2013年高考数学（理）真题（Word版） - 大纲卷（试题+答案解析）

2013年普通高等学校招生全国统一考试（全国大纲卷）

数学（理科）试题

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．(2013大纲全国，理1)设集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为(　　)．

A．3 B．4 C．5 D．6

2．(2013大纲全国，理2)＝(　　)．

A．－8 B．8 C．－8i D．8i

3．(2013大纲全国，理3)已知向量m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ＝(　　)．

A．－4 B．－3 C．－2 D．－1

4．(2013大纲全国，理4)已知函数f(x)的定义域为(－1,0)，则函数f(2x＋1)的定义域为(　　)．

A．(－1,1) B．

C．(－1,0) D．

5．(2013大纲全国，理5)函数f(x)＝(x＞0)的反函数f－1(x)＝(　　)．

A． (x＞0) B． (x≠0)

C．2x－1(x∈R) D．2x－1(x＞0)

6．(2013大纲全国，理6)已知数列{an}满足3an＋1＋an＝0，a2＝，则{an}的前10项和等于(　　)．

A．－6(1－3－10) B． (1－310)

C．3(1－3－10) D．3(1＋3－10)

7．(2013大纲全国，理7)(1＋x)8(1＋y)4的展开式中x2y2的系数是(　　)．

A．56 B．84 C．112 D．168

8．(2013大纲全国，理8)椭圆C：的左、右顶点分别为A1，A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA1斜率的取值范围是(　　)．

A． B． C． D．

9．(2013大纲全国，理9)若函数f(x)＝x2＋ax＋在是增函数，则a的取值范围是(　　)．

A．[－1,0] B．[－1，＋∞)

C．[0,3] D．[3，＋∞)

10．(2013大纲全国，理10)已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于(　　)．

A． B． C． D．

11．(2013大纲全国，理11)已知抛物线C：y2＝8x与点M(－2,2)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若，则k＝(　　)．

A． B． C． D．2

12．(2013大纲全国，理12)已知函数f(x)＝cos xsin 2x，下列结论中错误的是(　　)．

A．y＝f(x)的图像关于点(π，0)中心对称

B．y＝f(x)的图像关于直线对称

C．f(x)的最大值为

D．f(x)既是奇函数，又是周期函数

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．(2013大纲全国，理13)已知α是第三象限角，sin α＝，则cot α＝__________.

14．(2013大纲全国，理14)6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有__________种．(用数字作答)

15．(2013大纲全国，理15)记不等式组所表示的平面区域为D.若直线y＝a(x＋1)与D有公共点，则a的取值范围是__________．

16．(2013大纲全国，理16)已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆，其公共弦长等于球O的半径，OK＝，且圆O与圆K所在的平面所成的一个二面角为60°，则球O的表面积等于__________．

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．(2013大纲全国，理17)(本小题满分10分)等差数列{an}的前n项和为Sn.已知S3＝，且S1，S2，S4成等比数列，求{an}的通项公式．

18．(2013大纲全国，理18)(本小题满分12分)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac.

(1)求B；

(2)若sin Asin C＝，求C.

19．(2013大纲全国，理19)(本小题满分12分)

如图，四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，BC＝2AD，△PAB和△PAD都是等边三角形．

(1)证明：PB⊥CD；

(2)求二面角A－PD－C的大小．

20．(2013大纲全国，理20)(本小题满分12分)甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判．设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判．

(1)求第4局甲当裁判的概率；

(2)X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的数学期望．

21．(2013大纲全国，理21)(本小题满分12分)已知双曲线C： (a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为3，直线y＝2与C的两个交点间的距离为.

(1)求a，b；

(2)设过F2的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点，且|AF1|＝|BF1|，证明：|AF2|，|AB|，|BF2|成等比数列．

22．(2013大纲全国，理22)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝.

(1)若x≥0时，f(x)≤0，求λ的最小值；

(2)设数列{an}的通项，证明：a2n－an＋＞ln 2.

答案解析

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．答案：B

解析：由题意知x＝a＋b，a∈A，b∈B，则x的可能取值为5,6,7,8.因此集合M共有4个元素．故选B.

2．答案：A

解析：.故选A.

3．答案：B

解析：由(m＋n)⊥(m－n)⇒|m|2－|n|2＝0⇒(λ＋1)2＋1－[(λ＋2)2＋4]＝0⇒λ＝－3.故选B.

4．答案：B

解析：由题意知－1＜2x＋1＜0，则－1＜x＜.故选B.

5．答案：A

解析：由题意知＝2y⇒x＝(y＞0)，

因此f－1(x)＝(x＞0)．故选A.

6．答案：C

解析：∵3an＋1＋an＝0，∴an＋1＝.∴数列{an}是以为公比的等比数列．∵a2＝，∴a1＝4.

∴S10＝＝3(1－3－10)．故选C.

7．答案：D

解析：因为(1＋x)8的展开式中x2的系数为，(1＋y)4的展开式中y2的系数为，所以x2y2的系数为.故选D.

8．答案：B

解析：设P点坐标为(x0，y0)，则，

，，于是.

故.

∵∈[－2，－1]，

∴.故选B.

9．答案：D

解析：由条件知f′(x)＝2x＋a－≥0在上恒成立，即在上恒成立．∵函数在上为减函数，∴.∴a≥3.故选D.

10．答案：A

解析：如下图，连结AC交BD于点O，连结C1O，过C作CH⊥C1O于点H.

∵

CH⊥平面C1BD，

∴∠HDC为CD与平面BDC1所成的角．

设AA1＝2AB＝2，则，.

由等面积法，得C1O·CH＝OC·CC1，即，

∴.

∴sin∠HDC＝.故选A.

11．答案：D

解析：由题意知抛物线C的焦点坐标为(2,0)，则直线AB的方程为y＝k(x－2)，将其代入y2＝8x，得k2x2－4(k2＋2)x＋4k2＝0.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝4.①

由

∵，

∴(x1＋2，y1－2)·(x2＋2，y2－2)＝0.

∴(x1＋2)(x2＋2)＋(y1－2)(y2－2)＝0，

即x1x2＋2(x1＋x2)＋4＋y1y2－2(y1＋y2)＋4＝0.④

由①②③④解得k＝2.故选D.

12．答案：C

解析：由题意知f(x)＝2cos2x·sin x＝2(1－sin2x)sin x.

令t＝sin x，t∈[－1,1]，

则g(t)＝2(1－t2)t＝2t－2t3.

令g′(t)＝2－6t2＝0，得.

当t＝±1时，函数值为0；

当时，函数值为；

当时，函数值为.

∴g(t)max＝，

即f(x)的最大值为.故选C.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．答案：

解析：由题意知cos α＝.

故cot α＝.

14．答案：480

解析：先排除甲、乙外的4人，方法有种，再将甲、乙插入这4人形成的5个间隔中，有种排法，因此甲、乙不相邻的不同排法有(种)．

15．答案：

解析：作出题中不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．

∵直线y＝a(x＋1)过定点C(－1,0)，由图并结合题意可知，kAC＝4，

∴要使直线y＝a(x＋1)与平面区域D有公共点，

则≤a≤4.

16．答案：16π

解析：如下图，设MN为两圆的公共弦，E为MN的中点，

则OE⊥MN，KE⊥MN，结合题意可知∠OEK＝60°.

又MN＝R，∴△OMN为正三角形．∴OE＝.

又OK⊥EK，∴＝OE·sin 60°＝.

∴R＝2.

∴S＝4πR2＝16π.

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．解：设{an}的公差为d.

由S3＝得3a2＝，故a2＝0或a2＝3.

由S1，S2，S4成等比数列得＝S1S4.

又S1＝a2－d，S2＝2a2－d，S4＝4a2＋2d，

故(2a2－d)2＝(a2－d)(4a2＋2d)．

若a2＝0，则d2＝－2d2，所以d＝0，此时Sn＝0，不合题意；

若a2＝3，则(6－d)2＝(3－d)(12＋2d)，解得d＝0或d＝2.

因此{an}的通项公式为an＝3或an＝2n－1.

18．解：(1)因为(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac，所以a2＋c2－b2＝－ac.

由余弦定理得cos B＝，

因此B＝120°.

(2)由(1)知A＋C＝60°，

所以cos(A－C)＝cos Acos C＋sin Asin C＝cos Acos C－sin Asin C＋2sin Asin C＝cos(A＋C)＋2sin Asin C＝，

故A－C＝30°或A－C＝－30°，

因此C＝15°或C＝45°.

19．(1)证明：取BC的中点E，连结DE，则ABED为正方形．

过P作PO⊥平面ABCD，垂足为O.

连结OA，OB，OD，OE.

由△PAB和△PAD都是等边三角形知PA＝PB＝PD，

所以OA＝OB＝OD，即点O为正方形ABED对角线的交点，

故OE⊥BD，从而PB⊥OE.

因为O是BD的中点，E是BC的中点，

所以OE∥CD.因此PB⊥CD.

(2)解法一：由(1)知CD⊥PB，CD⊥PO，PB∩PO＝P，

故CD⊥平面PBD.

又PD平面PBD，所以CD⊥PD.

取PD的中点F，PC的中点G，连结FG，

则FG∥CD，FG⊥PD.

连结AF，由△APD为等边三角形可得AF⊥PD.

所以∠AFG为二面角A－PD－C的平面角．

连结AG，EG，则EG∥PB.

又PB⊥AE，所以EG⊥AE.

设AB＝2，则AE＝，EG＝＝1，

故AG＝＝3.

在△AFG中，FG＝，，AG＝3，

所以cos∠AFG＝.

因此二面角A－PD－C的大小为.

解法二：由(1)知，OE，OB，OP两两垂直．

以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz.

设||＝2，则A(，0,0)，D(0，，0)，C(，，0)，P(0,0，)．

＝(，，)，＝(0，，)．

＝(，0，)，＝(，，0)．

设平面PCD的法向量为n1＝(x，y，z)，则n1·＝(x，y，z)·(，，)＝0，

n1·＝(x，y，z)·(0，，)＝0，

可得2x－y－z＝0，y＋z＝0.

取y＝－1，得x＝0，z＝1，故n1＝(0，－1,1)．

设平面PAD的法向量为n2＝(m，p，q)，则n2·＝(m，p，q)·(，0，)＝0，n2·＝(m，p，q)·(，，0)＝0，可得m＋q＝0，m－p＝0.

取m＝1，得p＝1，q＝－1，故n2＝(1,1，－1)．

于是cos〈n1，n2〉＝.

由于〈n1，n2〉等于二面角A－PD－C的平面角，所以二面角A－PD－C的大小为.

20．解：(1)记A1表示事件“第2局结果为甲胜”，

A2表示事件“第3局甲参加比赛时，结果为甲负”，A表示事件“第4局甲当裁判”．

则A＝A1·A2.

P(A)＝P(A1·A2)＝P(A1)P(A2)＝.

(2)X的可能取值为0,1,2.

记A3表示事件“第3局乙和丙比赛时，结果为乙胜丙”，B1表示事件“第1局结果为乙胜丙”，B2表示事件“第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜甲”，B3表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙负”．

则P(X＝0)＝P(B1·B2·A3)＝P(B1)P(B2)·P(A3)＝，P(X＝2)＝P(·B3)＝P()P(B3)＝，P(X＝1)＝1－P(X＝0)－P(X＝2)＝，EX＝0·P(X＝0)＋1·P(X＝1)＋2·P(X＝2)＝.

21．(1)解：由题设知＝3，即＝9，故b2＝8a2.

所以C的方程为8x2－y2＝8a2.

将y＝2代入上式，求得.

由题设知，，解得a2＝1.

所以a＝1，b＝.

(2)证明：由(1)知，F1(－3,0)，F2(3,0)，C的方程为8x2－y2＝8.①

由题意可设l的方程为y＝k(x－3)，，代入①并化简得(k2－8)x2－6k2x＋9k2＋8＝0.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1≤－1，x2≥1，x1＋x2＝，x1·x2＝.

于是|AF1|＝

＝＝－(3x1＋1)，

|BF1|＝

＝＝3x2＋1.

由|AF1|＝|BF1|得－(3x1＋1)＝3x2＋1，即x1＋x2＝.

故，解得k2＝，从而x1·x2＝.

由于|AF2|＝

＝＝1－3x1，

|BF2|＝

＝＝3x2－1，

故|AB|＝|AF2|－|BF2|＝2－3(x1＋x2)＝4，|AF2|·|BF2|＝3(x1＋x2)－9x1x2－1＝16.

因而|AF2|·|BF2|＝|AB|2，所以|AF2|，|AB|，|BF2|成等比数列．

22．(1)解：由已知f(0)＝0，f′(x)＝，f′(0)＝0.

若，则当0＜x＜2(1－2λ)时，f′(x)＞0，所以f(x)＞0.

若，则当x＞0时，f′(x)＜0，所以当x＞0时，f(x)＜0.

综上，λ的最小值是.

(2)证明：令.由(1)知，当x＞0时，f(x)＜0，

即．

取，则.

于是

＝

＝ln 2n－ln n＝ln 2.

所以.

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/57e77f09c850ad02de80418c.html