2016年江苏省泰州市海陵区中考数学一模试卷（解析版）

2016年江苏省泰州市海陵区中考数学一模试卷

一、选择题（共6小题，每小题3分，满分18分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，选择正确选项的字母代号涂在答题卡相应的位置上）

1．﹣2的倒数是（　　）

A．2 B． C．﹣ D．﹣2

2．下列运算正确的是（　　）

A．3﹣2=1 B． +1= C．﹣= D．6+=7

3．以下几家银行行标中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

4．一个简单空间几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（　　）

A．三棱锥 B．四棱锥 C．三棱柱 D．四棱柱

5．学校广播站要招聘1名记者，小亮和小丽报名参加了3项素质测试，成绩如下：

将写作能力、普通话水平、计算机水平这三项的总分由原先按3：5：2计算，变成按5：3：2计算，总分变化情况是（　　）

A．小丽增加多 B．小亮增加多

C．两人成绩不变化 D．变化情况无法确定

6．设二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当x=2时，函数值y=0，则方程ax2+bx+c=0的判别式△=b2﹣4ac必定是（　　）

A．△=0 B．△＜0 C．△＞0 D．△≥0

二、填空题（共10小题，每小题3分，满分30分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上）

7．25的平方根等于　　　　　　．

8．今年2月份，泰州市6个省级经济开发区共完成出口316000000美元，将这个数据用科学记数法表示，应为　　　　　　美元．

9．连续抛掷一枚均匀的硬币两次，结果出现一正一反的概率等于　　　　　　．

10．一组数据6，8，10的方差等于　　　　　　．

11．如果两个相似三角形的相似比是2：3，较小三角形的面积为4cm2，那么较大三角形的面积为　　　　　　cm2．

12．圆心角为120°的扇形，其面积等于12πcm2，则这个扇形的半径等于　　　　　　cm．

13．如图，直线l1∥l2，∠2=40°，则∠1+∠3+∠4=　　　　　　°．

14．如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，且∠BAC=20°，则∠D=　　　　　　°．

15．如图，等腰直角三角形的斜边长AB=8，一直线l绕顶点B任意旋转，过A向l作垂线，垂足为H，则线段CH长的取值范围是　　　　　　．

16．如图，Rt△ABC的直角边BC在x轴上，斜边AC上的中线BD交y轴于点E，双曲线的y=（k＞0）图象经过点A，若△BEC的面积为4，则k=　　　　　　．

三、解答题(本大题共10小题，满分102分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17．计算：

（1）﹣2sin60°+（）﹣1﹣|1﹣|；

（2）÷（x+2﹣）．

18．袋中有1个红球和2个黑球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸除1个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1球，像这样有放回地先后摸球2次．摸出红球得2分，摸出黑球得1分．

（1）第一次摸得黑球的概率是多少？

（2）两次摸球所得总分是4分的概率是多少？

19．已知y1=x2﹣2x+3，y2=3x﹣k．

（1）当x=1时，求出使等式y1=y2成立的实数k；

（2）若关于x的方程y1+k=y2有实数根，求k的取值范围．

20．某市教育局为了了解初一学生第一学期参加社会实践活动的情况，随机抽查了本市部分初一学生第一学期参加社会实践活动的天数，并将得到的数据绘制成了下面两幅不完整的统计图．

请根据图中提供的信息，回答下列问题：

（1）扇形统计图中a的值为　　　　　　%，该扇形圆心角的度数为　　　　　　；

（2）补全条形统计图；

（3）如果该市共有初一学生20000人，请你估计“活动时间不少于5天”的大约有多少人？

21．小明用12元买软面笔记本，小丽用21元买硬面笔记本．已知每本硬面笔记本比软面笔记本贵1.2元，小明和小丽能买到相同本数的笔记本吗？

22．如图，在楼房AB和塔CD之间有一棵树EF，从楼顶A处经过树顶E点恰好看到塔的底部D点，且俯角α为45°．从距离楼底B点1米的P点处经过树顶E点恰好看到塔的顶部C点，且仰角β为30°．已知树高EF=9米，求塔CD的高度．（结果保留根号）

23．如图，点B在线段AF上，分别以AB、BF为边在线段AF的同侧作正方形ABCD和正方形BFGE，连接CF和DE，CF交EG于H．

（1）若E是BC的中点，求证：DE=CF；

（2）若∠CDE=30°，求的值．

24．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，连接AC交⊙O于点D，E为上一点，连结AE、BE，BE交AC于点F，且∠AFE=∠EAB．

（1）试说明E为的中点；

（2）若点E到弦AD的距离为1，cos∠C=，求⊙O的半径．

25．已知两个一次函数y1=x+2﹣a和y2=﹣x+2+．

（1）点（2，2）是否在这两个一次函数的图象上？为什么？

（2）当a=2时，求这两个一次函数图象与x轴所围成的三角形的面积；

（3）当a满足0＜a＜2时，求这两个一次函数图象与两坐标轴所围成的四边形面积的最小值．

26．如图，已知抛物线y=（x+2）（x﹣4）（k为常数，且k＞0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y=﹣x+b与抛物线的另一交点为D．

（1）若点D的横坐标为﹣5，求抛物线的函数表达式；

（2）若在第一象限内的抛物线上有点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与△ABC相似，求k的值；

（3）在（1）的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？

2016年江苏省泰州市海陵区中考数学一模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（共6小题，每小题3分，满分18分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，选择正确选项的字母代号涂在答题卡相应的位置上）

1．﹣2的倒数是（　　）

A．2 B． C．﹣ D．﹣2

【考点】倒数．

【分析】根据倒数定义可知，﹣2的倒数是﹣．

【解答】解：﹣2的倒数是﹣．

故选：C．

2．下列运算正确的是（　　）

A．3﹣2=1 B． +1= C．﹣= D．6+=7

【考点】二次根式的加减法．

【分析】直接利用合并同类项法则计算，进而化简求出答案．

【解答】解：A、3﹣2=，故此选项错误；

B、+1，无法计算，故此选项错误；

C、﹣，无法计算，故此选项错误；

D、6+=7，正确．

故选：D．

3．以下几家银行行标中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

【考点】中心对称图形；轴对称图形．

【分析】根据中心对称图形以及轴对称图形的定义和各图形的特点即可求解．

【解答】解：A、既是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项正确；

B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；

C、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项错误

D、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项错误．

故选A．

4．一个简单空间几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（　　）

A．三棱锥 B．四棱锥 C．三棱柱 D．四棱柱

【考点】由三视图判断几何体．

【分析】先根据主视图和左视图可得这个几何体是锥体，再根据俯视图即可得出这个几何体是四棱锥．

【解答】解：根据主视图和左视图可得：这个几何体是锥体；

根据俯视图可得：这个几何体是四棱锥；

故选B．

5．学校广播站要招聘1名记者，小亮和小丽报名参加了3项素质测试，成绩如下：

将写作能力、普通话水平、计算机水平这三项的总分由原先按3：5：2计算，变成按5：3：2计算，总分变化情况是（　　）

A．小丽增加多 B．小亮增加多

C．两人成绩不变化 D．变化情况无法确定

【考点】加权平均数．

【分析】根据题意可以分别求出按3：5：2计算时小亮和小丽的成绩以及按5：3：2计算时小亮和小丽的成绩，从而可以得到他们的成绩的变化情况，本题得以解决．

【解答】解：当写作能力、普通话水平、计算机水平这三项的总分按3：5：2计算时，

小亮的成绩是： =74.7，

小丽的成绩是： =74.4，

当写作能力、普通话水平、计算机水平这三项的总分按5：3：2计算时，

小亮的成绩是： =77.7，

小丽的成绩是： =69.6，

故写作能力、普通话水平、计算机水平这三项的总分由原先按3：5：2计算，变成按5：3：2计算，

小亮的成绩变化是77.7﹣74.7=3，

小丽的成绩变化是69.6﹣74.4=﹣4.8，

故小亮成绩增加的多，

故选B．

6．设二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当x=2时，函数值y=0，则方程ax2+bx+c=0的判别式△=b2﹣4ac必定是（　　）

A．△=0 B．△＜0 C．△＞0 D．△≥0

【考点】抛物线与x轴的交点．

【分析】当二次函数与x轴只有一个交点时，△=0，当二次函数与x轴有两个交点时，△＞0，当二次函数与x轴没有交点时，△＜0，根据以上知识点判断即可．

【解答】解：∵x=2时，函数值y=0，

∴二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）和x轴的一个交点的坐标为（2，0），

当函数和x轴还交于一点时，△＞0，

当函数和x轴再没有交点时，△=0，

即方程ax2+bx+c=0的判别式△=b2﹣4ac必定是△≥0，

故选D．

二、填空题（共10小题，每小题3分，满分30分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上）

7．25的平方根等于　±5　．

【考点】平方根．

【分析】利用平方根定义计算即可得到结果．

【解答】解：25的平方根等于±5，

故答案为：±5

8．今年2月份，泰州市6个省级经济开发区共完成出口316000000美元，将这个数据用科学记数法表示，应为　3.16×108　美元．

【考点】科学记数法—表示较大的数．

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【解答】解：将316000000用科学记数法表示为：316000000=3.16×108．

故答案为：3.16×108．

9．连续抛掷一枚均匀的硬币两次，结果出现一正一反的概率等于　　．

【考点】列表法与树状图法．

【分析】举出所有情况，看一正一反的情况数占总情况数的多少即可．

【解答】解：如图，共4种情况，一正一反的情况数有2种，所以概率是．

故答案为：

10．一组数据6，8，10的方差等于　　．

【考点】方差．

【分析】先求出这组数据的平均数，然后代入方差计算公式求出即可．

【解答】解：平均数为：（6+8+10）÷3=8，

S2= [（6﹣8）2+（8﹣8）2+（10﹣8）2]

= [（4+0+4）

=，

故答案为：．

11．如果两个相似三角形的相似比是2：3，较小三角形的面积为4cm2，那么较大三角形的面积为　9　cm2．

【考点】相似三角形的性质．

【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出面积比，根据题意计算即可．

【解答】解：∵两个相似三角形的相似比是2：3，

∴两个相似三角形的面积比是4：9，又较小三角形的面积为4cm2，

那么较大三角形的面积为9cm2，

故答案为：9．

12．圆心角为120°的扇形，其面积等于12πcm2，则这个扇形的半径等于　6　cm．

【考点】扇形面积的计算．

【分析】设该扇形的半径是rcm，再根据扇形的面积公式即可得出结论．

【解答】解：设该扇形的半径是rcm，则

12π=，

解得r=6．

故答案是：6．

13．如图，直线l1∥l2，∠2=40°，则∠1+∠3+∠4=　220　°．

【考点】平行线的性质．

【分析】根据平行线的性质得到∠ABE=∠1，∠EBC=∠BCF，∠FCD+∠4=180°，等量代换得到结论．

【解答】解：如图，过B作BE∥l1，CF∥l1，

∵直线l1∥l2，

∴BE∥CF∥l1∥l2，

∴∠ABE=∠1，∠EBC=∠BCF，∠FCD+∠4=180°，

∴∠1+∠3+∠4=∠2+180°=220°，

故答案为：220．

14．如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，且∠BAC=20°，则∠D=　110　°．

【考点】圆周角定理．

【分析】连接BD，根据圆周角定理求出∠ADB及∠BDC的度数，进而可得出结论．

【解答】解：连接BD，

∵AB是半圆的直径，

∴∠ADB=90°．

∵∠BAC=20°，

∴∠BDC=20°，

∴∠D=∠ADB+∠BDC=90°+20°=110°．

故答案为：110．

15．如图，等腰直角三角形的斜边长AB=8，一直线l绕顶点B任意旋转，过A向l作垂线，垂足为H，则线段CH长的取值范围是　0≤CH≤8　．

【考点】旋转的性质；等腰直角三角形．

【分析】首先证明A、C、H、B四点共圆，再根据CH是弦即可确定其范围．

【解答】解：如图，∵∠ACB=∠AHB=90°，

∴A、C、H、B四点共圆，

∵AB是直径，CH是弦，

∴CH的最小值是0（此时C与H重合），

CH的最大值是直径，

∴0≤CH≤8．

故答案为0≤CH≤8．

16．如图，Rt△ABC的直角边BC在x轴上，斜边AC上的中线BD交y轴于点E，双曲线的y=（k＞0）图象经过点A，若△BEC的面积为4，则k=　8　．

【考点】反比例函数系数k的几何意义．

【分析】由BD为Rt△ABC斜边AC上的中线，可得出BD=CD=AD，进而得出∠DCB=∠DBC，再由EO⊥BC得出∠BOE=CBA，从而得出△BOE∽△CBA，由相似三角形的性质可得出，再结合△BEC的面积为4以及反比例函数系数k的几何意义即可得出结论．

【解答】解：∵BD为Rt△ABC斜边AC上的中线，

∴BD=CD=AD，

∴∠DCB=∠DBC，

又∵EO⊥BC，

∴∠BOE=CBA=90°，

∴△BOE∽△CBA，

∴，

即BC•OE=OB•BA．

又∵S△BCE=BC•OE=4，

∴OB•BA=|k|=8，

∴k=±8，

∵k＞0，

∴k=8．

故答案为8．

三、解答题(本大题共10小题，满分102分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17．计算：

（1）﹣2sin60°+（）﹣1﹣|1﹣|；

（2）÷（x+2﹣）．

【考点】实数的运算；分式的混合运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．

【分析】（1）原式第一项化为最简二次根式，第二项利用特殊角的三角函数值计算，第三项利用负整数指数幂法则计算，最后一项利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果；

（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．

【解答】解：（1）原式=2﹣2×+2﹣+1=3；

（2）原式=÷=•=．

18．袋中有1个红球和2个黑球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸除1个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1球，像这样有放回地先后摸球2次．摸出红球得2分，摸出黑球得1分．

（1）第一次摸得黑球的概率是多少？

（2）两次摸球所得总分是4分的概率是多少？

【考点】列表法与树状图法．

【分析】（1）根据题意作出树状图，然后根据概率公式解答；

（2）根据得分，写出两次都摸出红球的概率即可．

【解答】解：（1）由题意画出树状图如下：

第一次摸得黑球的概率是；

（2）一共有9种情况，两次摸得红球的情况只有一次，

所以，所得总分是4分的情况只有一种，

所以，P（所得总分是4分）=．

19．已知y1=x2﹣2x+3，y2=3x﹣k．

（1）当x=1时，求出使等式y1=y2成立的实数k；

（2）若关于x的方程y1+k=y2有实数根，求k的取值范围．

【考点】根与系数的关系；根的判别式．

【分析】（1）把x=1代入y1=y2即x2﹣2x+3=3x﹣k，得关于k的方程，解方程可得k的值；

（2）由方程y1+k=y2即x2﹣2x+3+k=3x﹣k有实数根，可得△≥0，解不等式可得k的范围．

【解答】解：（1）当x=1时，y1=2，y2=3﹣k，

根据题意，得：2=3﹣k，

解得：k=1；

（2）由题意，x2﹣2x+3+k=3x﹣k，即x2﹣5x+3+2k=0有实数根，

∴△=（﹣5）2﹣4（3+2k）≥0，

解得：k≤．

20．某市教育局为了了解初一学生第一学期参加社会实践活动的情况，随机抽查了本市部分初一学生第一学期参加社会实践活动的天数，并将得到的数据绘制成了下面两幅不完整的统计图．

请根据图中提供的信息，回答下列问题：

（1）扇形统计图中a的值为　25　%，该扇形圆心角的度数为　90°　；

（2）补全条形统计图；

（3）如果该市共有初一学生20000人，请你估计“活动时间不少于5天”的大约有多少人？

【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．

【分析】（1）用1减去其他天数所占的百分比即可得到a的值，用360°乘以它所占的百分比，即可求出该扇形所对圆心角的度数；

（2）先求出参加社会实践活动的总人数，再乘以参加社会实践活动为6天的所占的百分比，求出参加社会实践活动为6天的人数，从而补全统计图；

（3）用总人数乘以活动时间不少于5天的人数所占的百分比即可求出答案．

【解答】解：（1）扇形统计图中a=1﹣30%﹣15%﹣10%﹣5%﹣15%=25%，

该扇形所对圆心角的度数为360°×25%=90°；

故答案为：25，90°；

（2）参加社会实践活动的总人数是： =200（人），

则参加社会实践活动为6天的人数是：200×25%=50（人），

补图如下：

（3）该市初一学生第一学期社会实践活动时间不少于5天的人数约是：

20000×（30%+25%+20%）=15000（人）．

21．小明用12元买软面笔记本，小丽用21元买硬面笔记本．已知每本硬面笔记本比软面笔记本贵1.2元，小明和小丽能买到相同本数的笔记本吗？

【考点】分式方程的应用．

【分析】假设能买到相同数量的软面本和硬面本，设软面本每本x元，则硬面本（x+1.2）元，根据题意可得方程： =，解分式方程后可以算出答案．，

【解答】解：假设能买到相同数量的软面本和硬面本，

设软面本每本x元，则硬面本（x+1.2）元，

根据题意可得方程： =，

解得：x=1.6，

经检验：x=1.6是原分式方程的解，

12÷1.6=7.5，

∵7.5不是整数．

∴不能买到相同的两种笔记本．

22．如图，在楼房AB和塔CD之间有一棵树EF，从楼顶A处经过树顶E点恰好看到塔的底部D点，且俯角α为45°．从距离楼底B点1米的P点处经过树顶E点恰好看到塔的顶部C点，且仰角β为30°．已知树高EF=9米，求塔CD的高度．（结果保留根号）

【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．

【分析】根据题意求出∠BAD=∠ADB=45°，进而根据等腰直角三角形的性质求得FD，在Rt△PEH中，利用特殊角的三角函数值分别求出BF，即可求得PG，在Rt△PCG中，继而可求出CG的长度．

【解答】解：由题意可知∠BAD=∠ADB=45°，

∴FD=EF=9米，

在Rt△PEH中，∵tanβ==，即=，

∴BF=8，

∴PG=BD=BF+FD=8+9，

在Rt△PCG中，

∵tanβ=，

∴CG=（8+9）•=8+3，

∴CD=（9+3）米．

答：塔CD的高度为（9+3）米．

23．如图，点B在线段AF上，分别以AB、BF为边在线段AF的同侧作正方形ABCD和正方形BFGE，连接CF和DE，CF交EG于H．

（1）若E是BC的中点，求证：DE=CF；

（2）若∠CDE=30°，求的值．

【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．

【分析】（1）根据线段中点的定义可得BE=CE，再根据正方形的四条边都相等可得BC=CD，BE=BF，然后求出BF=CE，再利用“边角边”证明△BCF和△CDE全等，根据全等三角形对应边相等可得DE=CF；

（2）设CE=x，根据∠CDE的正切值表示出CD，然后求出BE，从而得到∠BCF的正切值，再根据两直线平行，内错角相等可得∠BCF=∠GFH，然后根据等角的正切值相等解答即可．

【解答】（1）证明：∵E是BC的中点，

∴BE=CE，

在正方形ABCD和正方形BFGE中，BC=CD，BE=BF，

∴BF=CE，

在△BCF和△CDE中，，

∴△BCF≌△CDE（SAS），

∴DE=CF；

（2）解：设CE=x，∵∠CDE=30°，

∴tan∠CDE==，

∴CD=x，

∵正方形ABCD的边BC=CD，

∴BE=BC﹣CE=x﹣x，

∵正方形BFGE的边长BF=BE，

∴tan∠BCF===，

∵正方形BGFE对边BC∥GF，

∴∠BCF=∠GFH，

∵tan∠GFH=，

∴=．

24．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，连接AC交⊙O于点D，E为上一点，连结AE、BE，BE交AC于点F，且∠AFE=∠EAB．

（1）试说明E为的中点；

（2）若点E到弦AD的距离为1，cos∠C=，求⊙O的半径．

【考点】切线的性质．

【分析】（1）只要证明∠EAD=∠ABE，根据∠EFA=∠EAB，∠EFA=∠FAB+∠FBA，∠EAB=∠EAF+∠FAB即可证明．

（2）首先证明∠C=∠AOM，设半径为r，根据cos∠AOM==路程方程即可解决问题．

【解答】解：（1）∵∠EFA=∠EAB，∠EFA=∠FAB+∠FBA，∠EAB=∠EAF+∠FAB，

∴∠EAF=∠ABE，

∴=，

∴点E是中点．

（2）如图，连接EO，交AD于M，

∵=，

∴OE⊥AD，AM=DM，设半径为r，

∵∠C+∠CAB=90°，∠CAB+∠AOM=90°，

∴∠C=∠AOM，

∴cos∠AOM=cos∠C=，

∵cos∠AOM=，EM=1，OM=r﹣1，AO=r，

∴=，

∴r=．

∴⊙O半径为．

25．已知两个一次函数y1=x+2﹣a和y2=﹣x+2+．

（1）点（2，2）是否在这两个一次函数的图象上？为什么？

（2）当a=2时，求这两个一次函数图象与x轴所围成的三角形的面积；

（3）当a满足0＜a＜2时，求这两个一次函数图象与两坐标轴所围成的四边形面积的最小值．

【考点】两条直线相交或平行问题．

【分析】（1）将x=2代入两个函数解析式求出y的值，看是否等于2，即可判断．

（2）求出两个函数图象与x轴的交点坐标，以及两个函数图象的交点即可解决问题．

（3）画出图形，用分割法求面积，利用二次函数的性质解决这种问题．

【解答】解：（1）点（2，2）在这两个一次函数的图象上．

理由：∵x=2时，y1=×2+2﹣a=2，y2=﹣×2+2+=2，

∴点（2，2）在这两个一次函数的图象上．

（2）a=2，y1=x由x轴交于点（0，0），y2=﹣x+3与x轴交于点（6，0）．

∵（2，2，）是这两个一次函数的图象的交点，

∴这两个一次函数图象与x轴所围成的三角形的面积为：×6×2=6．

（3）如图所示，

∵A（2，2），B（a2+2，0），C（0，2﹣a），

∴这两个一次函数图象与两坐标轴所围成的四边形面积S=S△AOC+S△AOB=×（2﹣a）×2+×（a2+2）×2=a2﹣a+4=（a﹣）2+，

∴a=时，S最小值=．

26．如图，已知抛物线y=（x+2）（x﹣4）（k为常数，且k＞0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y=﹣x+b与抛物线的另一交点为D．

（1）若点D的横坐标为﹣5，求抛物线的函数表达式；

（2）若在第一象限内的抛物线上有点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与△ABC相似，求k的值；

（3）在（1）的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？

【考点】二次函数综合题．

【分析】（1）首先求出点A、B坐标，然后求出直线BD的解析式，求得点D坐标，代入抛物线解析式，求得k的值；

（2）因为点P在第一象限内的抛物线上，所以∠ABP为钝角．因此若两个三角形相似，只可能是△ABC∽△APB或△ABC∽△PAB．如答图2，按照以上两种情况进行分类讨论，分别计算；

（3）由题意，动点M运动的路径为折线AF+DF，运动时间：t=AF+DF．如答图3，作辅助线，将AF+DF转化为AF+FG；再由垂线段最短，得到垂线段AH与直线BD的交点，即为所求的F点．

【解答】解：（1）抛物线y=（x+2）（x﹣4），

令y=0，解得x=﹣2或x=4，

∴A（﹣2，0），B（4，0）．

∵直线y=﹣x+b经过点B（4，0），

∴﹣×4+b=0，解得b=，

∴直线BD解析式为：y=﹣x+．

当x=﹣5时，y=3，

∴D（﹣5，3）．

∵点D（﹣5，3）在抛物线y=（x+2）（x﹣4）上，

∴（﹣5+2）（﹣5﹣4）=3，

∴k=．

∴抛物线的函数表达式为：y=（x+2）（x﹣4）．

（2）方法一：

由抛物线解析式，令x=0，得y=﹣k，

∴C（0，﹣k），OC=k．

因为点P在第一象限内的抛物线上，所以∠ABP为钝角．

因此若两个三角形相似，只可能是△ABC∽△APB或△ABC∽△PAB．

①若△ABC∽△APB，则有∠BAC=∠PAB，如答图2﹣1所示．

设P（x，y），过点P作PN⊥x轴于点N，则ON=x，PN=y．

tan∠BAC=tan∠PAB，即：，

∴y=x+k．

∴P（x， x+k），代入抛物线解析式y=（x+2）（x﹣4），

得（x+2）（x﹣4）=x+k，整理得：x2﹣6x﹣16=0，

解得：x=8或x=﹣2（与点A重合，舍去），

∴P（8，5k）．

∵△ABC∽△APB，

∴，即，

解得：k=．

②若△ABC∽△PAB，则有∠ABC=∠PAB，如答图2﹣2所示．

与①同理，可求得：k=．

综上所述，k=或k=．

方法二：

∵点P在第一象限内的抛物线上，∴∠ABP为钝角，

①若△ABC∽△APB，则有∠BAC=∠PAB，

∴KAP+KAC=0，

∵C（0，﹣k），A（﹣2，0），

∴KAC=﹣，

∴KAP=，

∵A（﹣2，0），∴lAP：y=x+k，

∵抛物线：y=（x+2）（x﹣4），

∴x2﹣6x﹣16=0，解得：x=8或x=2（舍）

∴P（8，5k），

∵△ABC∽△APB，∴，

∴，

∴k=，

②若△ABC∽△APB，则有∠ABC=∠PAB，同理可得：k=；

（3）方法一：

如答图3，由（1）知：D（﹣5，3），

如答图2﹣2，过点D作DN⊥x轴于点N，则DN=3，ON=5，BN=4+5=9，

∴tan∠DBA===，

∴∠DBA=30°．

过点D作DK∥x轴，则∠KDF=∠DBA=30°．

过点F作FG⊥DK于点G，则FG=DF．

由题意，动点M运动的路径为折线AF+DF，运动时间：t=AF+DF，

∴t=AF+FG，即运动的时间值等于折线AF+FG的长度值．

由垂线段最短可知，折线AF+FG的长度的最小值为DK与x轴之间的垂线段．

过点A作AH⊥DK于点H，则t最小=AH，AH与直线BD的交点，即为所求之F点．

∵A点横坐标为﹣2，直线BD解析式为：y=﹣x+，

∴y=﹣×（﹣2）+=2，

∴F（﹣2，2）．

综上所述，当点F坐标为（﹣2，2）时，点M在整个运动过程中用时最少．

方法二：

作DK∥AB，AH⊥DK，AH交直线BD于点F，

∵∠DBA=30°，

∴∠BDH=30°，

∴FH=DF×sin30°=，

∴当且仅当AH⊥DK时，AF+FH最小，

点M在整个运动中用时为：t=，

∵lBD：y=﹣x+，

∴FX=AX=﹣2，

∴F（﹣2，）．

2016年6月8日

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/47cb632c001ca300a6c30c22590102020640f26c.html