求函数解析式的六种常用方法

求函数解析式的九种常用方法

一、换元法

已知复合函数f [g（x）]的解析式，求原函数f（x）的解析式， 把g（x）看成一个整体t，进行换元，从而求出f（x）的方法。

例1 已知f（）=，求f（x）的解析式.

解： 设= t ，则 x= （t≠1），

∴f（t）= = 1+ +（t－1）= t2－t+1

故 f（x）=x2－x+1 （x≠1）.

评注: 实施换元后,应注意新变量的取值范围,即为函数的定义域.

二、配凑法

例2 已知f（+1）= x+2，求f（x）的解析式.

解： f（+1）= +2+1－1=－1，

∴ f（+1）=－1 （+1≥1），将+1视为自变量x，则有

f（x）= x2－1 （x≥1）.

评注: 使用配凑法时，一定要注意函数的定义域的变化，否则容易出错.

三、待定系数法

已知函数解析式的类型，可设其解析式的形式，根据已知条件建立关于待定系数的方程，从而求出函数解析式的方法。

例3 已知二次函数f（x）满足f（0）=0，f（x+1）= f（x）+2x+8，求f（x）的解析式.

解：设二次函数f（x）= ax2+bx+c，则 f（0）= c= 0 ①

f（x+1）= a+b（x+1）= ax2+（2a+b）x+a+b ②

由f（x+1）= f（x）+2x+8 与①、② 得

解得 故f（x）= x2+7x.

评注: 已知函数类型，常用待定系数法求函数解析式.

四、消去法（方程组法）

例4 设函数f（x）满足f（x）+2 f（）= x （x≠0），求f（x）函数解析式.

分析：欲求f（x），必须消去已知中的f（），若用去代替已知中x，便可得到另一个方程，联立方程组求解即可.

解：∵ f（x）+2 f（）= x （x≠0） ①

由代入得 2f（x）+f（）=（x≠0） ②

解 ①② 构成的方程组，得 f（x）=－（x≠0）.

评注：方程组法求解析式的关键是根据已知方程中式子的特点，构造另一个方程

练习：已知定义在R上的函数满足，求的解析式。

五、特殊值法

例5 设是定义在R上的函数，且满足f（0）=1，并且对任意的实数x，y，有

f（x－y）= f（x）－ y（2x－y+1），求f（x）函数解析式.

分析：要f（0）=1，x，y是任意的实数及f（x－y）= f（x）－ y（2x－y+1），得到

f（x）函数解析式，只有令x = y.

解： 令x = y ，由f（x－y）= f（x）－ y（2x－y+1） 得

f（0）= f（x）－ x（2x－x+1），整理得 f（x）= x2+x+1.

练习： 已知函数的定义域为R，并对一切实数x，y都有，求的解析式。

六、对称性法

即根据所给函数图象的对称性及函数在某一区间上的解析式，求另一区间上的解析式.

例6 已知是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x－x2，求f（x）函数解析式.

解：∵y=f（x）是定义在R上的奇函数， ∴y=f（x）的图象关于原点对称.

当x≥0时，f（x）=2x－x2的顶点（1，1），它关于原点对称点（－1，—1），

因此当x<0时，y=－1= x2 +2x.故 f（x）=

评注: 对于一些函数图象对称性问题,如果能结合图形来解,就会使问题简单化.

七、函数性质法

利用函数的性质如奇偶性、单调性、周期性等求函数解析式的方法。

例6. 已知函数是R上的奇函数，当的解析式。

解析：因为是R上的奇函数，

所以，

当，

所以

八、反函数法

利用反函数的定义求反函数的解析式的方法。

例7. 已知函数，求它的反函数。

解：因为，

反函数为

九、“即时定义”法

给出一个“即时定义”函数，根据这个定义求函数解析式的方法。

例8. 对定义域分别是的函数，规定：函数

若，写出函数的解析式。

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