北京东城区示范校2011届高三综合练习数学理科试题（一）

北京东城区示范校

2010—2011学年度高三综合练习（一）

数学（理）试题

一、选择题：本大题共8小题。每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设为两个非空实数集合，定义集合，若，，则中元素的个数为 （ ）

A． 9 　 B． 8 C． 7 D． 6

2．设，则大小关系为 （ ）

A． B．

C． D．

3．已知向量与的夹角为，则等于 （ ）

A．5　　　　　　 B．4　　　　　　　 C．3　　　　 D．1

4．向量， ，，为了得到函数的图象，可将函数的图象 （ ）

A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度

5．等比数列中，，=4，函数，则

（ ）

A． B． 　　　 C． D．

6． 函数则不等式的解集是 （ ）

A． B．

C． D．

7．函数与有相同的定义域，且都不是常值函数，对于定义域内的任何, 有, ,且当时，，则的奇偶性为 （　　）

A．奇函数非偶函数　　　　　　　　 B．偶函数非奇函数

C．既是奇函数又是偶函数　　　　 D．非奇非偶函数

8．设非空集合满足：当，给出如下三个命题：①若；②若③若；其中正确的命题的个数为 （ ）

A．0个 B ．1个 C．2个 D．3个

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填在题中横线上。

9．若数列满足（，为常数），则称数列为调和数列．记数列= ．

10．若等边的边长为，平面内一点满足，则=_________．

11．已知变量满足，设, 若当取得最大值时对应的点有无数个，则值为 ．

12．在△中，内角的对边分别是，若，，则A角大小为 ．

13．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的

体积为 ．

14已知是定义在上不恒为零的函数，对于任意的，都有成立．数列满足，且．

则数列的通项公式__________________ ．

三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15．（本小题满分13分）

如图，设是单位圆和轴正半轴的交点，是单位圆上的两点，是坐标原点，，．

（1）若，求的值；

（2）设函数，求的值域．

16．（本小题满分13分）

在等比数列｛｝中，，公比，且，与的等比中项为2．

（1）求数列｛｝的通项公式；

（2）设，数列｛｝的前项和为，当最大时，求的值．

17．（本小题满分13分）

正△的边长为4，是边上的高，分别是和边的中点，现将△沿翻折成直二面角．

（1）试判断直线与平面的位置关系，并说明理由；

（2）求二面角的余弦值；

（3）在线段上是否存在一点，使？证明你的结论．

18．（本小题满分13分）

已知函数

（1）当时，求曲线处的切线方程；

（2）设的两个极值点，的一个零点，且证明：存在实数按照某种顺序排列后构成等差数列，并求．

19．（本小题满分14分）

设数列的前项和为，且．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，数列的前项和为，求证：．

20．（本小题满分14分）

已知函数

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）求函数在区间上的最小值．

参考答案

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

1．B 2． A 3．B 4． D 5． C 6． C 7．B 8． D

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

9． 20 ; 10． -2 ; 11． ；

12． ； 13． 1 ； 14．

三、解答题（本大题共6小题，共80分）

15．（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）由已知可得…………………………2分

……………………3分

…………………………4分

（Ⅱ） ……………………6分

………………………………7分

………………………………8分

………………………………9分

………………………………12分

的值域是………………………………13分

16．（本小题满分13分）

解：（1）因为a1a5 + 2a3a5 +a 2a8＝25，所以， + 2a3a5 +＝25

又an＞o，∴a3＋a5＝5，…………………………3分

又a3与a5的等比中项为2，所以，a3a5＝4

而q（0,1），所以，a3＞a5，所以，a3＝4，a5＝1，，a1＝16，所以，

…………………………6分

（2）bn＝log2 an＝5－n，所以，bn＋1－bn＝－1，

所以，{bn}是以4为首项，－1为公差的等差数列。。。。。。。。。8分

所以， …………………………10分

所以，当n≤8时，＞0，当n＝9时，＝0，n＞9时，＜0，

当n＝8或9时，最大。　　……………………13分

17．（本小题满分13分）

解：法一：（I）如图：在△ABC中，

由E、F分别是AC、BC中点，

得EF//AB，

又AB平面DEF，EF平面DEF．

∴AB∥平面DEF．

（II）∵AD⊥CD，BD⊥CD

∴∠ADB是二面角A—CD—B的平面角

∴AD⊥BD ∴AD⊥平面BCD

取CD的中点M，这时EM∥AD ∴EM⊥平面BCD

过M作MN⊥DF于点N，连结EN，则EN⊥DF

∴∠MNE是二面角E—DF—C的平面角…………6分

在Rt△EMN中，EM=1，MN=

∴tan∠MNE=，cos∠MNE= ………………………8分

（Ⅲ）在线段BC上存在点P，使AP⊥DE……………………10分

证明如下：在线段BC上取点P。使，过P作PQ⊥CD与点Q，

∴PQ⊥平面ACD ∵在等边△ADE中，∠DAQ=30°

∴AQ⊥DE∴AP⊥DE………………………………13分

法二：（Ⅱ）以点D为坐标原点，直线DB、DC为x轴、y轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，2）B（2，0，0）C（0，……4分

平面CDF的法向量为设平面EDF的法向量为

则即

所以二面角E—DF—C的余弦值为…8分

（Ⅲ）在平面坐标系xDy中，直线BC的方程为

设

…………………12分

所以在线段BC上存在点P，使AP⊥DE …………………………14分

另解：设

又 …………………………12分

把所以在线段BC上存在点P使AP⊥DE ……………．13分

18．（本小题满分13分）

6（Ⅰ）解：当a=1,b=2时，

因为f’（x）=（x-1）（3x-5） …………．．2分

故 ……………．3分

f（2）=0, ……………．4分

所以f（x）在点（2,0）处的切线方程为y=x - 2 ………．．5分

（Ⅱ）证明：因为f′（x）＝3（x－a）（x－），……………．7分

由于a<b．

故a<．

所以f（x）的两个极值点为x＝a，x＝ ………．．9分

不妨设x1＝a，x2＝，

因为x3≠x1，x3≠x2，且x3是f（x）的零点，

故x3＝b． ……………．10分

又因为－a＝2（b－），

x4＝（a＋）＝，

所以a，，，b依次成等差数列，

所以存在实数x4满足题意，且x4＝．……………………．13分

19．（本小题满分14分）

解：当时，．　 ……1分

　 当时，

． ……3分

∵不适合上式,

∴　　 …4分

（2）证明: ∵．

当时，

当时，,　　　 ①

．　 　②

①－②得:

得， ……8分

此式当时也适合．

∴N．　　

∵，

∴． ……10分

当时，，

∴． ……12分

∵，

∴．　

故，即．

综上，． ……………．．14分

20．（本小题满分14分）

（Ⅰ）解：⑴当时, ,

．

由得, 解得或．

注意到,所以函数的单调递增区间是．

由得,解得,

注意到,所以函数的单调递减区间是．

⑵当时，，，

由得,解得，

注意到,所以函数的单调递增区间是．

由得,解得或，

由,所以函数的单调递减区间是．

综上所述，函数的单调递增区间是，；

单调递减区间是，． ┅┅┅┅5分

（Ⅱ）当时,，

所以 ………7分

设．

⑴当时，有, 此时,所以,在上单调递增．

所以 ………… 9分

⑵当时,．

令,即,解得或（舍）;

令,即,解得．

①若,即时, 在区间单调递减，

所以．

②若,即时, 在区间上单调递减,

在区间上单调递增,所以．

③若,即时, 在区间单调递增，

所以． …………．．13分

综上所述,当或时, ;

当时, ;

当时, ． ┅┅┅┅14分

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