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【加17套高考模拟卷】安徽省铜陵一中、池州一中、浮山中学2020-2021学年高三最后一模数学试题含

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安徽省铜陵一中、池州一中、浮山中学2020-2021学年高三最后一模数学试题
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知斜率为2的直线l过抛物线C：y22px(p0的焦点F，且与抛物线交于A，B两点，若线段AB的中点M的纵坐标为1，则p＝（）A．1
B．2
C．2
D．4
2．若复数z满足z1，则zi（其中i为虚数单位）的最大值为（）A．1
B．2
C．3
D．4
3．函数fxAsinx（A0，（）
0，

2
）的部分图象如图所示，则,的值分别为

A．2，0B．2，
4
C．2，
3
D．2，
6
4．已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，点P在线段CB1上，且B1P2PC，平面经过点A,P,C1，则正方体ABCDA1B1C1D1被平面截得的截面面积为（）

A．36B．26
C．5
D．
53
4
5．已知集合M{x|1x5},Nx|x2，则M

N（）

A．{x|1x2}B．x|2x5C．{x|1x5}D．x|0x2
6．已知函数f(xm(x1(x2exe（e为自然对数底数），若关于x的不等式fx0有且只有一个正整数解，则实数m的最大值为（）
e3eA．
2e2eB．
2e3eC．
2e2eD．
2
7．x2x3(x2的展开式中，x5项的系数为（）A．－23
B．17
C．20
D．63

2

5
1
8．已知ABC是边长为3的正三角形，若BDBC，则ADBC
3
A．C．
32
32
15215D．
2
B．
ex
9．已知函数f(xxa0，若函数yf(x的图象恒在x轴的上方，则实数a的取值范围为
a
（）1A．,
e
B．0,eC．e,
D．,1
1
e
10．在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、M分别是AB、AD、AA1的中点，又P、Q分别
m(0ma，设平面MEF在线段A1B1、A1D1上，且A1PAQ1
成立的是（）
平面MPQl，则下列结论中不

A．l//平面BDD1B1C．当m
B．lMC
D．当m变化时，直线l的位置不变
a
时，平面MPQMEF2
11．已知A类产品共两件A1,A2，B类产品共三件B1,B2,B3，混放在一起，现需要通过检测将其区分开来，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件A类产品或者检测出3件B类产品时，检测结束，则第一次检测出B类产品，第二次检测出A类产品的概率为（）A．
12
B．
35
C．
25
D．
310

x2y20
12．若x、y满足约束条件xy10，则z3x2y的最大值为（）
y0
A．5
B．9
C．6
D．12
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．不等式x11的解集为________
14．曲线y(x21ex在点(0,1处的切线方程为__．
ex
,x2xe
15．已知函数fx，（其中e为自然对数的底数），若关于x的方程
4x8,x25xf2x3afx2a20恰有5个相异的实根，则实数a的取值范围为________.
16．若x0R,x02ax02150为假，则实数a的取值范围为__________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且满足2cosB（1）求角C的大小；（2）若ABC的面积为
2ab
.c
33
，求ABC的周长的最小值.2
18．（12分）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，ADABCD2，BC4，M，N，Q分别为BC，CD，AC的中点，以AC为折痕将ACD折起，使点D到达点P位置（P平面ABC）．

（1）若H为直线QN上任意一点，证明：MH∥平面ABP；（2）若直线AB与直线MN所成角为19．（12分）已知凸n边形A1A2A3一点P到边AiAi1ai(i1,2,2a12a2
d1d2

2an
(nna1a2dn

，求二面角APCB的余弦值．4
An的面积为1，边长AiAi1ai(i1,2,,n1，AnA1an，其内部
,dn.求证：
,n1的距离分别为d1,d2,d3,
an2.
20．（12分）已知动点M到定点1,0的距离比到y轴的距离多1.（1）求动点M的轨迹C的方程；

（2）设A，B是轨迹C在x0上异于原点O的两个不同点，直线OA和OB的倾斜角分别为和，当，变化且

3
时，证明：直线AB恒过定点，并求出该定点的坐标.
21．（12分）如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，PAAB，PA6，AB8，
PD10，N为PC的中点，F为棱BC上的一点.

（1）证明：面PAF面ABCD；
（2）当F为BC中点时，求二面角ANFC余弦值.
22．（10分）某商店举行促销反馈活动，顾客购物每满200元，有一次抽奖机会（即满200元可以抽奖一次，满400元可以抽奖两次，依次类推）.抽奖的规则如下：在一个不透明口袋中装有编号分别为1，2，3，4，5的5个完全相同的小球，顾客每次从口袋中摸出一个小球，共摸三次，每次摸出的小球均不放回口袋，若摸得的小球编号一次比一次大（如1，2，5），则获得一等奖，奖金40元；若摸得的小球编号一次比一次小（如5，3，1），则获得二等奖，奖金20元；其余情况获得三等奖，奖金10元.（1）某人抽奖一次，求其获奖金额X的概率分布和数学期望;
（2）赵四购物恰好满600元，假设他不放弃每次抽奖机会，求他获得的奖金恰好为60元的概率.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】【分析】
设直线l的方程为x＝【详解】由已知得F（
1p
y，与抛物线联立利用韦达定理可得p．22
1pp
，0），设直线l的方程为x＝y，并与y2＝2px联立得y2﹣py﹣p2＝0，
222
设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点C（x0，y0），∴y1+y2＝p，

又线段AB的中点M的纵坐标为1，则y0故选C．【点睛】
p1
（y1+y2）＝1，所以p=2,
22
本题主要考查了直线与抛物线的相交弦问题，利用韦达定理是解题的关键，属中档题．2、B【解析】【分析】
根据复数的几何意义可知复数z对应的点在以原点为圆心，1为半径的圆上，再根据复数的几何意义即可确定zi，即可得zi的最大值.【详解】
由z1知，复数z对应的点在以原点为圆心，1为半径的圆上，
zi表示复数z对应的点与点0,1间的距离，
又复数z对应的点所在圆的圆心到0,1的距离为1，所以zimax112.故选：B【点睛】
本题考查了复数模的定义及其几何意义应用，属于基础题.3、D【解析】【分析】
由题意结合函数的图象，求出周期T，根据周期公式求出，求出A，根据函数的图象过点出，即可求得答案【详解】由函数图象可知：

，1，求6
3T113
41264
T，2，A1
函数的图象过点
，16

1sin2，
6



2
，则

6

故选D【点睛】
本题主要考查的是yAsinx的图像的运用，在解答此类题目时一定要挖掘图像中的条件，计算三角函数的周期、最值，代入已知点坐标求出结果4、B【解析】【分析】
先根据平面的基本性质确定平面，然后利用面面平行的性质定理，得到截面的形状再求解.【详解】如图所示：

A,P,C1确定一个平面，
因为平面AA1DD1//平面BB1CC1，所以AQ//PC1，同理AP//QC1，所以四边形APC1Q是平行四边形.即正方体被平面截的截面.因为B1P2PC，所以C1B12PC，即PCPB1
所以APPC15,AC123
AP2PC12AC121
由余弦定理得：cosAPC1
2APPC15

所以sinAPC1
26
5
所以S四边形APQC12故选：B【点睛】
1
APPC1sinAPC1262
本题主要考查平面的基本性质，面面平行的性质定理及截面面积的求法，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题.5、A【解析】【分析】
考虑既属于M又属于N的集合，即得.【详解】
Nx|2x2,MN{x|1x2}.
故选：A【点睛】
本题考查集合的交运算，属于基础题.6、A【解析】【分析】
若不等式fx0有且只有一个正整数解，则ym(x1的图象在ygx图象的上方只有一个正整数值，利用导数求出gx的最小值，分别画出ygx与ym(x1的图象，结合图象可得.【详解】
解：f(xm(x1(x2ee0，∴m(x1(x2exe，设yg(x(x2ee，∴g(x(x1ex，
当x1时，gx0，函数gx单调递增，当x1时，gx0，函数gx单调递减，∴g(xg(10，
x
x

当x时，fx，当x，fxe，函数ym(x1恒过点1,0，
分别画出ygx与ym(x1的图象，如图所示，
，
若不等式fx0有且只有一个正整数解，则ym(x1的图象在ygx图象的上方只有一个正整数值，
∴m(31(32e3e且m(21(22exe，即2mg(3e3e，且me
e3e
∴em，
2
e3e
故实数m的最大值为，
2
故选：A【点睛】
本题考查考查了不等式恒有一正整数解问题，考查了利用导数研究函数的单调性，考查了数形结合思想，考查了数学运算能力.7、B【解析】【分析】
根据二项式展开式的通项公式，结合乘法分配律，求得x5的系数.【详解】
(x25的展开式的通项公式为Tr1C5rx5r2r.则

0055
①x2x3出(3，则(x25出x5，该项为：(3C52x3x；1155
②x2x3出(2x，则(x25出x4，该项为：(2C52x20x；2255
③x2x3出x2，则(x25出x3，该项为：1C52x40x；

2

2
2
综上所述：合并后的x5项的系数为17.故选：B【点睛】
本小题考查二项式定理及展开式系数的求解方法等基础知识，考查理解能力，计算能力，分类讨论和应用意识.8、A【解析】【分析】【详解】
11
由BDBC可得ADABBDABBC，因为ABC是边长为3的正三角形，所以
33
21113
ADBC(ABBCBCABBCBC33cos12032，故选A．
3332
9、B【解析】【分析】
xxx
eee
函数yf(x的图象恒在x轴的上方，x0在0,上恒成立.即x，即函数y的图象
aaax
e
在直线yx上方，先求出两者相切时a的值，然后根据a变化时，函数y的变化趋势，从而得a的
a
范围．【详解】
exex
由题x0在0,上恒成立.即x，
aa
ex
y的图象永远在yx的上方，
a
ex0
1exa
设y与yx的切点x0,y0，则x，解得ae，
0
aex
0
a

xe
易知a越小，y图象越靠上，所以0ae.
a
故选：B．【点睛】
本题考查函数图象与不等式恒成立的关系，考查转化与化归思想，首先函数图象转化为不等式恒成立，然后不等式恒成立再转化为函数图象，最后由极限位置直线与函数图象相切得出参数的值，然后得出参数范围．10、C【解析】【分析】
根据线面平行与垂直的判定与性质逐个分析即可.【详解】
m,所以PQ//B1D1,因为E、F分别是AB、AD的中点,所以EF//BD,所以PQ//EF,因为A1PAQ1
因为面MEF
面MPQl,所以PQ//EF//l.选项A、D显然成立；
因为BD//EF//l,BD平面ACC1A1,所以l平面ACC1A1,因为MC平面ACC1A1,所以lMC,所以B项成立；
易知AC1平面MEF,A1C平面MPQ,而直线AC1与A1C不垂直,所以C项不成立.故选：C【点睛】
本题考查直线与平面的位置关系.属于中档题.11、D【解析】【分析】
根据分步计数原理，由古典概型概率公式可得第一次检测出B类产品的概率，不放回情况下第二次检测出
A类产品的概率，即可得解.
【详解】
A类产品共两件A1,A2，B类产品共三件B1,B2,B3，
则第一次检测出B类产品的概率为
3
；5
21；42313
故第一次检测出B类产品，第二次检测出A类产品的概率为；
5210
不放回情况下，剩余4件产品，则第二次检测出A类产品的概率为故选：D.

【点睛】
本题考查了分步乘法计数原理的应用，古典概型概率计算公式的应用，属于基础题.12、C【解析】【分析】
作出不等式组所表示的可行域，平移直线z3x2y，找出直线在y轴上的截距最大时对应的最优解，代入目标函数计算即可.【详解】
x2y20
作出满足约束条件xy10的可行域如图阴影部分（包括边界）所示．
y0

由z3x2y，得y
3z3z3z
x，平移直线yx，当直线yx经过点2,0时，该直222222
线在y轴上的截距最大，此时z取最大值，即zmax32206.故选：C.【点睛】
本题考查简单的线性规划问题，考查线性目标函数的最值，一般利用平移直线的方法找到最优解，考查数形结合思想的应用，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、[1,2【解析】【分析】
通过平方，将无理不等式化为有理不等式求解即可。【详解】
由x11得0x11，解得1x2，

所以解集是[1,2。【点睛】
本题主要考查无理不等式的解法。14、xy10【解析】【分析】
对函数求导后，代入切点的横坐标得到切线斜率，然后根据直线方程的点斜式，即可写出切线方程.【详解】
因为y(x21ex，所以yx2x1e，从而切线的斜率k1，所以切线方程为y11(x0，即xy10.故答案为：xy10【点睛】
本题主要考查过曲线上一点的切线方程的求法，属基础题.15、,

2

x
241
e52
【解析】【分析】
作出f(x图象，求出方程的根，分类讨论f(x的正负，数形结合即可.【详解】
当x2时，令f(x
e
10，解得x1，ex
所以当x1时，f(x0，则f(x单调递增，当1x2时，f(x0，则f(x单调递减，当x2时，f(x
44x848
单调递减，且f(x[0，5x55x5
作出函数f(x的图象如图：


（1）当a0时，方程整理得f2(x0，只有2个根，不满足条件；
（2）若a0，则当f(x0时，方程整理得f2(x3af(x2a2[f(x2a][f(xa]0，则f(x2a0，f(xa0，此时各有1解，
故当f(x0时，方程整理得f2(x3af(x2a2[f(x2a][f(xa]0，
f(x2a有1解同时f(xa有2解，即需2a1，a
题意；
12e21
，因为f（2）2，故此时满足
ee22
或f(x2a有2解同时f(xa有1解，则需a0，由（1）可知不成立；或f(x2a有3解同时f(xa有0解，根据图象不存在此种情况，
2a1
24
a或f(x2a有0解同时f(xa有3解，则2，解得，4
e5a5e
24
故a[，
e5
（3）若a0，显然当f(x0时，f(x2a和f(xa均无解，当f(x0时，f(x2a和f(xa无解，不符合题意．
142
综上：a的范围是[，{}
e52
142
故答案为：[，{}
e52
【点睛】
本题主要考查了函数零点与函数图象的关系，考查利用导数研究函数的单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于中档题．16、,4【解析】【分析】
由x0R,x02ax02150为假，可知xR,x2ax2150为真，所以a
x25x1
2
对任
意实数x恒成立，求出【详解】
x25x1
2
的最小值，令a(
x25x1
2
min即可.
因为x0R,x02ax02150为假，则其否定为真，

即xR,x2ax2150为真，所以a
x25x1
2
对任意实数x恒成立，所以a(
x25x1
2
min.
又
x25x1
2
x21
4x1
2
2
4，当且仅当x1
4x21
，即x3时，等号成立，所以a4.
故答案为：,4.【点睛】
本题考查全称命题与特称命题间的关系的应用，利用参变分离是解决本题的关键，属于中档题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）C【解析】【分析】【详解】（1）因为2cosB
2ab
，所以b2ccosB2a，c
π
（2）363
a2c2b2
2a，化简得a2b2c2ab，由余弦定理得b2c
2ac
1a2b2c21
可得，解得cosC，
22ab2
又因为C(0,，所以C
π
.（6分）3
1333
（2）因为S△ABCabsinC，所以ab6，ab
242
则ab2ab26（当且仅当ab6时，取等号）.
，解得c6.6时，取等号）
由（1）得c2a2b2ab2ababab6（当且仅当ab所以abc36（当且仅当abc6时，取等号），所以ABC的周长的最小值为36.
18、（1）见解析（2）【解析】【分析】
21
7
(1根据中位线证明平面MNQ平面PAB，即可证明MH∥平面ABP；（2）以QM，QC，QP为x，
y，z轴建立空间直角坐标系，找到点的坐标代入公式即可计算二面角的余弦值.
【详解】

（1）证明：连接QM，
∵M，N，Q分别为BC，CD，AC的中点，∴QM
AB，
平面PAB，
又∵QM平面PAB，AB∴QM
平面PAB，
同理，QN∥平面PAB，
∵QM平面MNQ，QN平面MNQ，QM∴平面MNQ平面PAB，∵MH平面MNQ，∴MH∥平面ABP．
（2）连接PQ，在ABC和ACD中，由余弦定理可得，
QNQ，
AC2AB2BC22ABBCcosABC
，222
ACADCD2ADCDcosADC
由ABC与ADC互补，ADABCD2，BC4，可解得AC23，于是BC2AB2AC2，∴ABAC，QMAC，∵QM

AB，直线AB与直线MN所成角为，
4
∴QMN

4
∴MQN，即QMQN，
2
∴QM平面APC，∴平面ABC平面APC，∵Q为AC中点，PQAC，∴PQ平面ABC，
，又QMQN1，
如图所示，分别以QM，QC，QP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则B(2,3,0，C(0,3,0，
P(0,0,1，PB(2,3,1，PC(0,3,1．


设平面PBC的法向量为n(x,y,z，
nPB02x3yz0
∴，即．
nPC03yz0
令y1，则x3，z
3，可得平面PBC的一个法向量为n(3,1,3．
又平面APC的一个法向量为m(1,0,0，
∴cosm,n
mn21
，
|m||n|7
21
．7
∴二面角APCB的余弦值为【点睛】
此题考查线面平行，建系通过坐标求二面角等知识点，属于一般性题目.19、证明见解析【解析】【分析】
由已知，易得a1d1a2d2andn2，所以
aa2aa2a12a2
n212na1d1a2d2d1d2dndnd1d2
aa
andn12
d1d2

an
利用柯西不等式和基dn
本不等式即可证明.【详解】
因为凸n边形的面积为1，所以a1d1a2d2andn2，a1a22anan2a12a2
2所以d1d2dndnd1d2a1d1a2d2
aa
andn12
d1d2
andn
(a1d1
a1aa2d22d1d2
2
andn
an2
（由柯西不等式得）dn
a1a2an

(nna1a2an2（由均值不等式得）
【点睛】
本题考查利用柯西不等式、基本不等式证明不等式的问题，考查学生对不等式灵活运用的能力，是一道容易题.
2
20、（1）y4x或y0x0；（2）证明见解析，定点4,
43
3
【解析】【分析】
（1）设M(x,y，由题意可知(x12y2|x|1，对x的正负分情况讨论，从而求得动点M的轨迹
C的方程；
（2）设其方程为ykxb，与抛物线方程联立，利用韦达定理得到tan

3

4
，所以
b4k
b
4434343
，所4k4k，所以直线AB的方程可表示为ykx4k，即yk(x43333
43
．3
以直线AB恒过定点(4,【详解】
（1）设Mx,y，
动点M到定点1,0的距离比到y轴的距离多1，

x1
2
2
y2x1，x0时，解得y4x，
x0时，解得y0.
动点M的轨迹C的方程为y24x或y0x0
（2）证明：如图，设Ax1,y1，Bx2,y2，由题意得x1x2（否则）且x1x20，所以直线AB的斜率存在，设其方程为ykxb，将ykxb与y4x联立消去x，得ky4y4b0，
2
2
由韦达定理知y1y2
4b4
，y1y2，①
kk
2
y2y12
显然x1，x2，
44



3
，tan

3
tan
tantan4y1y2，1tantany1y2164
，
b4k
将①式代入上式整理化简可得：tan

3

所以b
4434k4k，
33
43
4k，3
此时，直线AB的方程可表示为ykx
即ykx4
43
，3
43
所以直线AB恒过定点4,3.


【点睛】
本题主要考查了动点轨迹，考查了直线与抛物线的综合，是中档题．21、（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】
（1）要证明面PAF面ABCD，只需证明PA面ABCD即可；
（2）以A为坐标原点，以AB，AD，AP分别为x，y，z轴建系，分别计算出面ANF法向量n1，面
561
.61
PBC的法向量n2，再利用公式计算即可.
【详解】
证明：（1）因为底面ABCD为正方形，所以ADAB8又因为PA6，PD10，满足PA2AD2PD2，所以PAAD
又PAAB，AD面ABCD，AB
面ABCD，
ABADA，
所以PA面ABCD.
又因为PA面PAF，所以，面PAF面ABCD.

（2）由（1）知AB，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，以AB，AD，AP分别为x，y，z轴建系如图所示，

则A0,0,0，P0,0,6，B8,0,0,C8,8,0，D0,8,0则N4,4,3，F8,4,0.所以AF8,4,0，AN4,4,3，BC0,8,0，PC8,8,6，
n1AF08x14y10
设面ANF法向量为n1x1,y1,z1，则由得，
4x4y3z0nAN01111
令z11得x1
3333
n，y1，即1,,1；
4242
同理，设面PBC的法向量为n2x2,y2,z2，
n2PC08x28y26z20
则由得，
8y0nBC022
令z24得x23，y20，即n23,0,4，
3
3014n1n25614cosn,n12所以，2261n1n2
3322213442
设二面角ANFC的大小为，则
coscosn1,n2
561
61
561
.61
所以二面角ANFC余弦值为【点睛】
本题考查面面垂直的证明以及利用向量法求二面角，考查学生的运算求解能力，此类问题关键是准确写出点的坐标，是一道中档题.22、（1）分布见解析，期望为【解析】
4950
.；（2）
3216

【分析】
（1）先明确X的可能取值，分别求解其概率，然后写出分布列，利用期望公式可求期望；
（2）获得的奖金恰好为60元，可能是三次二等奖，也可能是一次一等奖，两次三等奖，然后分别求解概率即可.【详解】
（1）由题意知，随机变量X的可能取值为10，20，40
33C5C511
且P(X403，P(X203，
A56A56
所以P(X101P(X40P(X20即随机变量X的概率分布为XP
10
20
2
，3
40
231616
所以随机变量X的数学期望E(X10
211502040.3663
（2）由题意知，赵四有三次抽奖机会，设恰好获得60元为事件A，3＝40＋10＋10，因为60＝20×
所以P(A(C3(【点睛】
本题主要考查随机变量的分布列及数学期望，明确随机变量的所有取值是求解的第一步，再求解对应的概率，侧重考查数学建模的核心素养.
1
6
31
23
2
149．6216

2020-2021高考数学模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知命题p:若a1，则a21，则下列说法正确的是（）A．命题p是真命题B．命题p的逆命题是真命题
C．命题p的否命题是“若a1，则a21”D．命题p的逆否命题是“若a21，则a1”
2．若(1ax(1x5的展开式中x2,x3的系数之和为10，则实数a的值为（）A．3
B．2
C．1
D．1
x0y0
3．已知x，y满足不等式，且目标函数z＝9x+6y最大值的变化范围[20，22]，则t的取值范
x2yt2xy4
围（）A．[2，4]
B．[4，6]
C．[5，8]
D．[6，7]
4．“学习强国”学习平台是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员､面向全社会的优质平台，现日益成为老百姓了解国家动态､紧跟时代脉搏的热门APP｡该款软件主要设有“阅读文章”､“视听学习”两个学习模块和“每日答题”､“每周答题”､“专项答题”､“挑战答题”四个答题模块｡某人在学习过程中，“阅读文章”不能放首位，四个答题板块中有且仅有三个答题板块相邻的学习方法有（）A．60
B．192
C．240
D．432
5．设f'x函数fxx0的导函数，且满足f'xA．fsinAsinBfsinBsinA
2
2
2fx3
，若在ABC中，A，则（）
4x
2
2
B．fsinCsinBfsinBsinC
2
2

C．fcosAsinBfsinBcosAD．fcosCsinBfsinBcosC
2
2

x2xa,x0
6．已知A，B是函数fx图像上不同的两点，若曲线yfx在点A，B处的切
xlnxa,x0
线重合，则实数a的最小值是（）A．1
B．
12
C．
12
D．1
7．某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队，平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊，其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士，则不同的分配方案有A．72种8．已知圆xy
2
2
B．36种C．24种D．18种
x2y2
4x2y10关于双曲线C:则双曲线C21a0,b0的一条渐近线对称，2
ab
54
的离心率为（）A．5
B．5
C．
52
D．
9．某几何体的三视图如图所示(单位：cm，则该几何体的体积等于（）cm3

A．4
23
B．4
32
C．6
23
D．6
32
10．已知函数f(xlog2
11
123，则不等式f(lgx3的解集为（）
x|x|

1
(10,10
C．(1,10
D．
A．
1
,1010
B．,
1
,1(1,1010
11．三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明.下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实.图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用2勾股(股-勾4朱实黄实弦实，化简，得勾2股2弦2.设勾股形中勾股比为1:3，若向弦图内随机抛掷1000颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为（）
2


A．134B．866C．300D．500
x2y2
12．设点P是椭圆21(a2上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，若F1F243，则
a4
PF1PF2（）
A．4
B．8
C．42
D．47
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．如果抛物线y22px上一点A4,m到准线的距离是6，那么m______.
2
14．函数f(xxsinx在0,上的最小值和最大值分别是_____________．
22
15．曲线y(x21ex在点(0,1处的切线方程为__．
16．已知函数f(xx3sinx，若f(aM，则fa___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知曲线C1的参数方程为
xtcos,
(t为参数，曲线C2的参数方程为
y1tsin,
xsin,
(为参数.
y1cos2,
（1）求C1与C2的普通方程；
（2）若C1与C2相交于A，B两点，且AB
2，求sin的值.
x2ax318．,（12分）已知函数f(x）=xlnx，g(x=
2
（1）求f(x的最小值；
（2）对任意x(0,，f(xg(x都有恒成立，求实数a的取值范围；（3）证明：对一切x(0,，都有lnx
12
成立．exex
ex
19．（12分）已知函数f(x2(a0．
xax1
（1）当a0时，试求曲线yf(x在点(0,f(0处的切线；

（2）试讨论函数f(x的单调区间．
20．（12分）已知函数fxxlnxax1，aR.
2
（1）若曲线yfx在点1,f1处的切线方程为y
2

1
xb，求a，b；2
（2）当x1时，fxax3ax1，求实数a的取值范围.
21．（12分）一张边长为2m的正方形薄铝板ABCD（图甲），点E，且AECFxBC上，F分别在AB，（单位：m）.现将该薄铝板沿EF裁开，再将DAE沿DE折叠，DCF沿DF折叠，使DA，DC重合，且A,C重合于点M，制作成一个无盖的三棱锥形容器DMEF（图乙），记该容器的容积为V（单位：m3），（注：薄铝板的厚度忽略不计）

（1）若裁开的三角形薄铝板EFB恰好是该容器的盖，求x，V的值；（2）试确定x的值，使得无盖三棱锥容器DMEF的容积V最大.22．（10分）已知函数fx2xeax.
x
（Ⅰ）已知x2是fx的一个极值点，求曲线fx在0,f0处的切线方程（Ⅱ）讨论关于x的方程fxalnxaR根的个数.

参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】【分析】
解不等式，可判断A选项的正误；写出原命题的逆命题并判断其真假，可判断B选项的正误；利用原命

题与否命题、逆否命题的关系可判断C、D选项的正误.综合可得出结论.【详解】
解不等式a21，解得1a1，则命题p为假命题，A选项错误；命题p的逆命题是“若a21，则a1”，该命题为真命题，B选项正确；命题p的否命题是“若a1，则a21”，C选项错误；命题p的逆否命题是“若a21，则a1”，D选项错误．故选：B．【点睛】
本题考查四种命题的关系，考查推理能力，属于基础题.2、B【解析】【分析】
由(1ax(1x(1xax(1x，进而分别求出展开式中x2的系数及展开式中x3的系数，令二者之和等于10，可求出实数a的值.【详解】
由(1ax(1x(1xax(1x，
2132
则展开式中x2的系数为C5aC5105a，展开式中x3的系数为C5aC51010a，
555
555
二者的系数之和为(105a(10a1015a2010，得a2.故选：B.【点睛】
本题考查二项式定理的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题.3、B【解析】【分析】
作出可行域，对t进行分类讨论分析目标函数的最大值，即可求解.【详解】
x0
画出不等式组y0所表示的可行域如图△AOB
2xy4


当t≤2时，可行域即为如图中的△OAM，此时目标函数z＝9x+6y在A（2，0）取得最大值Z＝18不符合题意
x2yt8t2t4
，t＞2时可知目标函数Z＝9x+6y在的交点（）处取得最大值，此时Z＝t+16
2xy433
由题意可得，20≤t+16≤22解可得4≤t≤6故选：B．【点睛】
此题考查线性规划，根据可行域结合目标函数的最大值的取值范围求参数的取值范围，涉及分类讨论思想，关键在于熟练掌握截距型目标函数的最大值最优解的处理办法.4、C【解析】【分析】
四个答题板块中选三个捆绑在一起，和另外一个答题板块用插入法．注意按“阅读文章”分类．【详解】
四个答题板块中选三个捆绑在一起，和另外一个答题板块用插入法，由于“阅读文章”不能放首位，因此不
31232
同的方法数为A4C2A2A4A3240．
故选：C．【点睛】
本题考查排列组合的应用，考查捆绑法和插入法求解排列问题．对相邻问题用捆绑法，不相邻问题用插入法是解决这类问题的常用方法．5、D【解析】【分析】

根据f'x
xfx2fx2fxfx
的结构形式，设gx，求导，则gx0，gx23
xxx
3
，得到0B，0C，利用余444
gx在0,上是增函数，再根据在ABC中，A
弦函数的单调性，得到cosCsinB，再利用gx的单调性求解.【详解】设gx
fx
，2x
所以gx


xfx2fx
x
3
，
因为当x0时，f'x
2fx
，x
即
xfx2fx
x
0，
所以gx0，gx在0,上是增函数，在ABC中，因为A
3，所以0B，0C，444

cosCsinB0BB因为，且，
424
所以sinBsin

B，4
即cosCsinB，所以
fcosCcosC
22

fsinB
sinB
2
，
2
即fcosCsinBfsinBcosC故选：D【点睛】
本题主要考查导数与函数的单调性，还考查了运算求解的能力，属于中档题.6、B【解析】【分析】
先根据导数的几何意义写出fx在A,B两点处的切线方程，再利用两直线斜率相等且纵截距相等，列出关系树，从而得出a
122x1122x
xegxxex0，结合导数求出最小值，即，令函数122

可选出正确答案.【详解】
解：当x0时，fxxxa，则f'x2x1;当x0时，fxxlnxa
2
则f'xlnx1.设Ax1,fx1,Bx2,fx2为函数图像上的两点，当x1x20或0x1x2时，f'x1f'x2，不符合题意，故x10x2.则fx在A处的切线方程为yx1x1a2x11xx1；
2


fx在B处的切线方程为yx2lnx2alnx21xx2.由两切线重合可知lnx212x11122x1122x
axex0gx.，整理得不妨设1xex012
22x2aax1
则g'xxe,g''x12e，由g''x0可得x
2x
2x
11
ln22
1111111
g'g'x则当xln时，的最大值为lnln0.
2222222
则gx故选:B.【点睛】
本题考查了导数的几何意义，考查了推理论证能力，考查了函数与方程、分类与整合、转化与化归等思想方法.本题的难点是求出a和x的函数关系式.本题的易错点是计算.7、B【解析】【分析】
根据条件2名内科医生，每个村一名，3名外科医生和3名护士，平均分成两组，则分1名外科，2名护士和2名外科医生和1名护士，根据排列组合进行计算即可．【详解】
2名内科医生，每个村一名，有2种方法，
3名外科医生和3名护士，平均分成两组，要求外科医生和护士都有，则分1名外科，2名护士和2名外科医生和1名护士，若甲村有1外科,2名护士,则有若甲村有2外科,1名护士,则有
(9+9=2×18=36种，则总共的分配方案为2×故选：B.
，其余的分到乙村，，其余的分到乙村，
122x1
,0xeag0.在上单调递减，则22

【点睛】
本题主要考查了分组分配问题，解决这类问题的关键是先分组再分配，属于常考题型.8、C【解析】【分析】
1.根据圆x2y24x2y10关于双将圆x2y24x2y10，化为标准方程为，求得圆心为2，
b1x2y2
曲线C:221a0,b0的一条渐近线对称，则圆心在渐近线上，.再根据
a2ab
cb
e1求解.
aa
【详解】
已知圆x2y24x2y10，
所以其标准方程为：x2y14，
2
2
2
1.所以圆心为2，
x2y2
因为双曲线C:221a0,b0，
ab
所以其渐近线方程为y
b
x，a
又因为圆xy
22
x2y2
4x2y10关于双曲线C:21a0,b0的一条渐近线对称，2
ab
则圆心在渐近线上，所以
b1.a2
2
c5b.所以e1a2a
故选：C【点睛】
本题主要考查圆的方程及对称性，还有双曲线的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.9、D【解析】
解：根据几何体的三视图知，该几何体是三棱柱与半圆柱体的组合体，


结合图中数据，计算它的体积为：V=V三棱柱+V半圆柱=×2×2×1+故答案为6+1.5π．
点睛：根据几何体的三视图知该几何体是三棱柱与半圆柱体的组合体，结合图中数据计算它的体积即可．10、D【解析】【分析】
先判断函数的奇偶性和单调性，得到1lgx1，且lgx0，解不等式得解.【详解】
由题得函数的定义域为(,0因为f(xf(x，所以f(x为(,0
1
•π•12×1=（6+1.5π）cm1．2
(0,.
(0,上的偶函数，
因为函数y
1
1，y|x|1
3都是在(0,上单调递减.2x
所以函数f(x在(0,上单调递减.因为f(13,f(lgx3f(1，所以1lgx1，且lgx0，解得x故选：D【点睛】
本题主要考查函数的奇偶性和单调性的判断，考查函数的奇偶性和单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.11、A【解析】
分析：设三角形的直角边分别为1，3，利用几何概型得出图钉落在小正方形内的概率即可得出结论.
1
,1(1,10.10

解析：设三角形的直角边分别为1，3，则弦为2，故而大正方形的面积为4，小正方形的面积为

31423.

2
图钉落在黄色图形内的概率为42323.
42落在黄色图形内的图钉数大约为100023134.
2
故选：A.
点睛：应用几何概型求概率的方法
建立相应的几何概型，将试验构成的总区域和所求事件构成的区域转化为几何图形，并加以度量．(1一般地，一个连续变量可建立与长度有关的几何概型，只需把这个变量放在数轴上即可；
(2若一个随机事件需要用两个变量来描述，则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件，然后利用平面直角坐标系就能顺利地建立与面积有关的几何概型；
(3若一个随机事件需要用三个连续变量来描述，则可用这三个变量组成的有序数组来表示基本事件，利用空间直角坐标系即可建立与体积有关的几何概型．12、B【解析】∵F1F243∵F1F22c43∴c23
∵c2a2b2，b24∴a4
∴PF1PF22a8故选B
点睛：本题主要考查利用椭圆的简单性质及椭圆的定义.求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、42【解析】【分析】

先求出抛物线y2px的准线方程，然后根据点A4,m到准线的距离为6，列出4
2
p
6，直接求出2
结果.【详解】
抛物线y2px的准线方程为x由题意得4
2
p，2
p
6，解得p4.2
∵点A4,m在抛物线y22px上，∴m2244，∴m42，故答案为：42.【点睛】
本小题主要考查抛物线的定义，属于基础题.14、
222,1824
【解析】【分析】
求导，研究函数单调性，分析，即得解【详解】由题意得，f(x
2
cosx，2
令f(x0，解得

4
x

2
，
令f(x0，解得0x

4
.

f(x在0,上递减，在,递增．
424
22
，f(xminf
824
而f(00,f
21，
42
222上的最小值和最大值分别是,1．
2824
故f(x在区间0,

故答案为：【点睛】
222,1824
本题考查了导数在函数最值的求解中的应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题
15、xy10【解析】【分析】
对函数求导后，代入切点的横坐标得到切线斜率，然后根据直线方程的点斜式，即可写出切线方程.【详解】
因为y(x21ex，所以yx2x1e，从而切线的斜率k1，所以切线方程为y11(x0，即xy10.故答案为：xy10【点睛】
本题主要考查过曲线上一点的切线方程的求法，属基础题.16、M【解析】【分析】
根据题意，利用函数奇偶性的定义判断函数fx的奇偶性，利用函数奇偶性的性质求解即可.【详解】
因为函数f(xx3sinx，其定义域为R，所以其定义域关于原点对称，
又fxxsinxxsinxfx，
3
3

2

x

所以函数fx为奇函数，因为f(aM，所以faM.故答案为:M【点睛】
本题考查函数奇偶性的判断及其性质；考查运算求解能力；熟练掌握函数奇偶性的判断方法是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

y2
1(y0（2）017、（1）yxtan1，x2
2
【解析】【分析】
（1）分别把两曲线参数方程中的参数消去，即可得到普通方程；
（2）把直线的参数方程代入C2的普通方程，化为关于t的一元二次方程，再由根与系数的关系及此时t的几何意义求解．【详解】
xtcos
C(t为参数）（1）由曲线1的参数方程为，消去参数t，可得yxtan1；
y1tsin
xsin
(为参数）由曲线C2的参数方程为，消去参数，可得y22x2，即
y1cos2
y2
x1(y0．
2
2
xtcosy22
(t为参数）代入x（2）把1，
2y1tsin
得(1cos2t22tsin10．
t1t2
2sin1
tt，．12
1cos21cos2
2sin24
|AB||t1t2|(t1t224t1t2(2．
1cos21cos2
解得：cos21，即cos1，满足△0．
sin0．
【点睛】
本题考查参数方程化普通方程，特别是直线参数方程中参数t的几何意义的应用，是中档题．18、(1【解析】【分析】
（1）先求函数导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号变化规律确定函数单调性，最后根据函数单调性确定最小值取法；（2）先分离不等式，转化为对应函数最值问题，利用导数求对应函数最值即得结果；（3）构造两个函数，再利用两函数最值关系进行证明.【详解】
（1）f(x=lnx10x
1
(2（,4](3见证明e
1e
1e

当x(0,时，f(x0,f(x单调递减，当x(,时，f(x0,f(x单调递增，所以函数f(x）
1e

的最小值为f(
11）=；ee
2xlnxx233
（2）因为x0，所以问题等价于a2lnxx在x0,上恒成立，
xx
记tx2lnxx因为tx
3
tx,则amin，
x
23x3x1，122xxx
令tx0得x1或x3舍，
x0,1时tx0,函数f(x）在（0,1）上单调递减;x1,时tx0,函数f(x）在（1，+）上单调递增；
txmint14.即a4，
即实数a的取值范围为（,4].（3）问题等价于证明xlnx
x2
,x0,.x
ee
1e
1e
由（1）知道fxxlnx的最小值f,
设x
x21x
，,x0,则x，令x0得x1xx
eee
x0,1时x0,函数x在（0,1）上单调递增；x1,时x0,函数x在（1，+）上单调递减；
所以{x]max1因此xlnx
1
，e
1x2x2x，因为两个等号不能同时取得，所以xlnxx,eeeee
12
即对一切x0,，都有lnxx成立.
eex
【点睛】
对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.19、（1）yx1；（2）见解析【解析】【分析】

（1）对函数进行求导，可以求出曲线yf(x在点(0,f(0处的切线，利用直线的斜截式方程可以求出曲线的切线方程；
（2）对函数进行求导，对实数a进行分类讨论，可以求出函数f(x的单调区间．【详解】
（1）当a0时，函数定义域为R，f(x所以切线方程为yx1；（2）f(x


ex(x12
x
2
2
1
2
f(01,
exx2ax12xa

x
2
ax1

2
ex
x
(a2x1a
2
x
ax1

2
e(x1(x(a1

xax1
x
2
2
当a0时，函数定义域为R，f(x
2
2

ex(x12
x
2
1
2
0,f(x在R上单调递增
当a(0,2时，a40,xax10恒成立，函数定义域为R，又a11,f(x在(,1单调递增，(1,1a单调递减，(1a,单调递增
ex(x3
,f(x在(,1单调递增，(1,3单调当a2时，函数定义域为(,1(1,，f(x
(x1

递减，(3,单调递增当a(2,时，
a240设x2ax10的两个根为x1,x2且x1x2，由韦达定理易知两根均
为正根，且0x11x2，所以函数的定义域为,x1x2,，又对称轴x
a
a1，且2
(a12a(a11a20x2a1，
f(x在,x1,x1,1单调递增，1,x2,x2,a1单调递减，(1a,单调递增
【点睛】
本题考查了曲线切线方程的求法，考查了利用函数的导数讨论函数的单调性问题，考查了分类思想.
a
20、（1）
b
【解析】【分析】
1
4；（2）1,14
(1对函数求导，运用f1
1
可求得a的值，再由1,f1在直线上，可求得b的值；2
2
(2由已知可得lnxax2ax0恒成立，构造函数gxlnxaxax，对函数求导，讨论a和0的大小关系，结合单调性求出最大值即可求得a的范围.

【详解】
（1）由题得fxlnx12ax，因为yfx在点1,f1与y

1
xb相切2
1
f112aa2所以，∴
1f11abb
21
414
22
（2）由fxax3ax1得lnxax2ax0，令gxlnxaxax，只需gxmax0
12ax2ax12
，设hx2axax1（x1），gx2axa
xx
当a0时，gx0，gx在x1时为增函数，所以gxg10，舍；当a0时，hx开口向上，对称轴为x所以gxg10，舍；
当a0时，二次函数hx开口向下，且h010，
所以hx在x0时有一个零点x0，在0,x0时hx0，在x0,时hx0，①当h11a0即a1时，hx在1,小于零，
所以gx在x1时为减函数，所以gxg10，符合题意；②当h11a0即a1时，hx在1,x0大于零，所以gx在1,x0时为增函数，所以gx0g10，舍.综上所述：实数a的取值范围为1,【点睛】
本题考查函数的导数，利用导数求函数的单调区间及函数的最小值，属于中档题．处理函数单调性问题时，注意利用导函数的正负，特别是已知单调性问题，转化为函数导数恒不小于零，或恒小于零，再分离参数求解，求函数最值时分析好单调性再求极值，从而求出函数最值．21、（1）x1，V【解析】【分析】
（1）由已知求得x1，求得三角形EBF的面积，再由已知得到MD平面EMF，代入三棱锥体积公式求V的值；
1
，h11a0，所以gx在x1时为增函数，4

1；（2）当x值为51时，无盖三棱锥容器DMEF的容积V最大.3

（2）由题意知，在等腰三角形MEF中，MEMFx，则EF2(2x，cosEMF三角形面积，求其平方导数的最值，则答案可求．【详解】
解：（1）由题意，EFB为等腰直角三角形，又AECFx，BEBF2x(0x2，
4(x1
，写出x2
EFB恰好是该零件的盖，x1，则SEBF
由图甲知，ADAE，CDAF，则在图乙中，MDME，MDMF，ME
1，2
MFM，
又ME，MF平面EMF，MD平面EMF，11111VSEMFMDSEBFMD2；
33323
（2）由题意知，在等腰三角形MEF中，MEMFx，则EF2(2x，cosEMF
11x2sinEMFx222
4(x1
，x216(x12
．14
x
SEMF
1422
令f(x(SEMF[x16(x1]，
4
f(xx38(x1(x2(x22x4，0x2，x51．
可得：当x(0,51时，f(x0，当x(51，2时，f(x0，
当x51时，SEMF有最大值．
由（1）知，MD平面EMF，
该三棱锥容积的最大值为VSEMFMD，且MD2．
当x51时，f(x取得最大值，无盖三棱锥容器DMEF的容积V最大．
答：当x值为51时，无盖三棱锥容器DMEF的容积V最大．【点睛】
本题考查棱锥体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用导数求最值，属于中档题．22、（Ⅰ）e1xy20；（Ⅱ）见解析【解析】【分析】
（Ⅰ）求函数的导数，利用x=2是f(x的一个极值点，得f'(2=0建立方程求出a的值，结合导数的几何
1
3

2


意义进行求解即可；
（Ⅱ）利用参数法分离法得到ahx
x2exxlnx
，构造函数求出函数的导数研究函数的单调性和最值，
利用数形结合转化为图象交点个数进行求解即可.【详解】
（Ⅰ）因为fx2xeax，则f'x1xea，
x
x
因为x2是fx的一个极值点，所以f'20，即12ea0，
2
所以ae2，
因为f02，f'0e1，
2
则直线方程为y2e1x，即e1xy20；（Ⅱ）因为fxalnx，所以x2ealnxax0，
x

2


2

所以x2ealnxx，设gxlnxxx0，则g'x
x
1
1x0，x
所以gx在0,1上是增函数，在1,上是减函数，故gxg110，

所以ahx
x2e
x
，所以h'xxlnx
x1exx
2
lnx1x，2
lnxx
设mxx
2211
lnx1，则m'x122x2x1，xxxx
所以mx在0,2上是减函数，2,上是增函数，所以mxm22ln20，

所以当0x1时，h'x0，函数hx在0,1是减函数，当x1时，h'x0，函数hx在1,是增函数，因为0x1时，hx0，h1e，h20，所以当ae时，方程无实数根，
当ea时，方程有两个不相等实数根，当ae或a0时，方程有1个实根.【点睛】
本题考查函数中由极值点求参，导数的几何意义，还考查了利用导数研究方程根的个数问题，属于难题.

2020-2021高考数学模拟试卷
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数fxcosxsinx
2
2


，则fx的最小值为(4
C．1
A．1
22
B．
12
22
D．1
24
2．在ABC中，“sinAsinB”是“tanAtanB”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件3．在等差数列an中，若a24,a48，则a7（）A．8
B．12
C．14
D．10
D．既不充分也不必要条件
4．已知函数f(xcosx与g(xsin(2x(0的图象有一个横坐标为的图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的范围是(A．

的交点，若函数g(x3
1

倍后，得到的函数在[0,2]有且仅有5个零点，则的取值
2935
,2424
B．
2935
,24242935
,2424
C．
2935
,2424
D．
7111
5．已知alog3,b(3,clog1，则a,b,c的大小关系为
2453
A．abc
B．bac
C．cba
D．cab
6．在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，P为A1D1的中点，若三棱锥P−ABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（）A．12
B．
21π
2
C．
41π
4
D．10
7．设全集为R，集合Ax0x2，Bxx1，则AA．x0x1

(RB
D．x0x2

B．x0x1

C．x1x2


8．已知全集UR，集合Ax3x7,Bxx7x100，则A．,3C．,3

2

U
(AB=（）
5,

B．,3D．,3
5,
5,5,
9．复数z满足z1i13i，则复数z等于（）A．1i
B．1i
C．2
D．-2
10．《周易》是我国古代典籍，用“卦”描述了天地世间万象变化．如图是一个八卦图，包含乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑八卦（每一卦由三个爻组成，其中“
”表示一个阳爻，“
”表示一个阴爻）
若从八卦中任取两卦，这两卦的六个爻中恰有两个阳爻的概率为（）

A．
3
56
B．
328

C．
314
D．
14
38

（）

11．已知函数f(xAsin(xA0,0,0

2
的部分图象如图所示，则f

A．
26
4
B．
26
4
C．
62
4
D．
62
2
12．将函数f(xsin(3x

6
的图像向右平移m(m0个单位长度，再将图像上各点的横坐标伸长到原
来的6倍（纵坐标不变），得到函数g(x的图像，若g(x为奇函数，则m的最小值为（）A．

9
B．
29
C．
18
D．

24

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．直线mxny20（m0，n0）过圆C：x2y22x2y10的圆心，则
24
的最小mn

值是______.
14．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为________.

15．已知圆C：x2y28xay50经过抛物线E：x24y的焦点，则抛物线E的准线与圆C相交所得弦长是__________.
16．已知函数fxecosxx，则曲线yfx在点0,f0处的切线方程是_______．
x
5

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2a
17．.（12分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ABC的面积为
4sinA
（1）求sinBsinC；
（2）若10cosBcosC1，a
2，求ABC的周长.
18．（12分）如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，面PAD底面ABCD，且PAD是边长为2的等边三角形，PC13,M在PC上，且PA面MBD.

（1）求证:M是PC的中点；
（2）在PA上是否存在点F，使二面角FBDM为直角？若存在，求出理由.
19．（12分）如图，正方形ABCD所在平面外一点满足PEPF，其中E、F分别是AB与AD的中点.
AF
的值；若不存在，说明AP


（1）求证：EFPC；（2）若AB4,
PEPF26，且二面角PEFC的平面角的余弦值为
311
，求BC与平面11
PEF所成角的正弦值.
20．（12分）数列an满足a11，an是1与an1的等差中项.（1）证明：数列an1为等比数列，并求数列an的通项公式；（2）求数列an2n的前n项和Sn.
21．（12分）已知f(xAsin(x（A0,04,取得最大值1.
（1）将函数f(x的图象向右平移

个单位得到函数g(x，求函数g(x的表达式；6
2

1
）过点(0,，且当x时，函数f(x226
（2）在（1）的条件下，函数h(xf(xg(x2cosx1，求h(x在[0,

2
]上的值域.
22．（10分）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，对角线AC,BD交于点O,M为棱PD的中点，MAMC．求证：

（1）PB//平面AMC；（2）平面PBD平面AMC．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。1、C【解析】【分析】
利用三角恒等变换化简三角函数为标准正弦型三角函数，即可容易求得最小值.【详解】

1cos2x
1cos2x由于2fxcos2xsin2x422
1
cos2xsin2x
22
1
2
sin2x，24
2
.2
故其最小值为：1故选：C.【点睛】
本题考查利用降幂扩角公式、辅助角公式化简三角函数，以及求三角函数的最值，属综合基础题.2、D【解析】【分析】
通过列举法可求解，如两角分别为【详解】
2
6,3
时
2
,B时，sinAsinB，但tanAtanB，故充分条件推不出；362当A,B时，tanAtanB，但sinAsinB，故必要条件推不出；
63
当A
所以“sinAsinB”是“tanAtanB”的既不充分也不必要条件.故选：D.【点睛】
本题考查命题的充分与必要条件判断，三角函数在解三角形中的具体应用，属于基础题3、C【解析】【分析】
将a2，a4分别用a1和d的形式表示，然后求解出a1和d的值即可表示a7.

【详解】
设等差数列an的首项为a1，公差为d，
a1d4,
a4a8则由2，4，得解得a12，d2，
a13d8,
所以a7a16d14．故选C．【点睛】
本题考查等差数列的基本量的求解，难度较易.已知等差数列的任意两项的值，可通过构建a1和d的方程组求通项公式.4、A【解析】【分析】根据题意，cos

π2
sin，求出，所以g(xsin2x，根据三角函数图像平移伸缩，
6363
即可求出的取值范围.【详解】
已知f(xcosx与g(xsin(2x(0的图象有一个横坐标为则cos

的交点，3

2sin，33
225,，333

25，，366

g(xsin2x，
6
若函数g(x图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的
1

倍，则ysin2x



，6
所以当x[0,2]时，2x


,4，666
f(x在[0,2]有且仅有5个零点，
54
6，
6
2935.2424

故选：A.

【点睛】
本题考查三角函数图象的性质、三角函数的平移伸缩以及零点个数问题，考查转化思想和计算能力.5、D【解析】【详解】
分析：由题意结合对数的性质，对数函数的单调性和指数的性质整理计算即可确定a,b,c的大小关系.
0
7311详解：由题意可知：log33log3log39，即1a2，01，即0b1，244
1
log1
3
17
log35log3，即ca，综上可得：cab.本题选择D选项.52
点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．6、C【解析】【分析】
BQ，CQ，PD，取B1C1的中点Q，连接PQ，则三棱柱BCQ−ADP为直三棱柱，此直三棱柱和三棱锥P−ABC有相同的外接球，求出等腰三角形QBC的外接圆半径，然后利用勾股定理可求出外接球的半径【详解】
如图，取B1C1的中点Q，连接PQ，BQ，CQ，PD，则三棱柱BCQ−ADP为直三棱柱，所以该直三棱柱的六个顶点都在球O的球面上，QBC的外接圆直径为2rR2r2(
AB24141π
，所以球O的表面积S=4πR2=，2164
QB5
，球O的半径R满足
sinQCB2
故选：C.

【点睛】
此题考查三棱锥的外接球半径与棱长的关系，及球的表面积公式，解题时要注意审题，注意空间思维能力的培养，属于中档题.

7、B【解析】
分析：由题意首先求得CRB，然后进行交集运算即可求得最终结果.详解：由题意可得：CRBx|x1，结合交集的定义可得：ACRB0x1.本题选择B选项.
点睛：本题主要考查交集的运算法则，补集的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8、D【解析】【分析】
先计算集合B，再计算A【详解】解：
B，最后计算
U
(AB．
Bxx27x100

B{x|2x5}，
Ax3x7
A
B{x|3x5}，
U(A
B,35,．
故选：D．【点睛】
本题主要考查了集合的交，补混合运算，注意分清集合间的关系，属于基础题．9、B【解析】【分析】
通过复数的模以及复数的代数形式混合运算，化简求解即可.【详解】
复数z满足z1i13i2，∴z
21i21i，1i1i1i
故选B.【点睛】
本题主要考查复数的基本运算，复数模长的概念，属于基础题．

10、C【解析】【分析】
分类讨论，仅有一个阳爻的有坎、艮、震三卦，从中取两卦；从仅有两个阳爻的有巽、离、兑三卦中取一个，再取没有阳爻的坤卦，计算满足条件的种数，利用古典概型即得解.【详解】
2
由图可知，仅有一个阳爻的有坎、艮、震三卦，从中取两卦满足条件，其种数是C33；
1
仅有两个阳爻的有巽、离、兑三卦，没有阳爻的是坤卦，此时取两卦满足条件的种数是C33，于是所求
的概率P故选：C【点睛】
333
．C8214
本题考查了古典概型的应用，考查了学生综合分析，分类讨论，数学运算的能力，属于基础题.11、A【解析】【分析】
3T23
1代入求出φ的值.最后将先利用最高点纵坐标求出A，再根据再将，求出周期，4123812
代入解析式即可.【详解】
由图象可知A＝1，∵
3T2
4123
2
2.，所以T＝π，∴T
∴f（x）＝sin（2x+φ），将∴

，1代入得sin(φ）＝1，
612

φ2k，kZ，结合0＜φ＜，∴φ.
2623


∴fxsin2x

.3
∴f
383
sinsinsinsin
12124334
26.sincoscossin
34344

故选：A.【点睛】
本题考查三角函数的据图求式问题以及三角函数的公式变换.据图求式问题要注意结合五点法作图求解.属于中档题.12、C【解析】【分析】
根据三角函数的变换规则表示出g(x，根据g(x是奇函数，可得m的取值，再求其最小值.【详解】
解：由题意知，将函数f(xsin(3x

6
的图像向右平移m(m0个单位长度，得

ysin3xm，再将ysin3x3m图像上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不
66
变），得到函数g(x的图像，g(xsin(x3m因为g(x是奇函数，所以3m
12

6
，

6
k,kZ，解得m

18

k
,kZ，3
因为m0，所以m的最小值为故选：C【点睛】
.18
本题考查三角函数的变换以及三角函数的性质，属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、322；【解析】【分析】
求出圆心坐标，代入直线方程得m,n的关系，再由基本不等式求得题中最小值．【详解】
圆C：xy2x2y10的标准方程为(x1(y13，圆心为C(1,1，由题意mn20，即mn2，∴
2
2
22
2mn24122mn2mn
，即((mn332322，当且仅当nmmnmnnmnm
m2(21,n2(22时等号成立，

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/499cc584747f5acfa1c7aa00b52acfc788eb9f04.html

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