天津市耀华中学2018-2019学年第一学期高三年级第一次月考数学（理）（解析版）

天津市耀华中学2018-2019学年第一学期高三年级第一次月考数学（理）

一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）

1. i是虚数单位，复数word/media/image2.gif　　word/media/image3.gif

A. word/media/image4.gif B. word/media/image5.gif C. word/media/image6.gif D. word/media/image7.gif

【答案】A

【解析】解：进行复数的除法的运算需要分子、分母同时乘以分母的共轭复数，同时将word/media/image8.gif改为word/media/image9.gif．word/media/image10.gif．
故选：A．
进行复数的除法的运算，需要分子、分母同时乘以分母的共轭复数，同时将word/media/image8.gif改为word/media/image9.gif．
本题主要考查复数代数形式的基本运算，2个复数相除，分母、分子同时乘以分母的共轭复数．

2. 下列函数既是奇函数，又在区间word/media/image11.gif上单调递减的是word/media/image12.gif　　word/media/image3.gif

A. word/media/image13.gif B. word/media/image14.gif
C. word/media/image15.gif D. word/media/image16.gif

【答案】D

【解析】解：函数word/media/image13.gif，是奇函数，在word/media/image11.gif上单调递增，不满足条件．
函数word/media/image14.gif不是奇函数，不满足条件，
函数word/media/image15.gif是偶函数，不满足条件，
故选：D．
分别根据函数奇偶性和单调性的定义和性质进行判断即可得到结论．
本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的奇偶性和单调性的性质．

3. 在word/media/image17.gif中，“word/media/image17.gif是锐角三角形”是“word/media/image18.gif”的word/media/image12.gif　　word/media/image3.gif

A. 充分必要条件 B. 充分而不必要条件
C. 必要而不充分条件 D. 既不充分又不必要条件

【答案】B

【解析】解：当word/media/image19.gif，word/media/image20.gif时，满足word/media/image18.gif，但此时word/media/image17.gif是直角角三角形，word/media/image21.gif是锐角三角形不成立word/media/image22.gif即必要性不成立，
当word/media/image17.gif为锐角三角形时，word/media/image23.gif，word/media/image24.gif，word/media/image25.gif，
故word/media/image18.gif成立word/media/image22.gif即充分性成立
word/media/image26.gif “word/media/image18.gif”是“word/media/image17.gif为锐角三角形”的充分不必要条件，
故选：B．
根据三角函数的诱导公式，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用三角函数的诱导公式是解决本题的关键．

4. 函数word/media/image27.gif其中word/media/image28.gif，word/media/image29.gif，word/media/image30.gif的图象如图所示，为了得到word/media/image31.gif的图象，则只要将word/media/image32.gif的图象word/media/image12.gif　　word/media/image3.gif

A. 向左平移word/media/image34.gif个单位长度 B. 向右平移word/media/image34.gif个单位长度
C. 向左平移word/media/image35.gif个单位长度 D. 向右平移word/media/image35.gif个单位长度

【答案】C

【解析】解：由函数word/media/image36.gif的图象可得word/media/image37.gif，word/media/image38.gif，word/media/image39.gif．
再根据五点法作图可得word/media/image40.gif，求得word/media/image41.gif，故word/media/image42.gif
故把word/media/image43.gif的图象向左平移word/media/image35.gif个单位长度，
可得word/media/image44.gif的图象，
故选：C．
由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出word/media/image45.gif，由五点法作图求出word/media/image46.gif的值，可得word/media/image32.gif的解析式，再利用函数word/media/image47.gif的图象变换规律，可得结论．
本题主要考查由函数word/media/image47.gif的部分图象求解析式，函数word/media/image47.gif的图象变换规律，属于基础题．

5. 已知定义在R上的函数word/media/image48.gif为偶函数，记word/media/image49.gif，则word/media/image12.gif　　word/media/image3.gif

A. word/media/image50.gif B. word/media/image51.gif C. word/media/image52.gif D. word/media/image53.gif

【答案】A

【解析】解：word/media/image54.gif是偶函数，word/media/image55.gif，
即word/media/image56.gif，
即word/media/image57.gif，
即word/media/image58.gif，即word/media/image59.gif，
则word/media/image60.gif或word/media/image61.gif，
得word/media/image62.gif，word/media/image63.gif，
即word/media/image64.gif，则当word/media/image65.gif时，word/media/image32.gif为增函数，word/media/image66.gif，word/media/image67.gif，word/media/image68.gif，word/media/image69.gif，word/media/image70.gif，
即word/media/image50.gif，
故选：A．
根据函数是偶函数，求出word/media/image63.gif，然后利用偶函数和函数的单调性进行比较即可．
本题主要考查函数值的对称比较，结合函数奇偶性和单调性的关系将变量进行转化是解决本题的关键．

6. 已知函数word/media/image71.gif的最小值在区间word/media/image72.gif上至少出现两次，则word/media/image45.gif的最小值等于word/media/image12.gif　　word/media/image3.gif

A. 6 B. word/media/image73.gif C. word/media/image74.gif D. 3

【答案】D

【解析】解：word/media/image75.gif．
由word/media/image76.gif，得word/media/image77.gif，word/media/image54.gif的最小值在区间word/media/image72.gif上至少出现两次，word/media/image78.gif，解得word/media/image79.gif．word/media/image80.gif的最小值等于3．
故选：D．
利用三角函数的倍角公式化简变形，由x的范围求得相位的范围，结合word/media/image32.gif的最小值在区间word/media/image72.gif上至少出现两次，可得word/media/image81.gif，求解得答案．
本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，考查word/media/image47.gif型函数的图象与性质，考查数学转化思想方法，是中档题．

7. 若函数word/media/image82.gif在区间word/media/image83.gif上有最小值，则实数a的取值范围是word/media/image12.gif　　word/media/image3.gif

A. word/media/image84.gif B. word/media/image85.gif C. word/media/image86.gif D. word/media/image87.gif

【答案】C

【解析】解：由题 ，
令 0'/>解得word/media/image90.gif；令解得word/media/image92.gif或word/media/image93.gif
由此得函数在word/media/image94.gif上是减函数，在word/media/image95.gif上是增函数，在word/media/image96.gif上是减函数
故函数在word/media/image97.gif处取到极小值word/media/image98.gif，判断知此极小值必是区间word/media/image83.gif上的最小值word/media/image99.gif，解得word/media/image100.gif
又当word/media/image101.gif时，word/media/image102.gif，故有word/media/image103.gif
综上知word/media/image104.gif
故选：C．
求函数word/media/image82.gif导数，研究其最小值取到位置，由于函数在区间word/media/image83.gif上有最小值，故最小值点的横坐标是集合word/media/image83.gif的元素，由此可以得到关于参数a的等式，解之求得实数a的取值范围
本题考查用导数研究函数的最值，利用导数研究函数的最值是导数作为数学中工具的一个重要运用，要注意把握其作题步骤，求导，确定单调性，得出最值．

8. 已知函数word/media/image105.gif与word/media/image106.gif的图象有三个不同的公共点，其中e为自然对数的底数，则实数a的取值范围为word/media/image12.gif　　word/media/image3.gif

A. word/media/image107.gif B. word/media/image108.gif C. word/media/image109.gif D. word/media/image110.gif或word/media/image108.gif

【答案】B

【解析】解：由word/media/image112.gif，整理得：word/media/image113.gif，
令word/media/image114.gif，且word/media/image115.gif，
则word/media/image116.gif，设word/media/image117.gif，
求导word/media/image118.gif，令word/media/image119.gif，解得：word/media/image120.gif，word/media/image121.gif在word/media/image122.gif上单调递增，在word/media/image123.gif单调递减，
则当word/media/image124.gif时，word/media/image125.gif，如图所示，
由题意可知方程有一个根word/media/image126.gif在word/media/image127.gif内，另一个根word/media/image128.gif或word/media/image129.gif或word/media/image130.gif，
当word/media/image128.gif方程无意义，当word/media/image129.gif时，word/media/image131.gif，word/media/image132.gif不满足题意；
则word/media/image130.gif，由二次函数的性质可知：word/media/image133.gif，即word/media/image134.gif，
解得：word/media/image108.gif，
故选：B．
由题意可知：令word/media/image135.gif，化简求得word/media/image116.gif，根据word/media/image136.gif的单调性求得方程根所在的区间，根据二次函数的性质，即可求得a的取值范围．
本题考查函数零点与函数方程的关系，考查利用导数判断函数的极值，考查二次函数的性质，考查数形结合思想，属于难题．

二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）

9. 若集合word/media/image137.gif，word/media/image138.gif，则word/media/image139.gif是______．

【答案】word/media/image140.gif

【解析】解：word/media/image141.gif，则word/media/image142.gif，word/media/image143.gif或word/media/image144.gif，则word/media/image145.gif或word/media/image146.gif，
故Aword/media/image147.gif；
故答案为word/media/image148.gif
解word/media/image149.gif可得集合A，解word/media/image150.gif可得集合B，由交集的定义，求A、B的交集，即可得答案．
本题考查集合的交集运算，涉及绝对值不等式与分式不等式的解法，关键是正确解出两个不等式．

10. 曲线word/media/image151.gif与直线word/media/image152.gif，word/media/image101.gif所围成图形面积为______．

【答案】word/media/image153.gif

【解析】解：word/media/image155.gif曲线word/media/image151.gif和曲线word/media/image152.gif的交点为word/media/image156.gif
直线word/media/image152.gif和word/media/image101.gif的交点为word/media/image157.gifword/media/image26.gif曲线word/media/image151.gif与直线word/media/image152.gif，word/media/image101.gif所围成图形面积为
word/media/image158.gif
word/media/image159.gif
故答案为：word/media/image153.gif
作出曲线word/media/image151.gif与直线word/media/image152.gif、word/media/image101.gif的图象，求出它们的交点坐标，可得所求面积为函数word/media/image160.gif在区间word/media/image161.gif上的定积分的值，再用定积分计算公式加以运算即可得到本题答案．
本题求两条曲线围成的曲边图形的面积，着重考查了定积分的几何意义和积分计算公式等知识，属于基础题．

11. 设word/media/image162.gif、word/media/image163.gif都是锐角，且word/media/image164.gif，word/media/image165.gif，则word/media/image166.gif______．

【答案】word/media/image167.gif

【解析】解：word/media/image168.gif为锐角，word/media/image169.gif，word/media/image170.gif，word/media/image171.gif，且word/media/image172.gif，word/media/image173.gif，且word/media/image174.gif，word/media/image175.gif，
则word/media/image176.gif．
故答案为：word/media/image167.gif
由word/media/image162.gif为锐角，根据word/media/image177.gif的值，求出word/media/image178.gif的值，利用两角和与差的正弦函数公式化简word/media/image179.gif，且根据其值范围确定出word/media/image180.gif的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出word/media/image181.gif的值，所求式子中的角word/media/image163.gif变形为word/media/image182.gif，利用两角和与差的余弦函数公式化简，将各自的值代入计算即可求出值．
此题考查了两角和与差的正弦、余弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．

12. 若直线word/media/image183.gif是曲线word/media/image184.gif的切线，也是曲线word/media/image185.gif的切线，则word/media/image186.gif______．

【答案】word/media/image187.gif

【解析】解：设word/media/image183.gif与word/media/image184.gif和word/media/image185.gif的切点分别为word/media/image188.gif、word/media/image189.gif；
由导数的几何意义可得word/media/image190.gif，得word/media/image191.gif
再由切点也在各自的曲线上，可得word/media/image192.gif
联立上述式子解得word/media/image193.gif；
从而word/media/image194.gif得出word/media/image195.gif．
先设切点，然后利用切点来寻找切线斜率的联系，以及对应的函数值，综合联立求解即可
本题考查了导数的几何意义，体现了方程思想，对学生综合计算能力有一定要求，中档题

13. 已知函数word/media/image196.gif，word/media/image197.gif，若方程word/media/image198.gif恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为______．

【答案】word/media/image199.gif

【解析】解：由word/media/image201.gif得word/media/image202.gif，
作出函数word/media/image203.gif，word/media/image204.gif的图象，
当word/media/image205.gif，word/media/image206.gif，word/media/image207.gif，两个函数的图象
不可能有4个交点，不满足条件；
则word/media/image208.gif，此时word/media/image209.gif，
当word/media/image210.gif时，word/media/image211.gif，word/media/image212.gif，
当直线和抛物线相切时，有三个零点，
此时word/media/image213.gif，
即word/media/image214.gif，
则由word/media/image215.gif，即word/media/image216.gif，
解得word/media/image131.gif或word/media/image217.gif，
当word/media/image217.gif时，word/media/image218.gif，word/media/image219.gif，此时不成立，word/media/image26.gif此时word/media/image131.gif，
要使两个函数有四个零点，则此时word/media/image220.gif，
若word/media/image108.gif，此时word/media/image212.gif与word/media/image32.gif，有两个交点，
此时只需要当word/media/image93.gif时，word/media/image135.gif有两个不同的零点即可，
即word/media/image221.gif，整理得word/media/image214.gif，
则由word/media/image222.gif，即word/media/image223.gif，解得word/media/image224.gif舍去word/media/image3.gif或word/media/image225.gif，
综上a的取值范围是word/media/image199.gif．
故答案为：word/media/image199.gif．
由word/media/image201.gif得word/media/image202.gif，作出函数word/media/image203.gif，word/media/image226.gif的图象，利用数形结合即可得到结论．
本题主要考查函数零点个数的应用，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．

14. 已知函数word/media/image32.gif是定义在R上的函数，且满足对word/media/image227.gif都有word/media/image228.gif，当word/media/image65.gif时，word/media/image229.gif若对于word/media/image230.gif，不等式word/media/image231.gif恒成立，则实数m的取值范围是______．

【答案】word/media/image232.gif

【解析】解：word/media/image227.gif都有word/media/image228.gif，
即为word/media/image233.gif，
可得word/media/image234.gif，可得word/media/image32.gif为偶函数，
当word/media/image65.gif时，word/media/image229.gif，
可得word/media/image235.gif时，word/media/image236.gif递减，word/media/image237.gif；
当word/media/image238.gif时，word/media/image239.gif，
导数为word/media/image240.gif，
当word/media/image241.gif时，word/media/image242.gif，可得word/media/image243.gif，
当word/media/image244.gif时，由word/media/image245.gif当且仅当word/media/image246.gif取得等号word/media/image3.gif，
且word/media/image247.gif，可得word/media/image243.gif，
则word/media/image32.gif递减，且word/media/image248.gif，word/media/image249.gif，word/media/image32.gif在word/media/image65.gif上为减函数，
对任意的word/media/image250.gif，不等式word/media/image231.gif恒成立，
可得word/media/image251.gif，
即为word/media/image252.gif，
即有word/media/image253.gif，
由一次函数的单调性，可得：word/media/image254.gif，且word/media/image255.gif，
即为word/media/image256.gif且word/media/image257.gif，
即有word/media/image257.gif，
则m的范围是word/media/image232.gif，
故答案为：word/media/image258.gif
由题意可得word/media/image32.gif为偶函数，求得word/media/image32.gif在word/media/image65.gif上连续，且为减函数，word/media/image251.gif，即为word/media/image252.gif，即有word/media/image253.gif，由一次函数的单调性，解不等式即可得到所求范围．
本题考查不等式恒成立问题解法，注意运用偶函数的性质和单调性，考查转化思想和运算能力，属于中档题．

三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）

15. 已知a，b，c分别为word/media/image17.gif三个内角A，B，C的对边，word/media/image259.gif word/media/image260.gif求A；word/media/image261.gif若word/media/image262.gif，word/media/image17.gif的面积为word/media/image263.gif；求b，c．

【答案】解：word/media/image260.gif由正弦定理得：word/media/image259.gif，
即word/media/image264.gifword/media/image265.gif，
即word/media/image266.gifword/media/image267.gif．
word/media/image268.gifword/media/image269.gif；word/media/image261.gif若word/media/image262.gif，word/media/image17.gif的面积word/media/image270.gif，
word/media/image271.gif
再利用余弦定理可得：word/media/image272.gif word/media/image273.gif，
word/media/image274.gif
结合word/media/image275.gif求得word/media/image276.gif．

【解析】word/media/image260.gif已知等式利用正弦定理化简，整理后得到word/media/image277.gif即可求出A的值；word/media/image261.gif若word/media/image262.gif，由word/media/image17.gif的面积为word/media/image263.gif，求得word/media/image278.gif，再利用余弦定理可得word/media/image279.gif，结合word/media/image275.gif求得b和c的值．
本题考查了正弦定理及余弦定理的应用，考查了三角形面积公式的应用，是中档题．

16. 甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛word/media/image22.gif假设每局甲获胜的概率为word/media/image280.gif，乙获胜的概率为word/media/image281.gif，各局比赛结果相互独立．word/media/image282.gif求甲在4局以内word/media/image12.gif含4局word/media/image3.gif赢得比赛的概率；word/media/image12.gifⅡword/media/image3.gif记X为比赛决出胜负时的总局数，求X的分布列和期望．

【答案】解：word/media/image282.gif用A表示甲在4局以内word/media/image12.gif含4局word/media/image3.gif赢得比赛的是事件，word/media/image283.gif表示第k局甲获胜，word/media/image284.gif表示第k局乙获胜，
则word/media/image285.gif，word/media/image286.gif，word/media/image287.gif，2，3，4，5 word/media/image288.gif．word/media/image12.gifⅡword/media/image289.gif的可能取值为2，3，4，5．word/media/image290.gif，word/media/image291.gif，word/media/image292.gif，word/media/image293.gif，
或者word/media/image294.gif，
故分布列为：

word/media/image298.gif．

【解析】word/media/image12.gifⅠword/media/image3.gif根据概率的乘法公式，求出对应的概率，即可得到结论．word/media/image12.gifⅡword/media/image3.gif利用离散型随机变量分别求出对应的概率，即可求X的分布列；以及数学期望．
本题考查了相互独立事件、互斥事件的概率计算公式、随机变量的分布列与数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

17. 如图所示，在三棱柱word/media/image299.gif中，H是正方形word/media/image300.gif的中心，word/media/image301.gif，word/media/image302.gif平面word/media/image300.gif，且word/media/image303.gif．word/media/image260.gif求异面直线AC与word/media/image304.gif所成角的余弦值；word/media/image261.gif求二面角word/media/image305.gif的正弦值；word/media/image306.gif设N为棱word/media/image307.gif的中点，点M在平面word/media/image300.gif内，且word/media/image308.gif平面word/media/image309.gif，求线段BM的长．

【答案】方法一：如图所示，建立空间直角坐标系，点B为坐标原点．
依题意得word/media/image311.gif
word/media/image282.gif解：易得word/media/image313.gif，
于是word/media/image314.gif，
所以异面直线AC与word/media/image304.gif所成角的余弦值为word/media/image315.gif．word/media/image316.gif解：易知word/media/image317.gif．
设平面word/media/image318.gif的法向量word/media/image319.gify，word/media/image320.gif，
则word/media/image321.gif即word/media/image322.gif
不妨令word/media/image323.gif，可得word/media/image324.gif，
同样地，设平面word/media/image309.gif的法向量word/media/image325.gify，word/media/image320.gif，
则word/media/image326.gif即word/media/image327.gif不妨令word/media/image328.gif，
可得word/media/image329.gif．
于是word/media/image330.gif，
从而word/media/image331.gif．
所以二面角word/media/image332.gif的正弦值为word/media/image333.gif．word/media/image334.gif解：由N为棱word/media/image307.gif的中点，
得word/media/image335.gif设word/media/image336.gifb，word/media/image337.gif，
则word/media/image338.gif
由word/media/image308.gif平面word/media/image309.gif，得word/media/image339.gif
即word/media/image340.gif
解得word/media/image341.gif故word/media/image342.gif．
因此word/media/image343.gif，所以线段BM的长为word/media/image344.gif．
方法二：word/media/image282.gif解：由于word/media/image345.gif，故word/media/image346.gif是异面直线AC与word/media/image304.gif所成的角．
因为word/media/image302.gif平面word/media/image300.gif，又H为正方形word/media/image300.gif的中心，word/media/image347.gif，
可得word/media/image348.gif．

因此word/media/image350.gif．
所以异面直线AC与word/media/image304.gif所成角的余弦值为word/media/image315.gif．word/media/image316.gif解：连接word/media/image351.gif，易知word/media/image352.gif，
又由于word/media/image353.gif，word/media/image354.gif，
所以word/media/image355.gif≌word/media/image356.gif，过点A作word/media/image357.gif于点R，
连接word/media/image358.gif，于是word/media/image359.gif，故word/media/image360.gif为二面角word/media/image305.gif的平面角．
在word/media/image361.gif中，word/media/image362.gif．
连接word/media/image363.gif，在word/media/image364.gif中，word/media/image365.gif，
从而word/media/image366.gif．
所以二面角word/media/image305.gif的正弦值为word/media/image333.gif．word/media/image334.gif解：因为word/media/image308.gif平面word/media/image309.gif，所以word/media/image367.gif．
取word/media/image368.gif中点D，连接ND，由于N是棱word/media/image307.gif中点，
所以word/media/image369.gif且word/media/image370.gif．
又word/media/image302.gif平面word/media/image300.gif，
所以word/media/image371.gif平面word/media/image300.gif，故word/media/image372.gif．
又word/media/image373.gif，
所以word/media/image374.gif平面MND，连接MD并延长交word/media/image304.gif于点E，
则word/media/image375.gif，故word/media/image376.gif．
由word/media/image377.gif，
得word/media/image378.gif，延长EM交AB于点F，
可得word/media/image379.gif连接NE．
在word/media/image380.gif中，word/media/image381.gif，故word/media/image382.gif．
所以word/media/image383.gif．
可得word/media/image384.gif．
连接BM，在word/media/image385.gif中，word/media/image386.gif．

【解析】方法一：如图所示，建立空间直角坐标系，点B为坐标原点word/media/image387.gifⅠword/media/image3.gif求出word/media/image388.gif中的有关向量，然后求出异面直线AC与word/media/image304.gif所成角的余弦值；word/media/image12.gifⅡword/media/image3.gif利用word/media/image321.gif求出平面word/media/image318.gif的法向量word/media/image389.gif，通过word/media/image326.gif求出平面word/media/image309.gif的法向量word/media/image390.gif，然后利用word/media/image391.gif求二面角word/media/image305.gif的正弦值；word/media/image12.gifⅢword/media/image3.gif设N为棱word/media/image307.gif的中点，设word/media/image336.gifb，word/media/image337.gif，利用word/media/image308.gif平面word/media/image309.gif，结合word/media/image392.gif求出a，b，然后求线段BM的长．
方法二：word/media/image282.gif说明word/media/image346.gif是异面直线AC与word/media/image304.gif所成的角，通过解三角形word/media/image393.gif，利用余弦定理，word/media/image350.gif．
求出异面直线AC与word/media/image304.gif所成角的余弦值为word/media/image315.gif．word/media/image316.gif连接word/media/image351.gif，过点A作word/media/image357.gif于点R，连接word/media/image358.gif，说明word/media/image360.gif为二面角word/media/image305.gif的平面角word/media/image22.gif连接word/media/image363.gif，在word/media/image364.gif中，通过word/media/image394.gif，
求出二面角word/media/image305.gif的正弦值为word/media/image333.gif．word/media/image334.gif首先说明word/media/image395.gif取word/media/image368.gif中点D，连接ND，由于N是棱word/media/image307.gif中点，推出word/media/image396.gif证明word/media/image374.gif平面MND，连接MD并延长交word/media/image304.gif于点E，延长EM交AB于点F，
连接word/media/image397.gif连接BM，在word/media/image385.gif中，求出word/media/image386.gif．
本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．

18. 已知数列word/media/image398.gif的前n项和为word/media/image399.gif，点word/media/image400.gif在直线上word/media/image401.gif上word/media/image22.gif数列word/media/image402.gif满足word/media/image403.gif，且word/media/image404.gif，前9项和为153．word/media/image12.gifⅠword/media/image3.gif求数列word/media/image398.gif，word/media/image402.gif的通项公式；word/media/image12.gifⅡword/media/image3.gif设word/media/image405.gif，求数列word/media/image406.gif的前n项和word/media/image407.gif．

【答案】解：word/media/image12.gifⅠword/media/image3.gif点word/media/image400.gif在直线上word/media/image401.gif上，
可得word/media/image408.gif，即word/media/image409.gif，
可得word/media/image410.gif，word/media/image411.gif时，word/media/image412.gif，
上式对word/media/image413.gif也成立，
可得word/media/image414.gif，word/media/image415.gif；
数列word/media/image402.gif满足word/media/image403.gif，且word/media/image404.gif，前9项和为153，
可得word/media/image402.gif为等差数列，设公比为d，
则word/media/image416.gif，word/media/image417.gif，解得word/media/image418.gif，word/media/image419.gif，
则word/media/image420.gif；word/media/image12.gifⅡword/media/image421.gif，
数列word/media/image406.gif的前n项和word/media/image422.gifword/media/image423.gif．

【解析】word/media/image12.gifⅠword/media/image3.gif由题意可得word/media/image409.gif，由数列的递推式，即可得到所求word/media/image414.gif，word/media/image415.gif；由等差数列的性质和通项公式、求和公式，解方程可得首项和公差，即可得到word/media/image424.gif；word/media/image12.gifⅡword/media/image3.gif求得word/media/image425.gif，运用数列的裂项相消求和，化简计算可得所求和．
本题考查等差数列的定义和通项公式、求和公式的运用，考查数列递推式的运用，考查数列的裂项相消求和，化简整理的运算能力，属于基础题．

19. 椭圆C：word/media/image426.gif离心率word/media/image427.gif，word/media/image428.gif．word/media/image12.gifⅠword/media/image3.gif求椭圆C的方程；word/media/image12.gifⅡword/media/image3.gif如图，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意点，直线DP交x轴于点N，直线AD交BP于点M，设BP的斜率为word/media/image429.gif，MN的斜率为word/media/image430.gif，是否存在实数word/media/image431.gif使word/media/image432.gif为定值？如果存在，求出word/media/image431.gif，否则说明理由．

【答案】解：word/media/image12.gifⅠword/media/image3.gif由椭圆的离心率word/media/image434.gif，得word/media/image435.gif，word/media/image436.gif
又word/media/image428.gif，word/media/image437.gif
解得：word/media/image262.gif，word/media/image438.gif，
则椭圆的标准方程为：word/media/image439.gif；word/media/image12.gifⅡword/media/image440.gif，word/media/image337.gif，P不为椭圆顶点，
则可设直线BP的方程为word/media/image441.gif
联立word/media/image442.gif，整理得word/media/image443.gif．
则word/media/image444.gif，word/media/image445.gif，word/media/image446.gif．
word/media/image447.gif
又直线AD的方程为word/media/image448.gif．
联立word/media/image449.gif，解得word/media/image450.gif
由三点word/media/image451.gif，word/media/image452.gif，word/media/image453.gif共线，
得word/media/image454.gif，word/media/image455.gif．word/media/image456.gif的斜率为word/media/image457.gif．
则word/media/image458.gif，
要使word/media/image432.gif为定值，则word/media/image459.gif，即word/media/image460.gif．
故存在实数word/media/image460.gif，使word/media/image432.gif为定值word/media/image461.gif．

【解析】word/media/image12.gifⅠword/media/image3.gif由椭圆的离心率求得word/media/image435.gif，由word/media/image428.gif，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；word/media/image12.gifⅡword/media/image3.gif设出直线BP的方程为word/media/image462.gif，和椭圆方程联立后解出P点坐标，两直线方程联立解出M点坐标，由D，P，N三点共线解出N点坐标，由两点求斜率得到MN的斜率word/media/image430.gif，整理word/media/image432.gif，结合word/media/image432.gif为定值求得word/media/image431.gif值得答案．
本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，训练了二次方程中根与系数关系，考查了由两点求斜率的公式，是中档题．

20. 设函数word/media/image463.gif．word/media/image12.gifⅠword/media/image3.gif求函数word/media/image32.gif的单调区间；word/media/image12.gifⅡword/media/image3.gif若函数word/media/image32.gif有两个零点word/media/image464.gif，word/media/image465.gif求满足条件的最小正整数a的值；word/media/image261.gif求证：word/media/image466.gif．

【答案】解：word/media/image12.gifⅠword/media/image467.gif，word/media/image468.gif．
当word/media/image205.gif时，word/media/image469.gif在word/media/image470.gif上恒成立，
所以函数word/media/image32.gif单调递增区间为word/media/image470.gif，此时word/media/image32.gif无单调减区间；
当word/media/image208.gif时，由word/media/image469.gif，得word/media/image471.gif，word/media/image243.gif，得word/media/image472.gif，
所以函数word/media/image32.gif的单调增区间为word/media/image473.gif，单调减区间为word/media/image474.gif；word/media/image12.gifⅡword/media/image475.gif由word/media/image12.gifⅠword/media/image3.gif可知函数word/media/image32.gif有两个零点，所以word/media/image208.gif，word/media/image32.gif的最小值word/media/image476.gif，即word/media/image477.gif，word/media/image478.gif，word/media/image479.gif，
令word/media/image480.gif，显然word/media/image481.gif在word/media/image470.gif上为增函数，
且word/media/image482.gifword/media/image26.gif存在word/media/image483.gif，word/media/image484.gif，
当word/media/image485.gif时，word/media/image486.gif；当word/media/image487.gif时，word/media/image488.gif，
所以满足条件的最小正整数word/media/image489.gif．
又当word/media/image489.gif时，word/media/image490.gif，word/media/image491.gif，word/media/image492.gif，
所以word/media/image489.gif时，word/media/image32.gif有两个零点．
综上所述，满足条件的最小正整数a的值为3．word/media/image261.gif证明：不妨设word/media/image493.gif，
于是word/media/image494.gif，word/media/image495.gif，
因为word/media/image496.gif，当word/media/image497.gif时，word/media/image243.gif；当word/media/image498.gif时，word/media/image469.gif．
故只要证word/media/image499.gif即可，即证明word/media/image500.gif，
即证word/media/image501.gif．
也就是证word/media/image502.gif．
设word/media/image503.gif．
令word/media/image504.gif，则word/media/image505.gif．word/media/image506.gif，所以，
当且仅当word/media/image508.gif时，，所以word/media/image510.gif在word/media/image470.gif上是增函数．
又word/media/image511.gif，所以当word/media/image512.gif，word/media/image513.gif总成立，所以原题得证．

【解析】word/media/image12.gifⅠword/media/image467.gif，word/media/image514.gif对a分类讨论：word/media/image205.gif，word/media/image208.gif，即可得出单调性．word/media/image12.gifⅡword/media/image475.gif由word/media/image12.gifⅠword/media/image3.gif可知函数word/media/image32.gif有两个零点，所以word/media/image208.gif，word/media/image32.gif的最小值word/media/image476.gif，即word/media/image477.gif，可得word/media/image515.gif，令word/media/image480.gif，显然word/media/image481.gif在word/media/image470.gif上为增函数，且word/media/image482.gif，因此存在word/media/image483.gif，word/media/image484.gif，进而得出小正整数a的值．word/media/image261.gif不妨设word/media/image493.gif，于是word/media/image494.gif，可得word/media/image516.gif由于word/media/image496.gif，当word/media/image498.gif时，word/media/image517.gif只要证word/media/image499.gif即可，即证明word/media/image500.gif，即证word/media/image518.gif设word/media/image519.gif令word/media/image504.gif，利用导数研究其单调性即可证明结论．
本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值、最值、等价转化方法、分析法、不等式的性质与解法，考查了推理能力与计算能力、函数的零点，属于难题．

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