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2015年湖北省高考理科数学试题word版

发布时间：2022-11-13 12:39:16   来源：文档文库   
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绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工类）本试题卷共6页，22题，其中第15、16题为选考题。全卷满分150分。考试用时120分钟。★祝考试顺利★注意事项：1．答卷前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑，再在答题卡上对应的答题区域内答题。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。5．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．i为虚数单位，i607的共轭复数为．．．．A．iD．12．我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534B．iC．1
石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为A．134石B．169石C．338石D．1365石3．已知(1xn的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为A．212D．29B．211C．210
4．设XN(1,12，Y2N(2,2，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是A．P(Y2P(Y1B．P(X2P(X1C．对任意正数t，P(XtP(YtD．对任意正数t，P(XtP(Yt5．设a1,a2,,anR，n3.第4题图若p：a1,a2,,an成等比数列；q：(a12a22222an1(a2a32an(a1a2a2a3an1an2，则A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件C．p是q的充分必要条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件6．已知符号函数1,xsgxn0x,1,x0,0f,(x是0.R上的增函数，g(xf(xf(ax(a1，则AC．B．sgn[g(x]sgnx．D．sgn[g(x]sgn[f(x]sgn[g(x]sgnxsgn[g(x]sgn[f(x]7．在区间[0,1]上随机取两个数x,y，记p1为事件“xy1”的概率，2p2为事件“|xy|1”的概率，p3为事件“xy1”的概率，则22A．p1p2p3C．p3p1p2B．p2p3p1D．p3p2p1
8．将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b(ab同时增加m(m0个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则A．对任意的a,b，e1e2e1e2；当ab时，e1e2B．当ab时，C．对任意的a,b，e1e2e1e2；当ab时，e1e2D．当ab时，9．已知集合A{(x,yx2y21,x,yZ}，B{(x,y义集合AB{(1x2x,1y2y(1x,1y|x|2,|y|2,x,yZ}，定，则A,(2x,2yBA}B中元素的个数为A．77B．49C．45D．3010．设xR，[x]表示不超过x的最大整数.若存在实数t，使得[t]1，[t2]2，„，[tn]n同时成立，则正整数n的最大值是．．．．A．3B．4C．5D．6二、填空题：本大题共6小题，考生需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书．．．．．．．写不清，模棱两可均不得分．（一）必考题（11—14题）11．已知向量OAAB，|OA|3，则OAOB．12．函数f(x4cos2xcos(πx2sinx|ln(x1|的零点个数为．2213．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上，行驶600m后到达B处，DyBCCMN
测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CDm.14．如图，圆C与x轴相切于点T(1,0，与y轴正半轴交于两点A,B（B在A的上方），且AB2．（Ⅰ）圆C的标准方程为；．．（Ⅱ）过点A任作一条直线与圆O:x2y21相交于M,N两点，下列三个结论：①NANBMAMB；②NBNAMAMB2；③NBNAMAMB22．其中正确结论的序号是.（写出所有正确结论的序号）（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑．如果全选，则按第15题作答结果计分．）15．（选修4-1：几何证明选讲）如图，PA是圆的切线，A为切点，PBC是圆的割线，且BC3PB，则AB.ACPBCA第15题图
16．（选修4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l的极坐标方程为(sin3cos0，曲线C1xt,t的参数方程为1ytt(t为参数，l与C相交于A,B两点，则|AB|.三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分11分）某同学用“五点法”画函数f(xAsin(x(0,||π在某一个2周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：x00xAsin(xπ2π3π3π25π652π05（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直．．．．．．．．．．．接写出函数f(x的解析式；（Ⅱ）将yf(x图象上所有点向左平行移动(0个单位长度，得到yg(x的图象.若yg(x图象的一个对称中心为(5π,0，求的最小值.12
18．（本小题满分12分）设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q．已知b1a1，b22，qd，S10100．（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；（Ⅱ）当d1时，记cnan，求数列{cn}的前n项和Tn．bn19．（本小题满分12分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马PABCD中，侧棱PD底面ABCD，且PDCD，过棱PC的中点E，作EFPB交PB于点F，连接DE,DF,BD,BE.（Ⅰ）证明：PB平面DEF．试判断四面体DBEF是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；（Ⅱ）若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为π，3ABDCFEP第19题图求DC的值．BC20．（本小题满分12分）某厂用鲜牛奶在某台设备上生产A,B两种奶制品．生产1吨A产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨B产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1200元．要求每天B产品的产量不超过A产品产量的2倍，设备每天生产A,B两种产品时间之和不超过12小时.假定每天可获取的鲜牛奶数量W（单
位：吨）是一个随机变量，其分布列为WP120.3150.5180.2该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利Z（单位：元）是一个随机变量．（Ⅰ）求Z的分布列和均值；（Ⅱ）若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率．21．（本小题满分14分）一种作图工具如图1所示．O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且DNON1，MN3．当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动，M．．N绕O转动一周（D不动时，N也不动）处的笔尖画出的曲线记为C．以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）设动直线l与两定直线l1:x2y0和l2:x2y0分别交于P,Q两点．若直线l总与曲线C有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．yNADOBNDMOxM
22．（本小题满分14分）已知数列{an}的各项均为正数，bnn(11nann(nN，e第21题图第21题图为自然对数的底数．（Ⅰ）求函数f(x1xex的单调区间，并比较(11n与e的大小；n（Ⅱ）计算出证明；b1a1，b1b2a1a2，b1b2b3，由此推测计算b1b2a1a2a3a1a2bnan的公式，并给（Ⅲ）令cn(a1a2明：TneSn.an1n，数列{an}，{cn}的前n项和分别记为Sn,Tn,证
绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工类）试题参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．A2．B3．D4．C5．A6．B7．B8．D9．C10．B二、填空题（本大题共6小题，考生需作答5小题，每小题5分，共25分）11．912．213．1006
14．（Ⅰ）16．25(x12(y222；（Ⅱ）①②③15．12三、解答题（本大题共6小题，共75分）17．（11分）（Ⅰ）根据表中已知数据，解得A5,2,π.数据补全如下表：6x0π12xAsin(xπ2π3π7π123π25π652π13π1205060且函数表达式为f(x5sin(2xπ.（Ⅱ）由（Ⅰ）知ππf(x5sin(2x，得g(x5sin(2x2.66因为ysinx的对称中心为(kπ,0，kZ.令2x2πkπ，解得xkπ62π，kZ1212.由于函数kππ5π，21212yg(x的图象关于点(5π,0成中心对称，令解得kππ，kZ.由0可知，当k1时，取得最小值23π.618．（12分）（Ⅰ）由题意有，10a145d100,ad2,1即2a19d20,ad2,1a19,a11,解得或2d2,d.91a(2n79,nan2n1,9故或n12b9(n1.bn2.n9
1（Ⅱ）由d1，知an2n1，bn2n1，故cn2nn，于是12Tn1357922223242n1，2n1①②113579Tn23452222222n1.2n①-②可得111Tn2222212n22n12n3，32n2n故Tn19．（12分）（解法1）62n3.2n1（Ⅰ）因为PD底面ABCD，所以PDBC，由底面ABCD为长方形，有BCCD，而PDCDD，所以BC平面PCD.而DE平面PCD，所以BCDE.又因为PDCD，点E是PC的中点，所以DEPC.而PCBCC，所以DE平面PBC.而PB平面PBC，所以PBDE.又PBEF，DEEFE，所以PB平面DEF.由DE平面PBC，PB平面DEF，可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形，即四面体BDEF是一个鳖臑，其四个面的直角分别为DEB，DEF，EFB，DFB.（Ⅱ）如图1，在面PBC内，延长BC与FE交于点G，则DG是平面DEF与平面ABCD的交线.由（Ⅰ）知，PB平面DEF，所以PBDG.又因为PD底面DG平面PBD.ABCD，所以PDDG.而PDPBP，所以
故BDF是面DEF与面ABCD所成二面角的平面角，设PDDC1，BC，有BD12，3在Rt△PDB中,由DFPB,得DPFFDBπ,则tanπBDtanDPF123,3PD2.2解得2.所以DC1BC2.2故当面DEF与面ABCD所成二面角的大小为π时，DC3BC（解法2）（Ⅰ）如图2，以D为原点，射线DA,DC,DP分别为x,y,z轴的正半轴，建立空间直角坐标系.设D(0,0,P0,PDDC1，BC，则B(0,0,C1，,PB(,1,1，点E是PC的中点，所以E(0,1,1，DE(0,1,1，2222于是PBDE0，即PBDE.又已知EFPB，而DE因PC(0,1,1,EFE，所以PB平面DEF.DEPC0,则DEPC,所以DE平面PBC.由DE平面PBC，PB平面DEF，可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形，即四面体BDEF是一个鳖臑，其四个面的直角分别为zPDEB，DEF，PEFB，DFB.FEFEGDCDCyABxAB第19题解答第19题解答
（Ⅱ）由PD平面ABCD，所以DP(0,0,1是平面ABCD的一个法向量；由（Ⅰ）知，PB平面DEF，所以BP(,1,1是平面DEF的一个法向量.若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为π，3则cosπ3BPDP|BP||DP|2.1221，2解得所以DC1BC2.23BC2.2故当面DEF与面ABCD所成二面角的大小为π时，DC20．（12分）（Ⅰ）设每天A,B两种产品的生产数量分别为x,y，相应的获利为z，则有2x1.5yW,x1.5y12,2xy0,x0,y0.（1）12y00．目标函数为8yz100x0yy12108B(3,6B(2.4,4.88B(3,6C(6,4OA(0,0C(6,012xOA(0,0C(7.5,012xOA(0,0D(9,012x第20题解答第20题解答第20题解答
当W12时，（1）表示的平面区域如图1，三个顶点分别为A(0,0,B(2.4,4.8,C(6,0．6z，12006z在y轴上的截距最大，1200将z1000x1200y变形为y5x当x2.4,y4.8时，直线l：y5x最大获利Zzmax2.410004.812008160．当W15时，（1）表示的平面区域如图2，三个顶点分别为A(0,0,B(3,6,C(7.5,0．将z1000x1200y变形为y5x66z，1200z在y轴上的截距最大，1200当x3,y6时，直线l：y5x最大获利Zzmax310006120010200．当W18时，（1）表示的平面区域如图3，四个顶点分别为A(0,0,B(3,6,C(6,4,D(9,0.将z1000x1200y变形为y5xz，61200当x6,y4时，直线l：y5xz在y轴上的截距最大，61200最大获利Zzmax610004120010800．故最大获利Z的分布列为81601020010800Z0.30.50.2P因此，E(Z81600.3102000.5108000.29708.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，一天最大获利超过10000元的概率p1P(Z100000.50.20.7，由二项分布，3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为p1(1p1310.330.973.21．（14分）（Ⅰ）设点D(t,0(|t|2，N(x0,y0,M(x,y，依题意，
MD2DN，且|DN||ON|1，DMyPNOQx第21题解答图22(x0ty01,所以(tx,y2(x0t,y0，且22x0y01.即tx2x02t,且t(t2x00.y2y.0由于当点D不动时，点N也不动，所以t不恒等于0，xyx2y222于是t2x0，故x0,y0，代入x0y01，可得1，42164x2y2即所求的曲线C的方程为1.164（Ⅱ）（1）当直线l的斜率不存在时，直线l为x4或x4，都有SOPQ1448.21(k，2（2）当直线l的斜率存在时，设直线l:ykxm由ykxm,x4y16,22消去y，可得(14k2x28kmx4m2160.因为直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，所以①又由ykxm,x2y0,O26k4m24(1k2m261644m2(，4即1k20.可得P(2mm2mm,；同理可得Q(,.12k12k12k12kPQ由原点到直线的距离为d|m|1k2和|PQ|1k2|xPxQ|，可得SOPQ1112m2m2m2|PQ|d|m||xPxQ||m|22212k12k14k2.
②将①代入②得，SOPQ24k212m28214k24k1.4k211当k时，SOPQ8(28(1228；44k14k114k212当0k时，SOPQ8(8(1.22414k14k2因0k214，则801k24，12214k2，所以2SOPQ8(1214k，当且仅当k0时取等号.所以当k0时，SOPQ的最小值为8.综合（1）（2）可知，当直线l与椭圆C在四个顶点处相切时，△OPQ的面积取得最小值8.22．（14分）（Ⅰ）f(x的定义域为(,，f(x1ex.当f(x0，即x0时，f(x单调递增；当f(x0，即x0时，f(x单调递减.故f(x的单调递增区间为(,0，单调递减区间为(0,.当x0时，f(xf(00，即1xex.111令x，得1en，即(11ne.nnn①（Ⅱ）b1bbbb111(11112；121222(12(21232；a11a1a2a1a22b1b2b3b1b2b31323(13(31343.a1a2a3a1a2a33由此推测：b1b2a1a2bn(n1n.an②下面用数学归纳法证明②.（1）当n1时，左边右边2，②成立.（2）假设当nk时，②成立，即b1b2a1a2bk(k1k.ak
当nk1时，bk1(k1(1b1b2a1a2bkbk1b1b2akak1a1a21k1ak1，由归纳假设可得k1bkbk11k1(k1k(k1(1(k2k1.akak1k1所以当nk1时，②也成立.（Ⅲ）由cn的定义，②，算术-几何平均不等式，bn的定义及①得Tnc1c2c3cn(a1(a1a2(a1a2a31213111213根据（1）（2），可知②对一切正整数n都成立.1n(a1a2an(bbb(b1(b1b2123234b1bbbbb3121212233411(b1b2bnn11n1]n(n1bn1n(n1b1b2bnn(n111b1[1223111]b2[n(n12334b1(1111b2(n12n111bn(nn11(1nannb1b212bn11(11a1(12a2n12eaneSn.ea1ea2即TneSn.

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/48b9b04158f5f61fb73666dc.html

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