正方体、长方体、平行六面体对角线的性质

发布时间：2016-03-09 17:13:19 来源：文档文库

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正方体、长方体、平行六面体对角线的性质

：已知正方体word/media/image1.gif的棱长为1，求A到平面word/media/image2.gif的距离。

word/media/image3.emf

解法一：等体积法

设A到平面word/media/image2.gif的距离为h，

∵word/media/image4.gif

word/media/image5.gif

word/media/image6.gif

∴word/media/image7.gif

解法二：垂线法

word/media/image8.emf

易证，体对角线word/media/image9.gif垂直于平面word/media/image2.gif，

垂足G在△word/media/image2.gif中线word/media/image10.gif上，

A到平面word/media/image2.gif的距离word/media/image11.gif就是word/media/image12.gif的长，

在△word/media/image13.gif中由等面积法可得word/media/image7.gif。

解法三：向量法

word/media/image14.emf

易求，A到平面word/media/image2.gif的距离word/media/image11.gif就是word/media/image15.gif在平面word/media/image2.gif的法向量上投影的绝对值，word/media/image7.gif。

：已知正方体word/media/image1.gif的棱长为1，体对角线word/media/image9.gif交平面word/media/image2.gif于word/media/image16.gif，求证：word/media/image16.gif是体对角线word/media/image9.gif的一个三等分点，且是△word/media/image2.gif的重心。

word/media/image17.emf

分析：在上题解法二的基础上，利用△word/media/image18.gif∽△word/media/image19.gif，且相似比为1:2，再根据重心定理即可得证。

：已知长方体word/media/image1.gif中，体对角线word/media/image9.gif交平面word/media/image2.gif于word/media/image16.gif，求证：word/media/image16.gif是体对角线word/media/image9.gif的一个三等分点，且是△word/media/image2.gif的重心。

word/media/image20.emf

分析：由变式1，同理可得。

：已知平行六面体word/media/image1.gif中，体对角线word/media/image9.gif交平面word/media/image2.gif于word/media/image16.gif，求证：word/media/image16.gif是体对角线word/media/image9.gif的一个三等分点，且是△word/media/image2.gif的重心。