北京市海淀区2014届高三下学期期末练习（二模）数学理试题

数学（理科）参考答案

2014.5

阅卷须知:

1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。

2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。

一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.

1.A 2.C 3.D 4.A. 5.D 6.B 7.C 8.D

二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.

9.{或} 10.11.1 12.2 13.

14.6，5050{本题第一空3分，第二空2分}

三、解答题: 本大题共6小题,共80分.

15.解：

（Ⅰ）由正弦定理可得 ----------------------------2分

因为

所以 ---------------------------5分

在锐角中， ---------------------------7分

（Ⅱ）由余弦定理可得 ----------------------------9分

又因为

所以，即-------------------------------11分

解得 -------------------------------12分

经检验，由可得，不符合题意，

所以舍去.--------------------13分

16.解：

（Ⅰ）因为平面

又平面，平面平面，

所以. ---------------------------------3分

因为为中点，且侧面为平行四边形

所以为中点，所以.------------------------4分

（Ⅱ）因为底面，

所以，， ----------------------------------5分

又，

如图，以为原点建立空间直角坐标系，设，则由可得-----------------------------6分

因为分别是的中点，

所以. -----------------------------7分

.--------------------------------8分

所以，

所以. --------------------------------9分

（Ⅲ）设平面的法向量，则

即--------------------------10分

令，则，所以.--------------------------11分

由已知可得平面的法向量-------------------------------11分

所以--------------------------------13分

由题意知二面角为钝角，

所以二面角的余弦值为.--------------------------------14分

16.解：

（Ⅰ）设车在星期出车的事件为，车在星期出车的事件为，

由已知可得

设该单位在星期一恰好出一台车的事件为，-------------------------------1分

因为两车是否出车相互独立，且事件互斥 ----------------2分

所以

--------------------------4分

所以该单位在星期一恰好出一台车的概率为. --------------------------5分

{答题与设事件都没有扣1分，有一个不扣分}

（Ⅱ）的可能取值为0,1,2,3 ----------------------------6分

----------------------------10分

所以的的分布列为

--------------11分

-------------------------------13分

18.解：

（Ⅰ）当时，

--------------------------------1分

由得 --------------------------------------2分

的情况如下

--------------------------------------------------4分

因为，，

所以函数的值域为. ---------------------------------------------------5分

（Ⅱ），

①当时，的情况如下

-------------------------------------------------9分

所以函数的单调增区间为，单调减区间为和

②当时，的情况如下

------------------------------------------------13分

所以函数的单调增区间为，单调减区间为.

19.解:

（Ⅰ）由已知可设椭圆的方程为：.-------------------------------1分

由，可得,-----------------------------------------------------2分

解得, ----------------------------------------------3分

所以椭圆的标准方程为. ------------------------------------------4分

（Ⅱ）法一：

设且，则. ----------------------------------------5分

因为,

所以直线的方程为. ----------------------------------------6分

令，得，所以. ------------------------------------7分

同理直线的方程为，求得.-----------------------8分

-----------------------------------------9分

所以, --------------------------------------10分

由在椭圆：上，所以,-------------------11分

所以, -----------------------------13分

所以,

所以，以线段为直径的圆不过点.------------------------------14分

法二：因为关于轴对称，且在轴上

所以. ------------------------------------------5分

因为在轴上，又关于轴对称

所以, ------------------------------------------6分

所以, -------------------------------------------7分

所以, ------------------------------------------8分

设且，则. ----------------------------------------9分

因为,----------------11分

所以, -----------------------------------12分

所以, ----------------------------------13分

所以，以线段为直径的圆不过点. -------------------------------14分

法三：设直线的方程为，则， ---------------------------------5分

化简得到，

所以，所以, -----------------------------6分

所以,

所以， ----------------------------7分

因为关于轴对称，所以.----------------------------8分

所以直线的方程为，即.------------------10分

令，得到，所以. --------------------11分

, ----------------------12分

所以, ----------------------------------13分

所以,以线段为直径的圆恒过和两点.--------------------------14分

{法4 :转化为文科题做，考查向量的取值}

20.解：

（Ⅰ）,,---------------------------3分

（Ⅱ）法一：

①当时，则

所以，，

由操作规则可知，每次操作，数组中的最大数变为最小数，最小数和次

小数分别变为次小数和最大数，所以数组的极差不会改变.

所以，当时，恒成立.

②当时，则

所以或

所以总有.

综上讨论，满足的的取值仅能是2.---------------------8分

法二：

因为，所以数组的极差

所以，

若为最大数，则

若，则

若，则，

当时，可得，即

由可得

所以

将代入得

所以当时，（）

由操作规则可知，每次操作，数组中的最大数变为最小数，最小数和次小

数分别变为次小数和最大数，所以数组的极差不会改变.

所以满足的的取值仅能是2. ---------------------8分

（Ⅲ）因为是以4为公比的正整数等比数列的三项，

所以是形如（其中）的数，

又因为

所以中每两个数的差都是3的倍数.

所以的极差是3的倍数.------------------------------------------------9分

法1：设，不妨设，

依据操作的规则，当在三元数组（，）中，总满足是唯一最大数，是最小数时，一定有，解得.

所以，当时，.

，

依据操作的规则，当在三元数组（，）中，总满足是最大数，是最小数时，一定有，解得.

所以，当时，.

，

所以存在，满足的极差.--------------------------------13分

法2：设，则

①当中有唯一最大数时，不妨设，则

，

所以

所以，若是3的倍数，则是3的倍数.

所以，则，，

所以

所以-------------------------------------------11分

②当中的最大数有两个时，不妨设，则

，

所以，

所以，若是3的倍数，则是3的倍数.

所以，则，

所以.

所以当时，数列是公差为3的等差数列.------------------------------12分

当时，由上述分析可得，此时

所以存在，满足的极差.----------------------------------13分

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/4f89fe39a417866fb84a8ef4.html