【最新整理,下载后即可编辑】 1. 概述 |
2. 公式推导:
(1)选定坐标系为xoy,如图示 (2)设0点处, 为已知。 规定伸长为正,切应变 以xoy直角增大为正。 |
①由于 而引起ds的长度改变 , ② 方向(即 方向)的线应变 | |
③求 的切应变 即 方向的直角改 坐标轴偏转的角度
以 代替式(c)中的,求得 坐标轴偏转角度:
3. 结论
(1)已知 可求得任意方向 的 | ||
(2)已知 ,求得
(3)主应变和主应变方向
比较上述公式,可见
故: | |
4. 应变圆
5. 应变的实际测量
①用解析法或图解法求一点处的主应变时,首先必须已知 ,然而用应变仪直接测量时, 可以测试,但 不易测量。所以,一般是先测出任选三个方向 的线应变 。 |
得出:
联解三式,求出,于是再求出主应变的方向与数值
④由③ 式求出 ,当 时 与二、四相限的角度相对应。
6. 直角应变花(45°应变花)测量
为了简化计算,三个应变选定三个特殊方向
测得: ,代入 一般公式
求得:
故
讨论:
若 与二、四相限的角度相对应。见P257、7.21题
6. 等角应变花测量
一般公式:
测定值: 代入式(a)得:
主应变方向:
故:
于是由主应变公式:
,穿过二,四相限.见P258,7.22题 |
Example 1. 用直角应变花测得一点的三个方向的线应变
Find:主应变及其方向
Solution:
故 过二、四相限。
Example2. 若已测得等角应变花三个方向的线
试求主应变及其方向
Solution:
即:
|
|
应力测量 (measurement of stress)
测量物体由于外因或内在缺陷而变形时,在它内部任一单位截面积上内外两方的相互作用力。应力是不能直接测量的,只能是先测出应变,然后按应力与应变的关系式计算出应力。若主应力方向已知,只要沿着主应力方向测出主应变,就可算出主应力。各种受力情况下的应变值的测量方法见表1。
轴向拉伸(或压缩)时,沿轴向力方向粘贴应变片(表l之1~4),测出应变ε,按单向虎克定律算出测点的拉(压)应力σ=εE。式中ε为应变,E为弹性模量。
弯曲时在受弯件的上下表面上粘贴应变片(见表1之5~6),测出应变e,可计算弯曲应力。
扭转时沿与圆轴母线成±45。 角的方向贴片(表1之7~9),测出主应变em,再代入虎克定律公式算出主应力σ45o ,即得最大剪应力rmax :
式中μ为泊松比。
拉(压)、弯曲、扭转,其中两种或三种力的联合作用下,不同测量要求的应变值测量方法分别见表1的10~14。
主应力方向未知时的应力测量如图1所示。在该测点沿与某坐标轴X夹角分别为α1 、α2 和α3 的3个方向,各粘贴一枚应变片,分别测出3个方向的应变εα1
εα2 和εα3 根据下式
可解出εx ,εy 和εz 再代入下式求出主应变ε1 、ε2 和主方向与x轴夹角a:
最后,再根据广义虎克定律公式
求出主应力σ1 、σ2 和Tmax 。
实际上为了简化计算,3枚应变片与z轴的夹角a1 、a2 和a3 总是选取特殊角,如0o 、45o 、60o 、90o 和120o 并将3枚应变片的敏感栅制在同一基底上,形成应变花。常用的应变花有直角应变花(00’一45。一90。)和等角应变花(O。 一60。 一120o )。不同形式的应变花的计算公式见表2。
用应变片测量的应变值一般是很小的,因而电阻值的变化同样是很小的。为此,有必要把应变计连接到一定的测量系统中,以精确测定应变片电阻值的变化。用应变片测量应变的测量系统框图见图2。
电阻应变测量法是实验应力分析中应用最广的一种方法。电阻应变测量方法测出的是构件上某一点处的应变,还需通过换算才能得到应力。根据不同的应力状态确定应变片贴片方位,有不同的换算公式。
8.7.1 单向应力状态
在杆件受到拉伸(或压缩)情况下,如图8-31所示。此时只有一个主应力s1,它的方向是平行于外加载荷F的方向,所以这个主应力s1的方向是已知的,该方向的应变为el。而垂直于主应力s1方向上的应力虽然为零,但该方向的应变e2≠0,而是e2=-μel。由此可知:在单向应力状态下,只要知道应力s1的方向,虽然s1的大小是未知的,可在沿主应力s1的方向上贴一个应变片,通过测得el,就可利用s1=Ee1公式求得s1。
8.7.2 主应力方向巳知平面应力状态
平面应力是指构件内的一个点在两个互相垂直的方向上受到拉伸(或压缩)作用而产生的应力状态,如图8-31所示。
图中单元体受已知方向的平面应力s1和s2作用,在X和Y方向的应变分别为
s1作用:X方向的应变el为s1/E
Y方向的应变e2为-μs1/E
s2作用:Y方向的应变e2为e2/E
X方向的应变el为-μe2/E
由此可得X方向的应变和Y方向的应变分别为
(8-72)
上式变换形式后可得
(8-73)
由此可知:在平面应力状态下,若已知主应力s1或s2的方向(s1与s2相互垂直),则只要沿s1和s2方向各贴一片应变片,测得εl和ε2后代入式(8-73),即可求得s1和s2值。
8.7.3 主应力方向未知平面应力状态
当平面应力的主应力s1和σ2的大小及方向都未知时,需对一个测点贴三个不同方向的应变片,测出三个方向的应变,才能确定主应力s1和s2及主方向角q三个未知量。
图8-33表示边长为x和y、对角线长为l的矩形单元体。设在平面应力状态下,与主应力方向成q角的任一方向的应变为,即图中对角线长度l的相对变化量。
由于主应力sx、sy的作用,该单元体在X、Y方向的伸长量为Δx、Δy,如图8-33(a)、(b)所示,该方向的应变为ex=Δx/x、ey=Δy/y;在切应力τxy作用下,使原直角∠XOY减小gxy,如图8-33(c)所示,即切应变gxy=Δx/y。这三个变形引起单元体对角线长度l的变化分别为Δxcosq、Δysinq、ygxy cosq,其应变分别为excos2q、eysin2q、gxysinqcosq。当ex、ey、gxy同时发生时,则对角线的总应变为上述三者之和,可表示为
(8-74)
利用半角公式变换后,上式可写成
(8-75)
由式 (8-75)可知eθ与ex、ey、gxy之间的关系。因ex、ey、gxy未知,实际测量时可任选与X轴成q1、q2、q3三个角的方向各贴一个应变片,测得e1、e2、e3连同三个角度代入式(8-75)中可得
(8-76)
由式(8-76)联立方程就可解出ex、ey、gxy。再由ex、ey、gxy可求出主应变e1、e2和主方向与X轴的夹角q,即
(8-77)
将上式中主应变e1和e2代入式(8-73)中,即可求得主应力。
在实际测量中,为简化计算,三个应变片与X轴的夹角q1、q2、q3总是选取特殊角,如
0°、45°和90°或0°、60°和120°角,并将三个应变片的丝栅制在同一基底上,形成所谓应变花。图8-34所示是丝式应变花。设应变花与X轴夹角为q1=0°,q2=45°、q3=90°,将此q1、q2、q3值分别代人式(8-76)得
(8-78)
由式(8-78)可得
(8-79)
将式(8-79)代入式(8-77)可得主应变e1、e2和主应变方向角q的计算式为
(8-80)
(8-81)
将式(8-80)代入式(8-81)得应力计算公式为
(8-82)
对q1=0°、q2=60°、q3=120°的应变花,主应变e1、e2和主应变方向角θ及主应力s1和s2计算公式为
(8-83)
(8-84)
(8-85)
本文来源:https://www.2haoxitong.net/k/doc/5b87f9edc381e53a580216fc700abb68a882ad96.html
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