2019年辽宁省鞍山市中考数学一模试卷含答案解析（word版）

2019年辽宁省鞍山市中考数学一模试卷

一、选择题：每小题3分，共24分

1．64的算术平方根是（　　）

A．4 B．±4 C．8 D．±8

2．要了解某市九年级学生的视力状况，从中抽查了500名学生的视力状况，那么样本是指（　　）

A．某市所有的九年级学生

B．被抽查的500名九年级学生

C．某市所有的九年级学生的视力状况

D．被抽查的500名学生的视力状况

3．一元二次方程x2+2x+2=0的根的情况是（　　）

A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根

C．只有一个实数根 D．无实数根

4．下列几何体中，左视图与主视图不相同的只可能是（　　）

A． B． C． D．

5．如图，菱形ABCD中，AB=15，∠ADC=120°，则B、D两点之间的距离为（　　）

A．15 B． C．7.5 D．

6．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，如果DE∥BC，且∠DCE=∠B，那么下列说法中，错误的是（　　）

A．△ADE∽△ABC B．△ADE∽△ACD C．△ADE∽△DCB D．△DEC∽△CDB

7．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=22.5°，OC=4，CD的长为（　　）

A．2B．4 C．4D．8

8．如图，抛物线y1=a（x+2）2﹣3与y2=（x﹣3）2+1交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．则以下结论：

①无论x取何值，y2的值总是正数；

②a=1；

③当x=0时，y2﹣y1=4；

④2AB=3AC；

其中正确结论是（　　）

A．①② B．②③ C．③④ D．①④

二、填空题：每小题3分，共24分

9．因式分解：a3﹣9ab2=　　　　　　．

10．据了解，2019年湖北省某市中考报名人数约为58500人，其中数据58500用科学记数法表示为　　　　　　．

11．如图，矩形ABCD是由三个矩形拼接成的．如果AB=8，阴影部分的面积是24，另外两个小矩形全等，那么小矩形的长为　　　　　　．

12．九年级学生在进行跳远训练时，甲、乙两同学在相同条件下各跳10次，统计得他们的平均成绩都是5.68米，甲的方差为0.3，乙的方差为0.4，那么成绩较为稳定的是　　　　　　（填“甲”或“乙”）．

13．已知一个多边形的内角和与外角和的差是1260°，则这个多边形边数是　　　　　　．

14．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点P在△ABC内，△AP′C是由△BPC绕着点C旋转得到的，PA=，PB=1，∠BPC=135°．则PC=　　　　　　．

15．抛物线y=x2﹣4x+c与x轴交于A、B两点，已知点A的坐标为（1，0），则线段AB的长度为　　　　　　．

16．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，以B为圆心BC为半径画弧交AD于点E，如果点F是弧EC的中点，联结FB，那么tan∠FBC的值为　　　　　　．

三、每题8分，共16分

17．化简：（a+）÷（a﹣2+）．

18．从△ABC（CB＜CA）中裁出一个以AB为底边的等腰△ABD，并使得△ABD的面积尽可能大．

（1）用尺规作图作出△ABD．（保留作图痕迹，不要求写作法、证明）

（2）若AB=2m，∠CAB=30°，求裁出的△ABD的面积．

四、每题10分，共20分

19．今年3月5日，某中学组织全体学生参加了“走出校门，服务社会”的活动，为了解九年级学生参加活动情况，从九年级学生中随机抽取部分学生进行调查，统计了该天他们打扫街道，去敬老院服务和到社区文艺演出的人数，并绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图，其中到社区文艺演出的人数占所调查的九年级学生人数的，请根据两幅统计图中的信息，回答下列问题：

（1）本次成抽样调查共抽取了多少名九年级学生？

（2）补全条形统计图；

（3）若该中学九年级共有400名学生，请你估计该中学九年级去敬老院的学生有多少名？

20．有四张正面分别标有数字2，1，﹣3，﹣4的不透明卡片，它们除数字外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从四张卡片中随机地摸取一张不放回，将该卡片上的数字记为m，再随机地摸取一张，将卡片上的数字记为n．

（1）请画出树状图并写出（m，n）所有可能的结果；

（2）求所选出的m，n能使一次函数y=mx+n的图象经过第二、三、四象限的概率．

五、每题10分，共20分

21．目前，崇明县正在积极创建全国县级文明城市，交通部门一再提醒司机：为了安全，请勿超速，并在进一步完善各类监测系统，如图，在陈海公路某直线路段MN内限速60千米/小时，为了检测车辆是否超速，在公路MN旁设立了观测点C，从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5秒钟，已知∠CAN=45°，∠CBN=60°，BC=200米，此车超速了吗？请说明理由．

（参考数据：，）

22．如图，已知直线y=﹣2x经过点P（﹣2，a），点P关于y轴的对称点P′在反比例函数（k≠0）的图象上．

（1）求a的值；

（2）直接写出点P′的坐标；

（3）求反比例函数的解析式．

六、每题10分，共20分

23．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB边上的一点，以BD为直径作⊙O．与AC相切于点E，连结DE并延长与BC的延长线交于点F．

（1）求证：EF2=BD•CF；

（2）若CF=1，BD=5．求sinA的值．

24．甲、乙两人同时从相距90千米的A地前往B地，甲乘汽车，乙骑摩托车匀速行驶（汽车速度大于摩托车的速度）；甲先到达B地停留半个小时后返回A地，如图是他们之间的距离y（千米）与甲出发时间x（小时）之间的函数图象，其中D表示甲返回到A地．

（1）求甲乘汽车从A地前往B地和从B地返回A地的速度；

（2）求线段CD所表示的y（千米）与x（小时）之间的函数关系式；

（3）求甲车出发多长时间辆车相距50千米．

七、本题12分

25．如图，射线BD是∠MBN的平分线，点A、C分别是角的两边BM、BN上两点，且AB=BC，E是线段BC上一点，线段EC的垂直平分线交射线BD于点F，连结AE交BD于点G，连结AF、EF、FC．

（1）求证：AF=EF；

（2）求证：△AGF∽△BAF；

（3）若点P是线段AG上一点，连结BP，若∠PBG=∠BAF，AB=3，AF=2，求．

八、本题14分

26．如图，矩形AOCB的两边在坐标轴上，抛物线y=﹣x2+4x+2经过A、B两点．

（1）求点A的坐标及线段AB的长；

（2）若点P由点A出发以每秒1个单位长度的速度沿AB边向点B移动，1秒后点Q由点A出发以每秒4个单位长度的速度沿AO﹣OC﹣CB边向点B移动，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止移动，设点P的移动时间为t秒．

①当△PQC是直角三角形时t的值；

②当PQ∥OB时，对于抛物线上一点H，满足∠POQ＜∠HOQ，求点H横坐标的取值范围．

2019年辽宁省鞍山市中考数学一模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：每小题3分，共24分

1．64的算术平方根是（　　）

A．4 B．±4 C．8 D．±8

【考点】算术平方根．

【分析】根据求算术平方根的方法可以求得64的算术平方根．

【解答】解：∵，

∴64的算术平方根是8．

故选C．

2．要了解某市九年级学生的视力状况，从中抽查了500名学生的视力状况，那么样本是指（　　）

A．某市所有的九年级学生

B．被抽查的500名九年级学生

C．某市所有的九年级学生的视力状况

D．被抽查的500名学生的视力状况

【考点】总体、个体、样本、样本容量．

【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．

【解答】解：样本是指被抽查的500名学生的视力状况．

故选D．

3．一元二次方程x2+2x+2=0的根的情况是（　　）

A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根

C．只有一个实数根 D．无实数根

【考点】根的判别式．

【分析】求出b2﹣4ac的值，根据b2﹣4ac的正负即可得出答案．

【解答】解：x2+2x+2=0，

这里a=1，b=2，c=2，

∵b2﹣4ac=22﹣4×1×2=﹣4＜0，

∴方程无实数根，

故选D．

4．下列几何体中，左视图与主视图不相同的只可能是（　　）

A． B． C． D．

【考点】简单几何体的三视图．

【分析】主视图、左视图是分别从物体正面、左面看，所得到的图形．分析出四个几何体的左视图与主视图，然后再确定答案．

【解答】解：A、正方体的左视图和主视图都是正方形，故此选项错误；

B、长方体的左视图是长方形，主视图也是长方形，但是长和宽不相同，故此选项正确；

C、球的左视图和主视图都是圆形，故此选项错误；

D、圆锥的左视图和主视图都是等腰三角形，故此选项错误；

故选：B．

5．如图，菱形ABCD中，AB=15，∠ADC=120°，则B、D两点之间的距离为（　　）

A．15 B． C．7.5 D．

【考点】菱形的性质．

【分析】先求出∠A等于60°，连接BD得到△ABD是等边三角形，所以BD等于菱形边长．

【解答】解：连接BD，∵∠ADC=120°，

∴∠A=180°﹣120°=60°，

∵AB=AD，

∴△ABD是等边三角形，

∴BD=AB=15．

故选A．

6．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，如果DE∥BC，且∠DCE=∠B，那么下列说法中，错误的是（　　）

A．△ADE∽△ABC B．△ADE∽△ACD C．△ADE∽△DCB D．△DEC∽△CDB

【考点】相似三角形的判定．

【分析】由相似三角形的判定方法得出A、B、D正确，C不正确；即可得出结论．

【解答】解：∵DE∥BC，

∴△ADE∽△ABC，∠BCD=∠CDE，∠ADE=∠B，∠AED=∠ACB，

∵∠DCE=∠B，

∴∠ADE=∠DCE，

又∵∠A=∠A，

∴△ADE∽△ACD；

∵∠BCD=∠CDE，∠DCE=∠B，

∴△DEC∽△CDB；

∵∠B=∠ADE，

但是∠BCD＜∠AED，且∠BCD≠∠A，

∴△ADE与△DCB不相似；

正确的判断是A、B、D，错误的判断是C；

故选：C．

7．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=22.5°，OC=4，CD的长为（　　）

A．2B．4 C．4D．8

【考点】垂径定理；等腰直角三角形；圆周角定理．

【分析】根据圆周角定理得∠BOC=2∠A=45°，由于⊙O的直径AB垂直于弦CD，根据垂径定理得CE=DE，且可判断△OCE为等腰直角三角形，所以CE=OC=2，然后利用CD=2CE进行计算．

【解答】解：∵∠A=22.5°，

∴∠BOC=2∠A=45°，

∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，

∴CE=DE，△OCE为等腰直角三角形，

∴CE=OC=2，

∴CD=2CE=4．

故选：C．

8．如图，抛物线y1=a（x+2）2﹣3与y2=（x﹣3）2+1交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．则以下结论：

①无论x取何值，y2的值总是正数；

②a=1；

③当x=0时，y2﹣y1=4；

④2AB=3AC；

其中正确结论是（　　）

A．①② B．②③ C．③④ D．①④

【考点】二次函数的性质．

【分析】根据与y2=（x﹣3）2+1的图象在x轴上方即可得出y2的取值范围；把A（1，3）代入抛物线y1=a（x+2）2﹣3即可得出a的值；由抛物线与y轴的交点求出，y2﹣y1的值；根据两函数的解析式直接得出AB与AC的关系即可．

【解答】解：①∵抛物线y2=（x﹣3）2+1开口向上，顶点坐标在x轴的上方，∴无论x取何值，y2的值总是正数，故本小题正确；

②把A（1，3）代入，抛物线y1=a（x+2）2﹣3得，3=a（1+2）2﹣3，解得a=，故本小题错误；

③由两函数图象可知，抛物线y1=a（x+2）2﹣3解析式为y1=（x+2）2﹣3，当x=0时，y1=（0+2）2﹣3=﹣，y2=（0﹣3）2+1=，故y2﹣y1=+=，故本小题错误；

④∵物线y1=a（x+2）2﹣3与y2=（x﹣3）2+1交于点A（1，3），

∴y1的对称轴为x=﹣2，y2的对称轴为x=3，

∴B（﹣5，3），C（5，3）

∴AB=6，AC=4，

∴2AB=3AC，故本小题正确．

故选D．

二、填空题：每小题3分，共24分

9．因式分解：a3﹣9ab2=　a（a﹣3b）（a+3b）　．

【考点】因式分解-提公因式法．

【分析】首先提取公因式a，进而利用平方差公式分解因式得出即可．

【解答】解：a3﹣9ab2=a（a2﹣9b2）=a（a﹣3b）（a+3b）．

故答案为：a（a﹣3b）（a+3b）．

10．据了解，2019年湖北省某市中考报名人数约为58500人，其中数据58500用科学记数法表示为　5.85×104　．

【考点】科学记数法—表示较大的数．

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【解答】解：将58500用科学记数法表示为5.85×104．

故答案为：5.85×104．

11．如图，矩形ABCD是由三个矩形拼接成的．如果AB=8，阴影部分的面积是24，另外两个小矩形全等，那么小矩形的长为　6　．

【考点】一元二次方程的应用．

【分析】设小矩形的长为x，则小矩形的宽为8﹣x，然后表示出阴影部分的宽，从而根据其面积列出方程求解即可．

【解答】解：设小矩形的长为x，则小矩形的宽为8﹣x，

根据题意得：x[x﹣（8﹣x）]=24，

解得：x=6或x=﹣2（舍去），

故答案为：6．

12．九年级学生在进行跳远训练时，甲、乙两同学在相同条件下各跳10次，统计得他们的平均成绩都是5.68米，甲的方差为0.3，乙的方差为0.4，那么成绩较为稳定的是　甲　（填“甲”或“乙”）．

【考点】方差．

【分析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．

【解答】解：∵甲的方差为0.3，乙的方差为0.4，0.3＜0.4，

∴成绩较为稳定的是甲．

故答案为：甲．

13．已知一个多边形的内角和与外角和的差是1260°，则这个多边形边数是　十一　．

【考点】多边形内角与外角．

【分析】已知一个多边形的内角和与外角和的差为1260°，外角和是360度，因而内角和是1620度．n边形的内角和是（n﹣2）•180°，代入就得到一个关于n的方程，就可以解得边数n．

【解答】解：根据题意，得

（n﹣2）•180﹣360=1260，

解得：n=11．

那么这个多边形是十一边形．

故答案为十一．

14．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点P在△ABC内，△AP′C是由△BPC绕着点C旋转得到的，PA=，PB=1，∠BPC=135°．则PC=　　．

【考点】旋转的性质；勾股定理．

【分析】根据旋转的性质可以得到∠P′CA=∠PCB，进而可以得到∠P′CP=∠ACB=90°，进而得到等腰直角三角形，求解即可．

【解答】解：∵△AP′C是由△BPC绕着点C旋转得到的，

∴∠P′CA=∠PCB，CP′=CP，

∴∠P′CP=∠ACB=90°，

∴△P′CP为等腰直角三角形，

可得出∠AP′B=90°，

∵PA=，PB=1，

∴AP′=1，

∴PP′==2，

∴PC=，

故答案为．

15．抛物线y=x2﹣4x+c与x轴交于A、B两点，已知点A的坐标为（1，0），则线段AB的长度为　2　．

【考点】抛物线与x轴的交点．

【分析】首先求出抛物线y=x2﹣4x+c对称轴，然后根据二次函数图象的对称性求出点B的坐标，进而求出线段AB的长度．

【解答】解：∵抛物线y=x2﹣4x+c=（x﹣2）2﹣4+c，

∴抛物线的对称轴为直线x=2，

∵点A的坐标为（1，0），

∴点B的坐标为（3，0），

∴线段AB=3﹣1=2，

故答案为2．

16．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，以B为圆心BC为半径画弧交AD于点E，如果点F是弧EC的中点，联结FB，那么tan∠FBC的值为　　．

【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；矩形的性质；圆心角、弧、弦的关系；解直角三角形．

【分析】连接CE交BF于H，连接BE，根据矩形的性质求出AB=CD=3，AD=BC=5=BE，∠A=∠D=90°，根据勾股定理求出AE=4，求出DE=1，根据勾股定理求出CE，求出CH，解直角三角形求出即可．

【解答】解：连接CE交BF于H，连接BE，

∵四边形ABCD是矩形，AB=3，BC=5，

∴AB=CD=3，AD=BC=5=BE，∠A=∠D=90°，

由勾股定理得：AE==4，DE=5﹣4=1，

由勾股定理得：CE==，

由垂径定理得：CH=EH=CE=，

在Rt△BHC中，由勾股定理得：BH==，

所以tan∠FBC===．

故答案为：．

三、每题8分，共16分

17．化简：（a+）÷（a﹣2+）．

【考点】分式的混合运算．

【分析】先计算括号内分式的加法，再对所得分式分子、分母因式分解同时将除法转化为乘法，最后约分可得．

【解答】解：原式=÷

=•

=．

18．从△ABC（CB＜CA）中裁出一个以AB为底边的等腰△ABD，并使得△ABD的面积尽可能大．

（1）用尺规作图作出△ABD．（保留作图痕迹，不要求写作法、证明）

（2）若AB=2m，∠CAB=30°，求裁出的△ABD的面积．

【考点】作图—复杂作图．

【分析】（1）直接利用线段垂直平分线的性质作出AB的垂直平分线，交AC于点D，进而得出△ABD；

（2）利用锐角三角形关系得出DE的长，进而利用三角形面积求法得出答案．

【解答】解：（1）如图所示：△ABD即为所求；

（2）∵MN垂直平分AB，AB=2m，∠CAB=30°，

∴AE=1m，

则tan30°==，

解得：DE=．

故裁出的△ABD的面积为：×2×=（m2）．

四、每题10分，共20分

19．今年3月5日，某中学组织全体学生参加了“走出校门，服务社会”的活动，为了解九年级学生参加活动情况，从九年级学生中随机抽取部分学生进行调查，统计了该天他们打扫街道，去敬老院服务和到社区文艺演出的人数，并绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图，其中到社区文艺演出的人数占所调查的九年级学生人数的，请根据两幅统计图中的信息，回答下列问题：

（1）本次成抽样调查共抽取了多少名九年级学生？

（2）补全条形统计图；

（3）若该中学九年级共有400名学生，请你估计该中学九年级去敬老院的学生有多少名？

【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．

【分析】（1）先根据条形图知到社区文艺演出的人数为15人，再由扇形统计图知占抽取总人数的，两者相除即可求解；

（2）求出去敬老院服务的学生有多少人，即可补全条形统计图；

（3）用总人数乘以该年级去敬老院的人数所占的百分比即可．

【解答】解：（Ⅰ）由题意，可得抽取的部分同学的人数为：15÷=50（人）；

（2）去敬老院服务的学生有：50﹣25﹣15=10（人）．条形统计图补充如下：

（3）根据题意得：

400×=80（人）

答：估计该中学九年级去敬老院的学生有80人．

20．有四张正面分别标有数字2，1，﹣3，﹣4的不透明卡片，它们除数字外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从四张卡片中随机地摸取一张不放回，将该卡片上的数字记为m，再随机地摸取一张，将卡片上的数字记为n．

（1）请画出树状图并写出（m，n）所有可能的结果；

（2）求所选出的m，n能使一次函数y=mx+n的图象经过第二、三、四象限的概率．

【考点】列表法与树状图法；一次函数图象与系数的关系．

【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；

（2）首先可得所选出的m，n能使一次函数y=mx+n的图象经过第二、三四象限的有：（﹣3，﹣4），（﹣4，﹣3），再利用概率公式即可求得答案．

【解答】解：（1）画树状图得：

则（m，n）共有12种等可能的结果：（2，1），（2，﹣3），（2，﹣4），（1，2），（1，﹣3），（1，﹣4），（﹣3，2），（﹣3，1），（﹣3，﹣4），（﹣4，2），（﹣4，1），（﹣4，﹣3）；

（2）∵所选出的m，n能使一次函数y=mx+n的图象经过第二、三四象限的有：（﹣3，﹣4），（﹣4，﹣3），

∴所选出的m，n能使一次函数y=mx+n的图象经过第二、三四象限的概率为： =．

五、每题10分，共20分

21．目前，崇明县正在积极创建全国县级文明城市，交通部门一再提醒司机：为了安全，请勿超速，并在进一步完善各类监测系统，如图，在陈海公路某直线路段MN内限速60千米/小时，为了检测车辆是否超速，在公路MN旁设立了观测点C，从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5秒钟，已知∠CAN=45°，∠CBN=60°，BC=200米，此车超速了吗？请说明理由．

（参考数据：，）

【考点】解直角三角形的应用．

【分析】根据题意结合锐角三角函数关系得出BH，CH，AB的长进而求出汽车的速度，进而得出答案．

【解答】解：此车没有超速．理由如下：

过C作CH⊥MN，垂足为H，

∵∠CBN=60°，BC=200米，

∴CH=BC•sin60°=200×=100（米），

BH=BC•cos60°=100（米），

∵∠CAN=45°，

∴AH=CH=100米，

∴AB=100﹣100≈73（m），

∴车速为m/s．

∵60千米/小时=m/s，

又∵14.6＜，

∴此车没有超速．

22．如图，已知直线y=﹣2x经过点P（﹣2，a），点P关于y轴的对称点P′在反比例函数（k≠0）的图象上．

（1）求a的值；

（2）直接写出点P′的坐标；

（3）求反比例函数的解析式．

【考点】待定系数法求反比例函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征；关于x轴、y轴对称的点的坐标．

【分析】（1）把（﹣2，a）代入y=﹣2x中即可求a；

（2）坐标系中任一点关于y轴对称的点的坐标，其中横坐标等于原来点横坐标的相反数，纵坐标不变；

（3）把P′代入y=中，求出k，即可得出反比例函数的解析式．

【解答】解：（1）把（﹣2，a）代入y=﹣2x中，得a=﹣2×（﹣2）=4，

∴a=4；

（2）∵P点的坐标是（﹣2，4），

∴点P关于y轴的对称点P′的坐标是（2，4）；

（3）把P′（2，4）代入函数式y=，得

4=，

∴k=8，

∴反比例函数的解析式是y=．

六、每题10分，共20分

23．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB边上的一点，以BD为直径作⊙O．与AC相切于点E，连结DE并延长与BC的延长线交于点F．

（1）求证：EF2=BD•CF；

（2）若CF=1，BD=5．求sinA的值．

【考点】切线的性质；相似三角形的判定与性质．

【分析】（1）连接OE，由AC为圆O的切线，利用切线的性质得到OE垂直于AC，再由BC垂直于AC，得到OE与BC平行，根据O为DB的中点，得到E为DF的中点，即OE为三角形DBF的中位线，利用中位线定理得到OE为BF的一半，再由OE为DB的一半，求出BD=BF，证△北方HE△ECF相似即可；

（2）连接DQ，求出EF，根据勾股定理求出BE，根据三角形面积公式求出DQ，根据勾股定理求出BQ，求出∠BAC=∠BDQ，解直角三角形求出即可．

【解答】（1）证明：如图1，连接OE、BE，

∵AC与圆O相切，

∴OE⊥AC，

∵BC⊥AC，

∴OE∥BC，

又∵O为DB的中点，

∴E为DF的中点，即OE为△DBF的中位线，

∴OE=BF，

又∵OE=BD，

则BF=BD，

∵BD为⊙O直径，

∴∠BED=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠BEF=∠ECF=90°，

∵∠F=∠F，

∴△ECF∽△BEF，

∴=，

∴EF2=BF•CF=BD•CF；

（2）解：如图2，连接DQ，

∵EF2=BD•CF，CF=1，BD=5，

∴EF=，

∵BD为⊙O的直径，

∴DQ⊥BF，BE⊥DF，

∵BD=BF，BD=5，

∴BF=5，DE=EF=，

即DF=2，

由勾股定理得：BE===2，

∵在△BDF中，由三角形面积公式得：BF×DQ=DF×BE，

∴5DQ=2×2，

∴DQ=4，

在Rt△BDQ中，BD=5，DQ=4，由勾股定理得：BQ=3，

∵∠ACB=90°，DQ⊥BF，

∴DQ∥AC，

∴∠A=∠BDQ，

∴sinA=sin∠BDQ==．

24．甲、乙两人同时从相距90千米的A地前往B地，甲乘汽车，乙骑摩托车匀速行驶（汽车速度大于摩托车的速度）；甲先到达B地停留半个小时后返回A地，如图是他们之间的距离y（千米）与甲出发时间x（小时）之间的函数图象，其中D表示甲返回到A地．

（1）求甲乘汽车从A地前往B地和从B地返回A地的速度；

（2）求线段CD所表示的y（千米）与x（小时）之间的函数关系式；

（3）求甲车出发多长时间辆车相距50千米．

【考点】一次函数的应用．

【分析】（1）根据图象和已知条件可知，甲乘车1小时到达B地，从而可以求得甲乘汽车从A地前往B地的速度，从而可以求得乙骑摩托车的速度，甲返回经过半小时与乙相遇，可以求得甲乘车从B地返回A地的速度；

（2）根据题意可以求得点D的坐标，由点C（2，0），从而可以求得线段CD所表示的y（千米）与x（小时）之间的函数关系式；

（3）根据函数图象可知符合要求的存在三段，分别求出相应的函数解析式，令y=50代入可以分别求得相应的时间，本题得以解决．

【解答】解：（1）∵由图象可知，甲乘车1小时到达B地，

∴甲乘汽车从A地前往B地速度为：90÷1=90千米/时，

乙骑摩托车的速度为：（90﹣60）÷1=30÷1=30千米/时，

∵由图象可知，甲从B地返回甲地，经过0.5小时与乙相遇，

∴甲乘车从B地返回A地的速度为：（90﹣1.5×30）÷0.5﹣30=60千米/时，

即甲乘汽车从A地前往B地的速度是90千米/时，从B地返回A地的速度是60千米/时；

（2）由第（1）问可知，甲乘车从B地到A地的速度是60千米/时，

∴甲从B到A地用的时间是：90÷60=1.5小时，

故点D的坐标是（3，90），

设过点C（2，0），点D（3，90）的直线的解析式为y=kx+b，

则

解得，，

即线段CD所表示的y（千米）与x（小时）之间的函数关系式是：y=90x﹣180；

（3）设过点O（0，0），E（1，60）的直线的解析式为：y=ax，

则60=a×1，得a=60，

故y=60x，

将y=50代入y=60x，得x=；

设过点E（1，60），F（1.5，45）的直线解析式为：y=cx+d，

则

解得，

故y=﹣30x+90，

将y=50代入y=﹣30x+90得，x=；

由（2）知线段CD所表示的y（千米）与x（小时）之间的函数关系式是：y=90x﹣180，

将y=50代入y=90x﹣180，得，

由上可得，当甲出发小时，小时或小时时，两辆车相距50千米．

七、本题12分

25．如图，射线BD是∠MBN的平分线，点A、C分别是角的两边BM、BN上两点，且AB=BC，E是线段BC上一点，线段EC的垂直平分线交射线BD于点F，连结AE交BD于点G，连结AF、EF、FC．

（1）求证：AF=EF；

（2）求证：△AGF∽△BAF；

（3）若点P是线段AG上一点，连结BP，若∠PBG=∠BAF，AB=3，AF=2，求．

【考点】相似形综合题；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质．

【分析】（1）由于EF=CF，要证AF=EF，只需证FA=FC，只需证△ABF≌△CBF即可；

（2）由于∠AFG=∠BFA，要证△AGF∽△BAF，只需证∠FAE=∠ABF，易得∠FAE=∠FEA，∠ABF=∠CBF，只需证∠ABC+∠AFE=180°，只需证∠BAF+∠BEF=180°，只需证到∠BAF=∠FEC即可；

（3）由△AGF∽△BAF可得∠BAF=∠AGF， ==，易证△BGE∽△AGF，则有==，由条件∠PBG=∠BAF可得∠PBG=∠AGF，由此可得∠BPG=∠PBG，即可得到BG=PG，问题得以解决．

【解答】解：（1）∵BF平分∠ABC，

∴∠ABF=∠CBF．

在△ABF和△CBF中，

，

∴△ABF≌△CBF，

∴AF=CF．

∵点F在EC的垂直平分线上，

∴EF=CF，

∴AF=EF；

（2）∵△ABF≌△CBF，

∴∠BAF=∠BCF．

∵FE=FC，

∴∠FEC=∠FCE，

∴∠BAF=∠FEC．

∵∠BEF+∠FEC=180°，

∴∠BAF+∠BEF=180°．

∵∠BAF+∠ABE+∠BEF+∠AFE=360°，

∴∠ABE+∠AFE=180°．

∵FA=FE，

∴∠FAE=∠FEA．

∵∠AFE+∠FAE+∠FEA=180°，

∴∠ABE=∠FAE+∠FEA=2∠FAE．

又∵∠ABE=2∠ABF，

∴∠FAE=∠ABF．

∵∠AFG=∠BFA，

∴△AGF∽△BAF；

（3）∵△AGF∽△BAF，

∴∠AGF=∠BAF， =．

∵∠PBG=∠BAF，AB=3，AF=2，

∴∠PBG=∠AGF， =，

∴∠BPG=∠PBG， =，

∴PG=BG，

∴=．

∵∠GAF=∠ABF=∠EBF，∠AGF=∠BGE，

∴△BGE∽△AGF，

∴==，

∴=．

八、本题14分

26．如图，矩形AOCB的两边在坐标轴上，抛物线y=﹣x2+4x+2经过A、B两点．

（1）求点A的坐标及线段AB的长；

（2）若点P由点A出发以每秒1个单位长度的速度沿AB边向点B移动，1秒后点Q由点A出发以每秒4个单位长度的速度沿AO﹣OC﹣CB边向点B移动，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止移动，设点P的移动时间为t秒．

①当△PQC是直角三角形时t的值；

②当PQ∥OB时，对于抛物线上一点H，满足∠POQ＜∠HOQ，求点H横坐标的取值范围．

【考点】二次函数综合题．

【分析】（1）由抛物线的点的特点和矩形的性质，直接求出；

（2）①由运动特点分三种情况，用勾股定理计算即可°；②当PQ∥OB时，时间t=，再求出特殊位置的交点的横坐标，在判断出即可．

【解答】解：（1）∵抛物线y=﹣x2+4x+2经过A、B两点，

∴A（0，2），

∵AB是矩形的一条边，

∴AB=4，

（2）Ⅰ、Q在AO边上，由运动有AP=t+1，AQ=4t，

∴P（t+1，2），Q（0，1﹣4t），

∵C（0，4），

根据勾股定理得PQ2+PC2=CQ2，

∴2（t+1）2+（1﹣4t）2+4=（1﹣4t﹣4）2，

∴t=，

Ⅱ、Q在OC边上，同①的方法得，t=2，

Ⅲ、Q在CB边上，同（1）的方法得，t=3，

②当PQ∥OB时，

∴

∵P（4，6﹣t），Q（0，4t﹣2），

∴CP=6﹣t，CQ=4﹣（4t﹣2）=6﹣4t，

∴，

∴t=，

∴点P的坐标为（，2）；

由题意联立方程和

∴x=和x=，

∵∠POQ＜∠HOQ

∴H点的取值范围为x＜和x＞．

2019年7月5日

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/57b743df76232f60ddccda38376baf1ffd4fe33c.html