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浅水方程公式推导

发布时间：2020-04-04   来源：文档文库   
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.专业整理. 一、N-S方程的推导过程
1， 液体运动微分方程（根据牛顿第二定律写出）

fx1pxxx1pyyy1pzzz1yxzxzy1xyzyzx1xzyzyxduxdt
fyduydtduzdtfz
2， 切应力的性质和大小
xzyxzxxyux(zuy(xz
xxyzyyzuzy(yz

3， 动水压强的性质和大小
.学习帮手.
.专业整理. pxxpyyuxp2xuyp2y

pzzuzp2z
4， 由1.2.3推导出N-S方程
1p2ux2ux2uxf(x22xyz2x
xuxuyuzyzxduxdt对于不可压缩液体
uyuxuz0 xyz所以：
2221puuuxxxf(x2xy2z2x2221puuuyyyf(y222yyzx2221puuuzzzf(z2zy2z2xduxdtduydt
duzdt
.学习帮手.
.专业整理. 二、浅水方程的推导

沿垂向方向积分连续方程：
zbuvwdzxyzzbudzxzbvdzyzbwdz0 zH= +zb
莱布尼兹公式：
xx(x(Q(x,ydy(x(xQ(x,ydyQ(x,(xQ(x,(x0(xxxx(x带入 ①
zbbudzxxzbu(x,y,u(x,y,zbudzzbxx
②zvdzyyzbzbudzv(x,y,yv(x,y,zby
③zbwdzw(x,y,w(x,y,zb z .学习帮手.
.专业整理. 深度平均
1UH1 udzzbVH vdzzb边界条件
自由表面
w(x,y,河道底部
u(x,y,v(x,y,txyw(x,y,zbzbzzu(x,y,zbbv(x,y,zbb txyX方向的N-S方程
2ux2uxuzuzdux1p2uxuzfx(2(
xxxxyzdty2z2对于不可压缩的液体
uzuzuz0 xyz所以可得
2ux2uxdux1p2uxfx(2 22xxdtyz其中
duxuxuxuxux uxuyuzdttxyz可以写成（x方向无质量力）
xyxzu(u2(uv(uw1p1(xx txyzxxyz对上式两边沿深度方向积分
.学习帮手.
.专业整理. 左边：
zbu(u2(uv(uwdztxyzbzudztzb(u2dzxzb(uvdzyzb(uwdzz
① ② ③ ④ ① zbudzttzudzu(x,y,bzu(x,y,zbbtt
(u2zbxdz②
z2b(udzu(x,y,u(x,y,u(x,y,zu(x,y,zbbxzbxx③zb(uvdzyyz(uvdzu(x,y,v(x,y,bzu(x,y,zbv(x,y,zbbyy(uwzbzdzu(x,y,w(x,y,u(x,y,zbw(x,y,zbu(x,y,(u(x,y,v(x,y,txyzbzbzbu(x,y,z(u(x,y,zv(x,y,z④ bbbtxyu(x,y,u(x,y,u(x,y,u(x,y,v(x,y,txyzzzu(x,y,zbbu(x,y,zbu(x,y,zbbu(x,y,zbv(x,y,zbbtxy①②③④化简得：
zbu(u2(uv(uwdztxyz(u2(uvdzzbxzbydzzb2udzudzuvdzzztbxbyzbudztzb(uwdz z① ② ③
①tudzzbUH
.学习帮手.
.专业整理. 2udz(UuUdzzbxzb22Udz(uUdz2U(uUdz ②zbzbzbx22Udz(uUdzzzbbxx2xyuvdzzbxz(UuU(VvVdzb③yyzbxUVdzzbyUVdzz(uUVdzbyzU(vVdzbyz(uU(vVdzb
z(uU(vVdzb左边最后等于
(UH(U2H(UVHtxyxz(uU2dzbyz(ubU(vVdz右边
ZB1p dzgdzgHZBxxxxyxxxz(dzZBxyzzb(dz((zxxxxxxbxZBxxzb(dz((zxz(xz(zb xyxyxybZByyyxZBxxdzydz(((xyxzxxZBxyxyzzxx(zbbxy(zbbxz(zbxy由坐标变换
x,l1y,m1z,n1l2l3xm2m3y
zn2n3 .学习帮手.
.专业整理. ,,,l1xyxzxx,,,m1yx,yy,xz,nzxzyzz1l2m2n2l3xxxym3yxyyn3zxzyxzxz zz,,cossinxxxyxx,,sincosyxyxyy水面的坡度很小，所以
xy yysintancos1
所以
x,xz(扩展到三维
xx(xz( x,xz(xx(xy(xz( xy同样，对于河床底部
,xz(zbxx(zbxy(zbxz(zb xy,xz(和,xz(zb是沿水面方向的切应力和沿河床平面的切应力，可以表示为bx和by。
令P=UH,Q=VH 公式变为：
PP2PQ11(HTxx1(HTyx((gHbx txHyHxxyQPQQ211(HTxy1(HTyy((gHby txHyHyxy根据曼宁公式
bxgn27/3PP2Q2 Hgn27/3QP2Q2 H1byTXXHZbu2,,2uuuUdz x .学习帮手.
.专业整理. Tyx1H1Zbuv,,uvuUvVdz xyv2,,vvvVydz
TyyHZbk-e公式模型
uiujvtxxij2kij 3uiuj,,ij,ij1ij为克罗克函数
ij,ij0湍流动能k1,,uiui 2ui,xj2湍流动能耗散率vm
vm流体运动粘度 k2 vtCC经验常数
kkujtxjxjujtxjxjuiujPvtxxijvtkvtP
2PC1pC2xjkkkxjuix jk普朗特数
其中C0.09,k1.0,1.3,C11.44,C21.92
.学习帮手.
.专业整理. 水深平均的k-e模型
zbUiUjuiujdzvˆtHxxij,,2ˆk3Hij
ˆ2kvˆ水深平均的湍流粘度 tCˆˆˆˆHkHUkHVktxyxˆvˆtHkkxyˆvˆtHkˆH PhPkVyk2vHˆˆˆˆtC1ˆPhPVC2ˆHkkyHˆHUˆHVˆvˆˆtHtxyxxyUPhHvˆt2x3PkVcku*222VUV2yyx PV4 u*cH u*cfU2V2（摩擦速度）cf无量纲摩擦系数，ckc经验常数
3cku*ˆH0 u*4ˆ2cC2H0ˆHkˆ与能量坡度有关 ˆSgU
u*SgH
b2u*cfU2
ck1cf
vˆt0.0765 u*Hc3.6C2cf3/4C
.学习帮手.
.专业整理. PkV1cfu PV3*4C2u* 3.63/4CHcfu*cf(UV,cf22n2g1/3
H .学习帮手.

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/4b42c141148884868762caaedd3383c4bb4cb4c5.html

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