卵圆（蛋圆）图形特征

卵圆（蛋圆）图形特征

卵圆概念，来自于家禽、鸟类和部分动物所生的卵（蛋）。整个卵（蛋）称为卵球体，纵截面形状称为卵圆。卵圆图形的基本特征是：只有一条对称轴、规范标准的闭合曲线、具有长、宽和半轴三个特征参数，见图1。

图1 卵圆示意图

把符合卵圆基本特征，具有形成内在规律的闭合曲线图形，称为标准卵圆；符合卵圆基本特征，不具有内在规律的闭合曲线图形，称为普通卵圆；符合卵圆图形特征，不是规范曲线的图形，称为卵圆形。

1卵圆定义

一种特定条件的四焦点圆图形，符合卵圆基本特征。四个焦点为纺锤形，以纺锤形边的延长线的交点为动点，与纺锤形形成的环线长为定值的四焦点圆。

1.1特定条件纺锤形四焦点圆的图形特征

采用针线作图方法，作特定条件四焦点圆和相关辅助图见图2。焦点纺锤形各条边的延长线与圆周曲线相交，显而易见特定条件纺锤形四焦点圆是由五个不同椭圆的六段椭圆弧，通过垂直和对称内切连接，形成的组合曲线图形（参阅百度文库“椭圆组合曲线图形”、“多焦点圆图形”）。因此，特定条件的纺锤形四焦点圆是具有卵圆基本特征的规范、标准的闭合曲线。

图2 四焦点圆曲线示意图

1.2图形形成原理和分析方法

特定条件四焦点圆是受条件约束的四焦点圆，图形的形成原理和分析方法与多焦点圆一致。

1.3卵圆定义

由于特定条件四焦点圆符合卵圆图形特征和形成规律，因此把特定条件的四焦点圆称为四焦点卵圆或标准卵圆，简称为卵圆（下同）。

标准卵圆定义：平面内，以任意纺锤形边的延长线的交点为动点，与纺锤形之间形成的环线长为定值的动点轨迹称做标准卵圆。纺锤形是卵圆的基本属性。

以图形特征对卵圆作初步定义，在多焦点圆的范畴内是唯一的。卵圆属于多参数图形，可能有多种形成方法，有待于探讨。

2曲线方程

卵圆是由五个椭圆（相关联或约束）的六段椭圆曲线通过相切组合形成的规范标准的闭合曲线图形。在直角坐标系中，根据卵圆参数，各段椭圆曲线都能够建立椭圆方程，因此卵圆曲线为分段函数。可以根据分段函数方程，对卵圆进行系统分析。

3参数关系

卵圆图形由纺锤形确定。对于已知卵圆的纺锤形参数，其特征参数直接由纺锤形参数计算求出；对于已知卵圆的特征参数，需要引进形状参数k、β，采用参数模拟计算方法方可求解参数。因此，建立适合特征参数和模拟参数计算的特征参数与纺锤形参数之间的关系式。

根据宽的极大点位置，分为三角形和椭圆形两种参数关系模式。宽的极大点位于BD延长线的内则为三角形模式；宽的极大点位于BD延长线的外则为椭圆形模式见图3。两种模式分析方法类似，限于篇幅介绍三角形模式。

极大值点在BD延长线内则（三角形） 极大值点在BD延长线外则 （椭圆形）

图3 卵圆参数分析示意图

设：纺锤形的长边为AB、AC，短边为BD、DC，对角线为BC，对称轴为AD（AD=AS+DS）。形状参数：、；则： ； ；。

3.1宽的关系式

垂直于对称轴的极大值称为卵圆的宽。极大点T位于以A、B或A、C为焦点的椭圆弧上，以A、B焦点为例。椭圆方程表达式：

； 。

以对称轴为横轴，过AB中点为纵轴建立坐标系，通过旋转、平移得极大点对应椭圆方程：

（3.1）

根据椭圆的极值定式，由（3.1）式，极大点坐标：

T 、

则：宽 （3.2）

3.2对称轴关系式

对称轴又称为卵圆的长。纺锤形的对角线BC，将对称轴分为两部分。

（BC上长）；

（ BC下长）。

则对称轴： （3.3）

3.3 BC关系式

BC为纺锤形的对角线，是卵圆的重要参数。解出（3.2）式中的BC得：

（3.4）

3.4极大值X的关系式

X是反映宽偏离中点的参数。极大点坐标X的绝对值为：

；

与宽相关的表达式：由纺锤形对角线与边长关系：

；。

则：；。

由于，根据

（3.5）

3.5半轴关系式

宽与对称轴的垂足，将对称轴分为上、下两个不相等的半轴，数值大的称为半轴。

上半轴（长边）： （3.6）

下半轴（短边）： （3.7）

X值是应用模式的判别标准，当时，适用三角形模式；当时，适用椭圆形模式。

建立卵圆的特征参数和纺锤形参数之间的关系式，可以根据已知参数对卵圆的特征参数（长、宽和半轴）进行计算和相关的分析。

关于卵圆的特征参数（长、宽和半轴）计算参数问题，笔者总结出一种“参数模拟计算法”，内容较多，有兴趣的读者请参阅《图学学报》2013（2）《多焦点圆及其椭圆和卵圆》一文。

4焦点多边形边的延长线段的长度

焦点纺锤形的各条边的延长线与卵圆周相交参阅图3。通过建立边的线性方程，求得交点F的坐标，利用交点坐标和三角计算，建立各线段长度参数关系式：

（1） BD（CD）延长线的线段长度：

（4.1）， （4.2），

（2）AB（AC）延长线的线段长度：

（4.3） （4.4），

根据延长线段关系式，若已知纺锤形参数，即可计算出各交点坐标和线段的长度。

5焦点纺锤形的特征值

纺锤形图形可分为边长参数L0、AB、BD和对角线参数AD、AS、DS和BC。要确定一个纺锤形，需要含有边长和对角线三个不同的参数或参数比值。卵圆的图形特征是焦点纺锤形边的延长线交于卵圆周，由示意图3可知：

将（4.1）、（4.3）两式代入上式得：

整理得： （5.1）

是卵圆的特征参数。是纺锤形上、下半轴的比值，属于焦点纺锤形的特征参数。（5.1）式表明，卵圆的特征参数与焦点纺锤形的特征参数值相等，且为k。根据这一特征，任意一个纺锤形确定一个卵圆。

6图形形状

为了解不同参数的卵圆形状，以长12 cm、宽9 cm、半轴7 cm的卵圆为例，以模拟计算参数，作出相同长和宽不同半轴的卵圆图组和相同长和半轴不同宽的卵圆图组。使我们对卵圆参数的变化对图形的影响有直观的认识。

6.1相同长和宽不同半轴的卵圆图组

卵圆的长12 cm、宽9 cm为定值，半轴分别为：6、6.5、7、7.5、8、8.5、9 （cm）见图4。图组特征是：半轴最小值为6 cm时，对称轴的两头差异不明显，与椭圆近似相同。随着半轴长度增加，卵圆的两头差异变大，图形差异明显。

图4 相同长和宽不同半轴的卵圆图组

6.2相同长和半轴不同宽的卵圆图组

卵圆长的12 cm 、半轴7 cm 为定值，宽分别为6、7、8、9、10、12、14、16（cm）见图5。图组特征：当宽小于长时为长型卵圆，随着宽减小卵圆变得细长；当宽大于长时为扁型卵圆，随着宽增大卵圆越扁。

图5 相同长和半轴不同宽的卵圆图组

通过上述两组图形，可以推理出各种不同长、宽和半轴参数的标准卵圆图形。与椭圆相似每种标准卵圆，应该具有相同参数的卵圆族，有待于探讨。

2013.11

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/55268bd4770bf78a65295437.html