大学课程线性代数总结

√ 关于：

称为的标准基，中的自然基，单位坐标向量；

线性无关；

；

④；

⑤任意一个维向量都可以用线性表示.

√ 行列式的计算：

若都是方阵（不必同阶）,则

上三角、下三角行列式等于主对角线上元素的乘积.

关于副对角线：

√ 逆矩阵的求法:

④

⑤

√ 方阵的幂的性质：

√ 设，对阶矩阵规定：为的一个多项式.

√ 设的列向量为,的列向量为，的列向量为,

√ 用对角矩阵左乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行向量；

用对角矩阵右乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列向量.

√ 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘,

与分块对角阵相乘类似,即：

√ 矩阵方程的解法：设法化成

当时,

√和同解（列向量个数相同）,则：

① 它们的极大无关组相对应,从而秩相等；

② 它们对应的部分组有一样的线性相关性；

③ 它们有相同的内在线性关系.

√ 判断是的基础解系的条件：

①线性无关；

②是的解；

③.

1 零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交.

2 单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关.

3 部分相关,整体必相关；整体无关,部分必无关.

4 原向量组无关,接长向量组无关；接长向量组相关,原向量组相关.

5 两个向量线性相关对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关.

6 向量组中任一向量≤≤都是此向量组的线性组合.

7 向量组线性相关向量组中至少有一个向量可由其余个向量线性表示.

向量组线性无关向量组中每一个向量都不能由其余个向量线性表示.

8 维列向量组线性相关；

维列向量组线性无关.

9 .

10 若线性无关，而线性相关,则可由线性表示,且表示法惟一.

11 矩阵的行向量组的秩等于列向量组的秩.

阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.

12 矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩,且不改变列向量间的线性关系.

矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行向量间的线性关系.

向量组等价和可以相互线性表示. 记作：

矩阵等价经过有限次初等变换化为. 记作：

13 矩阵与等价作为向量组等价,即：秩相等的向量组不一定等价.

矩阵与作为向量组等价

矩阵与等价.

14 向量组可由向量组线性表示≤.

15 向量组可由向量组线性表示,且，则线性相关.

向量组线性无关,且可由线性表示,则≤.

16 向量组可由向量组线性表示,且,则两向量组等价；

17 任一向量组和它的极大无关组等价.

18 向量组的任意两个极大无关组等价,且这两个组所含向量的个数相等.

19 若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等.

20 若是矩阵,则,若，的行向量线性无关；

若，的列向量线性无关,即：

线性无关.

线性方程组的矩阵式 向量式

线性方程组解的性质：

√ 设为矩阵,若,则,从而一定有解.

当时,一定不是唯一解.,则该向量组线性相关.

是的上限.

√ 矩阵的秩的性质：

①

②≤

③≤

④

⑤

⑥≥

⑦≤

⑧

⑨

⑩且在矩阵乘法中有左消去律:

标准正交基个维线性无关的向量,两两正交,每个向量长度为1.

.

是单位向量.

√ 内积的性质： ① 正定性：

② 对称性：

③ 双线性：

施密特 线性无关,

单位化：

正交矩阵 .

√是正交矩阵的充要条件：的个行（列）向量构成的一组标准正交基.

√ 正交矩阵的性质：①；

②；

③是正交阵,则（或）也是正交阵；

④ 两个正交阵之积仍是正交阵；

⑤ 正交阵的行列式等于1或-1.

的特征矩阵 .

的特征多项式 .

的特征方程 .

√ 上三角阵、下三角阵、对角阵的特征值就是主对角线上的各元素.

√ 若,则为的特征值,且的基础解系即为属于的线性无关的特征向量.

√

√ 若,则一定可分解为=、,从而的特征值为：, .

√ 若的全部特征值，是多项式,则:

①的全部特征值为；

② 当可逆时,的全部特征值为,

的全部特征值为.

√

√

与相似 （为可逆阵） 记为：

√相似于对角阵的充要条件：恰有个线性无关的特征向量. 这时,为的特征向量拼成的矩阵，为对角阵,主对角线上的元素为的特征值.

√可对角化的充要条件： 为的重数.

√ 若阶矩阵有个互异的特征值,则与对角阵相似.

与正交相似 （为正交矩阵）

√ 相似矩阵的性质：① 若均可逆

②

③ （为整数）

④,从而有相同的特征值,但特征向量不一定相同.即:是关于的特征向量,是关于的特征向量.

⑤ 从而同时可逆或不可逆

⑥

⑦

√ 数量矩阵只与自己相似.

√ 对称矩阵的性质：

① 特征值全是实数,特征向量是实向量；

② 与对角矩阵合同；

③ 不同特征值的特征向量必定正交；

④重特征值必定有个线性无关的特征向量；

⑤ 必可用正交矩阵相似对角化（一定有个线性无关的特征向量,可能有重的特征值,重数=）.

可以相似对角化 与对角阵相似. 记为： （称是的相似标准型）

√ 若为可对角化矩阵,则其非零特征值的个数（重数重复计算）.

√ 设为对应于的线性无关的特征向量,则有：

.

√ 若, ,则：.

√ 若,则,.

二次型 为对称矩阵

与合同 . 记作： （）

√ 两个矩阵合同的充分必要条件是：它们有相同的正负惯性指数.

√ 两个矩阵合同的充分条件是：

√ 两个矩阵合同的必要条件是：

√经过化为标准型.

√ 二次型的标准型不是惟一的,与所作的正交变换有关,但系数不为零的个数是由惟一确定的.

√ 当标准型中的系数为1，-1或0时,则为规范形 .

√ 实对称矩阵的正（负）惯性指数等于它的正（负）特征值的个数.

√ 任一实对称矩阵与惟一对角阵合同.

√ 用正交变换法化二次型为标准形:

1 求出的特征值、特征向量；

2 对个特征向量单位化、正交化；

3 构造（正交矩阵）,；

4 作变换,新的二次型为,的主对角上的元素即为的特征值.

正定二次型 不全为零，.

正定矩阵 正定二次型对应的矩阵.

√ 合同变换不改变二次型的正定性.

√ 成为正定矩阵的充要条件（之一成立）：

1 正惯性指数为；

2 的特征值全大于；

3 的所有顺序主子式全大于；

4 合同于，即存在可逆矩阵使；

5 存在可逆矩阵，使 （从而）；

6 存在正交矩阵，使 （大于）.

√ 成为正定矩阵的必要条件： ；.

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