由一个课例浅谈数学概念教学难点突破
陈以明
当前正值数学课程改革深入发展时期，正如郑毓信教授说：“这事实上应被看成广大教学教育工作者所面临的一个紧迫任务：即应当对各类数学题材做出深入的分析，包括清楚地界定各个相关“教学难点”，并通过积极的教学实践与深入的理论研究逐步地去突破这些难点。”“如何突破这些难点事实上就应当被成数学课程改革深入发展的一个必要要求。”作为一名战斗在教学第一线的中学数学老师，深感教学难点突破的重要性和艰巨性，深感提高突破教学难点的能力的必要性和紧迫性。最近一位老先生来我校应聘高中数学教师，我同几位老师听了这堂试教课。这堂课再次触动了我对概念教学难点突破的思考。在此谈一谈个人的看法，以抛砖引玉，请同行斧正。
这位老师上的是人教版全日制普高数学（必修）第二册（下A）P24“4、斜线在平面上的射影”与P25“5、直线与平面所成的角”。他设计了如下教学过程：
（1）开门见山引入课题（2）新授
I、点在平面上的射影。从日常生活中物体的影子说到点在平面上的射影的概念，紧接着画图形下定义，再接着给出垂线段、斜线、斜线段的概念，然后用日常生活中树簱竿问题说明过一点的垂线段唯一，过一点的斜线段不唯一。
II、由老师直接给出“斜线在平面上的射影”的定义，画出了习惯位置图形（平面为水平面）。（未设计“斜线在平面上的射影”的识别训练，更未设计非习惯位置情况下的变式训练。
Ⅲ、师生共同讨论斜线段、垂线段的性质，得到P24定理。
Ⅳ、接下来学习“直线与平面所成的角”。首先老师给出定义，然后证明了“斜线与平面所成的角是这条斜线和这个平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小角”，最后分析得出更一般的结论。
（3）练习：P25练习作业布置
这堂课听课的大多数老师给出了“较好”的评价。我认为值得商榷的地方很多，比如难点确定准确不？难点突破了吗？
“斜线在平面上的射影”该内容我认为有两处难点。一是“射影”的概念，日常生活中的“影子”与数学上的“射影”的联系和区别；二是在非习惯位置下斜线在平面上射影的识别。怎样突破这两处难点呢？
这位老师设计用日常生活中“影子”来形成数学上“射影”的概念，这种设计考虑是可取的。根据情景创设的现实性原则。一方面现实的情景中蕴涵着大量的数学学习对象，通过这样的情景有利于学生良好数学观的形成，也有利于激发学生的学习兴趣；另一方面现实的情景也可能提供了一个亟待解决的实际问题，这样的情景有利于提高学生具体问题解决能力和数学应用能力。显然，现实情景设计得当，引导学生观察、比较、分析、抽象、概括，去粗存精、去伪存真形成概念，概念的教学难点一定能突破。以日常生活中的“影子”为基础来形成数学上“射影”的概念，可以使学生感到数学就在我们身边，有
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亲切感。但“射影”是一个严格的数学概念，与“影子”是既有联系又有区别的。如果未能说清楚，或者未让学生清楚认识到二者的区别，甚至把二者混为一谈，就谈不上对该概念的理解。这位老师正是没有让学生认识到这二者的区别。他举例斜长着的树在地面上的“影子”，我们知道在同一天的不同时刻，它的“影子”是不同的。然而它在地面上的“射影”在任何时刻都是不变的唯一的。问题的关键是太阳光线在同一天的不同时刻与地面所成的角不同，即太阳光线与地平面不一定垂直。这样分析，有利于学生把握住“斜线在平面上的射影”的关键是在斜线上任取一点（除斜足处）作平面的垂线，即找到斜线上除斜足外一点在平面上的垂足。
学生明确了“斜线在平面上的射影”的概念，难点就突破了吗？我们常常见到学生对定义记得很熟，但在具体问题中总找不到一条直线在某一个平面上的“射影”。这个问题解决了，难点才能算突破了。怎样才能解决这个问题呢？要从概念的处延入手，特别要训练非习惯位置情形下的情况，加强变式训练。当然可从学生熟悉的情景出发；从实物到图形，从具体到抽象。比如利用教室空间，找教室空间（长方体）一条对角线（体对角线）在教室各个面上的射影，然后画一个长方体ABCD-A1B1C1D1，找出A1C1在六个面上的射影。还可布置一个更有挑战性的问题：如图：空间四边形：ABCD若AC＝AD，BC=BD，求作BA在平面ACDA
B
CD
上的射影。这样可为以后的立体几何学习打下坚实的基础。
“直线与平面所成的角”这一内容，这位老师是照本宣科。学生听课只知其然，而不知其所以然，不利于调动学生学习的积极性，也不利于学生能力的培养，当然也谈不上突破了难点。怎样突破“直线与平面所面角这一概念教学的难点呢？
数学中每个重要概念的引入与定义，几乎都历经了前人长期观察、比较、分析、抽象、概括、创造的慢长过程，这样长期的探索过程往往蕴含着数学中的一些重要的思想方法，它对后人的思维有重要的启迪作用。尽管教学中，我们不可能完全重复前人慢长的探索过程，但能细心体会，抓住方法的精神本质，精心组织设计，创造良好的教学情境，充分暴露概念的形成过程，引导学生领悟形成概念的方法，就可使多数学生在学习过程中处于亢奋状态增强学习的内在活力，使学生成为自觉主动学习的主体，难点自然也就得到了突破。
如何暴露“直线与平面所成的角”这一概念的形成过程呢？学习这一内容之前已学习了“异面直线所成的角”，若那里我们是通过类比，联想及直观的方法逐渐引出概念，明确定义的合理性的话，这里可以引导学生用同样的方法自主研究学习。教学过程可做如下引导：
1、问题提出：通过模型显示，直线与平面也可以形成大小不同的“角”，有的直线与平面也可以形成不同的“距离”，如何寻找一个合适的几何量来刻划直线与平面吗？平面之间的倾斜程度和远近程度呢？我们可以借鉴我们已前学习的哪个内容的方法来研究学习？（学生自然会回答可用“角”与“距离”来描述，可以借鉴“平面直线所以成角的”的学习方法）
2、逐步形成概念：①、直线与直线有所成角的概念，直线与平面哪来的“角”呢？如何规定“直
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