文档文库

手机版

投诉建议

首页 > 2011年高考数学题型专题冲刺精讲专题二概率与统计（学生版）

2011年高考数学题型专题冲刺精讲专题二概率与统计（学生版）

发布时间：2019-07-12 10:21:01 来源：文档文库

小中大

字号：

手机查看

2011年高考题型专题冲刺精讲（数学）

专题二概率与统计

【命题特点】

一、高考对概率与统计内容的考查,往往以实际应用题出现,这既是这类问题的特点,也符合高考发展的方向.概率应用题文科侧重于古典概率,基本上是排列与组合的分类问题,理科侧重于分布列与期望. 应用题近几年的高考有以概率应用题替代传统应用题的趋势,2010 年高考概率统计应用题多数省份出现在解答题前三题的位置，可见概率统计在高考中属于中档题。

二、复习建议在复习中应重点做到以下几个方面: 1,重视概率统计的基本知识,基本技能,基本方法的复习要做到:①四个了解,即了解随机事件的统计规律性;随机事件的概率;互斥事件;相互独立事件.②四个会,即会用排列组合基本公式计算等可能事件的概率;会用互斥事件的概率加法公式计算事件的概率; 会用独立事件的概率乘法公式计算事件的概率; 会计算事件在 n 次独立重复试验中恰发生 k 次的概率; ③理科还应重点掌握离散型随机变量分布列和数学期望. 2,重视教材的基础作用教材是学习数学基础知识,形成基本技能的"蓝本" ,是高考试题的重要知识载体. 3,合理选择方法是提高解题速度的有效手段。4,注意高考概率统计命题的新变化概率,离散变量的分布列,期望与函数综合,与线性规划综合，与立体几何综合等等,把概率统计问题与方程,函数,线性规划,立几结合在一起,题目的每一个局部都不困难,但是由于立意较新,有利于考查考生灵活与综合运用基础知识的能力以及分析问题和解决问题的能力, 建议在复习中注意对概率统计问题的归类整理.

【试题常见设计形式】

概率与统计问题是每年高考必考内容.其考查特点一是重视对等可能事件的概率计算公式,互斥事件的概率加法公式，对立事件的概率减法公式,相互独立事件的概率乘法公式,事件在n次独立重复试验种恰好发生k次的概率计算公式等五个基本公式的应用和离散型随机变量的分布列,期望,方差及抽样方法,抽样概率等问题的考查;二是试题多为课本例题,习题拓展加工的基础题或中档题.只要我们理解和掌握五个概率分布列的性质及其应用,实基础,借助排列组合知识和化归转化思想方法,就能顺利解答高考概率与统计试题.特点与趋势分析：1．试题与实际生活密切相关，往往以实际问题为情境，结合排列、组合，甚至算法、函数、数列等知识，考查学生对知识的运用能力。2．试题重视基础知识和基本技能，对等可能性事件的概率、互斥事件的概率、独立事件的概率、古典概型、事件在n次独立重复试验中恰发生k次的概率、离散型随机变量分布列和数学期望、方差、抽样方法等内容都进行了考查。3．概率统计试题通常考察基础知识,对常见题型进行改编加工成为应用问题，尊重不同考生群体思维的差异，贴近考生的实际，体现了人文教育的精神。4. 文科则以统计方法为载体，逐步加强对数据图表处理能力的考查。

【突破方法技巧】

复习概率最重要的是搞清概念，弄懂过程，区分概率模型以选择正确的概率公式.几种古典概型的概念及其计算是高中新课程概率部分的必修内容，试题设计比较基本，注重考查灵活应用“相互独立事件概率的乘法”“互斥事件概率的加法”或“先求事件的对立事件的概率”等基础知识处理问题，从而考查考生的思维能力和运算能力.在求某些稍复杂的事件的概率时通常有两种方法：一是将所求事件的概率化为一些彼此互斥的事件的和；二是先求出此事件的对立事件(适用于求用“至少”表达的事件的概率)的概率. 对概率和统计部分的知识的复习要特别注意掌握并灵活地运用几个基本公式：　(1)互斥事件的概率：P(A+B)=P(A)+P(B)； (2)对立事件的概率：P(A+)=P(A)+P()=1； (3)相互独立事件的概率：P(A·B)=P(A)·P(B)； (4)n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率：Pn(k)=CnkPk(1-P)n-k. 求解概率问题可归纳为以下的一般步骤：第一步：确定事件性质，即所给的问题归结为四类事件中的某一种．第二步：判断事件的运算，即是至少有一个发生，还是同时发生，然后分别运用相加或相乘事件．第三步：运用公式，求得．

关于概率和统计，从近几年全国高考数学试题来看，主要是概率与统计的基本概念、公式及基本技能、方法，以及分析问题和解决问题的能力.根据中学数学教学大纲的要求，有关概率与统计的内容在新课程中分为必修和选修两部分，其中必修部分包括：随机事件的概率，等可能事件的概率，互斥事件有一个发生的概率，相互独立事件的概率，独立重复试验等.在选修部分分为文科、理科两种要求：选修I为文科的要求，只含统计的内容，包括抽样方法，总体分布的估计，总体期望值和方差的估计；选修II为理科的要求，包括离散型随机变量的分布列，离散型随机变量的期望值和方差，抽样方法，总体分布的估计，正态分布，线性回归等.

【典型例题分析】

概率与统计试题是高考的必考内容。它是以实际应用问题为载体，以排列组合和概率统计等知识为工具，以考查对五个概率事件的判断识别及其概率的计算和随机变量概率分布列性质及其应用为目标的中档师，预计这也是今后高考概率统计试题的考查特点和命题趋向。下面对其常见题型和考点进行解析。

考点1 考查等可能事件概率计算

在一次实验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等。如果事件A包含的结果有m 个，那么P（A）= 。这就是等可能事件的判断方法及其概率的计算公式。求解等可能性事件的概率时，先确定本事件包含的有利事件数和本试验的基本事件总数，然后代入概率公式即可. 高考常借助不同背景的材料考查等可能事件概率的计算方法以及分析和解决实际问题的能力。

【例1】2010湖南、为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所高校A,B,C的相关人员中，抽取若干人组成研究小组、有关数据见下表（单位：人）

(Ⅰ)求x,y ; （Ⅱ）若从高校B、C抽取的人中选2人作专题发言，求这二人都来自高校C的概率。

【例2】2010江苏、某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%。生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元。设生产各种产品相互独立。（Ⅰ）记X（单位：万元）为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X的分布列；（Ⅱ）求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率。

【例3】2010福建、设平面向量a m =（m，1），b n =（2，n），其中m，n∈{1,2,3,4}.（I）请列出有序数组（m，n）的所有可能结果；（II）记“使得a m ⊥（a m－b n）成立的（m，n）”为事件A，求事件A发生的概率.

2.互斥事件有一个发生的概率

不可能同时发生的两个事件A、B叫做互斥事件，它们至少有一个发生的事件为A+B，用概率的加法公式计算。事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响，则A、B叫做相互独立事件，它们同时发生的事件为。用概率的法公式计算。高考常结合考试竞赛、上网工作等问题对这两个事件的识别及其概率的综合计算能力进行考查。必有一个发生的两个互斥事件A、B叫做互为对立事件。即或。至少、至多问题常使用“正难则反”的策略求解.用概率的减法公式计算其概率。高考常结合射击、电路、交通等问题对对立事件的判断识别及其概率计算进行考查。

【例4】2010江西、某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门．首次到达此门，系统会随机（即等可能）为你打开一个通道．若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门．再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走出迷宫为止．（1）求走出迷宫时恰好用了l小时的概率；（2）求走出迷宫的时间超过3小时的概率．

【例5】为振兴旅游业，四川省2009年面向国内发行总量为2000万张的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡（简称金卡），向省内人士发行的是熊猫银卡（简称银卡）。某旅游公司组织了一个有36名游客的旅游团到四川名胜旅游，其中是省外游客，其余是省内游客。在省外游客中有持金卡，在省内游客中有持银卡。（）在该团中随机采访2名游客，求恰有1人持银卡的概率；（）在该团中随机采访2名游客，求其中持金卡与持银卡人数相等的概率.

【例6】椐统计，某食品企业一个月内被消费者投诉的次数为0,1,2的概率分别为0.4,0.5,0.1 (Ⅰ) 求该企业在一个月内被消费者投诉不超过1次的概率；（Ⅱ）假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响,求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率。

【例7】四川、某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，

中奖概率为.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料。（Ⅰ）求三位同学都没有中奖的概率；（Ⅱ）求三位同学中至少有两位没有中奖的概率.

考点3考查相互独立事件同时发生的概率与独立重复试验概率计算

若在次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖其它各次试验的结果，则此试验叫做次独立重复试验。若在1 次试验中事件A发生的概率为P，则在次独立惩处试验中，事件A恰好发生次的概率为。高考结合实际应用问题考查次独立重复试验中某事件恰好发生次的概率的计算方法和化归转化、分类讨论等数学思想方法的应用。

【例8】为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类. 这三类工程所含项目的个数分别占总数的, ,. 现有名工人独立地从中任选一个项目参与建设. 求：(Ⅰ) 他们选择的项目所属类别互不相同的概率；(Ⅱ) 至少有人选择的项目属于民生工程的概率.

【例9】某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2珠，设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为和，且各株大树是否成活互相不影响，求移栽的4株大树中：（Ⅰ）至少有1株成活的概率；（Ⅱ）两种大树各成活1株的概率。

考点4 考查随机变量概率分布与期望计算

主要考查等可能事件的概率、互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率和独立重复实验以及随机变量的分布列、数学期望等概念。解决此类问题解题思维的的流程是：要求期望，则必先求分布列，而求分布列的难点在于求概率，求概率的关键在于要真正弄清每一个随机变量“”所对应的具体随机试验的结果然后正确求出相应事件的概率。

【例10】2010大纲全国I、投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用．设稿件能通过各初审专家评审的概率均为，复审的稿件能通过评审的概率为。各专家独立评审．(I)求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率 (II)记表示投到该杂志的4篇稿件中被录用的篇数，求的分布列及期望．

【例11】2010山东、某学校举行知识竞赛,第一轮选拔共设有四个问题，规则如下：每位参加者计分器的初始分均为10分，答对问题分别加1分、2分、3分、6分，答错任一题减2分；每回答一题，计分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足14分时，答题结束，淘汰出局，当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足14分时，答题结束，淘汰出局；每位参加者按问题顺序作答，直至答题结束.假设甲同学对问题回答正确的概率依次为，且各题回答正确与否相互之间没有影响.(Ⅰ)求甲同学能进入下一轮的概率；（Ⅱ）用表示甲同学本轮答题结束时答题的个数，求的分布列和数学的.

【例12】2010北京、某同学参加3门课程的考试。假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为， (＞)，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立。记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为

(Ⅰ)求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率；(Ⅱ)求，的值；(Ⅲ)求数学期望。

【例13】2010福建、设是不等式的解集，整数。（Ⅰ）记使得“成立的有序数组”为事件A，试列举A包含的基本事件；（Ⅱ）设，求的分布列及其数学期望。

考点5 统计

统计的考题以填空题居多，注重对基本概念和方法的应用，中档偏易题居多,有时也与概率综合以解答题的形式出现，正确找出分层抽样比是解决样本抽样统计题的关键；频率分布直方图、二项分布、离散型随机变量的分布列与数学期望

【例14】2010广东、某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随即抽取该流水线上40件产品作为样本算出他们的重量（单位：克）重量的分组区间为（490,，（495,，……（510,，由此得到样本的频率分布直方图，如图4所示．（Ⅰ）根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量．（Ⅱ）在上述抽取的40件产品中任取2件，设为重量超过505克的产品数量，求的分布列

（Ⅲ）从流水线上任取5件产品，求恰有2件产品合格的重量超过505克的概率．

【例15】2010湖南、图4是某城市通过抽样得到的居民某年的月平均用水量（单位：吨）的频率分布直方图。（Ⅰ）求直方图中的值；（Ⅱ）如将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民（看作有放回的抽样），求月均用水量在3至4吨的居民数的分布列与数学期望。

【突破训练】

1、2010天津、有编号为, ,…的10个零件，测量其直径（单位：cm），得到下面数据：其中直径在区间[1.48，1.52]内的零件为一等品。

（Ⅰ）从上述10个零件中，随机抽取一个，求这个零件为一等品的概率；（Ⅱ）从一等品零件中，随机抽取2个（ⅰ）用零件的编号列出所有可能的抽取结果；（ⅱ）求这2个零件直径相等的概率。

2、2010重庆、在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起. 若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序（序号为1,2，……，6），求：（Ⅰ）甲、乙两单位的演出序号均为偶数的概率；（Ⅱ）甲、乙两单位的演出序号不相邻的概率.

3、2010全国I、投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用．设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0.5，复审的稿件能通过评审的概率为0.3．各专家独立评审． (I)求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；(II)求投到该杂志的4篇稿件中，至少有2篇被录用的概率．

4、2010山东、一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4.（Ⅰ）从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；（Ⅱ）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求的概率.

5、某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是word/media/image55_1.png，遇到红灯时停留的时间都是2min.（Ⅰ）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；（Ⅱ）这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4min的概率.

6、在word/media/image56_1.png这word/media/image57_1.png个自然数中，任取word/media/image58_1.png个数．（I）求这word/media/image59_1.png个数中恰有word/media/image60_1.png个是偶数的概率；（II）设word/media/image61_1.png为这word/media/image59_1.png个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为word/media/image62_1.png，则有两组相邻的数word/media/image63_1.png和word/media/image64_1.png，此时word/media/image61_1.png的值是word/media/image65_1.png）．求随机变量word/media/image61_1.png的分布列及其数学期望word/media/image66_1.png．

7、2010四川、某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料。（Ⅰ）求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率；（Ⅱ）求中奖人数ξ的分布列及数学期望

8、2010重庆、在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读传讲”赛出活动中，每个单位的节目集中安排在一起．若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序（序号为1，2，…，6），求：(Ⅰ) 甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率；(Ⅱ) 甲、乙两单位之间的演出单位个数的分布列与期望．

9、2010安徽、品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试，一种通常采用的测试方法如下：拿出瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试。根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评为。现设，分别以表示第一次排序时被排为1,2,3,4的四种酒在第二次排序时的序号，并令，则是对两次排序的偏离程度的一种描述。(Ⅰ)写出的可能值集合；(Ⅱ)假设等可能地为1,2,3,4的各种排列，求的分布列；(Ⅲ)某品酒师在相继进行的三轮测试中，都有，(i)试按(Ⅱ)中的结果，计算出现这种现象的概率（假定各轮测试相互独立）；(ii)你认为该品酒师的酒味鉴别功能如何？说明理由。

10、2010江西、某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一个智能门，首次到达此门，系统会随机(即等可能)为你打开一个通道．若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门．再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走出迷宫为止．令表示走出迷宫所需的时间．（Ⅰ）求的分布列；（Ⅱ）求的数学期望．

11、在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次；在A处每投进一球得3分，在B处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第三次，某同学在A处的命中率qword/media/image73_1.png为0.25，在B处的命中率为qword/media/image74_1.png，该同学选择先在A处投一球，以后都在B处投，用word/media/image75_1.png表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为

（1）求qword/media/image76_1.png的值；（2）求随机变量word/media/image75_1.png的数学期望Eword/media/image75_1.png;（3）试比较该同学选择都在B处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小。

12、某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有10名工人，其中有6名女工人。现采用分层抽样（层内采用不放回简单随即抽样）从甲、乙两组中共抽取4名工人进行技术考核。（Ⅰ）求从甲、乙两组各抽取的人数；（Ⅱ）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；（Ⅲ）求抽取的4名工人中恰有2名男工人的概率。

13、一汽车厂生产A,B,C三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,某月的产量如下表(单位:辆):

按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆,其中有A类轿车10辆.（1）求z的值. （2）用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本.将该样本看成一个总体,从中任取2辆,求至少有1辆舒适型轿车的概率;（3）用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆,经检测它们的得分如下:9.4, 8.6, 9.2, 9.6, 8.7, 9.3, 9.0, 8.2.把这8辆轿车的得分看作一个总体,从中任取一个数,求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率.

14、2010陕西、为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行出样检查，测得身高情况的统计图如下：

（Ⅰ）估计该小男生的人数；（Ⅱ）估计该校学生身高在170~185cm之间的概率；（Ⅲ）从样本中身高在165~180cm之间的女生中任选2人，求至少有1人身高在170~180cm之间的概率。

15、2010宁夏、为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：

（Ⅰ）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；（Ⅱ）能否有99％的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？（Ⅲ）根据（Ⅱ）的结论，能否提供更好的调查方法来估计该地区老年人，需要志愿帮助的老年人的比例？说明理由

附：

16、2010辽宁、为了比较注射A, B两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选200只家兔做试验，将这200只家兔随机地分成两组，每组100只，其中一组注射药物A，另一组注射药物B。（Ⅰ）甲、乙是200只家兔中的2只，求甲、乙分在不同组的概率；（Ⅱ）下表1和表2分别是注射药物A和B后的试验结果.（疱疹面积单位：mm2）表1：注射药物A后皮肤疱疹面积的频数分布表