2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．已知|b|＝3，a在b方向上的投影是，则a·b为( )
A． B．
C．3 D．2
【解析】 由数量积的几何意义知
a·b＝×3＝2，故选D．
【答案】 D
2．设e1和e2是互相垂直的单位向量，且a＝3e1＋2e2，b＝－3e1＋4e2，则a·b等于( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
【解析】 因为|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝0，所以a·b＝(3e1＋2e2)·(－3e1＋4e2)＝－9|e1|2＋8|e2|2＋6e1·e2＝－9×12＋8×12＋6×0＝－1.故选B．
【答案】 B
3．若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，且(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则a的模为( )
A．2 B．4
C．6 D．12
【解析】 ∵(a＋2b)·(a－3b)＝a2－a·b－6b2
＝|a|2－|a|·|b|cos 60°－6|b|2
＝|a|2－2|a|－96＝－72，
∴|a|2－2|a|－24＝0，
∴|a|＝6.
【答案】 C
4．已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，a·b＝1，则向量a与a－b的夹角为( )
【导学号：00680056】
A． B．
C． D．
【解析】 |a－b|＝＝
＝
，
设向量a与a－b的夹角为θ，则
cos θ＝＝
＝
，又θ∈[0，π]，
所以θ＝.故选A．
【答案】 A
5．已知点A，B，C满足||＝3，|
|＝4，|
|＝5，则
·
＋
·
＋
·
的值是( )
A．－25 B．25
C．－24 D．24
【解析】 因为||2＋|
|2＝9＋16＝25＝|
|2，
所以∠ABC＝90°，
所以原式＝·
＋
(
＋
)＝0＋
·
＝－
2＝－25.
【答案】 A
二、填空题
6．已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝1，且3a＋2b与λa－b垂直，则λ等于________．
【解析】 ∵(3a＋2b)⊥(λa－b)，
∴(λa－b)·(3a＋2b)＝0，
∴3λa2＋(2λ－3)a·b－2b2＝0.
又∵|a|＝2，|b|＝1，a⊥b，
∴12λ＋(2λ－3)×2×1×cos 90°－2＝0，
∴12λ－2＝0，∴λ＝.
【答案】
7．已知|a|＝|b|＝|c|＝1，且满足3a＋mb＋7c＝0，其中a与b的夹角为60°，则实数m＝________.
【解析】 ∵3a＋mb＋7c＝0，∴3a＋mb＝－7c，
∴(3a＋mb)2＝(－7c)2，化简得9＋m2＋6ma·b＝49.
又a·b＝|a||b|cos 60°＝，∴m2＋3m－40＝0，
解得m＝5或m＝－8.
【答案】 5或－8
三、解答题
8．已知向量a，b不共线，且|2a＋b|＝|a＋2b|，求证：(a＋b)⊥(a－b)．
【证明】 ∵|2a＋b|＝|a＋2b|，
∴(2a＋b)2＝(a＋2b)2，
∴a2＝b2，
∴(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝0.
又a与b不共线，a＋b≠0，a－b≠，
∴(a＋b)⊥(a－b)．
9．已知非零向量a，b，满足|a|＝1，(a－b)·(a＋b)＝，且a·b＝
.
(1)求向量a，b的夹角；
(2)求|a－b|.
【解】 (1)∵(a－b)·(a＋b)＝，
∴a2－b2＝，即|a|2－|b|2＝
.
又|a|＝1，∴|b|＝.
∵a·b＝，∴|a|·|b|cos θ＝
，
∴cos θ＝，∴向量a，b的夹角为45°.
(2)∵|a－b|2＝(a－b)2
＝|a|2－2|a||b|cos θ＋|b|2＝，
∴|a－b|＝.
[能力提升]
1．已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根，则a与b的夹角的取值范围是( )
A． B．
C． D．
【解析】 ∵Δ＝a2－4|a|·|b|cos θ(θ为向量a与b夹角)．
若方程有实根，则有Δ≥0，即a2－4|a|·|b|cos θ≥0，
又|a|＝2|b|，∴4|b|2－8|b|2cos θ≥0，
∴cos θ≤，又0≤θ≤π，
∴≤θ≤π.
【答案】 B
2．已知单位向量e1，e2的夹角为60°，求向量a＝e1＋e2，b＝e2－2e1的夹角. 【导学号：70512036】
【解】 ∵e1，e2为单位向量且夹角为60°，
∴e1·e2＝1×1×cos 60°＝.
∵a·b＝(e1＋e2)·(e2－2e1)＝－2－e1·e2＋1＝－2－＋1＝－
，
|a|＝＝
＝
＝
，
|b|＝＝
＝＝
，
∴cos θ＝＝－
×
＝－
.
又∵θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°，
∴a与b的夹角为120°.
本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/5a304c65f02d2af90242a8956bec0975f565a46b.html
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