积分基本公式

2.基本积分公式表

(1)∫0dx=C

(2)=ln|x|+C

(3) (m≠-1，x>0)

(4) (a>0,a≠1)

(5)

(6)∫cosxdx=sinx+C

(7)∫sinxdx=-cosx+C

(8)∫sec2xdx=tanx+C

(9)∫csc2xdx=-cotx+C

(10)∫secxtanxdx=secx+C

(11)∫cscxcotxdx=-cscx+C  

(12)=arcsinx+C

(13)=arctanx+C

注．(1)不是在m=-1的特例．

(2)=ln|x|+C ，ln后面真数x要加绝对值，原因是(ln|x|)' =1/x．

事实上，对x>0，(ln|x|)' =1/x；若x<0，则

(ln|x|)' =(ln(-x))' =.

(3)要特别注意与的区别：前者是幂函数的积分，后者是指数函数的积分． 

下面我们要学习不定积分的计算方法，首先是四则运算．

6. 复合函数的导数与微分

大量初等函数含有复合函数的成分，它们的导数与微分计算法则具有特别重要的意义．

定理.(链锁法则)设z=f(y)，y=(x)分别在点y0=(x0)与x0可导，则复合函数z=f[(x)]在x0可导，且

或(f o )' (x0)=f '(y0) '(x0)．

证．对应于自变量x0处的改变量x，有中间变量y在y0=(x0)处的改变量y及因变量z在z0=f(y0)处的改变量z，（注意y可能为0）．现

z=f(y0)y+v，y=(x0)x+u，

且令，则v=y，（注意，当y=0时，v=y仍成立）．y在x0可导又蕴含y在x0连续，即y=0．于是

=f '(y0) '(x0)+0 '(x0)=f '(y0) '(x0)

为理解与记忆链锁法则，我们作几点说明：

(1) 略去法则中的x=x0与y=y0，法则成为公式

，

其右端似乎约去dy后即得左端，事实上，由前面定理的证明可知，这里并不是一个简单的约分过程．

(2) 计算复合函数的过程：xy z

复合函数求导的过程：zy x

  ：各导数相乘

例2.3.15 求y=sin5x的导数．

解．令u=5x，则y=sinu．于是

y' ==cosu5=5cos5x．

例2.3.16 求y=lncosx的导数．

解．令u=cosx，则y=lnu．于是

y' = ．

例2.3.17 求幂函数y=xm的导数，m为任意实数．

解．因y=，令u=mlnx，则y=eu．

y' ==eum

m是正整数n时，即例2.3.2．

(3) 链锁法则可以推广到多层次中间变量的复合函数：

复合函数的求值： xyzu…vw

复合函数的求导：wv…uzyx

：各导数相乘

(4) 在熟练掌握链锁法则以后，为简便写法，中间变量v，u，z，y等可不必写出，只要做到心中有数．

例2.3.18 求的导数

解．

= ．

(5) 链锁法则的微分形式是：df((x))=f((x))d(x)

例2.3.19 求函数 y= 的微分

解．dy =dsin2x=2sinxdsinx

=2sinx cosxdx=sin2xdx ．

思考题.请你仔细研究例2.3.18的解题过程，函数的构成除由基本初等函数复合之外还包含四则运算，因此求导的过程也应遵循四则运算与链锁法则，两个方面必须同时考虑.

5. 导数与微分的四则运算

设u=u(x)，v=v(x)为可导函数，c是常数，则有

公式(1) (uv)' = u' v'，d(uv) = dudv．

公式(2) (uv)' = u' v+uv'，d(uv) = vdu+udv．

公式(3) (cu)' = cu'，d(cu) = cdu．

公式(4) ，(v0)．

点击此处看公式(1)－(4)的证明． 

例2.3.11 求y=tanx的导数

解．(tanx)' =

==sec2x．

同理可得(cotx)' =csc2x．

例2.3.12 求y=secx的导数．

解．(secx)' =

=secx tanx．

同理可得(cscx)' =cscx cotx．

例2.3.13 求y=(1+4x)(2x23x3)的导数．

解一．y' =(1+4x)(2x23x3)+(1+4x)(2x23x3)'

=4(2x23x3)+(1+4x)(22x33x2)

=8x212x3+4x9x2+16x236x3=4x+15x248x3

解二．因y =2x2+5x312x4，故

y' =22x+53x2124x3=4x+15x248x3．

例2.3.14 求函数y=(x+sinx)lnx的微分．

解．dy=lnxd(x+sinx)+(x+sinx)dlnx

=lnx(dx+dsinx)+(x+sinx)dx

=lnx(dx+cosxdx)+dx

=dx．

2. 导数的定义

从曲线的切线斜率以及其他有关函数变化速度问题，我们抽象出函数的导数概念.

定义.设函数y=f(x)在包含点x0的一个开区间X(这样的开区间称为x0的邻域)内有定义，y0=f(x0)．如果xXx0，我们称x=xx0 0(读作delta)为自变量的改变量，y=f(x)f(x0)为函数的(对应)改变量，比值为函数的差商或平均变化率．

如果极限

存在，则称函数y=f(x)在点x0可导 (或可微)，该极限称为函数y=f(x)在x0点关于自变量x的导数(或微商)．记作

．

因x=xx0，x=x0+x，故还有

．

此时，曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))的切线方程是

．

注意.x可正可负，依x大于或小于x0而定．

根据定义求已知函数y=f(x)在给定点x0的导数的步骤是：

(1) 计算函数在自变量x0+x处的函数值f(x0+x)；

(2) 计算函数的改变量y=f(x0+x)f(x0)；

(3) 写出函数的差商；

(4) 计算极限，即导数值

．

例2.3.1 求常数函数y=c的导数．

解．因y=y(x+x)y(x)=cc=0，差商=0，

故 =0．此处x可为任意实数，即常数函数y=c在任意点x处的导数为0．

例2.3.2 设n是正整数，求幂函数y=xn 在点x处的导数．

解．因

y(x+x)=(x+x)n=xn+，

y=y(x+x)y(x)=，

故= ．

特别，当n=1时，函数y=x在任意点x处的导数为1．

例2.3.3 求曲线y=x3在点(2,8) 处的切线方程．

解．在上例中取n=3可知函数y=x3在点x处的导数为3x2，于是在点(2，8)处的切线斜率是：y'(2)=322=12，故曲线y=x3在(2,8)处的切线方程是

y8=12(x2) 12xy6=0．

注．

(1)从上述例子我们看到，一般情况下，给定函数y=f(x)在某个区间X内每一点都可导，这样可求出X内每一点的导数y'(x)，xX ．于是y'(x)成为X内有定义的一个新函数，我们称它为给定函数y=f(x)的导函数，且常常省略定义中的字样“在x点处关于自变量的”，甚至简称f(x)的导数．例如我们说常数函数y=c的导数是0， y=x的导数是1，y=xn的导数是等等，分别记作c' =0，x' =1，(xn)' =等等．

(2)关于改变量的记号，应把它与其后面的变量x或y看作一个整体量，就象sinx中的sin一样，绝不能把x看成与x的乘积，特别，为避免误解，我们用(x)2来表示x的平方而不写x2 ．

从导数的定义我们还可以导出其它一些初等函数的导数公式:

(点击此处看例2.3.4，例2.3.5，例2.3.6证明)

例2.3.4 y=sinx的导数是(sinx)' =cosx，

y=cosx的导数是(cosx)' =sinx ．

例2.3.5 y=logax(0<a1)的导数是(logax)' = ．

特别，(lnx)' =1/x ．

例2.3.6 指数函数y=ax(0<a1)的导数是(ax)' =axlna ．

特别，(ex)' =ex．

8. 导数的导数--二阶导数

一般来说，函数y=f(x)的导数还是以x为自变量的函数：y' =f '(x)，如果它还可导，我们又可得f '(x)的导数：(y' )' =[f '(x)]' ，称为y=f(x)的二阶导数，记作

y'' =f '' (x)，或=．

如果它还可导，我们就可继续逐次求三阶，四阶，…的导数，对任意正整数n ，n阶导数被定义为

y(n)=(y(n1))' ，n=2，3，…

统称为函数y 的高阶导数．

例2.3.22 求y=sinx的n阶导数．

解．y' =cosx=sin，用归纳法不难求出

y(n)=sin．

例2.3.23 若s =s(t)为质点运动的路程函数，则s' (t)=v(t)是运动速度．又,二阶导数s''(t)=v' (t)=a(t)则是运动的加速度．

例2.3.24 求y =arc tanx的二阶导数y'' ．

解．y' =，y'' =(1+x2)2(1+x2)' =．

思考题.对于可导函数y=f(x)来说，导数f ' (x)表示曲线的切线斜率，请你考虑，如果f ' (x)还可导，那么f '' (x)的正或负，反映函数y=f(x)的图像的什么性态.

实验题.选择不同的函数，使二阶导数取正或负值，然后作出函数的图像，观察二阶导数对函数图像的影响.

7. 基本初等函数的导数与微分公式

例2.3.20 求y=arcsin的微分．

解．

．

例2.3.21 求y=+arctanex的导数．

解． ．

12.二元函数的导数与微分(选学）

设z=f(x，y)是两个自变量x与y的函数，x与y的变化都会引起函数z的变化，实际问题中有时需考虑单个自变量的变化引起的函数变化，即将另一自变量固定不变，看作常数，此时函数就像一元函数了．函数z关于一个变量x的导数就称为z关于x的偏导数．记作，事实上，按导数定义，应该是

=，

同理，z关于变量y的偏导数是

=．

我们也记

．

若z=f(x，y)有连续的偏导数fx(x，y)，fy(x，y)，则自变量x与y的改变量x与y的线性表达式

fx(x，y)x+fy(x，y)y

称为z=f(x，y)在(x，y)处对应于x，y的全微分，记作

dz=fx(x，y)x+fy(x，y)y．

由于自变量的微分等于自变量的改变量：dx=x，dy=y，于是二元函数的微分公式是

dz=．

例2.3.30 设f(x，y)=xy+x22 y 3，求．

解．=y+2x (把y看作常数，对x求导数)．

=x6y2 (把x看作常数，对y求导数)．

例2.3.31 求z=exsiny的全微分．

解．dz=siny dex+exdsiny

=siny exdx+excosy dy

=ex(sinydx+cosy dy)．

例2.3.32 设x+2y+2z2=0确定二元函数z=z(x，y)，

求．

解．对方程x+2y+2z2=0两边求微分，则左端得

dx+2dy+2dz2d

右端的微分是0，于是解得

dz = ，

由此得， ．

13.分段函数的导数(选学）

我们通过分段函数在衔接点处导数的研究，了解函数的可导性与连续性的关系．

函数y=f(x)在点x0的导数被定义为极限

，

这等价于 =0 ，

记 ，则 =0，由此

f(x0+x)f(x0)=[u(x)+f’(x0)]x，

于是 [f(x0+x)f(x0)]= [u(x)+f’(x0)]x=0 ，

即 f(x0+x) = f(x0)．如果记x=x0+x，则得

f(x)= f(x0) ．

这表明函数f(x)在x0连续． 因此有

定理．若函数y=f(x)在x0可导，则f(x)在x0连续．

因此，连续性是函数可导性的必要条件．但上述命题的逆是不正确的．请看下例．

例2.3.33 讨论函数

在点x=0的连续性与可导性．

解．因 ,,

故 ,且f(0)=e0=1．由此可见f(x)在x=0连续．

其次，为讨论f '(0)，我们需计算极限

．为方便计，用x代替x，为此我们研究极限 ．现在，

，

．

由此可见，极限 不存在， 即f(x)在x=0不可导．

你能看到，在函数y =f(x)的图像上点(1，0)处没有切线，因为在其左边有一条“半切线”，斜率是1，但在其右边有一条“半切线”，斜率是0

定义．设函数y =f(x)定义在区间(a,b)内，x0 (a,b)，如果极限 存在，则称此极限为f(x)在点x0处的右导数，记作

f+'(x0)= ．

类似地， f(x)在点x0的左导数是

f'(x0)= .

只有f+'(x0)与f'(x0)都存在且相等时，f(x)在点x0才可导，且f '(x0)=f+'(x0)=f'(x0)． 即有

定理．设函数f(x)在区间(a,b)内有定义，x0 (a,b)．则

f '( x0)存在 f'( x0)与f+'( x0)都存在且相等．

左导数与右导数统称为单侧导数.

例2.3.34 讨论函数

在x=0的可导性．

解．首先讨论f(x)在x=0 的连续性．因

，

，

f(0)=0，

故f(x)在x=0连续．

其次，因 ，

，

故f(x)在x=0可导，且f '(0)=1．

注.上例中求左右导数或讨论分段函数衔接点处可导性的方法，必须首先研究函数在该点的连续性，在连续的前提下才可使用此方法，否则会出现错误．例如考虑函数

此时g(x)在x=0不连续，更不可导．如果你用上例方法求左右导数：g'+(0)=1，g'(0)=1，得出g'(0)=1，那就大错特错了．事实上 , 上图中的原点并不属于函数g(x)的图像,因此,原点右侧的“半切线”是不存在的,也就是说,原点处的右导数是不存在的．

1. 曲线的切线斜率

我们知道，圆的切线定义为与圆相交于唯一点的直线．但对于一般曲线，切线是不能这样定义的．例如右下图中曲线在P点处的切线, 除P点外还交曲线于Q点．

为确切表达切线的含义，需应用极限的思想．请看下面的动画．

说明：点P(x0,f(x0))=P(x0,y0)是曲线y=f(x)上的给定点．

点Q(x,y)=Q(x,f(x))是曲线上的动点, 可在P的两侧：在右侧时x>x0；在左侧时x<x0．动直线PQ是曲线的割线．

如果动点Q无限地逼近定点P时, 动直线PQ有一个极限位置T, 即极限

则称PT为曲线在P点的切线．

为确定切线PT的位置, 或建立PT的方程, 只需确定其斜率．由于PT是PQ的极限, 从而PT的斜率是PQ斜率的极限, 极限过程是由Q→P产生的．而

Q→P即x→x0．

设PT对于x轴的倾角(即x轴正向逆时针旋转至PT经过的角)为, PT的斜率为k=tan．

现在割线PQ的斜率为：

．

而切线PT的斜率为：

(PQ的斜率)

= ,

由此得切线PT的方程是：yf(x0)=k( xx0)．

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/4de2094ee45c3b3567ec8b97.html