中点，word/media/image114_1.png、

(1)证明：word/media/image115_1.png；

(2)证明：word/media/image116_1.png；

(3)求四棱锥word/media/image117_1.png与圆柱word/media/image107_1.png的体积比.

15.如下图,word/media/image119_1.png、word/media/image120_1.png分别是⊙word/media/image121_1.png、⊙word/media/image122_1.png的直径，word/media/image123_1.png与两圆所在的平面均垂直，word/media/image124_1.png.word/media/image125_1.png是⊙word/media/image121_1.png的直径，word/media/image126_1.png,word/media/image127_1.png.

〔1〕证明：word/media/image128_1.png面word/media/image129_1.png；

〔2〕证明：面word/media/image130_1.png面word/media/image131_1.png；

〔3〕求三棱锥word/media/image132_1.png的体积.

16.如图，四棱锥word/media/image134_1.png，word/media/image135_1.png≌word/media/image136_1.png，在它的俯视图word/media/image137_1.png中，word/media/image138_1.png，word/media/image139_1.png，word/media/image140_1.png、

〔1〕求证：word/media/image141_1.png是直角三角形；

〔2〕求证：面word/media/image142_1.png⊥面word/media/image143_1.png；

〔3〕求四棱锥word/media/image144_1.png的体积、

17.等腰梯形word/media/image145_1.png中〔如图〕，word/media/image146_1.png，word/media/image147_1.png，word/media/image148_1.png，word/media/image149_1.png为word/media/image150_1.png边上一点，且word/media/image151_1.png，将word/media/image152_1.png沿word/media/image153_1.png折起，使面word/media/image154_1.pngword/media/image155_1.png面word/media/image156_1.png〔如图2〕.

〔1〕证明：平面word/media/image154_1.pngword/media/image157_1.png平面word/media/image158_1.png；

(2)试在棱word/media/image159_1.png上确定一点word/media/image160_1.png，使截面word/media/image161_1.png把几何体分成的两部分word/media/image162_1.png；

〔3〕在word/media/image163_1.png满足〔2〕的情况下，判断直线word/media/image164_1.png是否平行面word/media/image165_1.png.

2018届高三文科数学小综合专题练习—立体几何

参考答案

【一】选择题DACBC

【二】填空题

6.word/media/image166_1.png7.word/media/image167_1.png8.③④9.②④10.word/media/image168_1.png

【三】解答题

11.解：〔1〕证法1：如图，连结word/media/image169_1.png，

∵word/media/image170_1.png是长方体，

∴word/media/image171_1.png且word/media/image172_1.png、

∴四边形word/media/image173_1.png是平行四边形、

∴word/media/image174_1.png、

∵word/media/image175_1.png平面word/media/image176_1.png，word/media/image177_1.png平面word/media/image176_1.png，

∴word/media/image178_1.png平面word/media/image176_1.png、

证法2：∵word/media/image179_1.png是长方体，

∴平面word/media/image180_1.pngword/media/image181_1.png平面word/media/image182_1.png、

∵word/media/image183_1.png平面word/media/image180_1.png，word/media/image184_1.png平面word/media/image182_1.png，

∴word/media/image178_1.png平面word/media/image176_1.png、

〔2〕设word/media/image185_1.png，∵几何体word/media/image186_1.png的体积为word/media/image187_1.png

∴word/media/image188_1.png，即word/media/image189_1.png，

即word/media/image190_1.png，解得word/media/image191_1.png、

∴word/media/image192_1.png的长为4、

〔3〕如图，连结word/media/image193_1.png，设word/media/image193_1.png的中点为word/media/image194_1.png，连word/media/image195_1.png

∵word/media/image196_1.png是长方体，∴word/media/image197_1.png平面word/media/image198_1.png、

∵word/media/image199_1.png平面word/media/image198_1.png，∴word/media/image197_1.pngword/media/image200_1.png、

∴word/media/image201_1.png、同理word/media/image202_1.png、

∴word/media/image203_1.png、

∴通过word/media/image204_1.png，word/media/image205_1.png，word/media/image206_1.png，word/media/image207_1.png四点的球的球心为点word/media/image208_1.png、

∵word/media/image209_1.png、

∴word/media/image210_1.png、

故通过word/media/image204_1.png，word/media/image205_1.png，word/media/image206_1.png，word/media/image207_1.png四点的球的表面积为word/media/image211_1.png.

12.解：(1)因为主视图和左视图均为矩形、因此该三棱柱为直三棱柱，

在俯视图△word/media/image79_1.png中，word/media/image80_1.png.

word/media/image212_1.png∴word/media/image213_1.png，∴word/media/image214_1.png

又∵BC⊥CC1，CC1∩A1C1=C1，∴BC⊥平面ACC1A1.

∵AC1word/media/image215_1.png平面ACC1A1，∴BC⊥AC1.

(2)左视图中BC的长等于底面△ABC中顶点C到边AB的距离d,

word/media/image216_1.png,∴左视图的面积word/media/image217_1.png.

〔3〕由题意，动点word/media/image83_1.png线段word/media/image84_1.png，由侧面展开图可知，当word/media/image218_1.png三点共线时，word/media/image85_1.png的值最小，即word/media/image85_1.png的最小值为word/media/image219_1.png.

13.〔1〕证明：∵点B和点C为线段AD的三等分点，∴点B为圆的圆心

又∵E是弧AC的中点，AC为直径，∴word/media/image220_1.png即word/media/image221_1.png

∵word/media/image222_1.png平面word/media/image223_1.png，word/media/image224_1.png平面word/media/image225_1.png，∴word/media/image226_1.png

又word/media/image227_1.png平面word/media/image228_1.png，word/media/image229_1.png平面word/media/image230_1.png且word/media/image231_1.png∴word/media/image232_1.png平面word/media/image233_1.png

又∵word/media/image234_1.png平面word/media/image233_1.png，∴word/media/image235_1.png

〔2〕解：设点B到平面word/media/image236_1.png的距离〔即三棱锥word/media/image237_1.png的高〕为word/media/image238_1.png.

∵word/media/image222_1.png平面word/media/image223_1.png,∴FC是三棱锥F-BDE的高，且三角形FBC为直角三角形

由可得word/media/image239_1.png，又word/media/image240_1.png∴word/media/image241_1.png

在word/media/image242_1.png中，word/media/image243_1.png，故word/media/image244_1.png,

∴word/media/image245_1.png,

又∵word/media/image232_1.png平面word/media/image233_1.png，故三角形EFB和三角形BDE为直角三角形,

∴word/media/image246_1.png，在word/media/image247_1.png中，word/media/image248_1.png,∴word/media/image249_1.pngword/media/image250_1.png,

∵word/media/image251_1.png即word/media/image252_1.png，故word/media/image253_1.png,

即点B到平面word/media/image236_1.png的距离为word/media/image253_1.png.

14.〔1〕证明：连结word/media/image254_1.png，word/media/image255_1.png.word/media/image256_1.png分别为word/media/image257_1.png的中点，∴word/media/image258_1.png.

又word/media/image259_1.png，且word/media/image260_1.png.∴四边形word/media/image261_1.png是平行四边形，

即word/media/image262_1.png.∴word/media/image263_1.png.

(2)证明：word/media/image105_1.png、word/media/image106_1.png为圆柱word/media/image107_1.png的母线，因此word/media/image264_1.png且word/media/image265_1.png，即word/media/image266_1.png，

又word/media/image108_1.png是底面圆word/media/image109_1.png的直径，因此word/media/image267_1.png，word/media/image268_1.png，因此word/media/image269_1.png

由word/media/image264_1.png，因此word/media/image270_1.png，word/media/image271_1.png，因此word/media/image116_1.png

〔3〕解：由题word/media/image272_1.png，且由〔1〕知word/media/image273_1.png.∴word/media/image274_1.png，

∴word/media/image275_1.png，∴word/media/image276_1.png.

因word/media/image108_1.png是底面圆word/media/image109_1.png的直径，得word/media/image277_1.png，且word/media/image278_1.png，

∴word/media/image279_1.png，即word/media/image280_1.png为四棱锥的高、设圆柱高为word/media/image281_1.png，底半径为word/media/image282_1.png，

那么word/media/image283_1.png，word/media/image284_1.png∴word/media/image285_1.png：word/media/image286_1.pngword/media/image287_1.png.

15.证明：〔1〕连接word/media/image288_1.png

word/media/image289_1.pngword/media/image123_1.png与两圆所在的平面均垂直，word/media/image290_1.png⊙word/media/image121_1.png面word/media/image291_1.png⊙word/media/image122_1.png面，

又word/media/image127_1.png，word/media/image292_1.png因此四边形word/media/image293_1.png为平行四边形，因此word/media/image294_1.png∥word/media/image295_1.png，word/media/image294_1.png=word/media/image296_1.png

因此word/media/image297_1.png∥word/media/image298_1.png，且word/media/image299_1.png=word/media/image300_1.png，即四边形word/media/image301_1.png为平行四边形，因此word/media/image302_1.png

word/media/image303_1.png面word/media/image129_1.png，word/media/image304_1.png面word/media/image129_1.png，因此word/media/image128_1.png面word/media/image129_1.png

〔2〕word/media/image289_1.pngword/media/image119_1.png是⊙word/media/image121_1.png的直径，word/media/image290_1.pngword/media/image305_1.png，

又word/media/image306_1.png与两圆所在的平面均垂直，word/media/image307_1.png⊙word/media/image121_1.png面，word/media/image290_1.pngword/media/image308_1.png，

word/media/image309_1.png，因此word/media/image310_1.png面word/media/image311_1.png，word/media/image312_1.png面word/media/image131_1.png，面word/media/image130_1.png面word/media/image131_1.png

〔3〕由word/media/image125_1.png是⊙word/media/image121_1.png的直径，word/media/image126_1.png，因此word/media/image313_1.png，且word/media/image314_1.png，

因此word/media/image315_1.png为等腰直角三角形，word/media/image316_1.png，

因此word/media/image317_1.png

由易知可知word/media/image318_1.png到⊙word/media/image121_1.png面的距离即为word/media/image319_1.png，因此三棱锥word/media/image132_1.png的高为word/media/image320_1.png

因此word/media/image321_1.png

16.解:(1)由，点word/media/image322_1.png在底面word/media/image323_1.png上的投影是点word/media/image324_1.png，因此word/media/image325_1.png

因为word/media/image326_1.png、word/media/image327_1.png，因此word/media/image328_1.png，word/media/image329_1.png

因为word/media/image135_1.png≌word/media/image136_1.png，因此word/media/image330_1.png，word/media/image331_1.png

因为word/media/image332_1.png，因此word/media/image333_1.png平面word/media/image334_1.png，因此word/media/image335_1.png，word/media/image141_1.png是直角三角形.

(2)连接word/media/image336_1.png，因为word/media/image337_1.png，word/media/image338_1.png，因此word/media/image339_1.png是等边三角形

在word/media/image340_1.png中，依照多边形内角和定理计算得word/media/image341_1.png，即word/media/image342_1.png

由word/media/image343_1.png，因此word/media/image344_1.png，word/media/image345_1.png，因此word/media/image346_1.png

又word/media/image347_1.png，因此word/media/image348_1.png

(3)连接word/media/image336_1.png，因为word/media/image337_1.png，word/media/image338_1.png，因此word/media/image339_1.png是等边三角形

在word/media/image340_1.png中，依照多边形内角和定理计算得word/media/image341_1.png

又因为word/media/image349_1.png，因此word/media/image350_1.png

因此word/media/image351_1.png，word/media/image352_1.png，因此word/media/image353_1.png

又word/media/image354_1.png，

因此，四棱锥word/media/image355_1.png的体积word/media/image356_1.png

17.证明：(1)word/media/image357_1.pngword/media/image145_1.png为等腰梯形，word/media/image146_1.png，word/media/image147_1.png，word/media/image151_1.png，

那么word/media/image358_1.png，word/media/image359_1.png

又word/media/image360_1.png面word/media/image154_1.pngword/media/image155_1.png面word/media/image156_1.png,面word/media/image154_1.pngword/media/image361_1.png面word/media/image156_1.pngword/media/image362_1.png

word/media/image363_1.png面word/media/image156_1.png,故word/media/image364_1.png面word/media/image154_1.png

又word/media/image365_1.pngword/media/image363_1.png面word/media/image366_1.pngword/media/image367_1.png平面word/media/image154_1.pngword/media/image157_1.png平面word/media/image158_1.png

(2)所求的点word/media/image368_1.png即为线段word/media/image369_1.png的中点.证明如下：

设三棱锥word/media/image370_1.png的高为word/media/image371_1.png，四棱锥word/media/image372_1.png的高为word/media/image373_1.png

当word/media/image368_1.png为线段word/media/image369_1.png的中点时,word/media/image374_1.png

word/media/image375_1.png

word/media/image376_1.png截面word/media/image161_1.png把几何体分成的两部分word/media/image162_1.png；

(3)当word/media/image368_1.png为线段word/media/image369_1.png的中点时，直线word/media/image164_1.png与面word/media/image165_1.png不平行.

证明：〔反证法〕假设word/media/image164_1.pngword/media/image377_1.png面word/media/image165_1.png

连接word/media/image378_1.png交word/media/image379_1.png于点word/media/image380_1.png，连接word/media/image381_1.png

word/media/image382_1.pngword/media/image164_1.pngword/media/image383_1.png面word/media/image384_1.png，且面word/media/image165_1.pngword/media/image385_1.png面word/media/image386_1.pngword/media/image387_1.png

word/media/image388_1.png

word/media/image389_1.pngword/media/image368_1.png为线段word/media/image369_1.png的中点时，那么word/media/image390_1.png为线段word/media/image391_1.png的中点，即word/media/image392_1.png

而word/media/image393_1.png，故word/media/image394_1.png，故矛盾。

因此假设错误，故当word/media/image368_1.png为线段word/media/image369_1.png的中点时，直线word/media/image164_1.png与面word/media/image165_1.png不平行

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