江苏省南京师范大学附属扬子中学2020届高三第二学期期初自测数学试题

南师大附属扬子中学2020届高三第二学期期初自测

数学Ⅰ

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）

1．已知集合22a270d655b04221ce82235dccb78b67.png，5dba7a6f85b8ec3fa9b1a49bbf3e17b6.png，若7259fdcd955e5e285efacf7c68613606.png，则1e49ca292213f572d50c447279071024.png．

2．若复数d2d7812c0ee6bf4d5ad03a97223e9061.png为纯虚数（865c0c0b4ab0e063e5caa3387c1a8741.png为虚数单位），则实数5ba758f9b6f95cbaf66a64bc24859213.png______．

3．一组数据4，5，6，8，7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png的平均数为7，则该组数据的方差s2为______．

4．袋中装有大小相同且形状一样的四个球，四个球上分别标有“1”､“2”､“3”､“4”这四个数．现从中随机选取两个球，则所选的两个球上的数字之和恰好为偶数的概率是______．

5．执行如图所示的伪代码，输出的结果是．

6．已知双曲线87a35911a48a47a373b3aede0af362af.png的离心率为91a24814efa2661939c57367281c819c.png，则该双曲线的渐近线方程为_______．

7．在等比数列3d0299a906f22a56ae7e72f5cb3590bf.png中，ce7bccd95db37776721a69c77d633ac3.png，7914e2cb63d2c9002a209344dfd3d23a.png，44d853a7808a331d95220fcb38095649.png为3d0299a906f22a56ae7e72f5cb3590bf.png的前7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png项和．若bf984bf3b959868e1f7279479983def2.png，则260b6099fd117588a809e4fb924e1d63.png__________．

8． 若函数173c45d9faa520aaf1d638da0b5c43af.png为偶函数，则6c4dbec1c9102e1076a6a6ca04576cf0.png的值为________．

9．如图，在正四棱柱fa74795710d68e6da45909b820cee7b1.png中，P是侧棱86e43cc8f867b1331bc49e439e8afa17.png上一点，且c1b1ce1871cf584dd3cbbcf9458c2394.png．设三棱锥44d1fa9209408f5f1cea6944cc8376d3.png的体积为15df402d99d5ae494c0eec6b149b3dd9.png，正四棱柱fa74795710d68e6da45909b820cee7b1.png的体积为V，则0448e70da3e5dda6c57c82a3f04130a0.png的值为________．

10．已知函数9ede73d3bb51bafabd90d8c6d0b6d78d.png，则不等式6f8874feef0300781d9e8806e5a2bf57.png的解集为_________．

11．如图，在长方形ABCD中，M，N分别为线段BC，CD的中点，若ed853c76f6c759571ef51c1934b1f673.png，6f97853c1f54f505b0d38842afa6ca86.png，1f9bddd5d2e03dba722c8bb0480415b6.png，则25fbfc977afee37479c4bd0fcaa4001b.png的值为______．

12．若92cc336a9f163d4c6870d8e016934cfb.png为半圆直径b86fc6b051f63d73de262d4c34e3a0a9.png延长线上的一点，且86eb66a5e8242d207c1f063e633c4ff9.png，过动点44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png作半圆的切线，切点为f09564c9ca56850d4cd6b3319e541aee.png，若55782d65c1295add4e0c77960007119c.png，则e1dadd06e140f0a18a2b18634360b18a.png面积的最大值为____．

13．已知75b781a7c7441078ffd5053329c34092.png的三个角ce04be1226e56f48da55b6c130d45b94.png所对的边为a44c56c8177e32d3613988f4dba7962e.png．若696b4c97f7be100ac5837c0cf4411c9d.png，f623e75af30e62bbd73d6df5b50bb7b5.png为边f85b7b377112c272bc87f3e73f10508d.png上一点，且1051106e926f3bac272e43c550e5885b.png，则4831b5388ac0678db89c1ba49beb1426.png的最小值为_________．

14．已知函数093e96c84c466bf5d76a545dae088db8.png，若1baaa0c06bbf628a204479c0dbaf21a6.png，使得6fb0442d8956f70a7213fab4edb513c3.png，则6f8f57715090da2632453988d9a1501b.png的取值范围是______

二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）

15．（本小题满分14分）

已知5c3ab2010383a57cbf56a7449001a2b9.png，6a207a27b95a80eee16080933ab588c0.png，其中7d18b996d20e6affdda451fa1b3fdfef.png．

（1）求4ab3974f9e91e99dfcef77412669e723.png的值；

（2）求780f682fa75159c1d2d0965902ede155.png的值．

16．（本小题满分14分）

如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD∥平面BCC1B1，AD⊥DB．求证：

（1）BC∥平面ADD1A1；

（2）平面BCC1B1⊥平面BDD1B1．

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17．（本小题满分14分）

如图，在南北方向有一条公路，一半径为1006f8f57715090da2632453988d9a1501b.png的圆形广场（圆心为f186217753c37b9b9f958d906208506e.png）与此公路所在直线2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png相切于点7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png，点44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png为北半圆弧（弧0dac169af9baf5fad82534926ce5eb00.png）上的一点，过点44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png作直线2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png的垂线，垂足为f09564c9ca56850d4cd6b3319e541aee.png，计划在b9496b23134613b2a553f176771ebb96.png内（图中阴影部分）进行绿化，设b9496b23134613b2a553f176771ebb96.png的面积为5dbc98dcc983a70728bd082d1a47546e.png（单位：b8c460643608d59ace5819d3971b4261.png），

（1）设ff510706025523ba02d19bb8ebaf791d.png，将5dbc98dcc983a70728bd082d1a47546e.png表示为ab410a966ac148e9b78c65c6cdf301fd.png的函数；

（2）确定点44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png的位置，使绿化面积最大，并求出最大面积．

18．（本小题满分16分）

已知椭圆1d3ebadfdd794c1afa5e3636e6fc49df.png（f47950a73ee734549f8bbedaf73a6184.png）的离心率为aed430fdf4c64058b58e05bf9ccbbbde.png，椭圆92cc336a9f163d4c6870d8e016934cfb.png上一点44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png到椭圆92cc336a9f163d4c6870d8e016934cfb.png两焦点距离之和为39b4572b4316b034d8778c77bd53db35.png，如图，f186217753c37b9b9f958d906208506e.png为坐标原点，平行与7457cdd15d09bfc6c4dbb5d2b6f87390.png的直线l交椭圆92cc336a9f163d4c6870d8e016934cfb.png于不同的两点7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png、9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png．

（1）求椭圆方程；

（2）当44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png在第一象限时，直线06f6a489209115c5cef3f45036aad3ec.png，cd203ccd68b84de1c5df8fd890e104e0.png交x轴于3a3ea00cfc35332cedf6e5e9a32e94da.png，800618943025315f869e4e1f09471012.png，若PE＝PF，求点44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png的坐标．

19．（本小题满分16分）

已知函数5ad725a6db4a62d44c1be616913c02fe.png．

（1）当3872c9ae3f427af0be0ead09d07ae2cf.png时，求bf3cc25c2d752823ab942d0912424f81.png在6591c301a1967b213e6955a954efccf6.png处的切线方程；

（2）令3ba325e64c822f6c892635ea8ccc3121.png，已知函数ad7ac2fcd2e22b7a507152d28ef55c97.png有两个极值点9865b118af4cfc107929ec116ab9eb80.png，且2004a0eca63ecc3af1648c63b7a0516b.png，

①求实数0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png的取值范围；

②若存在22a8d30502b83a45b549edf217115ab7.png，使不等式6e989ebb29a00a95ab64ea8200f75235.png对任意0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png（取值范围内的值）恒成立，求实数6f8f57715090da2632453988d9a1501b.png的取值范围．

20．（本小题满分16分）

已知等差数列aa00d752fbc1b144fa33e1c00983440e.png的前n项和为Sn，若ce23fda6fd74f3513e9a8b75712595ea.png为等差数列，且e2e23aa512feb3d2b57e8154d499d0df.png．

（1）求数列aa00d752fbc1b144fa33e1c00983440e.png的通项公式；

（2）是否存在正整数7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png， 使a499f5830dbd0fb6941ce5cb27b09fe6.png成等比数列？若存在，请求出这个等比数列；若不存在，请说明理由；

（3）若数列f52970758b7c6830672bde9c1c132e3a.png满足1e83ce7b98c447de94abf3fe98792ca7.png，1f1d2dbfa0fa16bc7fcb3806a703e2ca.png，且对任意的27e970b4f261e7b82d4604d63168cee9.png，都有fd9b915521f0ddce5e07e20ede279fb1.png，求正整数k的最小值．

数 学Ⅱ（附加题）

21．【选做题】在A、B、C三小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

A．选修4—2：矩阵与变换

已知矩阵M＝2bc9af7b68be6a05ad137b21feaa6064.png．

（1）求M2cfae20f5197e3d3d5ba9d29f1cc93ef.png；

（2）求矩阵M的特征值和特征向量．

B．选修4—4：坐标系与参数方程

在极坐标系7a03c42212c6ea2e4067a288b6053a10.png中，求曲线f3bb3fc312085cfb2d1ae550377f7a9d.png与05b30deedb6cc08fb8873864ffa24a99.png的交点f09564c9ca56850d4cd6b3319e541aee.png的极坐标．

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

22．（本小题满分10分）

现有4个旅游团队，3条旅游线路．

（1）求恰有2条线路被选择的概率；

（2）设被选中旅游线路条数为X，求X的分布列和数学期望．

23．（本小题满分10分）

已知6d64ce0b83abc5429e7cd42083937262.png

（1）求312392f8c3e0055cc051c50e2efd56f7.png的值；

（2）求850b7131bbcec55a887d3d5c2042f0a4.png的值．

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/5bda38ea3069a45177232f60ddccda38366be117.html