椭圆离心率求法

离心率的五种求法

椭圆的离心率，双曲线的离心率，抛物线的离心率．

一、直接求出、，求解

已知圆锥曲线的标准方程或、易求时，可利用率心率公式来解决。

例1：已知双曲线（）的一条准线与抛物线的准线重合，则该双曲线的离心率为（ ）

A. B. C. D.

解：抛物线的准线是，即双曲线的右准线，则，解得，，，故选D

变式练习1：若椭圆经过原点，且焦点为、，则其离心率为（ ）

A. B. C. D.

解：由、知，∴，又∵椭圆过原点，∴，，∴，，所以离心率.故选C.

变式练习2：如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为（ ）

A. B. C. D

解：由题设，，则，，因此选C

变式练习3：点P（-3，1）在椭圆（）的左准线上，过点且方向为的光线，经直线反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（ ）

A B C D

解：由题意知，入射光线为，关于的反射光线（对称关系）为，则解得，，则，故选A

二、构造、的齐次式，解出

根据题设条件，借助、、之间的关系，构造、的关系（特别是齐二次式），进而得到关于的一元方程，从而解得离心率。

例2：已知、是双曲线（）的两焦点，以线段为边作正三角形，若边的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ）

A.　　B.　　C.　　D.

解：如图，设的中点为，则的横坐标为，由焦半径公式，

即，得，解得

（舍去），故选D

变式练习1：设双曲线（）的半焦距为，直线过，两点.已知原点到直线的距离为，则双曲线的离心率为( )

A. B. C. D.

解：由已知，直线的方程为，由点到直线的距离公式，得，

又, ∴,两边平方，得，整理得，

得或，又，∴，∴，∴，故选A

变式练习2：双曲线虚轴的一个端点为，两个焦点为、，，则双曲线的离心率为（ ）

A B C D

解：如图所示，不妨设，，，则

，又，

在中， 由余弦定理，得,

即，∴，

∵，∴，∴，∴，∴，故选B

三、采用离心率的定义以及椭圆的定义求解

例3：设椭圆的两个焦点分别为、，过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是________。

解：

四、根据圆锥曲线的统一定义求解

例4：设椭圆（）的右焦点为，右准线为，若过且垂直于轴的弦的长等于点到的距离，则椭圆的离心率是 .

解：如图所示，是过且垂直于轴的弦，∵于，∴为到准线的距离，根据椭圆的第二定义，

变式练习：在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为，则该椭圆的离心率为（ ）

A B C D

解：

五、构建关于的不等式，求的取值范围

例5：设，则二次曲线的离心率的取值范围为（ ）

A. B. C. D.

另：由，，得，,

∴,∴

∵，∴,∴，∴，故选D

例6：如图，已知梯形中，，点分有向线段所成的比为，双曲线过、、三点，且以、为焦点．当时，求双曲线离心率的取值范围。

解：以的垂直平分线为轴，直线为轴，建立如图所示的直角坐标系，则轴.因为双曲线经过点、，且以、为焦点，由双曲线的对称性知、关于轴对称．依题意，记，，，其中为双曲线的半焦距，是梯形的高．

由定比分点坐标公式得，，设双曲线的方程为，则离心率，由点、在双曲线上，所以，将点的坐标代入双曲线方程得①

将点的坐标代入双曲线方程得②

再将①、②得，∴③

④

将③式代入④式，整理得，∴，由题设得：

，解得，所以双曲线的离心率的取值范围为

配套练习

1. 设双曲线（）的离心率为，且它的一条准线与抛物线的准线重合，则此双曲线的方程为（ ）

A. B. C. D.

2．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（ ）

A． B． C． D．

3．已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（ ）

A B C D

4．在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为A B C D

5．在给定双曲线中，过焦点垂直于实轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为，则该双曲线的离心率为（ ）

A B C D

6．如图，和分别是双曲线（）的两个焦点，和是以为圆心，以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且是等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）

A B C D

7. 设、分别是椭圆（）的左、右焦点，是其右准线上纵坐标为（为半焦距）的点，且，则椭圆的离心率是（ ）

A 　 B 　　 C　　　 D

8．设、分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线上存在点，使，且，则双曲线离心率为（ ）

A B C D

9．已知双曲线（）的右焦点为，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ）

A B C D

10．椭圆（）的焦点为、，两条准线与轴的交点分别为、，若，则该椭圆离心率的取值范围是（　　）

A． B． C． D．

答案：1.由可得故选D

2.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，∴ ，椭圆的离心率，选D。

3.双曲线焦点在x轴,由渐近线方程可得,故选A

4.不妨设椭圆方程为（ab0），则有，据此求出e＝

5.不妨设双曲线方程为（a0，b0），则有，据此解得e＝，选C

6.解析：如图，和分别是双曲线的两个焦点，和是以为圆心，以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△是等边三角形，连接AF1，∠AF2F1=30°，|AF1|=c，|AF2|=c，∴ ，双曲线的离心率为，选D。

7.由已知P（），所以化简得．

8.设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点。若双曲线上存在点A，使∠F1AF2=90º，且|AF1|=3|AF2|，设|AF2|=1，|AF1|=3，双曲线中，，∴ 离心率，选B。

9.双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率，∴ ≥，离心率e2=，∴ e≥2，选C

10.椭圆的焦点为，，两条准线与轴的交点分别为，若，，，则，该椭圆离心率e≥，选D

椭圆离心率的求法

1.椭圆方程的右焦点为,过的直线与椭圆相交于两点，直线的倾斜角为60°，,求椭圆的离心率？（焦半径公式，的应用左加右减，弦长公式）

2.椭圆方程的右焦点为,其右准线与轴的交点为,在椭圆上存在点满足线段的垂直平分线过点,则椭圆的离心率的范围？（焦准距的应用）

3.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是？（关于的二元二次方程解法）

4.已知是椭圆的一个焦点，是短轴上的一个端点，线段的延长线交于,且,则的离心率为？（相似三角形性质：对应边成比例 的应用）

5.过椭圆的左焦点,右顶点为,点在椭圆上，且轴，直线交轴于点，若，则椭圆的离心率为？（相似三角形性质的应用）

6.过椭圆的左焦点作轴的垂线交椭圆于点,为右焦点，若，则椭圆的离心率为？（椭圆焦三角形面积）

7.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率？（椭圆基本性质的应用）

8.椭圆的离心率为?（椭圆基本性质的应用）

9.椭圆的焦点为，两条准线与轴的交点为，若，则该椭圆的离心率的取值范围是？（椭圆基本性质的应用）

10.设分别是椭圆的左、右焦点，若在其右准线上存在点，使线段的中垂线过点，则椭圆的离心率的取值范围是？（焦准距；垂直平分线性质：垂直平分线上的点到线段两端距离相等；三角形性质：两边之和大于第三边 应用）

11.在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为？（通径，焦准距）

12.已知椭圆的左右焦点分别为，若椭圆上存在点P使，则该椭圆的离心率的取值范围是？（正弦定理，第一定义）

13.在平面直角坐标系中，为椭圆的四个顶点，为其右焦点，直线与直线相交于点，线段与椭圆的交点恰为线段的中点，则该椭圆的离心率为？

（直线方程交点坐标）

14.在中，.若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率为？（余弦定理，第一定义）

15.已知正方形，则以为焦点，且过两点的椭圆的离心率为？（通径）

16.已知椭圆的焦距为，以点为圆心，为半径作圆。若过点作圆的两条切线相互垂直，则该椭圆的离心率为？（基本性质）

17.已知分别是椭圆的左、右焦点，满足的点总在椭圆的内部，则椭圆离心率的取值范围是？（圆周角:圆直径所对的圆周角等于90°）

18.过椭圆左焦点且倾斜角为的直线交椭圆于两点，若，则椭圆的离心率为?（焦半径公式，弦长公式）

19.已知椭圆的短轴长为6，焦点到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆的离心率为？

20.椭圆的焦点及其短轴端点都在以原点为圆心的同一个圆上，则此椭圆的离心率为？

21.已知椭圆的短轴的上下端点分别为，左右焦点分别为，长轴右端点为，若，则椭圆的离心率为?（向量坐标加减）

22.若以椭圆的右焦点为圆心，为半径的圆与椭圆的右准线交于不同的两点，则该椭圆的离心率的取值范围是？（焦准距）

23.已知点，为椭圆的左准线与轴的交点，若线段的中点在椭圆上，则该椭圆的离心率为？

24.若斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点，且这两个交点在轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为？（通径）

25.已知两点分别是椭圆的左顶点和上顶点，而是椭圆的右焦点，若，则椭圆的离心率为？（两直线垂直，有）

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