全国高中数学联赛试题
第一试
10月12日
一、选择题
本题共有6小题，每题均给出（A）、（B）、（C）、（D）四个结论，其中有且仅有一个是正确的，请将正确答案的代表字母填在题后的括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。
1. 删去正整数数列1，2，3，……中的所有完全平方数，得到一个新数列. 这个数列的第2003项是 【答】（ ）
（A）2046 (B) 2047 (C) 2048 (D) 2049
![]()
word/media/image1.gif2. 设![]()
fb4398bd43c541f5082e70d71e297302.png那么直线![]()
079a25156278b754ceb2fd99a099e873.png和曲线![]()
50e5d7e718c24917aa2cc19156da455a.png的图形是【答】（ ）
(A) (B) (C) (D)
3. 过抛物线![]()
9bf71c69f9cfc4b46da1327e9af36b60.png的焦点F作倾斜角为![]()
9e7b9ae8e493fa6cad6429f2ecd3bfa1.png的直线. 若此直线与抛物线交于A，B两点，弦AB的中垂线与![]()
9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png轴交于P点，则线段PF的长等于 【答】（ ）
（A）![]()
dae2e19eb75eab9e71ee927742c6d2fe.png (B)![]()
e93aef3644f3a0e2ffc48ff352d29ac4.png (C)![]()
d0ed1bc7b40174c011282f2eea733d44.png (D) ![]()
d603dc4be540198d5bbc1c549e732e2d.png
4. 若![]()
1bc2ad410019ab7606c6f742cd69ee5f.png则![]()
3da2bbe5029b68141e38bc0491c5636a.png的最大值是
（A）![]()
2cbd686642d19f82d12f0337dffc6ddb.png (B)![]()
a57d39a73cf3769940c99e66dee056f6.png (C) ![]()
6873e53762c3197b69bab0158caafaf0.png (D) ![]()
e9d9ba6eedfb1ad2008aa2ee4e6be506.png 【答】（ ）
5. 已知![]()
f10bc3c94b77e1d6b9f98106daf335c1.png在区间![]()
e8671d9f92807df897b6eff4699c1e29.png内，且![]()
08ff779c2e10728ee6b63dcbd2b119ed.png则函数![]()
2752253d58464827ab19a0bd87c02ecc.png的最小值是
（A）![]()
b0e1326365729673e417839e572d1ced.png (B)![]()
c6c5d7753bff07ee44916814e9c96246.png (C) ![]()
6873e53762c3197b69bab0158caafaf0.png (D) ![]()
e9d9ba6eedfb1ad2008aa2ee4e6be506.png 【答】（ ）
6. 在四面体ABCD中设![]()
bc6d2760f5ab7b6587d5a5cf28e25563.png，直线AB与CD的距离为2，夹角为![]()
c87d41c12d441153b97f3593f330c121.png，则四面体ABCD的体积等于 【答】（ ）
（A）![]()
aed430fdf4c64058b58e05bf9ccbbbde.png (B) ![]()
93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png (C) ![]()
7964c6a339acf2ddea25a5ef0552b97e.png (D) ![]()
227e9e6ea96659f752771b4ec095b788.png
二、填空题（本题满分54分，每小题9分）本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上。
7．不等式![]()
ecadfe1b8f2e367481bd3455798a10df.png的解集是______________
8．设![]()
8b73bdbf452fd7cf6840411396bfb043.png是椭圆![]()
fb61220b19ed633526012440387a60b7.png的两个焦点，P是椭圆上的点，且![]()
88e1b286081650db5ffa16af07e5a077.png，则![]()
1c6fa3b594f76274add3ad597bd39273.png的面积等于_____________.
9. 已知 ![]()
3a922048a8adee1c47fb5888e0f5b2d7.png
![]()
fc16bd859e714d81978dc4ed8db188e3.png若![]()
8222227339e31b091463424292a35628.png，则实数![]()
0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png的取值范围是_____________.
10. 已知![]()
6b2c3772e956bd7d191e4e9417c49700.png均为正整数，且![]()
c5d60d2240e82c2adfed49169ea20f89.png若![]()
6f70bf013ed1bb20459101c06fef5230.png，则![]()
b70c31d7d43b002e5abddd5dc5fcd84f.png____________.
11. 将八个半径都为１的球分两层放置在一个圆柱内，并使得每个球和其相邻的四个球相切，且与圆柱的一个底面及侧面都相切，则此圆柱的高等于________.
12．设![]()
4d6baa402b5ea179b7ff6c8412421f82.png
![]()
0b9f2991087ddb13a722a3319a0bbe2e.png是![]()
1547a74739c1e2b6be3ebe927017bfbb.png中元素的个数，![]()
44d853a7808a331d95220fcb38095649.png是![]()
1547a74739c1e2b6be3ebe927017bfbb.png中所有元素的和，则![]()
98907fbe1f1bba14b6e799c4d3c25e8c.png________.
三、解答题 （本题满分60分，每小题20分）
13． 设![]()
e205ee416afe7d124c10d181bfa1799a.png 证明不等式 ![]()
8b6f294c27d174657ee969aa44d8ed92.png
14．设A,B,C分别是复数![]()
21608c9a05b5ce396773254af011dd6b.png（其中![]()
a44c56c8177e32d3613988f4dba7962e.png都是实数）对应的不共线的三点. 证明：曲线 ![]()
dab2eea39725701bbd9563a6ad19ea66.png与![]()
75b781a7c7441078ffd5053329c34092.png中平行于AC的中位线只有一个公共点，并求出此点.
15. 一张纸上画有半径为R的圆O和圆内一定点A, 且OA=a, 折叠纸片，使圆周上某一点![]()
a813bf9ff7340ccd6b7e4bd1c3819d13.png刚好与A点重合. 这样的每一种折法，都留下一条直线折痕. 当![]()
a813bf9ff7340ccd6b7e4bd1c3819d13.png取遍圆周上所有的点时，求所有折痕所在直线上点的集合.
全国高中数学联赛加试试题
第二试
一、（本题满分50分）
过圆外一点P作圆的两条切线和一条割线，切点为A, B. 所作割线交圆于C, D两点，C在P, D之间. 在弦CD上取一点Q, 使![]()
d4020bb04cab572667ddcfcf4fa8a948.png 求证：![]()
e78a499aad03a6daf87edb6ad6545759.png
二、（本题满分50分）
设三角形的三边长分别是整数![]()
e7fde8dc37ff41881faf304e8ebbfeb8.png且![]()
2a710ca172881f25d16ddd8bf587681e.png已知![]()
0e676b53b010780398b27fdab54af73b.png其中![]()
a1eed9feaddf8bf7d365320eec69254c.png而![]()
ef2388922dbd928d592f5da09c1c9eeb.png表示不超过![]()
9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png的最大整数. 求这种三角形周长的最小值.
三、（本题满分50分）
由n个点和这些点之间的![]()
2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png条连线段组成一个空间四边形，其中![]()
296179d157f1b6beeb19c82bc330c7dc.png![]()
638f3ad1cca7aafbfb0a46966dbbc276.png已知此图中任四点不共面，每点至少有一条连线段，存在一点至少有![]()
33f771c8947ac9376a613ee6e7ea570d.png条连线段. 证明：图中必存在一个空间四边形（即由四点A,B,C,D和四条连线段AB,BC,CD,DA组成的图形）
全国高中数学联赛第一试参考答案
一、选择题
提示：
1. 注意到![]()
17f0f78c7c4cb135176eeb4d6add290a.png,![]()
ddf78797071a9d151813569a1e18d1cb.png,故![]()
469ae7631eeab3433142cd44b5f504e9.png;
2. 题设方程可化为![]()
3a8d8ec90ca2d552f7f63b3627032a7b.png和![]()
bcee5dae09aadd1d3e318ed3f511036b.png,观察图形可知；
3. 易知直线AB的方程为![]()
1ac769d3bc1842b6390fdcbab5a6951b.png,因此A,B两点的横坐标满足方程![]()
f6020b05a8328899ef7a415b3f93ffc8.png,从而弦AB中点的横坐标为![]()
e58dfff904832ecb25ad4bf5df3f9e0f.png,纵坐标![]()
bcae60f08cff3f3b7eb1dece215d425d.png,进而求得中垂线方程之后，令y=0，得点P的横坐标即PF=![]()
dae2e19eb75eab9e71ee927742c6d2fe.png；
4. 原函数可化为![]()
427045b3852b81e2a910347310516f4c.png,可以证明函数在已知的区间上为增函数，故当![]()
c57a1db83c10d1d4ebb33e6409bb92f6.png时，y取最大值![]()
fbffc7acae3761a604cb3ae88270228e.png;
5. 消去y之后可得：![]()
e9d85098744c8aae67d192f0c87e124f.png,用基本不等式可求得函数u的最小值![]()
e9d9ba6eedfb1ad2008aa2ee4e6be506.png;
6. 可用等积法求得，过程略。
二、填空题
7. ![]()
cb2cb20fb360a263a9ffc13d5837784e.png. 提示： 原不等式可以化为:![]()
12ef006cc91ac79b5678b45cc5c78e1a.png
8. 4 ![]()
1c6fa3b594f76274add3ad597bd39273.png是直角三角形，故![]()
1c6fa3b594f76274add3ad597bd39273.png的面积为![]()
01f29b6a3b2fd21290938b2e8031f8af.png;
9. ![]()
353cd3565163cb1e8f84236530cd969e.png
提示：![]()
cb582c8a26eb842c0f2164f991b5403b.png,令![]()
2adc735b2aba8c903dead769a368dac1.png,![]()
b756fb529fb6c175ff78ab4df0f37665.png,则只需![]()
6458abe6708c92eaa8ac7a5839dfaf9a.png在（1，3）上的图象均在x轴的下方，其充要条件是![]()
958eb35b92eb9575f9e7434f4513282d.png,由此推出![]()
353cd3565163cb1e8f84236530cd969e.png;
![]()
10．93 提示： 由已知得![]()
3e3d96b89c9d8d1163aec5d478d6127a.png,![]()
885a4d5decabd4d70013a06df7797d03.png,又 ![]()
6f70bf013ed1bb20459101c06fef5230.png，故![]()
707773aedc137be93eb8bfc88820d92e.png,推得![]()
6629de4a3361fbc73f520f319de38b5f.png,![]()
58d73a1f498a0bff37437a4eb93255e3.png;
11．![]()
32fe49ef1ed4049fe76603184f3971e0.png
提示：如图，上下层的四个球的球心A1,B1,C1,D1,A,B,C,D分别是上下两个边长为2的正方形的顶点，且以它们的外接圆为上下底面构成圆柱，同时A1在底面上的射影M为弧AB的中点。由于A1A=A1B=AB=2,![]()
eb7d54d9c1b11ff5c04c36e0f66f2042.png ,![]()
4e2c46b40fb228410ee2278d5a681df2.png ,求得
![]()
77a8ecbe504e84ebd2c43fb844c0956c.png ,故所求的高为 ![]()
32fe49ef1ed4049fe76603184f3971e0.png ；
12．![]()
47a2255d97f994fd9d873b0f9ab9c7c5.png 提示： ![]()
6578bd6b48bcb9a6b684e21d87c08d2d.png,![]()
eea5130059d381dd810698e6e2a147bf.png
三、解答题
13．证明：由![]()
776891aa29637586af03d7199586a064.png可得
![]()
1cae697b078c6129c41b46f97e4a830a.png当且仅当a=b=c=d时取等号 ……5分
则![]()
c95310e3cebbe354e8559210d10c9913.png
![]()
67e02cf254ee3fa3406b1cc9614dcfc6.png ……………………………………………………15分
因为![]()
f5a55de2ac976ce8282c7219575919b5.png不能同时相等，所以
![]()
ed4fafdb96ac589a24ae497deddce8f2.png ……………………………………20分
14．设![]()
0bd290f13f454f1a17f7fbb6b0dba829.png,则代入并由复数相等可得
![]()
5387f7996b0a849470ad07c6e1e5a0b3.png即![]()
5a36b6f8f59698a369c09cc061083047.png因为A,B,C不共线 ，所以![]()
fda983094dc001463161308869fed60a.png,可见所给曲线是抛物线段（图略）…………5分
AB,BC的中点分别是![]()
94da1852790d0556236b88e47b3f4b2b.png,；
所以DE的方程为 ![]()
92d6d85fcc97dec8de9d3fa04dbb8b6f.png ……………………………10分
![]()
联立两式得![]()
0d9ac9eccde82edf9c60e9b07d36b56c.png,得 ![]()
8252d77bf5b096d504816a5094724abd.png,注意到![]()
daebc4e0012e007a7a21bb69498c89f2.png,所以抛物线与![]()
75b781a7c7441078ffd5053329c34092.png中平行于AC的中位线DE有且只有一个公共点，此点的坐标为![]()
9fce0e3fb7e372708fb40f408374b84f.png,相应的复数为![]()
2db29778bad8453d5c55cda3c036067b.png …………………………………………………………15分
15．如图建立直角坐标系，设![]()
6a8da8a8c7ad5f398e3507464e5d80d9.png,MN为AA1的中垂线，设P（x,y）是MN上任一点，则|PA|=|PA1| ……5分
代入推得![]()
8d9c61862abf3268d62b8edc354942b8.png ………10分
可得![]()
f8bc95591976a384fc62a5ff07c4e884.png其中![]()
fe7a0a2febaec136afb11ca2fe54e0fe.png,
![]()
b04f126d360d4448e479e2440e90c2bd.png. 所以![]()
26b6145229c9028eab0b9262f55cd82a.png …………15分
平方后可化为
![]()
fe96e283ec3e55ec842afc4270f3d1e6.png
所求点的集合为椭圆![]()
fe96e283ec3e55ec842afc4270f3d1e6.png外（含边界）部分。…………20分
本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/538c9d1a667d27284b73f242336c1eb91a37336b.html
