天津市北辰区2019-2020学年第一次高考模拟考试数学试卷含解析

天津市北辰区2019-2020学年第一次高考模拟考试数学试卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知800618943025315f869e4e1f09471012.png为抛物线7cdd10dd857d8d8d5071ff43625ebbad.png的焦点，点7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png在抛物线上，且bd2d78263deac5ee71ab0087c86d3e2a.png，过点800618943025315f869e4e1f09471012.png的动直线2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png与抛物线4b9bca0a86aa323765b1ca6e05d18856.png交于两点，f186217753c37b9b9f958d906208506e.png为坐标原点，抛物线的准线与9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png轴的交点为69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png.给出下列四个命题：

①在抛物线上满足条件的点7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png仅有一个；

②若44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png是抛物线准线上一动点，则50ca10f7c2959a483b6b6ccf85dd9f96.png的最小值为51088e41cd6205abfdb0cd783b470555.png；

③无论过点800618943025315f869e4e1f09471012.png的直线2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png在什么位置，总有0243ed74b928221906ed499df65340e3.png；

④若点92cc336a9f163d4c6870d8e016934cfb.png在抛物线准线上的射影为f623e75af30e62bbd73d6df5b50bb7b5.png，则三点05628fec86a36cc983fc2a734836bf5a.png在同一条直线上.

其中所有正确命题的个数为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【解析】

【分析】

①：由抛物线的定义可知ef51d8c4cc3a99fd0d6e616dcbccd0e5.png，从而可求7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png 的坐标；②：做7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png关于准线e28b7964a01e56385d1d9fa4da54388c.png的对称点为37a12b78a9ca96989ad7ceceacb37ea2.png，通过分析可知当01c8bffce0ce04bced5e38eda754ec83.png三点共线时50ca10f7c2959a483b6b6ccf85dd9f96.png取最小值，由两点间的距离公式，可求此时最小值ad9dd97338ea80bae98a1bcb7ef75ec8.png；③：设出直线2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png方程，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理，可知焦点坐标的关系，进而可求77ad4a8d1dfe7bddc84f3e0489e1870c.png，从而可判断出0086c6c2f8a186533798e16c59e97556.png的关系；④：计算直线f49e4ee2606e121c5e82b2da405051d8.png 的斜率之差，可得两直线斜率相等，进而可判断三点05628fec86a36cc983fc2a734836bf5a.png在同一条直线上.

【详解】

解：对于①，设504cf9ad8579e549e1b7228f74f6b51e.png，由抛物线的方程得487eae1945e6f09036b1f1847ded7295.png，则ef51d8c4cc3a99fd0d6e616dcbccd0e5.png， 故3c9d2347726735da8c5c1ed9a44f5759.png，

所以49e1dea35b6ad6a0bb8c13a83b0fac94.png或c4289a19da131da178236433fd294b9a.png，所以满足条件的点7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png有二个，故①不正确；

对于②，不妨设49e1dea35b6ad6a0bb8c13a83b0fac94.png，则7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png关于准线e28b7964a01e56385d1d9fa4da54388c.png的对称点为1930940a32da5fd2afbeca3ad4d446a2.png，

故9ba794c079c3a3e89a35cc0663b5409a.png，

当且仅当01c8bffce0ce04bced5e38eda754ec83.png三点共线时等号成立，故②正确；

对于③，由题意知，5abd0a54a68df85e493d8466a8b3be41.png ，且2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png的斜率不为0，则设2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png方程为：c86f73005e62bc61fb67cecafa23a496.png，

设2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png与抛物线的交点坐标为c82d5a9058fa22212936ddc6ac3de81d.png，联立直线与抛物线的方程为，

bc862a431a3cfb9b216e1d52a69f0da0.png ，整理得0e8d0f9babd1a1bfe91e55f1731d5f5b.png，则21817e9657185378feac3878b4a5fa09.png，所以

e1b0cffe8e2bd2c83a3f32c6569874b0.png，6007689c9cba2d88bf0ecba26e8ab0fa.png

则5636147ef7e606b86533f0d100e5c520.png

cb48331538d46cdc6c8fcfe70588c11a.png.故db200ad37e7d974c650c4d85a5adfe3c.png的倾斜角互补，所以0243ed74b928221906ed499df65340e3.png，故③正确.

对于④，由题意知5fd8e010c25aa72552925a5a2885d3c4.png ，由③知，21817e9657185378feac3878b4a5fa09.png

则9085b635c665d80eacfce1edf7649b84.png ，由2675329e9e8ffbeac9d0f205517eea1d.png，

知e80afc42219207d58f7711e72c76eebd.png，即三点05628fec86a36cc983fc2a734836bf5a.png在同一条直线上，故④正确.

故选:C.

【点睛】

本题考查了抛物线的定义，考查了直线与抛物线的位置关系，考查了抛物线的性质，考查了直线方程，考查了两点的斜率公式.本题的难点在于第二个命题，结合初中的“饮马问题”分析出何时取最小值.

2．阿基米德（公元前287年—公元前212年）是古希腊伟大的哲学家、数学家和物理学家，他和高斯、牛顿并列被称为世界三大数学家.据说，他自己觉得最为满意的一个数学发现就是“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二，并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”.他特别喜欢这个结论，要求后人在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球，如图，该球顶天立地，四周碰边，表面积为a535fe54c71147b4805a4266db420218.png的圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则该球的体积为 （ ）

A．57296c7d6fccf4e67a03f8918c574cb9.png B．68931fca5734834b173252cb4e08b6c6.png C．a332f36ba0ee1f3aa8ff292192031973.png D．f96e8129ceaee835fcc20f13e8030beb.png

【答案】C

【解析】

【分析】

设球的半径为R，根据组合体的关系，圆柱的表面积为4c333ce58bd9deaa51371bc74ff7f263.png，解得球的半径0b2d18a5d69d90af5eb3db0804bbb92a.png，再代入球的体积公式求解.

【详解】

设球的半径为R，

根据题意圆柱的表面积为4c333ce58bd9deaa51371bc74ff7f263.png，

解得0b2d18a5d69d90af5eb3db0804bbb92a.png，

所以该球的体积为3bceab6ff24a85eed59edea970c1e517.png .

故选：C

【点睛】

本题主要考查组合体的表面积和体积，还考查了对数学史了解，属于基础题.

3．已知复数a3b17bafcda9e853d449dc2cde7df576.png是纯虚数，其中0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png是实数，则fbade9e36a3f36d3d676c1b808451dd7.png等于（ ）

A．e5de2e95102b1ed31c3edbcd9701b6f0.png B．2f8bce31419e65817883aa3c7a50bf19.png C．865c0c0b4ab0e063e5caa3387c1a8741.png D．c0e088328da42e078c9e6ad9af07e92a.png

【答案】A

【解析】

【分析】

对复数fbade9e36a3f36d3d676c1b808451dd7.png进行化简，由于fbade9e36a3f36d3d676c1b808451dd7.png为纯虚数，则化简后的复数形式中，实部为0，得到0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png的值，从而得到复数fbade9e36a3f36d3d676c1b808451dd7.png.

【详解】

032e57c2f1505a44259e097551cc6228.png

因为fbade9e36a3f36d3d676c1b808451dd7.png为纯虚数，所以4614679ca53c6149aedd9d1fd4adcfa5.png，得83a88ab12cf3296e031df84985733d33.png

所以0a5c3125f85925321f6910ab302a9b9c.png.

故选A项

【点睛】

本题考查复数的四则运算，纯虚数的概念，属于简单题.

4．设函数12c94900df2bce339c0b0403a045444a.png，则函数的图像可能为（ ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

根据函数为偶函数排除01ccb16a998f5414dbd06c2f193ddf33.png，再计算46072ca3a4207ed7b880b02421e9ec31.png排除f623e75af30e62bbd73d6df5b50bb7b5.png得到答案.

【详解】

12c94900df2bce339c0b0403a045444a.png定义域为：92a558fbe599d60e7a43c16264e1423d.png

2f92089770d3aa5a5751f1e5557e9b14.png，函数为偶函数，排除01ccb16a998f5414dbd06c2f193ddf33.png

46072ca3a4207ed7b880b02421e9ec31.png ，排除f623e75af30e62bbd73d6df5b50bb7b5.png

故选9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png

【点睛】

本题考查了函数图像，通过函数的单调性，奇偶性，特殊值排除选项是常用的技巧.

5．已知当6f8f57715090da2632453988d9a1501b.png，75e9e230e400828be554e9e4902542a2.png，9cc52bc5cc0cef2ad56df1693375b84b.png时，0e946a8153fac996b44d08e7166d281b.png，则以下判断正确的是84c40473414caf2ed4a7b1283e48bbf4.png 9371d7a2e3ae86a00aab4771e39d255d.png

A．7b66ffb7eb82a7c53eabe84662ae0bc6.png B．3a22ce60853084042c50b01939c3024b.png

C．86e4002ad023005c126e746fdbb3c212.png D．6f8f57715090da2632453988d9a1501b.png与7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png的大小关系不确定

【答案】C

【解析】

【分析】

由函数的增减性及导数的应用得：设05ec4455a470532f507732068d4d0eb2.png，求得可得50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png为增函数，又6f8f57715090da2632453988d9a1501b.png，75e9e230e400828be554e9e4902542a2.png，9cc52bc5cc0cef2ad56df1693375b84b.png时，根据条件得f7e0bdbce46babb53c0c6e60d10ff645.png，即可得结果．

【详解】

解：设05ec4455a470532f507732068d4d0eb2.png，

则be94c5e2b907f4bddbc098aee1057372.png，

即05ec4455a470532f507732068d4d0eb2.png为增函数，

又6f8f57715090da2632453988d9a1501b.png，75e9e230e400828be554e9e4902542a2.png，9cc52bc5cc0cef2ad56df1693375b84b.png，0e946a8153fac996b44d08e7166d281b.png，

即52d44416cc53f06813bb8577eace1b61.png，

所以f7e0bdbce46babb53c0c6e60d10ff645.png，

所以86e4002ad023005c126e746fdbb3c212.png．

故选：C．

【点睛】

本题考查了函数的增减性及导数的应用，属中档题．

6．已知定义在c17f3d6c0e9a86fb5f9e7f21111e1ae4.png上的函数ad7ac2fcd2e22b7a507152d28ef55c97.png满足8a2b93e9dd9d2b4ff7e729e4ac3510b8.png，且当c9c7039405b67502868d712f379b9f04.png时，81459166ee8f3e11784a82aaee27a1c8.png，则方程97d533d177854ed57ccf07118ceb15d2.png的最小实根的值为（ ）

A．006f52e9102a8d3be2fe5614f42ba989.png B．077e29b11be80ab57e1a2ecabb7da330.png C．17d63b1625c816c22647a73e1482372b.png D．58ae749f25eded36f486bc85feb3f0ab.png

【答案】C

【解析】

【分析】

先确定解析式求出9d0facf5f3a7ab777a99d3b7fbe68ed0.png的函数值，然后判断出方程97d533d177854ed57ccf07118ceb15d2.png的最小实根的范围结合此时的0b85b02c4cfa022edaed3d8e6ee184d9.png，通过计算即可得到答案.

【详解】

当e3f7f32051ade969e770ab04b5a4853b.png时，8a2b93e9dd9d2b4ff7e729e4ac3510b8.png，所以4bacce857bb443bdb1631374064d1213.png1952b815792f391fe6bab050feee0b7e.png，故当

a366ae006e60ff094b733a5c7fc3c730.png时，e9c87d3c2a1f37864857dac9218a5a10.png，所以cdb078c3c998b503ab791169b46e807e.png，而

a6fd6cd95bc9c0a2d9329924c45cd6f4.png，所以3ba72685adee517ed8762f250a6fd8db.pngf3a95f5c1af8c5e9eeb417ea0950154e.png，又当c9c7039405b67502868d712f379b9f04.png时，

ad7ac2fcd2e22b7a507152d28ef55c97.png的极大值为1，所以当a366ae006e60ff094b733a5c7fc3c730.png时，50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png的极大值为c2f307ab1e6ecb7e8ced4c1de16e38ff.png，设方程cc8ff1cc84766f229ab73b90043b245e.png

的最小实根为e358efa489f58062f10dd7316b65649e.png，7081fb0d1271a9a13cb8f7f6eb5dd8b0.png，则aa814a97aa8165f5ba6aa82cce3d1364.png，即e3df28b47abcd3aea6b9682785b46fc4.png，此时0b85b02c4cfa022edaed3d8e6ee184d9.png

令ace70a0786343f397d059319933dec1b.png，得6d5f3d76e96f4432ba4f331e3e48d8b2.png，所以最小实根为411.

故选：C.

【点睛】

本题考查函数与方程的根的最小值问题，涉及函数极大值、函数解析式的求法等知识，本题有一定的难度及高度，是一道有较好区分度的压轴选这题.

7．在75b781a7c7441078ffd5053329c34092.png中，“76df55837ad56d0fd4b330f42d93526d.png”是“60dec9531ee95b860205fc9aff97c25c.png”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】D

【解析】

【分析】

通过列举法可求解，如两角分别为e833339b554d0039a7d060a3fd2e432e.png时

【详解】

当3fce2db9e6fe2150ade556d9ee91c16e.png时，76df55837ad56d0fd4b330f42d93526d.png，但d9f4f389ad6b6a8872b95d6898a51be1.png，故充分条件推不出；

当ee01c124f81c5e5934ec3ea75be89763.png时，60dec9531ee95b860205fc9aff97c25c.png，但8931351e42d12c428cdec78796006357.png，故必要条件推不出；

所以“76df55837ad56d0fd4b330f42d93526d.png”是“60dec9531ee95b860205fc9aff97c25c.png”的既不充分也不必要条件.

故选：D.

【点睛】

本题考查命题的充分与必要条件判断，三角函数在解三角形中的具体应用，属于基础题

8．已知865c0c0b4ab0e063e5caa3387c1a8741.png为虚数单位，若复数fbade9e36a3f36d3d676c1b808451dd7.png满足94a6f64f98f0ce8e0559dad9af6431ee.png，则d0d97045f74bde2959afeb0472e61599.png（ ）

A．1662906b42c0ef6d289e48db87c331cf.png B．cd237b957148d2dc2767b1293af14d18.png C．7a2f67bce71d51452a856db37a15cd4e.png D．d3c3a3297f0a69567159a1b0c0a1f944.png

【答案】A

【解析】

分析：题设中复数满足的等式可以化为aa1365ce96c2e025f4eae76123c49f6f.png，利用复数的四则运算可以求出fbade9e36a3f36d3d676c1b808451dd7.png.

详解：由题设有b361cce2734597f422e16b9d2b81414a.png，故af92d20f2f0756fa1a11108238389c14.png，故选A.

点睛：本题考查复数的四则运算和复数概念中的共轭复数，属于基础题.

9．复数7b130c2e8f1d1584f9440cbfd6883b1a.png在复平面内对应的点为34c28c7c0971ce5bac99dbc9b552c99f.png则4e35808790dc54520f0e97f9b7793491.png（ ）

A．4a0f6a13c10fddbaa23fbb58be69093c.png B．960af86b989bba30f98cdfdeb5eedcb3.png C．819f9781b82b5182cfdfda5ad1d71773.png D．a40dbaa1136dd4ddd98af9c0ffdda5a5.png

【答案】B

【解析】

【分析】

求得复数7b130c2e8f1d1584f9440cbfd6883b1a.png，结合复数除法运算，求得5878bca31a3c5b62e71cb1488237444b.png的值.

【详解】

易知c23c875fc107de667b58ef5b02038e55.png，则b091ff249b7cc142eee798be8f192394.pnga7b6475595a7c4561bded1cb256e98ec.png.

故选：B

【点睛】

本小题主要考查复数及其坐标的对应，考查复数的除法运算，属于基础题.

10．在空间直角坐标系a094682bcaa447ec174c8cc223ba1897.png中，四面体5c1bb55ef9c7629cb0851bf30ab5cf3a.png各顶点坐标分别为：cdea7a604f7665a894d37f690b348d16.png．假设蚂蚁窝在f186217753c37b9b9f958d906208506e.png点，一只蚂蚁从f186217753c37b9b9f958d906208506e.png点出发，需要在b86fc6b051f63d73de262d4c34e3a0a9.png，4144e097d2fa7a491cec2a7a4322f2bc.png上分别任意选择一点留下信息，然后再返回f186217753c37b9b9f958d906208506e.png点．那么完成这个工作所需要走的最短路径长度是（ ）

A．44dd454ebaaa58a80fe43f4a19faf2df.png B．607a1be0933119facdc064bec73426d4.png C．ef9d3db64d6089f9193a6341b293e523.png D．68d9c09d99cc222af7e825a07a0f3065.png

【答案】C

【解析】

【分析】

将四面体5c1bb55ef9c7629cb0851bf30ab5cf3a.png沿着ffb4513f2a3a46ad17d19ff6b56f9a2d.png劈开，展开后最短路径就是b9370c40297d5ea0eafc109405e3c9bd.png的边37f33d74a7e5a586b85e3a8fb9319de3.png，在b9370c40297d5ea0eafc109405e3c9bd.png中，利用余弦定理即可求解.

【详解】

将四面体5c1bb55ef9c7629cb0851bf30ab5cf3a.png沿着ffb4513f2a3a46ad17d19ff6b56f9a2d.png劈开，展开后如下图所示：

最短路径就是b9370c40297d5ea0eafc109405e3c9bd.png的边37f33d74a7e5a586b85e3a8fb9319de3.png．

易求得83f9067b2fcc36b43aa56985e6e7da15.png，

由9e2ab1abac5f78f6b246d93d674bf169.png，70c3ad2b00f070bc9cb4f5a2c181d6fe.png知931468b15eb88d25476c64dca0d810ca.png

662ca241ed7e02d6f022dcb6f40ba4e6.png，6f54b83a7c0e5e1916b2e3eb3af2e0f6.png

25753d12f5e65d53c6f4db01b51d9a24.png

d6a108381ab64cf57291c398a51e5e77.png

由余弦定理知e121646dd6297b97bf19f006763511bb.png

其中478d60f99c1b34e1dd1c3f5824331f05.png，4c245c8a55789979a2fcb98c45f63a18.png

∴8fabd5009f8381b5ff72a1ffd5a780da.png

故选：C

【点睛】

本题考查了余弦定理解三角形，需熟记定理的内容，考查了学生的空间想象能力，属于中档题.

11．若函数7c1c9491ba7c6e8d6d2cfa82e39b22ca.png的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2},则函数7c1c9491ba7c6e8d6d2cfa82e39b22ca.png的图像可能是（ ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

因为对A不符合定义域当中的每一个元素都有象，即可排除；

对B满足函数定义，故符合；

对C出现了定义域当中的一个元素对应值域当中的两个元素的情况，不符合函数的定义，从而可以否定；

对D因为值域当中有的元素没有原象，故可否定．

故选B．

12．已知非零向量89e9c902fed032a267e19bcbbe710b75.png，7f711ac1314a21599dc5a9c5bb757eff.png满足2d49cb94461b112a4af298db79e12e77.png，c914d3b3b1a31bd93708e26c8cf69644.png，则89e9c902fed032a267e19bcbbe710b75.png与7f711ac1314a21599dc5a9c5bb757eff.png的夹角为（ ）

A．81f3b33c4c6a63cea9158f20c9e0b24b.png B．cd3ba7dbe6650fbf0b092d3d3c833d5d.png C．c87d41c12d441153b97f3593f330c121.png D．6d1a6127d3610e7b68659478ed0c2ae2.png

【答案】B

【解析】

【分析】

由平面向量垂直的数量积关系化简，即可由平面向量数量积定义求得89e9c902fed032a267e19bcbbe710b75.png与7f711ac1314a21599dc5a9c5bb757eff.png的夹角.

【详解】

根据平面向量数量积的垂直关系可得9e9bc9a03441eec8458d3350f61e0302.png，

dc0ca283864b9fc8c6734769ba0d1eb9.png，

所以1951b298a016497ec3d4424d12d85b20.png，即bd2576445ff0ff921296e3af0aeccdc9.png，

由平面向量数量积定义可得a3ab3d25b997d85a0900f49ae502e858.png，

所以99eacc5240821f16c8dad73a240eaabf.png，而c1669b585c46a15e992858cc3f7a115d.png，

即89e9c902fed032a267e19bcbbe710b75.png与7f711ac1314a21599dc5a9c5bb757eff.png的夹角为cd3ba7dbe6650fbf0b092d3d3c833d5d.png.

故选：B

【点睛】

本题考查了平面向量数量积的运算，平面向量夹角的求法，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．若x，y均为正数，且1f7d36dd1c07accb649791b4a76c88cf.png，则45df18c90c71ea2066f8596159e11288.png的最小值为________.

【答案】4

【解析】

【分析】

由基本不等式可得78dca042285fc0ad199a020b921c0a89.png,则7f1b6756ee3a48e2a4cf96c9e55db72c.png,即可解得f5fe70ddf7a9a87d7f4fc5840bd1f210.png.

【详解】

方法一：caba9029fc34c0a2cd3caa31e7886715.png，当且仅当a8ac67e4a408cc8526edecd7edd348b2.png时取等.

方法二：因为1f7d36dd1c07accb649791b4a76c88cf.png，所以5dbc511fdd00838d000c13e0009c2a54.png，

所以bd344f7ec8c49a103ebda5a7e6a26554.png，当且仅当a8ac67e4a408cc8526edecd7edd348b2.png时取等.

故答案为:a87ff679a2f3e71d9181a67b7542122c.png.

【点睛】

本题考查基本不等式在求最小值中的应用,考查学生对基本不等式的灵活使用,难度较易.

14．在平面直角坐标系4fdf4e11d662a2fa39a87dcb39945bb6.png中，已知66cd40bea66d900bbc34b6afd83e725a.png，若圆224b975b8f1602bd853428a9cae77676.png上有且仅有四个不同的点C，使得△ABC的面积为5，则实数a的取值范围是____.

【答案】（b629cf80aae4e5222ed5ba72553889da.png，1b5b2d97ef46fb94f5352e5646ded321.png）

【解析】

【分析】

求出AB的长度，直线方程，结合△ABC的面积为5，转化为圆心到直线的距离进行求解即可．

【详解】

解：AB的斜率k02c5e11c098974bf9cbb29e457cd6fdc.png，|AB|c60cb7606cc4c7e014a053e04cb18db5.png

1be29dc7c4eb84d966c90f8230356a76.png5，

设△ABC的高为h，

则∵△ABC的面积为5，

∴S580bf469c091261a12559db4091e00aa.png|AB|h2bf40fbb45ccb18dca7e02de47a225b2.pngh＝5，

即h＝2，

直线AB的方程为y﹣a3edc004878f7695005d0f8662fc6d142.pngx，即4x﹣3y+3a＝0

若圆x2+y2＝9上有且仅有四个不同的点C，

则圆心O到直线4x﹣3y+3a＝0的距离dddba610e5185af0233fbc8e76156d590.png，

则应该满足d＜R﹣h＝3﹣2＝1，

即45ce15daeb3e9eb549d2085efa708df9.png1，

得|3a|＜5

得ee66f556a2dbf040d170044deb3fabfe.pnga8b51a5545eb094ef41e64da1a7e3b0ea.png，

故答案为：（b629cf80aae4e5222ed5ba72553889da.png，1b5b2d97ef46fb94f5352e5646ded321.png）

【点睛】

本题主要考查直线与圆的位置关系的应用，求出直线方程和AB的长度，转化为圆心到直线的距离是解决本题的关键．

15．曲线fa0842a9a5399509d93b5d9c563e32be.png在ec6014ffc3d92709aa6a4fea11bb3788.png处的切线方程是_________．

【答案】1d22fc7666af163d34a17fcbf3c6e72c.png

【解析】

【分析】

利用导数的运算法则求出导函数，再利用导数的几何意义即可求解.

【详解】

求导得3277f4b0a33224744ba4df0fb6e81d3f.png，

所以545b1d8b6f6493b086a66d6187f6d93e.png，所以切线方程为1d22fc7666af163d34a17fcbf3c6e72c.png

故答案为：1d22fc7666af163d34a17fcbf3c6e72c.png

【点睛】

本题考查了基本初等函数的导数、导数的运算法则以及导数的几何意义，属于基础题.

16．如图，在棱长为2的正方体fa74795710d68e6da45909b820cee7b1.png中，点3a3ea00cfc35332cedf6e5e9a32e94da.png、800618943025315f869e4e1f09471012.png分别是棱0a41284d50ae1d3a3f8f69cc03d74bc4.png，9d417dea13f2855580c7c2c6dbc254cd.png的中点，44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png是侧面正方形51ca572b0a168e0b76b8b76f5e355c52.png内一点（含边界），若e2af50f224e3481928a1d31e249b4ae2.png平面970c17a0d8df46e95e6f48a19a2aae54.png，则线段3253d27d719502ff7b73f2555e79ee0a.png长度的取值范围是______.

【答案】7a082636fd43e1da121fcf92dd773af8.png

【解析】

【分析】

取52432e2a12e5c8832d7c2a0cd40f718a.png中点dfcf28d0734569a6a693bc8194de62bf.png，连结2a5271c118492b7bb2274dd278a033ba.png，461b1990fe86af962cd15a16a26dceb8.png，推导出平面c7e6a28e4f16943967d10002cf70b78e.png平面970c17a0d8df46e95e6f48a19a2aae54.png，从而点44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png在线段461b1990fe86af962cd15a16a26dceb8.png上运动，作ae87842c58fed22008bdf7102bccf648.png于c1d9f50f86825a1a2302ec2449c17196.png，由7255a1ca3fe1de1afbc6c4a2197a0d2f.png，能求出线段3253d27d719502ff7b73f2555e79ee0a.png长度的取值范围．

【详解】

取52432e2a12e5c8832d7c2a0cd40f718a.png中点dfcf28d0734569a6a693bc8194de62bf.png，连结2a5271c118492b7bb2274dd278a033ba.png，461b1990fe86af962cd15a16a26dceb8.png，

f2eabb677c74c2da92c37f96ef6bd9a2.png在棱长为2的正方体fa74795710d68e6da45909b820cee7b1.png中，点3a3ea00cfc35332cedf6e5e9a32e94da.png、800618943025315f869e4e1f09471012.png分别是棱0a41284d50ae1d3a3f8f69cc03d74bc4.png、9d417dea13f2855580c7c2c6dbc254cd.png的中点，

5d50320cb9dec3781161799b61b180e5.png，08c3e8812e7f77227f38c65f8c1402ff.png，

3bd46cf5e118d8ee44cb15ac4af84105.png，7b9cedffe338552b754c778ce70a2d73.png，

95e029696a8e77db6f75665e6464c095.png平面c7e6a28e4f16943967d10002cf70b78e.png平面970c17a0d8df46e95e6f48a19a2aae54.png，

55944007dec6fabb87f1061e0cdcff29.png是侧面正方形51ca572b0a168e0b76b8b76f5e355c52.png内一点（含边界），e2af50f224e3481928a1d31e249b4ae2.png平面970c17a0d8df46e95e6f48a19a2aae54.png，

95e029696a8e77db6f75665e6464c095.png点44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png在线段461b1990fe86af962cd15a16a26dceb8.png上运动，

在等腰△ef3a3b46cec59ed37d85963e200a42ce.png中，ada6b133e38efd19b9a806e2d85f95b1.png，34af588007996905b93db6763981a543.png，

作ae87842c58fed22008bdf7102bccf648.png于c1d9f50f86825a1a2302ec2449c17196.png，由等面积法解得：

64d6fc8b6ad4e96f11f3efdff8749cb6.png，

cca34379c18df66f3374f5a540e12876.png，

95e029696a8e77db6f75665e6464c095.png线段3253d27d719502ff7b73f2555e79ee0a.png长度的取值范围是85166db6e52a428af8c09cffa69ac996.png，31889931241b2999c7fd406109e83b86.png．

故答案为：85166db6e52a428af8c09cffa69ac996.png，31889931241b2999c7fd406109e83b86.png．

【点睛】

本题考查线段长的取值范围的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知各项均为正数的数列02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png的前7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png项和为44d853a7808a331d95220fcb38095649.png，满足636218658205783162bafc72080c5438.png，c6261b39a24465b5cd6123836cc8c141.png，a7913eeb6dcd09b24f125da908600585.png，730e2b1b2b6e4eceaff32007ae7ffb02.png，恰为等比数列d617fcfec1f0c1c55ce8aa50c0f05fff.png的前3项．

（1）求数列02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png，d617fcfec1f0c1c55ce8aa50c0f05fff.png的通项公式；

（2）求数列6fdc0dfc03a1151e3475197309817bf3.png的前7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png项和为0b9f2991087ddb13a722a3319a0bbe2e.png；若对324d6f19ddfba125cba660e0fb462785.png均满足7fcadd5ce7b5424441b6394537acf4f8.png，求整数6f8f57715090da2632453988d9a1501b.png的最大值；

（3）是否存在数列1481b422ffb9352ff79e12c45d74b178.png满足等式855df286c8b343dd3ec977df711f1e5c.png成立，若存在，求出数列1481b422ffb9352ff79e12c45d74b178.png的通项公式；若不存在，请说明理由．

【答案】（2）b64d4e0f1425469c10c6ab88b333d995.png，27840a9d8f267f5df6d7d885a31e085d.png（2）af4cf2e40126951a1846239a43ac9a24.png，6f8f57715090da2632453988d9a1501b.png的最大整数是2．（3）存在，993ace5289d318ab55f7ca78aa4a3973.png

【解析】

【分析】

（2）由636218658205783162bafc72080c5438.png可得03eb612d9cf13e4b1b4c5f01e4281a1d.png（a4f9f890663b2a0597c2fc0e75738ec8.png），然后把这两个等式相减，化简得7adbd423deb17cc19d5c78446f658bb6.png，公差为2，因为c6261b39a24465b5cd6123836cc8c141.png，a7913eeb6dcd09b24f125da908600585.png，730e2b1b2b6e4eceaff32007ae7ffb02.png为等比数列，所以5e0f677899c4836a29a4c2b1d23ca81b.png，化简计算得，4178829a8c36cd8fceb2b713b302671a.png，从而得到数列02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png的通项公式，再计算出 c6261b39a24465b5cd6123836cc8c141.png，a7913eeb6dcd09b24f125da908600585.png，730e2b1b2b6e4eceaff32007ae7ffb02.png，从而可求出数列d617fcfec1f0c1c55ce8aa50c0f05fff.png的通项公式；

（2）令f8bda496a8d70f79ae1fd665b1d194f7.png，化简计算得025d914cc40b0c5d4ad1b1fe02cd11f2.png，从而可得数列1481b422ffb9352ff79e12c45d74b178.png是递增的，所以只要0b9f2991087ddb13a722a3319a0bbe2e.png的最小值大于6fc50bd050554357ca07476bd83068de.png即可，而0b9f2991087ddb13a722a3319a0bbe2e.png的最小值为d249e7777b393e6cf12c662aa0b03ebd.png，所以可得答案；

（3）由题意可知，971d1a0c6a4b8914df0b45485f021caa.png，

即a534a34ca66298ce95bc917470ea5134.png，这个可看成一个数列的前7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png项和，再写出其前（47425da90092a0727c15c009fac9f866.png）项和，两式相减得，898af0f09d124092aba2c4ac3f2a04d9.png，利用同样的方法可得91274a89821e388fc6f0fee09ca6079d.png.

【详解】

解：（2）由题，当6d24e2bc97c5e4283dd8e34674afe7ea.png时，fdad1034fe3f33d0d115ffb5a68522ad.png，即c2ef257f3bb4523b2b91345b899ebeb6.png

当a4f9f890663b2a0597c2fc0e75738ec8.png时，636218658205783162bafc72080c5438.png ① 03eb612d9cf13e4b1b4c5f01e4281a1d.png ②

①-②得027e69a742127f75a3004c8c5f26db30.png，整理得12f432d01c31e75724a6032f0bf11dd2.png，又因为各项均为正数的数列02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png．

故be6dadd86cf598a0b376d6b4a4c0e0cd.png是从第二项的等差数列，公差为2．

又1f0ca20af2529052ad31905f613d704b.png恰为等比数列d617fcfec1f0c1c55ce8aa50c0f05fff.png的前3项，

故515178a513a8a1abb7d2f548287ab061.png，解得175d684989d24d80b7f2e1d9651e21bb.png．又c2ef257f3bb4523b2b91345b899ebeb6.png，

故4178829a8c36cd8fceb2b713b302671a.png，因为b5bbc54a2bcb9d5e95ccbd5d208ed304.png也成立．

故02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png是以4178829a8c36cd8fceb2b713b302671a.png为首项，2为公差的等差数列．故0611d3231b9d631d35248c901b13e726.png．

即2，4，8恰为等比数列d617fcfec1f0c1c55ce8aa50c0f05fff.png的前3项，故d617fcfec1f0c1c55ce8aa50c0f05fff.png是以fc2a442f60f9badcfd6451d7e2279754.png为首项，公比为bb944c4149b20fa9ae4ad69fd6d86f32.png的等比数列，

故27840a9d8f267f5df6d7d885a31e085d.png．综上b64d4e0f1425469c10c6ab88b333d995.png，27840a9d8f267f5df6d7d885a31e085d.png

（2）令f8bda496a8d70f79ae1fd665b1d194f7.png，则

19149fa461d3071c89f9b4ad46f6904d.png

7077dcc00ccd46bbd5a998dc706c15d7.png

db25365affa71410bb3a250281aa5608.png

所以数列1481b422ffb9352ff79e12c45d74b178.png是递增的，

若对324d6f19ddfba125cba660e0fb462785.png均满足7fcadd5ce7b5424441b6394537acf4f8.png，只要0b9f2991087ddb13a722a3319a0bbe2e.png的最小值大于6fc50bd050554357ca07476bd83068de.png即可

因为0b9f2991087ddb13a722a3319a0bbe2e.png的最小值为d249e7777b393e6cf12c662aa0b03ebd.png，

所以35f12fa9debee19ca2b1b40df2f2c3cc.png，所以6f8f57715090da2632453988d9a1501b.png的最大整数是2．

（3）由855df286c8b343dd3ec977df711f1e5c.png，得

971d1a0c6a4b8914df0b45485f021caa.png，

a534a34ca66298ce95bc917470ea5134.png ③

161e0cbe4fafecba3f9f7f99199371c5.png ④

③-④得，898af0f09d124092aba2c4ac3f2a04d9.png ⑤，

ef18217b1bafe658211054aa1547db7b.png ⑥

⑤-⑥得，91274a89821e388fc6f0fee09ca6079d.png，

所以存在这样的数列1481b422ffb9352ff79e12c45d74b178.png，91274a89821e388fc6f0fee09ca6079d.png

【点睛】

此题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，最值，恒成立问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

18．某中学的甲、乙、丙三名同学参加高校自主招生考试，每位同学彼此独立的从d85195f9b6b7a484db8e77aa06b183de.png五所高校中任选2所．

（1）求甲、乙、丙三名同学都选f623e75af30e62bbd73d6df5b50bb7b5.png高校的概率；

（2）若已知甲同学特别喜欢7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png高校，他必选7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png校，另在9a46144baf9e42e2cc7c559faf448d07.png四校中再随机选1所；而同学乙和丙对五所高校没有偏爱，因此他们每人在五所高校中随机选2所．

（i）求甲同学选f623e75af30e62bbd73d6df5b50bb7b5.png高校且乙、丙都未选f623e75af30e62bbd73d6df5b50bb7b5.png高校的概率；

（ii）记02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png为甲、乙、丙三名同学中选f623e75af30e62bbd73d6df5b50bb7b5.png高校的人数，求随机变量02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png的分布列及数学期望．

【答案】（1）d50e858676d971056985c0260262013c.png （2）（i）19e29564a6527a4c3b68d69b756168c3.png（ii）分布列见解析，b1f622448ede291e7353e647d638c4c5.png

【解析】

【分析】

（1）先计算甲、乙、丙同学分别选择D高校的概率，利用事件的独立性即得解；

（2）（i）分别计算每个事件的概率，再利用事件的独立性即得解；

（ii）3becfcf9145c5d7e182c74d6d714674b.png，利用事件的独立性，分别计算对应的概率，列出分布列，计算数学期望即得解.

【详解】

（1）甲从d85195f9b6b7a484db8e77aa06b183de.png五所高校中任选2所，共有6586b5af2023ec9028877b187810d633.png

80333ae7604fd10aaef6f04b71dae356.png共10种情况，

甲、乙、丙同学都选f623e75af30e62bbd73d6df5b50bb7b5.png高校，共有2c559b3104bdfc3869bff47f1d840ead.png四种情况，

甲同学选f623e75af30e62bbd73d6df5b50bb7b5.png高校的概率为2fdb3e0877e0fee9f1df897603cfd250.png，

因此乙、丙两同学选f623e75af30e62bbd73d6df5b50bb7b5.png高校的概率为add2b5c8b974155f65e931df2054a985.png,

因为每位同学彼此独立，

所以甲、乙、丙三名同学都选f623e75af30e62bbd73d6df5b50bb7b5.png高校的概率为e6e5d57ee2fbd837a71bad9737fa111c.png．

（2）（i）甲同学必选7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png校且选f623e75af30e62bbd73d6df5b50bb7b5.png高校的概率为eca3bf81573307ec3002cf846390d363.png，乙未选f623e75af30e62bbd73d6df5b50bb7b5.png高校的概率为fb4c41d3b60328c13a2573a3b235b5a5.png，

丙未选f623e75af30e62bbd73d6df5b50bb7b5.png高校的概率为fb4c41d3b60328c13a2573a3b235b5a5.png，因为每位同学彼此独立，

所以甲同学选f623e75af30e62bbd73d6df5b50bb7b5.png高校且乙、丙都未选f623e75af30e62bbd73d6df5b50bb7b5.png高校的概率为7d0785af15dd5d0a6e7a754c402defc1.png．

（ii）3becfcf9145c5d7e182c74d6d714674b.png，

因此2268d65563254ad4531421ae7f4ab87a.png8d91914f90a665e89b4a3ad9448f1e61.png

c51823423dd2e3b1afbfe7648491167c.png，

243d18d7c433d6298114c5f0b4d926bf.png．

即02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png的分布列为

因此数学期望为

323ccd33a99e32a4eae91a9c3d8c8add.png．

【点睛】

本题考查了事件独立性的应用和随机变量的分布列和期望，考查了学生综合分析，概念理解，实际应用，数学运算的能力，属于中档题.

19．在平面直角坐标系中，以原点为极点，9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线92cc336a9f163d4c6870d8e016934cfb.png：9da24aa9830acf067a1805167e82988f.png.过点7fb58a1accd44d1292e474b29d59296c.png的直线2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png：8b75691bb00196fb0bcbdc1f84e8c428.png（e358efa489f58062f10dd7316b65649e.png为参数）与曲线92cc336a9f163d4c6870d8e016934cfb.png相交于69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png，8d9c307cb7f3c4a32822a51922d1ceaa.png两点.

（1）求曲线92cc336a9f163d4c6870d8e016934cfb.png的直角坐标方程和直线2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png的普通方程；

（2）若4d239df5f70671270810bafe32cfb1f9.png，求实数0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png的值.

【答案】（1）4052e9811d91cffeffb7f69ad410672d.png，84dc74cb88377ffbf2509ef2b29ee71a.png；（2）3872c9ae3f427af0be0ead09d07ae2cf.png.

【解析】

【分析】

（1）将8bb6f5c0ed14a55705241c3f92a04f50.png代入ec7d889a0d4c50c8cf777fb3879d2157.png求解，由8b75691bb00196fb0bcbdc1f84e8c428.png（e358efa489f58062f10dd7316b65649e.png为参数）消去e358efa489f58062f10dd7316b65649e.png即可.

（2）将8b75691bb00196fb0bcbdc1f84e8c428.png（e358efa489f58062f10dd7316b65649e.png为参数）与d7d91f93fe65a75adf0750e8057f104e.png联立得bceb6bfff8b8a5e9996d91e253576ea5.png，设69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png，8d9c307cb7f3c4a32822a51922d1ceaa.png两点对应的参数为7363212f8e5a9d7ace25c6991a33c6fe.png，974cb705b0c744f1855953c1086337df.png，则0af1e93dfed1595f022bad320ab5d1fd.png，5440429c55a58473068a114668fea357.png，再根据4d239df5f70671270810bafe32cfb1f9.png，即a4384cf48b65b9e02a5f25866cd69d4d.png，利用韦达定理求解.

【详解】

（1）把4f7c3f94a904e78957081a64b52bd90e.png代入ec7d889a0d4c50c8cf777fb3879d2157.png，

得4052e9811d91cffeffb7f69ad410672d.png，

由8b75691bb00196fb0bcbdc1f84e8c428.png（e358efa489f58062f10dd7316b65649e.png为参数），

消去e358efa489f58062f10dd7316b65649e.png得84dc74cb88377ffbf2509ef2b29ee71a.png，

∴曲线92cc336a9f163d4c6870d8e016934cfb.png的直角坐标方程和直线2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png的普通方程分别是4052e9811d91cffeffb7f69ad410672d.png，84dc74cb88377ffbf2509ef2b29ee71a.png.

（2）将8b75691bb00196fb0bcbdc1f84e8c428.png（e358efa489f58062f10dd7316b65649e.png为参数）代入d7d91f93fe65a75adf0750e8057f104e.png得bceb6bfff8b8a5e9996d91e253576ea5.png，

设69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png，8d9c307cb7f3c4a32822a51922d1ceaa.png两点对应的参数为7363212f8e5a9d7ace25c6991a33c6fe.png，974cb705b0c744f1855953c1086337df.png，则0af1e93dfed1595f022bad320ab5d1fd.png，5440429c55a58473068a114668fea357.png，

由4d239df5f70671270810bafe32cfb1f9.png得a4384cf48b65b9e02a5f25866cd69d4d.png，

所以f4a306b95c4ecb3e56e767f88e55e64d.png，即1ea641ddb89671fee769cb71cc76610d.png，

所以2ad08f5d9cb5cd9f1febc1e7c4b13548.png，而323c5f97105643bc61e288fe596194ca.png，

解得3872c9ae3f427af0be0ead09d07ae2cf.png.

【点睛】

本题主要考查参数方程、极坐标方程、直角坐标方程的转化和直线参数方程的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

20．已知函数6a75e1ebf8ee1aba8ddf4b0b5196d401.png，0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png为实数，且323c5f97105643bc61e288fe596194ca.png．

（Ⅰ）当3872c9ae3f427af0be0ead09d07ae2cf.png时，求50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png的单调区间和极值；

（Ⅱ）求函数50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png在区间8020475c20c92ffeb79b01e22f2fde60.png，11529fb4f9f2485125c5b5a95880b30b.png上的值域（其中e1671797c52e15f763380b45e841ec32.png为自然对数的底数）．

【答案】（Ⅰ）极大值0，没有极小值；函数的递增区间b6dbc33006b907f2db1855810abfce98.png，递减区间a9b60edfbc89649206e22a2cad65c588.png，（Ⅱ）见解析

【解析】

【分析】

（Ⅰ）由fccd62ede4d200499d4b1a97f77ebdb3.png，令dc0e28a46019a9e14c41afa589f4dbed.png，得增区间为7438252393c71b507edb4d7a116aa1c2.png，令3d7ca7f2fe2b775b5576ada9cf5016cd.png，得减区间为a9b60edfbc89649206e22a2cad65c588.png，所以有极大值132c8644bf0affdf6857571014cfe3b9.png，无极小值；

（Ⅱ）由38ed1cc78512acbe685a0ed3a8b88c99.png，分d39df7708d16fbf1ef84496e9d916aea.png，43be9163c38281625cf713051581195b.png和e3cbf3b70b0e8c76e66687432c5b2773.png三种情况，考虑函数50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png在区间84b8350dcaf54462dc964cf2fca7f6c0.png上的值域，即可得到本题答案.

【详解】

f5e7b0d31c161114dbdf63d176840077.png当3872c9ae3f427af0be0ead09d07ae2cf.png时，e31e7f9da4a74b4cb1dac793ed3ada57.png，fccd62ede4d200499d4b1a97f77ebdb3.png，

当aa135e67321926f181d788c1a35afdf2.png时，7ee8094540b95889df1fbe457be2fd47.png，函数单调递增，当3d3e00e0b84ad6b64a3461fe9092698a.png时，3d7ca7f2fe2b775b5576ada9cf5016cd.png，函数单调递减，

故当a255512f9d61a6777bd5a304235bd26d.png时，函数取得极大值132c8644bf0affdf6857571014cfe3b9.png，没有极小值；

函数的增区间为7438252393c71b507edb4d7a116aa1c2.png，减区间为a9b60edfbc89649206e22a2cad65c588.png，

348e46b8a807955155b0e00113333c28.png，

当d39df7708d16fbf1ef84496e9d916aea.png时，8343d1c2322224e512efa71c3c2632a6.png，ad7ac2fcd2e22b7a507152d28ef55c97.png在84b8350dcaf54462dc964cf2fca7f6c0.png上单调递增，31f0d44cb4ca78b8563d42a944f754e7.png即函数的值域为f7c403002e1291e98138616d95b55f48.png；

当43be9163c38281625cf713051581195b.png时，13777ae64468c5432b75b54c3e093bc7.png，ad7ac2fcd2e22b7a507152d28ef55c97.png在84b8350dcaf54462dc964cf2fca7f6c0.png上单调递减， ee594f2977220b290e87921840f9a738.png即函数的值域为a668aad54717304705a2bf9e609ae97d.png；

当e3cbf3b70b0e8c76e66687432c5b2773.png时，易得864a932cdba219d285883436d07a9c5a.png时，7ee8094540b95889df1fbe457be2fd47.png，ad7ac2fcd2e22b7a507152d28ef55c97.png在84b8350dcaf54462dc964cf2fca7f6c0.png上单调递增，f267cc775c89b3df1609e718131fc93a.png时，3d7ca7f2fe2b775b5576ada9cf5016cd.png，ad7ac2fcd2e22b7a507152d28ef55c97.png在84b8350dcaf54462dc964cf2fca7f6c0.png上单调递减，

故当bb10b2b5c774162634d4a3af49dd8f53.png时，函数取得最大值ce3616cbd84900418ace357a52e94053.png，最小值为132c8644bf0affdf6857571014cfe3b9.png，b3f7e61ee9c5048fe1b4a1e92d5db61f.png中最小的，

ec679f15073b718baac49d374fb821de.png当c0e8c7305d82fefb189ef06dc3399b84.png时，fa02a4adc307c6694972952d033b6620.png，最小值132c8644bf0affdf6857571014cfe3b9.png；

0aff6a0421e79365ab8fcc70d0385828.png当eb945adf5cb0c1d2bf0efc41353097cf.png，634c822f31e41fde19d5624573344e87.png，最小值b3f7e61ee9c5048fe1b4a1e92d5db61f.png；

综上，当d39df7708d16fbf1ef84496e9d916aea.png时，函数的值域为f7c403002e1291e98138616d95b55f48.png，

当c0e8c7305d82fefb189ef06dc3399b84.png时，函数的值域400c329548e82e5da7f5c3b5eef32553.png，

当eb945adf5cb0c1d2bf0efc41353097cf.png时，函数的值域为ffd430170139ea30c7eec02ebfbb7b05.png，

当43be9163c38281625cf713051581195b.png时，函数的值域为a668aad54717304705a2bf9e609ae97d.png.

【点睛】

本题主要考查利用导数求单调区间和极值，以及利用导数研究含参函数在给定区间的值域，考查学生的运算求解能力，体现了分类讨论的数学思想.

21．已知39a427e0b250982dd0fab7c404b4e2c2.png，162b23614f3de15ba9c77440d9b75780.png分别是椭圆3a3ea00cfc35332cedf6e5e9a32e94da.png：3ac1fff41d0325a3b9aa66179cb43051.png的左，右焦点，点9b006596b7a9eb51c95eaf2834910656.png在椭圆3a3ea00cfc35332cedf6e5e9a32e94da.png上，且抛物线7cdd10dd857d8d8d5071ff43625ebbad.png的焦点是椭圆3a3ea00cfc35332cedf6e5e9a32e94da.png的一个焦点．

（1）求0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png,92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.png的值：

（2）过点162b23614f3de15ba9c77440d9b75780.png作不与9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png轴重合的直线2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png，设2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png与圆d4392cc12981c7e7b25f783f5c114b42.png相交于A，B两点，且与椭圆3a3ea00cfc35332cedf6e5e9a32e94da.png相交于C，D两点，当9eef8ef3aaa7e9611083057b27b42024.png时，求△5d60fef8143669fc72cca73d9e6abb91.png的面积．

【答案】（1）c1bdb6fcfd2dfb34178247113fe99fba.png；（2）521ff3d092bdb592492e6e955ef568dc.png.

【解析】

【分析】

（1）由已知根据抛物线和椭圆的定义和性质，可求出0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png，92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.png；

（2）设直线2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png方程为87d4e0b64e03019d275ea47eccf6c00a.png，联立直线与圆的方程可以求出71b1312b307f921ddcf64f61e8da16e1.png，再联立直线和椭圆的方程化简，由根与系数的关系得到结论，继而求出面积．

【详解】

（1）7cdd10dd857d8d8d5071ff43625ebbad.png焦点为F（1，0），则F1（1，0），F2（1，0），

c8ecd859f3c8f3dbd7afc42801f4defe.png，解得6370a79da09c6cb6b86632fd2b21a1e3.png，4a8a08f09d37b73795649038408b5f33.png＝1，92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.png＝1，

（Ⅱ）由已知，可设直线2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png方程为87d4e0b64e03019d275ea47eccf6c00a.png，f99a5e7a20e963b917af6f0a746b0589.png，32a60b125f2f670bebc6a7a1ef8a9f5c.png

联立28604071b79ac2b54c16b04893c3e12b.png得e6b8ddb439c71749c5f9546578449c2a.png，易知△＞0，则cf21ef7741a5eaa445ef441b1049aa8a.png

25e4f49e1fe7d7bddb23b8d09912864b.png＝2d6ded9cd0420d100135eb2e7ab7e020.png＝b0644fcb8f93a38de8064d169af464f9.png

＝39480305c9afdc3a5776f4214df08ac2.png

因为3c1257ba88eca0f3a55bf5a33efd7408.png，所以5f42c8368d1eb5ec6231061827925fc5.png＝1，解得18c83b6f09abc7f957a94c68e69d94a3.png

联立0125a6d7fbfd3ca80cf1e57e27b92d39.png ，得b9c4a01ed06cabc5dbbea79a06ad74f6.png，△＝89115228d69ce1e80543116641a3a195b.png＞0

设9e8816654df487753a4adcaa7f51a788.png，则4760dfbc8f0c36e6fe87a8dcf72fef4f.png

0de8f69b7e4f7ff59ed06f04d9d34da8.png

【点睛】

本题主要考查抛物线和椭圆的定义与性质应用，同时考查利用根与系数的关系，解决直线与圆，直线与椭圆的位置关系问题． 意在考查学生的数学运算能力．

22．设数列8b3fca31f54e29496553e55fc8a024c3.png的前7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png项和为cbd5b9aa7a744bf4cc85b6e03b99018c.png，且e83909dc46500622de154f2b974c749d.png，数列b4dcc776263df6ec9aacdbd15f29915a.png满足6071fa9cfbd07396b746d6524da05a4c.png，点0f182991589d5869f4f7c885816c9eaa.png在7a7ecfb0f9ff02718a22edc3a3c934eb.png上，ca4a82f99b16b14900a9698a06a83364.png

（1）求数列8b3fca31f54e29496553e55fc8a024c3.png，b4dcc776263df6ec9aacdbd15f29915a.png的通项公式；

（2）设7208df9b84629519ca6784623f9fcaad.png，求数列8af5dac178b029b362e6e88e37bdda61.png的前7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png项和b358af0ece5bea3422091d7a3984e142.png．

【答案】（1）07496d0db90075d79ad9d8de3eafde8b.png，fc58e0682111729ee00af64936963283.png

（2）153890ef43b2bf4914a53591ddfeeddc.png.

【解析】

【分析】

（1）利用bfad6dce8079bb9f9498dc30ca4ee75f.png与cbd5b9aa7a744bf4cc85b6e03b99018c.png的递推关系可以bfad6dce8079bb9f9498dc30ca4ee75f.png的通项公式；44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png点代入直线方程得b5e8d3b5874b41a2c6fc9e4b567a3f6a.png，可知数列b4dcc776263df6ec9aacdbd15f29915a.png是等差数列，用公式求解即可.(2)用错位相减法求数列的和.

【详解】

7acce3193127d4b71a6c2b140c22dc95.png由3763d79f91367ccf634dc28bd7afc7c4.png可得7afd656d0f4fe777a54c4ed36a49a433.png，

两式相减得7d10c52140149c645020871b994c21d2.png，067c8f8a1a54bae201c4793566a1cbff.png．

又dba462db15db98441a07cdc07ba55db8.png，所以450a998afa35cfaa63900a246fa135c5.png．故8b3fca31f54e29496553e55fc8a024c3.png是首项为1，公比为3的等比数列．所以07496d0db90075d79ad9d8de3eafde8b.png．

由点0f182991589d5869f4f7c885816c9eaa.png在直线7a7ecfb0f9ff02718a22edc3a3c934eb.png上，所以b5e8d3b5874b41a2c6fc9e4b567a3f6a.png．

则数列b4dcc776263df6ec9aacdbd15f29915a.png是首项为1，公差为2的等差数列．则fc58e0682111729ee00af64936963283.png

e4b00b4a65a415cf9ebaa9f83719c071.png因为fcff33db5d51c4847415b811a318abeb.png，所以6f2e1bfbacb94c143c7f1924fdeba246.png．

则c4c7ce10e6594e795d97020894bcd7ce.png，

两式相减得：817cfce96bf63fd98b3b4990caccd865.png．

所以153890ef43b2bf4914a53591ddfeeddc.png．

【点睛】

用递推关系75a0afbe4d872863b7219e43e934a27f.png求通项公式时注意7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png的取值范围，所求结果要注意检验6d24e2bc97c5e4283dd8e34674afe7ea.png的情况；由一个等差数列和一个等比数列的积组成的数列求和，常用错位相减法求解.

23．已知函数c661487b2fbe63ab33dad86d8e999c27.png

（1）求f(x)的单调递增区间；

（2）△ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若dd32162f2795879e9277367c4ba4d881.png且A为锐角，a=3，sinC=2sinB，求△ABC的面积.

【答案】（1）c558a003927c75f6b972502f043d6e1b.png（2）a0e950dc4545cad1f4989d54a1e697b2.png

【解析】

【分析】

（1）利用降次公式、辅助角公式化简ad7ac2fcd2e22b7a507152d28ef55c97.png解析式，根据三角函数单调区间的求法，求得ad7ac2fcd2e22b7a507152d28ef55c97.png的单调递增区间.

（2）先由755964c69c89ed9f6d52e2ea18e28ea6.png求得7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png，利用正弦定理得到f6d0ff42150c75d86a812de00677e7e0.png，结合余弦定理列方程，求得74aefa13d6ab8e4bfbd241583749dfe8.png，由此求得三角形902fbdd2b1df0c4f70b4a5d23525e932.png的面积.

【详解】

（1）函数9376a6d581d655984677fb6ffafcbfe3.png，

eab38a296efffcbcfc1f9be5b55063da.png，

由07850ccd8c13f505f7098ea3ff2372df.png，

得0303bb8c5eb04dcd6bb0a161f5a780c9.png.

所以50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png的单调递增区间为c558a003927c75f6b972502f043d6e1b.png .

（2）因为f39e9fd10dc1e9e9932f4dcf2c336b2d.png且7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png为锐角，所以d030f7a20a842563ef93b2246741299b.png.

由5079597c18e906e2dc8b42f86549a284.png及正弦定理可得f6d0ff42150c75d86a812de00677e7e0.png，又469dc8341fe6ee61277a25808135294f.png，

由余弦定理可得6da4365fe8f4ef40bd879a7701bdcfe2.png，

解得c803785846d3c9d2539589413dd43cae.png， df695ac60f68fa530829390839f186ce.png.

【点睛】

本小题主要考查三角恒等变换，考查三角函数单调区间的求法，考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，属于中档题.

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/536d52a4e209581b6bd97f19227916888486b928.html