蝶形定理
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蝶形定理有三条性质
如下图所示:三角形ABC位于两条平行线之间,三角形的底边BC位于其中的一条平行线,而顶点A在另一条平行线上。
显然,经过运动后的新三角形PBC与原来的三角形ABC比较,形状发生了变化,但是,它们的面积是相等的。因为这两个三角形等底等高。
性质1:三角形的一个顶点在平行线上运动不改变图形的面积。(图1中:S△PBC=S△ABC)
性质2:如上图2所示,S△ABO=S△ PCO的面积
由于上图的构图像蝴蝶的翅膀,我们把性质1、性质2形象地叫做“蝶形定理”。
性质3:如上图3所示,图中阴影三角形的面积等于平行四边形面积的一半。
知识应用 奥数纵横
例1、如图4,正方形ABCD的边长是4厘米,CG= 3厘米,长方形DEFG的长为5厘米,求它的宽DE等于多少厘米?
例2、如图5, ABCD是长方形,DEFG是平行四边形,E点在BC边上,FG过A点,已知,三角形AFK与三角形ADG面积之和等于5平方厘米,DC=CE=3厘米。求△BEK的面积。
练习:
1、 如图6所示,长方形ABCD的长为25厘米,宽为15厘米,四对平行线截长方形各边所得的线段如图中标出,且横向的两组平行线都与BC平行,求阴影部分的面积。
2、 如图7、正方形的边长为10厘米,四边形ABCD的面积是6平方厘米,求阴影部分的面积。
例3、如图8中,ABCD是直角梯形,(∠DAB=∠ABC=900),以AD为一边向外作长方形ADEF,其面积为6.36平方厘米。连接BE交于P,连接PC,求图中阴影部分的面积。
例4、如图9中,过平行四边形ABCD的顶点D作直线DF,交直线BC于E,请比较△ABE与△CEF的大小。
练习:
3、如图10所示、在长方形ABCD中,AD=15厘米,AB=8厘米,四边形OEFG的面积是9平方厘米,求阴影部分的面积。
4、如图11所示,若长方形AEOG、DEOH、BFOG的面积分别是4、6、8,求阴影部分的面积是多少?
例5、如图12,长方形ABCD的长为12厘米,宽为8厘米,三角形CEF的面积是32平方厘米,求OG长。
例6、如下图13,正方形ABCD的边长为12厘米,P是边AB边上的任意一点,M,N,I,H分别是BC,AD上的三等分点,E,F,G是边CD上的四等分点,图中阴影部分的面积是多少平方厘米?
练习
5、如图14所示,O是平行四边形内的一点,AB=3BE,已知三个空白三角形的面积分别是19、20、35平方厘米,求三角形DOC的面积是多少。
6、如图15,正方形的边长为6厘米,E、F为二等分点,G、M、N为三等分点,O为正方形内任意一点,求阴影部分的面积。
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