高等数学部分习题答案摘录

次序

不定积分基本积分公式

不定积分第一换元法(凑微分法)

不定积分第二换元法

不定积分的倒数换元法

不定积分分部积分法

不定积分有理函数积分法

不定积分三角有理式的特殊情形

定积分的定义

定积分变上限积分

定积分的性质

定积分的换元法

定积分的分部积分法

利用对称性求定积分

定积分的应用

向量代数

其他类型习题

简称

上册：《高等数学》上册 南开大学数学科学学院 刘光旭 张效成 赖学坚 编

下册：《高等数学》下册 南开大学数学科学学院 刘光旭 张效成 赖学坚 编

讲义：《高等数学习题课讲义》（第三版）上册 薛运华 赵志勇编著

提示

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不定积分基本积分公式

不定积分第一换元法(凑微分法)

1.如果被积函数中明显含有复合函数，就能顺藤摸瓜，找到中间变量，也就是找到凑微分的对象。只要在被积函数中再找出，就可以凑微分了（允许差一个常倍数）。

2.如果复合函数不明显，但被积函数中有一个因子适合看成，也可以先凑微分，再看剩余部分能否理解成的函数.

3.有些题则需要主动进行恒等变形，将被积函数中分解成与的乘积。

讲义112页14.2(9)

006

解题思路如下

008

分子分母同时乘以x，xdx凑微分

也可以直接令t=

如果把x换成tant呢？估计也行。

011

012上册200页A1(62)

013

022

先通分，然后注意到

是的导数，是f的导数

于是可以通过商的导数公式凑出来

不定积分第二换元法

以去掉根号，简化运算为最终目的，其他的都是手段

总结规律是为了提高尝试的成功率

熟练掌握后，什么招好使就使什么招，规律也有例外

003

028上册198页A1(16)

上面的解答有点小问题

还可以这样

因为不定积分是在某个区间内求原函数，两种区间只能取其中一个（也可以是子区间），所以也可以不讨论。

假设换个题，被积函数处处有定义，就得注意讨论了。

但是中，x<-1时，这两个C不相等，前一个叫C1比较好。

如果是用表示原函数，则必须分类讨论了。

因为有x的奇数次方，

这样更省事。

032

035讲义习题15.2(7)

还要把t换回x

041

令t=，可以算，但很麻烦

所以选取以下做法

不定积分的倒数换元法

024上册200页(63)

忘了+C

不定积分分部积分法

图里写得不太正式，第一行的意思是，首选对数函数、反三角函数作u(x)，剩下的凑成dv

如果没有，再选多项式函数作u(x)

解方程的例子：

抽象函数的例子：

抵消的例子：

048上册201页A2

002上册198页(21)

解法二

004

解法二

上面的解法忘记+C

007

分部积分时，首选对数函数、反三角函数作u(x)

这题两个都出现了，任选一个作u(x)，先干掉一个，剩下那个就好办了

上面的方法选择对数函数作u(x)，下面的方法选择反三角函数作u(x)，都是可以的（跳步的地方请读者自行脑补）

实际上，也可以选择对数函数和反三角函数的乘积作u(x)，解法如下

009上册199页(39)

39题答案是错的，正确计算会比较麻烦，可以跳过此题。

这个函数在x=1不可导，

所以在点x=1不能用分部积分法,需要先求其他处的原函数，然后利用原函数连续性求出x=1处的值。详细解答如下：

010上册199页(40)

不定积分有理函数积分法

部分分式就这四种

只要分母中有二次不可约因式，分子就是一次多项式

否则分子是常数

有理真分式如何拆成部分分式

1、先把分母f(x)因式分解，分解成一次因式、二次不可约因式的乘积

2、凡是分母能够整除f(x)的部分分式都要在右式出现，不能整除的不出现

3、右式通分，对比两边的分子

4、可以对比多项式各项系数，也可以代入x的特殊取值，求出部分分式的分子中那些待定系数

018上册199页(42)

不定积分三角有理式的特殊情形

可以推广到整数

本题是m=-1，n=0的情形

定积分的定义

015上册220页B4(2)

其中

这是普通的定积分，c>0

最后再求极限

逼近

030上册219页A10

033上册211页B1

定积分变上限积分（参见习题课讲义134-136页）

注：f连续，且被积函数不含参变量x，才能用以上公式。

求导：

换元，令u=x-t，再求导即可

019上册219页A1(4)求导

026上册211页A8

定积分的性质

005

016上册220页B5 ,B6

6题见习题课讲义129页例16.8

5题方法与6类似

036

积分中值定理即可

021上册211页B7

025上册211页B6

老师第六题可以用柯西中值定理吗?

g(x)有时可能=0，不满足柯西中值定理的条件

029上册211页A7

042上册219页A4

定积分的换元法

020上册211页B2

方法一

方法二

031上册230页A8

037上册231页B7

040上册229页A2(4)

上面是用三角换元，和处理二次根式的方法一样。

于是把分母都变成一个整体，而不是几项相加。

本题也可以看成第四种部分分式，那样有点麻烦。

043上册229页A2(3)

045上册229页A2(11)

解法一

sinx+cosx的导数是cosx-sinx

可以用a(cosx-sinx)+b(sinx+cosx)=sinx 解a，b

拆成两个分式

解法二

换元t=pai/2-x也可以

定积分的分部积分法

利用对称性求定积分

038上册219页A3(3)

017上册219页A3(5)

046上册231页B4

解法一

丢个dx

解法二

被积函数是中心对称函数和轴对称函数乘积，且对称中心在对称轴上

044上册231页B1

解题思路如下

023上册229页A2(5)

解法一

解题思路如下（含解法二）

可以像第一个解法那样分两个区间，也可以像第二个解法，不分割区间

换元时，x和t是对称点，f(x)=f(t)

相当于把对称点处的两个被积函数值相加，x+=是常数可以提出去了

剩下的积分就好求了

解法三

解法四

解法五

定积分的应用

049上册251页A15

向量代数

047下册15页A3

利用角分线定理

本题也可以利用角分线定理+定比分点公式

以下为其他类型习题

014

老师，有这个公式吗?

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/5b425120bfd5b9f3f90f76c66137ee06eff94e29.html