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复变函数试题库

发布时间：2018-06-30 18:38:50 来源：文档文库

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复变函数

一、选择题

1. 设函数b673923363884fea7e73d1c964b5c451.png且1669a6890a68e472f43870400b77889f.png是区域D内的调和函数,则当cb68514a3c5063851afb18b0d4bcdbf6.png在D内是（ C ）时, b23d8bcdb490736c53d5b677455a8cd2.png在D内解析.

A. 可导函数 B.调和函数 C.共轭调和函数

2、复积分90d9015f81a2ed30c224f89f79a6b3b5.png的值为（ B ）

38378e2c49a579cc7c538f2439d805d3.png

3、8fcd01a17ad602c542f98b916cba57f4.png是a936c5e6587e5d3893f2f890ca3d2a83.png的奇点类型是（ D ）

fefeb6daed6a1e1aa337a41b513e241b.png

4、计算7aca831ff4fb814864e710cc063da1be.png的结果是（ B ）

fd5e493a4b448dbdf8597bd750c2b475.png

5、下列函数在7b15649a415c8b1069371e518840c8dc.png处处解析的是（ C ）

f6cf8273dc3fd170c2aeaeadb2117389.png

6．当x〈0, y13dea729e4229f3f0ae3ceb792668805.png时,argz=( C ).

A. e2d728009c57e07ccab2838793ea5ffd.png ; B. 807a02d5a46f4172e4a678a08d56da09.png;

C2379661087ed463329cb08e8d9932d8a.png ; D. ff6ea60335404bb641dc5cb823226cff.png .

7．argz1z2=( A )..

A．argz1+argz2; B. argz1+argz2+2k31bf0b12546409e15021243132fc7574.png(k是整数);

C.argz1+argz2+2k131bf0b12546409e15021243132fc7574.png（k1是某个整数）; D.argz1+argz2+31bf0b12546409e15021243132fc7574.png.

8.下列集合是有界闭区域的是（ C ）

A 0<2047423f0aa1da9015ad57ccc86063bc.png; B Rez<2;

C.fe4aaf491d654baa6e1a78da471c95a9.png 且Imz13dea729e4229f3f0ae3ceb792668805.png; D.fe67670b299f09d58cb3598d5d67e07b.png且 Rez>0 .

9.方程z=t+5a56c7c82f2fbc7a33e593bad1ae0646.png在平面上表示的是（ B ）.

A．直线y=x; B. 双曲线 y=afc48b56873694f3d43097841ecc3f4f.png;

C椭圆周； D 圆周

10.函数b23d8bcdb490736c53d5b677455a8cd2.png=d2424dd8c4b02d3a92c451a741064fdc.png在8fcd01a17ad602c542f98b916cba57f4.png处（ A ）.

A. 连续 B. 可导 C. 解析

11. 55bbe5d1063261f56b5a442eaf1e3eeb.png=( A ).

A．1662906b42c0ef6d289e48db87c331cf.png bd9d50f4f1bcd04e2d7d21b57b56e9f8.png d30f8187e88df0f46c0134a491ef79b9.png ddc11817186259976428808021dd3090.pngd41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png

12.函数w=f(z)仅在点z0可微，则w=f(z)在点z0（ D ）

A解析； B某邻域内处处解析； C.不解析。

13.shz是 ( D )函数

A以a1c836d0e4b0212c512b016cba67a88b.png.为周期的； B以854120c498344e3e8569c710373185ca.png为周期的；

C以7e7a0ec73d6266e15ab8568c8f4f6c0c.png为周期的； D非周期。

14.设af92d20f2f0756fa1a11108238389c14.png,则215825f9d1470ed751ccf6c888d4d802.png（ B ）.

A. sin1ch1 B. cos1sh1 C. cos1ch1

15.若f(z)在D内解析，且10a3bb1454387a68c33ec44015a372e1.png在D内解析，则（ A ）。

A.f(z)在D内为一常数； B.41fce9880c5ab1dcec633853a22d5dbf.png；

C.f(z)在D内不是一个常量函数。 D.以上都不对.

16.积分ca7eaf73ea435a143f88cc9f8d491a1d.png=（ B ）.

A. 37393241c82dd903ae4d35f0caf48c3a.png B. 854120c498344e3e8569c710373185ca.png37393241c82dd903ae4d35f0caf48c3a.png C. 854120c498344e3e8569c710373185ca.png75bb71203527eca38367c52215c69e71.png

17．若v是u的共轭调和函数，则( D )的共轭调和函数。

A．u是v； B.-u是v； C.u是-v ; D.-v是u.

18. 11468bb980dd6f14022d7ccee13311f3.png( B ).

A．–1; B. 0; C. 1; D .i .

19. 设un=an++bni, 若03ee918192ce2f70b9fea7be4f2816e5.png=0，由此（ C ）

A.得出7f8c89d7267affcef1bbef8d126a64b4.png收敛； B. 得出7f8c89d7267affcef1bbef8d126a64b4.png发散；

C. 不能判断7f8c89d7267affcef1bbef8d126a64b4.png的敛散性。

20. e0466de6e8e201af1ceea8d5bcaf9bae.png的收敛半径为（ A ）

A 0； B 0535aca9168a764a17c281a1b4156c2b.png

21.设复数56a36cc8e3bd32370c7b18832b144d93.png,则fbade9e36a3f36d3d676c1b808451dd7.png的模和幅角的主值分别为（ A ）.

A. e08ef74a10cbfd7c1c143702e005c981.png B. 33012f1134f50c0d10dd053844d2fcf6.png C. 4ec952f2646ac6074f236510d07aff7a.png

22. sin2z+cos2z=1 ( D ).

A.仅在实轴上成立； B. 在第一象限成立；

C. 在上半复平面成立； D 在复平面上成立。

23．Cotz的零点和级（ C ）

A 4bf2706f7367dabfbf30eb429d8afeec.png一级； B 4bf2706f7367dabfbf30eb429d8afeec.png二级；

C c1ebf07fabc3ba6f995b10a42fac19f5.png一级； D df4b1006f0f0808fe3c2a229f1ad0212.png一级。

24.下列命题中, 正确的是（ C ）.

A.零的幅角为零 B.仅存在一个z使d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.pnga7a1ea17d8b7f29e24c6fd882968638b.png C. eb63b0b8885ac1bf46289d4be2ca96c1.png

25、e24493bb86fe82df3a2ea8b670989fbe.png是（ B ）区域.

A. 有界区域 B. 单连通区域 C. 多连通区域

26、在复数域内,下列数中为实数的是（ A ）.

A.94dcaca31142110d983ccc08701d377a.png B.b6ffb3580538593ba83d1a3932c9102c.png C.efd0b67633d8fb7b3fe5f225705db845.png

27、函数b23d8bcdb490736c53d5b677455a8cd2.png=7db5e3ec92f18b8e39aa043575959617.png将区域Re(z)<1映射成（ A ）.

A.e8b69e2b2835b2be2de3fd04405b7ea6.png B.605fd7053399858a30e668684f17a3b4.png C.3ce1a7e29310c08f9f522fc5e08998a8.png

28、下列函数中为解析函数的是（ B ）.

A.b23d8bcdb490736c53d5b677455a8cd2.png=9c90879b24c3b90ac266df52be61dd4b.png B.b23d8bcdb490736c53d5b677455a8cd2.png=54d797a7d61964ababa192170c3e52d5.png

C.b23d8bcdb490736c53d5b677455a8cd2.png= 96f9c088a56532ff0286f2267e63d810.png

29、设977782615e54462c805f44648c6a14cf.png是闭曲线c内一点, n为自然数,则06ff818a1f4c89cbc1feee94013dcdfa.png=（ C ）.

A. 0 B. 854120c498344e3e8569c710373185ca.png C. 0或854120c498344e3e8569c710373185ca.png

30、下列积分中,其积分值不为零的是（ C ）.

A. 6cadafd95251accddbd59706443e0824.png B. 0b37235902cd7bb19746dc665fd91491.png C. a531205439233e996c9acc7aef54c0bf.png

二、填空题

31、复数方程3ea269cd214b6ddf311850ad58e53e00.png的解为8e7bf3afb5b7334e6afda396b47369e6.png .

32、70aead4a57e5daa35125ec057fc575dd.png表示的曲线是b08ba1a364f7e43528a35cf9af0551f5.png。

33、2e3b2fc2371e2f8622f3b742d5cf9ed9.png8eb651f8238f923da24412cc4c0d3200.png。

34、将函数212ed8fe9e949256fc1719e2a1311e60.png由7b15649a415c8b1069371e518840c8dc.png中的a255512f9d61a6777bd5a304235bd26d.png映射38438dfda7fcc9efa071cb769a9c721b.png中的图形方程表示为2df4026f91d1e2dcef892fe21086caf3.png 。

35、2851bba4e3068c92379ede2671263e73.pnge6d1a629ce28c1f87fbc4e389dd668a6.png 。

36、函数accf0c7493abc7faf0b1e6e0c2c32870.png的支点是066ec7e1bc81e1b606e9425e2425d645.png 。

37、1091f494c11c578264aba187944f0d30.png表示的区域是3d97914bd19d7980c4052a3f44233203.png

38、复数4+3i的实部是 4 ，虚部是 3 。

39、由棣莫弗公式，(cos7943b5fdf911af3ffcf9d8f738478e8a.png+isin7943b5fdf911af3ffcf9d8f738478e8a.png)8200f691f48af7b419159ca8ea89951b.png= cosn7943b5fdf911af3ffcf9d8f738478e8a.png+isinn7943b5fdf911af3ffcf9d8f738478e8a.png .

40、设复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，则在直角坐标系中，函数的C-R条件可表示为: bc57f0b6b0148dd4a364f26633ffda8c.png 6d6a05e397cd6b8fbc61c96cb9740536.png。

41、函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y),在区域D内解析的充分必要条件为:dbcfcf012adaece73d13d3eb6ffb7a3d.png 23be0df4d0d544b57ee2063b1745c2c8.png在D内连续。

42、若函数f(z)在Sab787e7ac9c097ccedb0bebb282c3001.png平面上解析且有界，则f(z)必为常数。

43、函数55da574462bedb4e146729b59e82ecda.png的周期为854120c498344e3e8569c710373185ca.png.

44、幂级数592ac260007af00e9702a2a89c01f79f.png的和函数为853c89b724f37032bd7b73f109fb9f27.png.

45、设f3e6f40cf090f30a6a8b70f5aff1cde2.png，则b23d8bcdb490736c53d5b677455a8cd2.png的定义域为b0cee61bec5260d80ce97898c663485c.png .

46、设函数b23d8bcdb490736c53d5b677455a8cd2.png在单连域D内解析,G(z)是它的一个原函数,且61280246e4a40e12a8c6a4e5a393c7ed.png,则42eeebc258290a590828fe93a188fb6e.png=8f4a99123b9e5004c1a04a4100ec80a5.png .

47、592ac260007af00e9702a2a89c01f79f.png的收敛半径为 c4ca4238a0b923820dcc509a6f75849b.png .

48、7cdb4ccef3c29d5f34899e5961523b0c.png=9ff616a8e3b772f3466f2db4db554a40.png .

49. 设267b9a8b68fb251ef64d5b2cd34ec290.png，则3155b08868e539066a17db17f40c9f8c.png，

50.设ae8def6c86adccc44ba22d67a8357ac3.png，则ce81b0b35dc3c6433db166efd9d18e96.pngc882e6845a3d760658ce043d5d5abc62.png.

51. 66a23c5d6c2cb3a8715c8e3b5f830871.png69e893dd2a29918f47770be3745c0be6.png .（7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png为自然数）

52. 幂级数8dc6056540eabbab761907a47e2030c4.png的收敛半径为 1 .

53. 若z0是f(z)的m阶零点且m>0，则z0是28102ad46542ff3d2cb5caefa7011773.png的 ef543117bfa4bf2090509daa817906a0.png. 零点.

54. 函数ez的周期为932138ed373792d22d2077360dcc3aa3.png，bbb2d0105b865b584c2e62333901ce92.png .

55. 方程beee685d52e70f6ae988d509c9d13dec.png在单位圆内的零点个数为 0 .

56. 设1a1297f9215338f8e4c04ff0032e953a.png，则b23d8bcdb490736c53d5b677455a8cd2.png的孤立奇点有 4583f4aa069fc82fa3ea5bc68ff6c63d.png .

57. 函数40b79a91bbfe384d28c7e40b866d4d9a.png的不解析点之集为 e1e1d3d40573127e9ee0480caf1283d6.png.

58. 92e3d45a48fbfdf2e75faf27e63f5000.png

59、设函数b23d8bcdb490736c53d5b677455a8cd2.png=1440c811cbeab7b94ea8aca688030771.png在8fcd01a17ad602c542f98b916cba57f4.png处连续,则常数A=____________.

答案：1

60、若z=a为f(z)的m阶极点,为g(z)的n阶极点(m>n),则z=a为f(z)g(z)的cf1ade4c34301c43d30481ed5d6c52c1.png 阶极点,为e5f2f280e927f55c6d61ad6bf81f53fd.png的eb15d155a05a11f6ff897e3d9a754427.png阶极点.

61、设878a577eaee7a5ac7603a9893d5603be.png,则47343b8dde84398da417e068483240d2.png=d4833c9868afbbcc3cf16fdb3b436917.png,f2099e9e374694c6b85529c90f838de7.png=473a43d6abd9b61fc1c7fcb95ceac30c.png.

62、设8292821b5b797dfa515487eb7028bd49.png则由b23d8bcdb490736c53d5b677455a8cd2.png所确定的 1669a6890a68e472f43870400b77889f.png=cc961d198bdb25f1b8d346fcb8686c09.png,

cb68514a3c5063851afb18b0d4bcdbf6.png=994974acde6d65088ab9044fe47dc81c.png.

63、函数b23d8bcdb490736c53d5b677455a8cd2.png=2841e68cfc66219bbb7df765058d6942.png在z=0处的罗朗展开式的最小成立范围为5e0ca610fed07db2a2092f3002ad2067.png .

64、设函数b23d8bcdb490736c53d5b677455a8cd2.png=a65f173b227b79ab2563b826d46b0c3c.png,则02b3b558e1a06abf91a4bf6c8e1c9a9c.png=3700b02cbfa972bfefbfc99de06a38fe.png.若b23d8bcdb490736c53d5b677455a8cd2.png=43a951ab91bebae9fee4fd5d4fc13acc.png,则b2bbfcab4bb808e6b8a40479fa159147.png=2a9b5bebca995515b770160697460c81.png

65、当a= 93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png 时, 243c331a8ddb7756d8fc6beef6c9b620.png在区域x>0内解析

66、函数b23d8bcdb490736c53d5b677455a8cd2.png=tgz在z=0处的泰勒展开式的收敛半经为 6d1a6127d3610e7b68659478ed0c2ae2.png

67、设0de2605527814d820d46b3dd480d258d.png,则716c6e52ae31c1de622f41419d2d6f39.png

答案：c4ca4238a0b923820dcc509a6f75849b.png ，-6c2e3e2e98abd1fd9a66519db9da8d90.png

三、解答题

68、计算积分67b509e14c4ef8e693770e0a8f814ff0.png其中C原点到点1＋i的直线段。

解：1+i的参数方程为x=t,y=t,0

a1e587a71288d90fd3dcf7426ae96e04.png=id41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.pngb05abe6e3165f641821d28fdf6bd46a0.png=1/3(-1+i)

69、利用泰勒定理,将函数f(z)=eb81f4a438e453b81807ebc03bb97d94f.png在点z=0展开成幂级数。

解：因为：f2074303a8bb73321bbd4d52c2ce939e0.png=eb81f4a438e453b81807ebc03bb97d94f.png,所以

f696e10c651ef84b7c84d27926cb41556.png（0）=1，f95be13559828a58d42c8e0653de9cbd4.png=1，………f2074303a8bb73321bbd4d52c2ce939e0.png（0）=1

且f（0）=1，于是

eb81f4a438e453b81807ebc03bb97d94f.png=d756921c71c7c3e40364a2348c4d9758.png

70、将函数f(z)=9e17d2785cdd01c5aba01e702760de6a.png在0<a417be8301ef28c7efb3bba5f799b0f9.png<+b63148f54c8e3d3cfd0603baae351208.png上展开成洛朗级数。

解：f(z)=(1/z)sinz

=1/zf567d0673a12c65cc3a788e481d2190a.png=24a10c52d44d7735f926a3dbe0fc0fcb.png(0<|z|<47d663ed8194eaf7b38cb1193fc4cd12.png)

易证：上级数收敛。

71、求函数f(z)=f1526cfa896214d8fece0cfeb77bd73f.png在指定点z=0的留数。

设f(z)=f1526cfa896214d8fece0cfeb77bd73f.png，z=0是f(z)的孤立奇点。

f(z)= 77f87fb323ff1b110be63be3f7e179d5.png(-2z-5450f1887e4711eaaead829843b9a0f1.png - 6bc5a48953e4f9915259d61ff8b76315.png ), (0<|z|<47d663ed8194eaf7b38cb1193fc4cd12.png)

所以，a7f6a323f4563573438fdf4e29e172024.png=-4/15

即：f(z)在指定点的留数为—4/15

72、设函数b23d8bcdb490736c53d5b677455a8cd2.png=61684a916850e5487e0c6293cd87a775.png在复平面可导,试确定常数e3de4b681a696cabc06e0092a8ec726d.png并求92005e7a806c2604ba3901a8a5ffa1ae.png.

答案：由题意得679cade7c40c35b506d8db1b6bde285e.png

利用80c774d1210348b7bdcd7a8365a0fad0.png，得a255ace4645e329083c2581425f4cc98.png

ab5c31d7dd60c2d00af4cc3a84dde2f9.png，得a427d28ae842d1ef8439d477b6291d7c.png，29647ea1f092f918ce64337076f23f0b.png，40aa2227f8ab9f9737e2ce467090bb9c.png

则 3df2f12c72babffcdc02da1a6ddffcc6.png

ea1a5bfb01de5ec92cceaaf62067f516.png

73、试讨论定义于复平面内的函数3614a39670f5858de9c0dd3310444812.png的可导性.

答案：由题意知590a5237aa798a12b40b38e22ad235e1.png，由于

68da417b7246222c04a0fdaffeffd527.png，5ff0093b51bf439af24acb86348a047f.png可得2d73345a494686e0abeda57ccf41cfa8.png

由函数可导条件知，3614a39670f5858de9c0dd3310444812.png仅在8fcd01a17ad602c542f98b916cba57f4.png处可导。

74、计算daeed80239a6802c84060e412bd35e96.png,其中c是从原点沿x轴至b72cde538238484c32100f55e9e2ec34.png,然后由977782615e54462c805f44648c6a14cf.png沿直线x=1至d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.pngd41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png

d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png998e0751e73dd24b2e1066ca7b74736f.png的折线段.

答案：b3916ac80c7c4272da55a534a3d279c0.png

2c22af2f9e5f2def6832b49d1e25f255.png 其中

856fb680ffee7410aa2025e9f4ce0f09.png：e63f329897e79cddd0989c369c4b14d4.png 003f02d93458e9661d2ac08089dc8c4b.png ffb83392d88c36442a2757da2bbda2d1.png

ba2ee144cfdb2a52863a9f3e7ef3c9e3.png：ac29a1896ab85ae6d88a6ae87d531bff.png 003f02d93458e9661d2ac08089dc8c4b.png

544e06e7c99c875162d3a7eb1bbc701c.pngafbe221c0b923fd311bcf6dbae4ca329.png

所以 1eb685cd95a0e46564291d593e644fff.png

75.求下列函数在奇点处的留数

335335e13234066e356631427306f1b1.png.

答案：335335e13234066e356631427306f1b1.png的奇点为cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.png,且8fcd01a17ad602c542f98b916cba57f4.png为其三阶极点.

7fadfdc2c99748972d0c287ecce813d4.png

或 1c622a361aff3268b51c12c3e64c3efc.png

=0f99b1ebfe3da9e90f56899ff1aef8d3.png

有 4d9aa67055da8e97e138809e105c3dda.png

76.将下列函数在指定区域内展成泰勒级数或罗朗级数

e664d2af2913f737eb9037da0f61186e.png ea918312c220a45fdf9cafbff75e84b1.png

答案：b936ede2f97bbdb0917239e06e7f449e.png

=e0aaa8fe709f15ee4ff6dca91dfeef78.png ea918312c220a45fdf9cafbff75e84b1.png

=257669d1452b33c27ef6a60e0eb3f6a7.png ea918312c220a45fdf9cafbff75e84b1.png

77、已知5bab5028cd2d1783147c8f986b892f66.png试求cb68514a3c5063851afb18b0d4bcdbf6.png使b673923363884fea7e73d1c964b5c451.png为解析函数且满足7ee982ea76d40a5c9ea7f7216c68a794.png

答案：由于 0d5726f6e5752d1159982ddba03798da.png 所以

efbe31edb84a792cf9e680423f2ca572.png，6e1a889bbd5e41416827a247625f3a2f.png

又由fa2b09276d03caeb481b079bebd8c2a1.png，即07716d6bea435b15cc05274f84da2be0.png

所以0e066735c0168849f4af364fdf822eb5.png，6a6bf15b164a9bf063614565324ca95b.png（0d61f8370cad1d412f80b84d143e1257.png为常数）

故bfa524dcc6da57689bf155c2236720e2.png，41acbcc5957e936e7f64bb0acd5fa7b9.png

将条件7ee982ea76d40a5c9ea7f7216c68a794.png代入可得38737fe6ddc121bb5607acf06eb65159.png，因此，满足条件7ee982ea76d40a5c9ea7f7216c68a794.png的函数57aecc2e131029f373e241c8d717ca5e.png

78、试证de15ff0e2d12aeac1ad3d0f83897b3a5.png是在不包含原点的复平面内的调和函数, 并求cb68514a3c5063851afb18b0d4bcdbf6.png使b673923363884fea7e73d1c964b5c451.png为解析函数且满足feb4e47f652ea728ec607c16f4e564ab.png.

答案：由于790786b38a8ce2ae908b5e727704dee5.png，2611f37f97397dac22d7a6a1dfbb1558.png 7364855bce89459323806ee84352bcb2.png

3cec145858b1ac3a2a0af4b566b9e51b.png，a7a8182a60b2423e5910e58394e0d28e.png

即b6c30e4406de7dc1dd1649660bef3a1c.png 所以de15ff0e2d12aeac1ad3d0f83897b3a5.png是调和函数 7364855bce89459323806ee84352bcb2.png

5f3a4b2a6bb8dc38ecd6fa98e22cd62e.png，

05cadd15227e4f819f2762024bb736db.png

故有 0f37eb3c71e1fc1f08e49412891a7653.png，4c644e2098c97676abf24b8ffa1b236f.png （0d61f8370cad1d412f80b84d143e1257.png为常数）

所以 15bc3b6eb5066163d66f2075de381e20.png

36c8deea3bb93953ed708bc0fd5e6c28.png

由于 feb4e47f652ea728ec607c16f4e564ab.png代入上式可求得8df0070301d2c858f745526ae74f58df.png，故满足条件feb4e47f652ea728ec607c16f4e564ab.png的函数62053addb5ed1ae3484ef90255fccf76.png

79．求积分

0b671e544d6dacf95b2a8056d9267d5a.png,其中c是从点A(1,0)到点B(-1,0)的上半个圆周.

答案：0da07415040f3afd28983d285906f2ed.png (令e698f8d533818b724f14f3eeacc84830.png

a2006b94824f60691c5fdfbf06bad760.png

c7c35e9576f6d91ca903821b24074ee8.png

b02f4ed5b263c0e627c99c474334bb0a.png

80．求下列函数在奇点处的留数(10’)

8b517b26a8cf4bd2919d19b7b38f539b.png

答案：8b517b26a8cf4bd2919d19b7b38f539b.png的奇点为9360d2c79de73e141e391d96ae0770ba.png,且

1c4cf6fd673d7a301cb449784ae02e8f.png

=9023beb1ab38652155fd53735d91c756.png

=751fdde9bafb7ff0374145335a0ba4a2.png

所以 00fa4b549d4c07b47b7c1c9bb337f59f.png

81．将下列函数在指定区域内展成泰勒级数或罗朗级数(10’)

6071d99e3bdb92e92c35ce1cec9ff2eb.png 94587322e4d62d5682d8550cd702480c.png

答案：523c7ae1fa27d5510344bedc6a1603e3.png

=d1d66567348ab6dccf387ea04c0437eb.png

=dc3e9ba6428126bdad990256eefbf50c.png 94587322e4d62d5682d8550cd702480c.png

=792f85fd31fd9054cba017ff57c00a6c.png 94587322e4d62d5682d8550cd702480c.png

83. 求函数d21d7c0fcbad2ea978786b48984e98a8.png的幂级数展开式.

解 349fc10b7f904d36d1cf616bb2940ace.png.

84. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数30226d67818639a05e449df3cae912d5.png在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点f8ffb425c30b76e3906dac96f1203db8.png处的值.

解令8447c5776ca978ed5f4508a9606986f7.png.

则c5350bad43c80cbba03dd59a6fd5b7ae.png.

又因为在正实轴去正实值，所以22d9bb2875d7a70aeb68696096f3b9b2.png.

所以f2a0457de1611dc22540790cff9dd1a1.png.

85．计算积分：6b02f047d61e7cbeae6d915c611b22f9.png，积分路径为（1）单位圆（3fc592e1ce11e6442a631847779aeded.png）的右半圆.

单位圆的右半圆周为7b0528a1a5bbf0083f0840a9b5fa172a.png, 56a1b12463a788de51da96bc6e99a2f9.png.

所以5a13395688ecb1f9aab003b711e43857.png.

86. 求18ba31b5bc6a206375a8e346df63aca1.png.

解

word/media/image314_1.pngword/media/image315_1.png=0.

87. 证明设函数f(z)在区域D内解析，试证：f(z)在D内为常数的充要条件是d7aa55ef5def32552fb3c9ceced331c6.png在D内解析.

证明 (必要性) 令76f25585530a841861e8c9d05e437ba8.png,则8c589dc45028918c350db83efcfd0ca1.png. (1127377e55105135240a547c85296789.png为实常数).

令c0b2742e0d98c0366392441e25a19e44.png. 则6d5f6a3bd95081f195203ba693fef5a8.png.

即703f259d2f1a609d112d61c642e0f17d.png满足dc8205dcdcce8799e634c8d80da553fb.png, 且0f0fdb6cab17d25066cc8720a1e7e469.png连续, 故d7aa55ef5def32552fb3c9ceced331c6.png在f623e75af30e62bbd73d6df5b50bb7b5.png内解析.

(充分性) 令d0f9146bffa17b5571cb662b5850fc05.png, 则 d375e4a4498571fb8167a57f63732b2b.png,

因为b23d8bcdb490736c53d5b677455a8cd2.png与d7aa55ef5def32552fb3c9ceced331c6.png在f623e75af30e62bbd73d6df5b50bb7b5.png内解析, 所以

33718c45cfb917cfa94fedd215fe4134.png, 且d4223e59478121dd20b053b72bb6da78.png.

比较等式两边得 6d5f6a3bd95081f195203ba693fef5a8.png. 从而在f623e75af30e62bbd73d6df5b50bb7b5.png内703f259d2f1a609d112d61c642e0f17d.png均为常数,故b23d8bcdb490736c53d5b677455a8cd2.png在f623e75af30e62bbd73d6df5b50bb7b5.png内为常数.

88. 证明试用儒歇定理证明代数基本定理.

即要证“任一 7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png 次方程 00ef039e884b92e148b2b77a4f1f5b75.png 有且只有 7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png个根”.

证明：令2cf2ee4ba1f4d46afbf04f91458553ae.png, 取bbce7394dc806ab9a5ce916c63f6c4c6.png, 当fbade9e36a3f36d3d676c1b808451dd7.png在33a22a004d10486eae32d3e8d8eb0d21.png上时, 有

7c10702ce29eb29c0f6eba46ed965176.png.

f972865dc9f25884361b47624f67f89b.png.

由儒歇定理知在圆 2c310fa3193b527f458f7f77fc8cf3c1.png 内, 方程6d9e21189364dee948f7adfeec398209.png 与 1a45c21f50b41d4367956ef7ffda99d9.png 有相

同个数的根. 而 1a45c21f50b41d4367956ef7ffda99d9.png 在 2c310fa3193b527f458f7f77fc8cf3c1.png 内有一个7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png重根 8fcd01a17ad602c542f98b916cba57f4.png. 因此7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png次方程在2c310fa3193b527f458f7f77fc8cf3c1.png 内有7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png个根.

89、16fc4b89896ff942dc705b9fc4418ea0.png

解：1b33eaadddf8c0dd7819a3386174adfe.png在aa888bed3922467bd04545e8db70426f.png上解析，由878c8bb200480f6079ee42115e3df8ac.png积分公式，有

f7f10a32b879e86ea05cdf472f0bb781.pngce0edc9e53a7c44f548a4755a05ea81a.png

90、求7ca08fb83d2775f9e7375877037ca13f.png

解：设8fcc1f84f3055c94fd81b95ad039f11e.png，有b120d45c1a4d29f5ab9a1db45db3d906.png

91、a09f91e2378ca03e0510ba77a5e9c362.png

解：0ea9aa6e0d4c2af59a6ef1556949386e.png

214fcb7bef21101a0f154146a109c276.png

92、设4569f28c2962cc0df44f107ac0aa4b43.png 求cb68514a3c5063851afb18b0d4bcdbf6.png，使得b673923363884fea7e73d1c964b5c451.png为解析函数，且满足d00313d70b30f49007919d6601f2b3f8.png。其中c8eab31cea62847b71af5d98fd4d9b2b.png（f623e75af30e62bbd73d6df5b50bb7b5.png为复平面内的区域）.

af2ec4e6953a61b34c56e9e28de02fd3.png，7b5241dee36bf2d520807660701b6da4.png

93、求bc4330d9ed835f91d3dfe0595b3d3b25.png，在676e9a2b232131d718260d7320a1ea85.png内根的个数5058f1af8388633f609cadb75a75dc9d.png

解：

588641109eaf31279421ff97c9419bc8.png4099c882e66119fbb90861bb75de2d72.png

908e951d673e4185196634acf57270e2.png0c266fca30f7a22011ebda053d8afefb.png

9410ff944470b351c1c87da18dd71b1d.png

故27db23b740a4ac3a806ae22956cf93e4.png，d4fd5357d9c6145df39933de5e0359c0.png

94. 解：令5f0a028a45ef0e0842274a609375c83a.png，4c05c15d4e1af9cd93652d3d3adca0d7.png 则50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png，17aa20a885a267996bffe03ac0f92a2e.png在676e9a2b232131d718260d7320a1ea85.png内均解析，且当93e3833888a85413bdcd84e8c1966501.png时