集合的基本关系及运算

集合的基本关系及运算

编稿：丁会敏 审稿：王静伟

【学习目标】

1.理解集合之间包含与相等的含义，能识别一些给定集合的子集．在具体情境中，了解空集和全集的含义．

2.理解两个集合的交集和并集的含义，会求两个简单集合的交集与并集．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．

【要点梳理】

要点一、集合之间的关系

1.集合与集合之间的“包含”关系

集合A是集合B的部分元素构成的集合，我们说集合B包含集合A；

子集：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集(subset).记作：，当集合A不包含于集合B时，记作AB，用Venn图表示两个集合间的“包含”关系：

要点诠释：

（1）“是的子集”的含义是：的任何一个元素都是的元素，即由任意的，能推出．

（2）当不是的子集时，我们记作“(或)”，读作：“不包含于”（或“不包含”）．

真子集：若集合，存在元素xB且，则称集合A是集合B的真子集(proper subset).记作：AB(或BA)

规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.

2.集合与集合之间的“相等”关系

，则A与B中的元素是一样的，因此A=B

要点诠释：

任何一个集合是它本身的子集，记作．

要点二、集合的运算

1.并集

一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集，记作：A∪B读作：“A并B”，即：A∪B={x|xA，或xB}

Venn图表示：

要点诠释：

（1）“xA，或xB”包含三种情况：“”；“”；“”．

（2）两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有元素组成的集合(重复元素只出现一次).

2.交集

一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集；记作：A∩B，读作：“A交B”，即A∩B={x|xA，且xB}；交集的Venn图表示：

要点诠释：

（1）并不是任何两个集合都有公共元素，当集合A与B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是．

（2）概念中的“所有”两字的含义是，不仅“A∩B中的任意元素都是A与B的公共元素”，同时“A与B的公共元素都属于A∩B”．

（3）两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有公共元素组成的集合.

3.补集

全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U.

补集：对于全集U的一个子集A，由全集U中所有不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集(complementary set)，简称为集合A的补集，记作：补集的Venn图表示：

要点诠释：

（1）理解补集概念时，应注意补集是对给定的集合和相对而言的一个概念，一个确定的集合，对于不同的集合U，补集不同．

（2）全集是相对于研究的问题而言的，如我们只在整数范围内研究问题，则为全集；而当问题扩展到实数集时，则为全集，这时就不是全集．

（3）表示U为全集时的补集，如果全集换成其他集合（如）时，则记号中“U”也必须换成相应的集合（即）．

4.集合基本运算的一些结论

若A∩B=A，则，反之也成立

若A∪B=B，则，反之也成立

若x(A∩B)，则xA且xB

若x(A∪B)，则xA，或xB

求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法.

【典型例题】

类型一、集合间的关系

例1. 集合，集合，那么间的关系是（ ）.

A. B. C. = D.以上都不对

【答案】B

【解析】先用列举法表示集合、，再判断它们之间的关系.由题意可知，集合是非负偶数集，即.集合中的元素.而（为正奇数时）表示0或正偶数，但不是表示所有的正偶数，即.由依次得0,2,6,12，，即.

综上知，，应选. 

【总结升华】判断两个集合间的关系的关键在于：弄清两个集合的元素的构成，也就是弄清楚集合是由哪些元素组成的.这就需要把较为抽象的集合具体化（如用列举法来表示集合）、形象化（用Venn图，或数形集合表示）.

举一反三：

【变式1】若集合，则（ ）.

A. B. C. = D.

【答案】C

例2. 写出集合{a，b，c}的所有不同的子集.

【解析】不含任何元素子集为，只含1个元素的子集为{a}，{b}，{c}，含有2个元素的子集有{a，b}，{a，c}，{b，c}，含有3个元素的子集为{a，b，c}，即含有3个元素的集合共有23=8个不同的子集.如果集合增加第4个元素d，则以上8个子集仍是新集合的子集，再将第4个元素d放入这8个子集中，会得到新的8个子集，即含有4个元素的集合共有24=16个不同子集，由此可推测，含有n个元素的集合共有2n个不同的子集.

【总结升华】要写出一个集合的所有子集，我们可以按子集的元素个数的多少来分别写出.当元素个数相同时，应依次将每个元素考虑完后，再写剩下的子集.如本例中要写出2个元素的子集时，先从a起，a与每个元素搭配有{a，b}，{a，c}，然后不看a，再看b可与哪些元素搭配即可.同时还要注意两个特殊的子集：和它本身.

举一反三：

【变式1】已知，则这样的集合有 个.

【答案】7个

【变式2】同时满足：①；②，则的非空集合有（ ）

A. 16个 B. 15个 C. 7个 D. 6个

【答案】C

【解析】时，；时，；时，；时，；时，；非空集合可能是：，共7个.故选C.

例3．集合A={x|y=x2+1}，B={y|y=x2+1}，C={(x,y)|y=x2+1}，D={y=x2+1}是否表示同一集合？

【答案】以上四个集合都不相同

【解析】集合A={x|y=x2+1}的代表元素为x，故集合A表示的是函数y=x2+1中自变量x的取值范围，即函数的定义域A=；

集合B={y|y=x2+1}的代表元素为y，故集合B表示的是函数y=x2+1中函数值y的取值范围，即函数的值域B=；

集合C={(x,y)|y=x2+1}的代表元素为点（x，y），故集合C表示的是抛物线y=x2+1上的所有点组成的集合；

集合D={y=x2+1}是用列举法表示的集合，该集合中只有一个元素：方程y=x2+1．

【总结升华】认清集合的属性，是突破此类题的关键.首先应当弄清楚集合的表示方法，是列举法还是描述法；其次对于用描述法表示的集合一定要认准代表元素，准确理解对代表元素的限制条件．

举一反三：

【变式1】 设集合，，则（ ）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】排除法：集合M、N都是点集，因此只能是点集，而选项A表示二元数集合，选项B表示二元等式集合，选项C表示区间（无穷数集合）或单独的一个点的坐标（不是集合），因此可以判断选D．

【变式2】 设集合，，则与的关系是（ ）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】集合M表示函数的定义域，有；

集合N表示函数的值域，有，故选A.

【高清课堂：集合的概念、表示及关系 377430 例2】

【变式3】 设M={x|x=a2+1，aN+}，N={x|x=b2-4b+5，bN+}，则M与N满足( )

A. M=N B. MN C. NM D. M∩N=

【答案】B

【解析】 当aN+时，元素x=a2+1，表示正整数的平方加1对应的整数，而当bN+时，元素x=b2-4b+5=(b-2)2+1，其中b-2可以是0，所以集合N中元素是自然数的平方加1对应的整数，即M中元素都在N中，但N中至少有一个元素x=1不在M中，即MN，故选B.

【高清课堂：集合的概念、表示及关系 377430 例3】

例4．已知若M=N，则= ．

A．－200 B．200 C．－100 D．0

【思路点拨】解答本题应从集合元素的三大特征入手，本题应侧重考虑集合中元素的互异性．

【答案】D

【解析】由M=N，知M，N所含元素相同.由O{0，|x|，y}可知

若x=0，则xy=0，即x与xy是相同元素，破坏了M中元素互异性，所以x≠0.

若x·y=0，则x=0或y=0，其中x=0以上讨论不成立，所以y=0，即N中元素0，y是相同元素，破坏了N中元素的互异性，故xy≠0

若，则x=y，M，N可写为

M={x，x2，0}，N={0，|x|，x}

由M=N可知必有x2=|x|，即|x|2=|x|

∴|x|=0或|x|=1

若|x|=0即x=0，以上讨论知不成立

若|x|=1即x=±1

当x=1时，M中元素|x|与x相同，破坏了M中元素互异性，故 x≠1

当x=-1时，M={-1，1，0}，N={0，1，-1}符合题意，综上可知，x=y=-1

=-2+2-2+2+…+2=0

【总结升华】解答本题易忽视集合的元素具有的“互异性”这一特征，而找不到题目的突破口．因此，集合元素的特征是分析解决某些集合问题的切入点．

举一反三：

【变式1】设a，bR，集合，则b-a=( )

【答案】2

【解析】由元素的三要素及两集合相等的特征：

∴当b=1时，a=-1，

当时，∴b=a且a+b=0，∴a=b=0(舍)

∴综上：a=-1，b=1，∴b-a=2.

类型二、集合的运算

例5. 设集合，，，求.

【答案】,

【解析】先将集合、、、转化为文字语言叙述，以便弄清楚它们的构成，再求其交集即可.

集合表示3的倍数所组成的集合；

集合表示除以3余1的整数所组成的集合；

集合表示除以3余2的整数所组成的集合；

集合表示除以6余1的整数所组成的集合；

,.

【总结升华】求两个集合的交集或并集，关键在于弄清两个集合由哪些元素所构成的，因而有时需要对集合进行转化，或具体化、形象化.如本例中转化为用自然语言来描述这些集合，有利于弄清集合的元素的构成.类似地，若一个集合元素的特征由不等式给出时，利用数轴就能使问题直观形象起来.

举一反三：

【变式1】已知集合M={y|y=x2-4x+3，xR}，N={y|y=-x2-2x+8，xR}，则M∩N等于( )

A. B. R C. {-1，9} D. [-1，9]

【答案】D

【解析】集合M、N均表示构成相关函数的因变量取值范围，故可知：M={y|y≥-1}，N={y|y≤9}，所以M∩N={y|-1≤y≤9}，选D.

例6. 设集合M={3，a}，N={x|x2-2x<0，xZ}，M∩N={1}，则M∪N为( )

A. {1，3，a} B. {1，2，3，a} C. {1，2，3} 　D. {1，3}

【思路点拨】先把集合N化简，然后再利用集合中元素的互异性解题．

【答案】D

【解析】由N={x|x2-2x<0，xZ}可得：N={x|0，xZ}={1}，又由M∩N={1}，可知1M，即a=1，故选D.

举一反三：

【变式1】（1）已知：M={x|x≥2}，P={x|x2-x-2=0}，求M∪P和M∩P；

（2）已知：A={y|y=3x2}， B={y|y=-x2+4}， 求：A∩B，A∪B；

（3）已知集合A={-3， a2 ，1+a}， B={a-3， a2+1， 2a-1}， 其中aR，若A∩B={-3}，求A∪B.

【答案】（1）{x|x≥2或x=-1}，{2}；（2）{y|0≤y≤4}，R；（3）{-4，-3，0，1，2}.

【解析】（1）P={2，-1}，M∪P={x|x≥2或x=-1}，M∩P={2}.

（2）∵A={y|y≥0}， B={y|y≤4}， A∩B={y|0≤y≤4}， A∪B=R.

（3）∵A∩B={-3}，-3B，则有：

①a-3=-3 a=0， A={-3，0，1}， B={-3，1，-1} A∩B={-3，1}，与已知不符，∴a≠0；

②2a-1=-3 a=-1， ∴ A={-3，1，0}， B={-4，2，-3}， 符合题设条件，∴A∪B={-4，-3，0，1，2}.

【总结升华】此例题既练习集合的运算，又考察了集合元素的互异性.其中（1）易错点为求并集时，是否意识到要补上孤立点-1；而（2）中结合了二次函数的值域问题；（3）中根据集合元素的互异性，需要进行分类讨论，当求出a的一个值时，又要检验是否符合题设条件.

【高清课堂：集合的运算 377474 例5】

【变式2】设集合A={2，a2-2a，6}，B={2，2a2，3a-6}，若A∩B={2，3}，求A∪B.

【答案】｛2，3，6，18｝

【解析】由A∩B={2，3}，知元素2，3是A，B两个集合中所有的公共元素，所以3｛2，a2-2a，6｝，则必有a2-2a=3，解方程a2-2a-3=0得a=3或a=-1

当a=3时，A={2，3，6}，B={2，18，3}

∴A∪B={2，3，6}∪｛2，18，3｝=｛2，3，6，18｝

当a=-1时，A={2，3，6}，B={2，2，-9}

这既不满足条件A∩B={2，3}，也不满足B中元素具有互异性，故a=-1不合题意，应舍去.

综上A∪B=｛2，3，6，18｝

例7.已知全集，求CuA.

【思路点拨】CuA隐含了，对于，注意不要忘记的情形.

【答案】 当时，CuA=；当时，CuA=；当时，CuA=.

【解析】

当时，方程无实数解.

此时.CuA=

当时，二次方程的两个根，必须属于.

因为，所以只可能有下述情形：

当时，，此时 CuA=；

当时，，此时 CuA=.

综上所述，当时，CuA=；

当时，CuA=；

当时，CuA=.

【总结升华】求集合的补集，只需在全集中剔除集合的元素后组成一个集合即可.由于本题中集合的元素不确定，因此必须分类讨论才行.

举一反三：

【变式1】 设全集U={xN+|x≤8}，若A∩(CuB)={1，8}，(CuA)∩B={2，6}，(CuA)∩(CuB)={4，7}，求集合A，B.

【答案】{1，3，5，8}，{2，3，5，6}.

【解析】全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}

由A∩(CuB)={1，8}知，在A中且不在B中的元素有1，8；由(CuA)∩B={2，6}，知不在A中且在B中的元素有2，6；由(CuA)∩(CuB)={4，7}，知不在A中且不在B中的元素有4，7，则元素3，5必在A∩B中.

由集合的图示可得

A={1，3，5，8}，B={2，3，5，6}.

类型三、集合运算综合应用

例8．已知全集A={x|-2≤x≤4}， B={x|x>a}.

（1）若A∩B≠，求实数 a的取值范围；

（2）若A∩B≠A，求实数a的取值范围；

（3）若A∩B≠且A∩B≠A，求实数a的取值范围．

【思路点拨】（1）画数轴；（2）注意是否包含端点.

【答案】（1）a<4；（2）a≥-2；（3）-2≤a<4．

【解析】

(1)∵A={x|-2≤x≤4}， B={x|x>a}，又A∩B≠，如图，a<4；

(2)画数轴同理可得：a≥-2；

(3)画数轴同理可得：如图，-2≤a<4.

【总结升华】此问题从题面上看是集合的运算，但其本质是一个定区间，和一个动区间的问题.思路是，使动区间沿定区间滑动，数形结合解决问题.

举一反三：

【变式1】已知集合P=｛x︱x2≤1｝,M=｛a｝.若P∪M=P,则a的取值范围是（ ）

A．(-∞, -1] B．[1, +∞）

C．[-1，1] D．（-∞，-1] ∪[1，+∞）

【答案】C

【解析】｛︱｝又 ， ∴，∴

故选C．

例9. 设集合.

（1）若，求的值；

（2）若，求的值.

【思路点拨】明确、的含义，根据问题的需要，将其转化为等价的关系式和，是解决本题的关键.同时，在包含关系式中，不要漏掉的情况.

【答案】（1）或；（1）2．

【解析】首先化简集合，得.

（1）由，则有，可知集合为，或为、，或为.

①若时，，解得.

②若,代入得.

当时，符合题意；

当时，也符合题意.

③若，代入得，解得或.

当时，已讨论，符合题意；

当时，，不符合题意.

由①②③，得或.

（2）.又，而至多只有两个根，因此应有，由（1）知.

【总结升华】两个等价转化：非常重要，注意应用.另外，在解决有条件的集合问题时，不要忽视的情况.

举一反三：

【变式1】已知集合，若,求实数的取值范围.

【答案】或

【解析】,.

①当时，此时方程无解，由，解得或.

②当时，此时方程有且仅有一个实数解-2，

，且，解得.

综上，实数的取值范围是或.

【变式2】设全集，集合，若CuA，求实数的取值范围.

【答案】

【解析】 CuA=，.

CuA，，即.实数的取值范围是.

【巩固练习】

1．设，，，则（ ）

A． B．

C． D．

2．已知全集，则正确表示集合和关系的韦恩（Venn）图是 （ ）

3．若集合，，且，则的值为( )

A．1 B．-1 C．1或-1 D．1或-1或0

4．已知集合满足,那么下列各式中一定成立的是（ ）

A． AB B． BA C． D．

5．若全集，则集合的真子集共有( )

A．3个 B．5个 C．7个 D．8个

6．设集合，，则( )

A． B． C． D．

7．用适当的符号填空：

（1） ；（2） ；（3） .

8. 若集合，，，则的非空子集的个数为 .

9．若集合，，则_____________．

10．设集合，，且，则实数的取值范围是 .

11．已知，则_________.

12．已知集合，若，请写出满足上述条件得集合.

13．已知，，，求的取值范围.

14．已知集合，且,求实数的值．

15．设全集，，.

【巩固练习】

1．1. 设A={(x, y)| |x+1|+(y-2)2=0}，B={-1, 2}，则必有（ ）

　　A、 B、 C、A=B D、A∩B=

2. 集合M={y| y=x2-1, x∈R}， N={x| y=}，则M∩N等于（ ）

　 A、{(-, 1), (, 1)} B、

　 C、 D、

3．已知全集，则正确表示集合和关系的韦恩（Venn）图是 （ ）

4．已知集合满足,那么下列各式中一定成立的是（ ）

A． AB B． BA C． D．

5．若集合，，且，则的值为( )

A．1 B．-1 C．1或-1 D．1或-1或0

6．设集合，，则( )

A． B． C． D．

7．设，则.

8．某班有学生55人，其中体育爱好者43人，音乐爱好者34人，还有4人既不爱好体育也不爱好音乐，则该班既爱好体育又爱好音乐的人数为 人.

9．若且，则 .

10．若，则= .

11．设全集，集合，，那么等于________________.

12．设集合，都是的含两个元素的子集，且满足：对任意的，（），都有（表示两个数中的较小者）则的最大值是 .

13．设，其中，如果，求实数的取值范围.

14．设，集合，；若，求的值.

15．设，集合.满足以下两个条件：

（1）

（2）集合中的所有元素的和为124，其中.

求的值.

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/4dcd1062376baf1ffc4fad59.html