“随机变量及其分布”单元测试
一、选择题
1．设随机变量ξ～N(2,1)，若P(ξ>3)＝m，则P(1<ξ<3)等于( )
A.－2m B．1－m
C．1－2m D.－m
解析：选C 因为随机变量ξ～N(2,1)，
所以随机变量ξ服从正态分布，且正态曲线的对称轴为x＝2，
因为P(ξ>3)＝m，所以P(ξ<1)＝m，
因此P(1<ξ<3)＝1－2P(ξ>3)＝1－2m.
2．已知离散型随机变量X的概率分布列为
则随机变量X的数学期望为( )
A. B.
C. D.
解析：选C ∵a＝1－＝
，∴E(X)＝0×
＋1×
＋2×
＋3×
＝
.
3．随机变量ξ的概率分布规律为P(ξ＝ )＝， ＝1,2,3,4，其中c是常数，则P
的值为( )
A. B.
C. D.
解析：选D 由题可得，c1－＋
－
＋
－
＋
－
＝c×
＝1，解得c＝
.
所以P＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＝
×
＝
.
4．已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则他在第1次取到的是螺口灯泡的条件下，第2次取到的是卡口灯泡的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选D 设事件A为“第一次取到的是螺口灯泡”，
事件B为“第二次取到的是卡口灯泡”，
则P(A)＝，P(AB)＝
×
＝
，
故所求概率为P(B|A)＝＝
＝
.
5．(2018·邢台摸底)一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则P(X＝4)的值为( )
A. B.
C. D.
解析：选C 由题意知取出的3个球必为2个旧球1个新球，故P(X＝4)＝＝
.
6．下列各组的两个事件相互独立的是( )
①运动员甲射击一次，“射中10环”与“射中8环”；
②甲、乙两名运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中8环”；
③盒子中放有5个红球、5个白球，从盒子中陆续取出两个球，事件A为“第一次取出白球”，取出的球放回盒中，事件B为“第二次取出的是白球”；
④盒子中放有5个红球、5个白球，从盒子中陆续取出两个球，事件A为“第一次取出白球”，取出的球不放回盒中，事件B为“第二次取出的是白球”．
A．①② B．②③
C．①④ D．③④
解析：选B ①甲射击一次，“射中10环”与“射中8环”两个事件不可能同时发生，是互斥事件；
②甲、乙两名运动员各射击一次，“甲射中10环”发生与否对“乙射中8环”的概率没有影响，故二者是相互独立事件；
③在有放回的取球中，事件A与B是否发生相互之间没有任何影响，故二者是相互独立事件；
④在不放回的取球中，事件A发生后，事件B的概率发生了改变，故二者不是相互独立事件．
二、填空题
7．随机掷一枚质地均匀的骰子，记向上的点数为m，已知向量＝(m,1)，
＝ (2－m，－4)，设X＝
·
，则X的数学期望E(X)＝________.
解析：∵＝
＋
＝(2，－3)，
∴X＝·
＝2m－3，而m＝1,2,3,4,5,6.
列出X的分布列(如表所示)，
∴E(X)＝(－1＋1＋3＋5＋7＋9)＝4.
答案：4
8．已知随机变量ξ的分布列为：
若E(ξ)＝，则x＋y＝________，D(ξ)＝________.
解析：由题意，得x＋y＝.又E(ξ)＝－x＋
＋2y＝
，
解得x＝， y＝
，
所以D(ξ)＝2×
＋
2×
＋
2×
＋
2×
＝
.
答案：
9．设随机变量η服从正态分布N(1，σ2)，若P(η <－1)＝0.2，则函数f(x)＝x3＋x2＋η2x没有极值点的概率是______．
解析：f′(x)＝x2＋2x＋η2，
因为函数f(x)＝x3＋x2＋η2x没有极值点，
所以f′(x)＝x2＋2x＋η2≥0恒成立，
所以Δ＝4－4η2≤0，则η≤－1或η≥1，
因为P(η≤－1)＝0.2，且随机变量η服从正态分布N(1，σ2)，
所以P(η≤－1或η≥1)＝P(η≤－1)＋P(η≥1)＝0.2＋0.5＝0.7.
答案：0.7
三、解答题
10．如图，由M到N的电路中有4个元件，分别标为T1，T2，T3，T4，电流能通过T1，T2，T3的概率都是p，电流能通过T4的概率是0.9，电流能否通过各元件相互独立．已知T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为0.999.
(1)求p；
(2)求电流能在M与N之间通过的概率．
解：记Ai表示事件“电流能通过Ti”，i＝1,2,3,4，
A表示事件“T1，T2，T3中至少有一个能通过电流”，
B表示事件“电流能在M与N之间通过”．
(1)＝
，A1，A2，A3相互独立，
P()＝P(
)＝P(
)P(
)P(
)＝(1－p)3，
又P()＝1－P(A)＝1－0.999＝0.001，
故(1－p)3＝0.001，解得p＝0.9.
(2)B＝A4∪(A1A3)∪(
A2A3)，
P(B)＝P(A4)＋P(A1A3)＋P(
A2A3)
＝P(A4)＋P()P(A1)P(A3)＋P(
)P(
)P(A2)P(A3)
＝0.9＋0.1×0.9×0.9＋0.1×0.1×0.9×0.9＝0.989 1.
11．某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为：
商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．η表示经销一件该商品的利润．
(1)求事件A：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P(A)；
(2)求η的分布列及数学期望E(η)．
解：(1)由事件A：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”，
可知表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”，
因为P()＝(1－0.4)3＝0.216，
所以P(A)＝1－P()＝1－0.216＝0.784.
(2)由题意知，η的可能取值为200元，250元，300元，
则P(η＝200)＝P(ξ＝1)＝0.4，
P(η＝250)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝0.2＋0.2＝0.4，
P(η＝300)＝P(ξ＝4)＋P(ξ＝5)＝0.1＋0.1＝0.2，
所以η的分布列为
故数学期望E(η)＝200×0.4＋250×0.4＋300×0.2＝240(元)．
12．(2017·北京高考)为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药．一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成下图，其中“*”表示服药者，“＋”表示未服药者．
(1)从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率；
(2)从图中A，B，C，D四人中随机选出两人，记ξ为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数，求ξ的分布列和数学期望E(ξ)；
(3)试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小．(只需写出结论)
解：(1)由图知，在服药的50名患者中，指标y的值小于60的有15人，
所以从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标y的值小于60的概率P＝＝0.3.
(2)由图知，A，B，C，D四人中，指标x的值大于1.7的有2人：A和C.
所以ξ的所有可能取值为0,1,2.
P(ξ＝0)＝＝
，P(ξ＝1)＝
＝
，P(ξ＝2)＝
＝
.
所以ξ的分布列为
故ξ的数学期望E(ξ)＝0×＋1×
＋2×
＝1.
(3)在这100名患者中，服药者指标y数据的方差大于未服药者指标y数据的方差．
本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/5677903403768e9951e79b89680203d8ce2f6a93.html
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