角平分线的性质和判定最新中考试题汇集练习及答案
一.选择题(共10小题)
1.如图,BD平分∠ABC,BC⊥DE于点E,AB=7,DE=4,则S△ABD=( )
A.28 B.21 C.14 D.7
2.如用,AD是△ABC中∠BAC的角平分线,DE⊥AB于点E,S△ABC=24,DE=4,AB=5,则AC的长是( )
A.4 B.5 C.6 D.7
3.如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于点D,且BD=2CD,BC=9cm,则点D到AB的距离为( )
A.3cm B.2cm C.1cm D.4.5cm
4.如图,OP平分∠MON,PA⊥ON于点A,点Q是射线OM上一个动点,若PA=3,则PQ的最小值为( )
A.1.5 B.2 C.3 D.4
5.已知点P在∠AOB的平分线上,∠AOB=60°,OP=10cm,那么点P到OA,OB的距离分别是( )
A.5cm,cm B.4cm,5cm C.5cm,5cm D.5cm,10cm
6.如图,已知在△ABC中,CD是AB边上的高线,BE平分∠ABC,交CD于点E,BC=6,DE=3,则△BCE的面积等于( )
A.10 B.9 C.8 D.6
7.如图,AD是△ABC的角平分线,DF⊥AB,垂足为F,DE=DG,△ADG和△AED的面积分别为51和38,则△EDF的面积为( )
A.6.5 B.5.5 C.8 D.13
8.如图,∠B=∠C=90°,M是BC的中点,DM平分∠ADC,且∠ADC=110°,则∠MAB=( )
A.30° B.35° C.45° D.60°
9.如图,△ABC的三边长分别是6,9,12,其三条角平分线将其分为三个三角形,则S△ABO:S△BCO:S△CAO等于( )
A.1:1:1 B.1:2:3 C.2:3:4 D.3:4:5
10.如图,OP平分∠AOB,PC⊥OA于C,点D是OB上的动点,若PC=6cm,则PD的长可以是( )
A.3cm B.4cm C.5cm D.7 cm
二.填空题(共1小题)
11.如图∠AOP=∠BOP=22.5°,PC∥OA,PD⊥OA于点D,若PD=1,则PC等于 .
三.解答题(共4小题)
12.如图,在平面直角坐标系中,已知点A(a﹣1,a+b),B(a,0),且(a+b﹣3)2+|a﹣2b|=0,C为x轴上点B右侧的动点,以AC为腰作等腰三角形ACD,使AD=AC,∠CAD=∠OAB,直线DB交y轴于点P.
(1)线段AO与线段AB的数量关系是 (填“>”、“≥”、“≤”、“<”或“=”);
(2)求证:△AOC≌△ABD;
(3)若∠CAD=30°,当点C运动时,点P在y轴上的位置是否发生改变,为什么?
13.已知,如图,BD是∠ABC的平分线,AB=BC,点P在BD上,PM⊥AD,PN⊥CD,垂足分别是M、N.试说明:PM=PN.
14.如图,BD平分∠ABC交AC于点D,DE⊥AB于E,DF⊥BC于F,AB=BC=8,若S△ABC=28,求DE的长.
15.如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,DE⊥AB于点E,点F在AC上,且BD=DF.
(1)求证:CF=EB;
(2)请你判断AE、AF与BE之间的数量关系,并说明理由.
角平分线的性质和判定最新中考试题汇集练习及答案
一.选择题(共10小题)
1.如图,BD平分∠ABC,BC⊥DE于点E,AB=7,DE=4,则S△ABD=( )
A.28 B.21 C.14 D.7
【分析】利用角平分线的性质定理即可解决问题;
【解答】解:作DH⊥BA于H.
∵BD平分∠ABC,BC⊥DE,DH⊥AB,
∴DH=DE=4,
∴S△ABD=×7×4=14,
故选:C.
【点评】本题考查角平分线的性质定理,三角形的面积等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型.
2.如用,AD是△ABC中∠BAC的角平分线,DE⊥AB于点E,S△ABC=24,DE=4,AB=5,则AC的长是( )
A.4 B.5 C.6 D.7
【分析】作DF⊥AC于F,如图,根据角平分线定理得到DE=DF=4,再利用三角形面积公式和S△ADB+S△ADC=S△ABC得到×5×4+×AC×4=8,然后解一次方程即可.
【解答】解:作DF⊥AC于F,如图,
∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,
∴DE=DF=4,
∵S△ADB+S△ADC=S△ABC,
∴×5×4+×AC×4=24,
∴AC=7.
故选:D.
【点评】本题考查了角平分线的性质:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
3.如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于点D,且BD=2CD,BC=9cm,则点D到AB的距离为( )
A.3cm B.2cm C.1cm D.4.5cm
【分析】如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于点D,且BD=2CD,BC=9cm,则点D到AB的距离为
【解答】解:如图,过点D作DE⊥AB于E,
∵BD:DC=2:1,BC=79,
∴DC=,
∵AD平分∠BAC,∠C=90°,
∴DE=DC=3.
故选:A.
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质,熟记性质是解题的关键,要注意DC的求法.
4.如图,OP平分∠MON,PA⊥ON于点A,点Q是射线OM上一个动点,若PA=3,则PQ的最小值为( )
A.1.5 B.2 C.3 D.4
【分析】根据角平分线的性质结合点到直线垂线段最短,即可得出PQ≥PA,此题得解.
【解答】解:∵OP平分∠MON,PA⊥ON于点A,PA=3,
∴PQ≥PA=3.
故选:C.
【点评】本题考查了角平分线的性质以及垂线段最短,根据角平分线的性质结合垂线段最短,求出PQ的最小值是解题的关键.
5.已知点P在∠AOB的平分线上,∠AOB=60°,OP=10cm,那么点P到OA,OB的距离分别是( )
A.5cm,cm B.4cm,5cm C.5cm,5cm D.5cm,10cm
【分析】由已知可得∠AOP=∠BOP=30°,已知PC⊥OA,PD⊥OB,OP=10cm,根据直角三角形中30度所对的边是斜边的一半可求得PC,PD的长.
【解答】解:∵点P在∠AOB的平分线上,∠AOB=60°,
∴∠AOP=∠BOP=30°,
∵PC⊥OA,PD⊥OB,OP=10cm,
∴PC=PD=OP=5cm.
故选:C.
【点评】此题主要考查含30度角的直角三角形的性质:在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半.
6.如图,已知在△ABC中,CD是AB边上的高线,BE平分∠ABC,交CD于点E,BC=6,DE=3,则△BCE的面积等于( )
A.10 B.9 C.8 D.6
【分析】作EH⊥BC于H,根据角平分线的性质得到EH=DE=3,根据三角形的面积公式计算即可.
【解答】解:作EH⊥BC于H,
∵BE平分∠ABC,CD是AB边上的高线,EH⊥BC,
∴EH=DE=3,
∴△BCE的面积=×BC×EH=9,
故选:B.
【点评】本题考查的是角平分线的性质,掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键.
7.如图,AD是△ABC的角平分线,DF⊥AB,垂足为F,DE=DG,△ADG和△AED的面积分别为51和38,则△EDF的面积为( )
A.6.5 B.5.5 C.8 D.13
【分析】作DH⊥AC于H,根据角平分线的性质得到DF=DH,证明Rt△DFE≌Rt△DHG,根据题意列出方程,解方程即可.
【解答】解:设△EDF的面积为x,
作DH⊥AC于H,
∵AD是△ABC的角平分线,DF⊥AB,DH⊥AC,
∴DF=DH,
在Rt△DFE和Rt△DHG中,
,
∴Rt△DFE≌Rt△DHG,
由题意得,38+x=51﹣x,
解得,x=6.5,
∴△EDF的面积为6.5,
故选:A.
【点评】本题考查的是角平分线的性质,掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键.
8.如图,∠B=∠C=90°,M是BC的中点,DM平分∠ADC,且∠ADC=110°,则∠MAB=( )
A.30° B.35° C.45° D.60°
【分析】作MN⊥AD于N,根据平行线的性质求出∠DAB,根据角平分线的判定定理得到∠MAB=∠DAB,计算即可.
【解答】解:作MN⊥AD于N,
∵∠B=∠C=90°,
∴AB∥CD,
∴∠DAB=180°﹣∠ADC=70°,
∵DM平分∠ADC,MN⊥AD,MC⊥CD,
∴MN=MC,
∵M是BC的中点,
∴MC=MB,
∴MN=MB,又MN⊥AD,MB⊥AB,
∴∠MAB=∠DAB=35°,
故选:B.
【点评】本题考查的是角平分线的判定和性质,掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键.
9.如图,△ABC的三边长分别是6,9,12,其三条角平分线将其分为三个三角形,则S△ABO:S△BCO:S△CAO等于( )
A.1:1:1 B.1:2:3 C.2:3:4 D.3:4:5
【分析】由角平分线的性质可得,点O到三角形三边的距离相等,即三个三角形的AB、BC、CA的高相等,利用面积公式即可求解.
【解答】解:如图,过点O作OD⊥AC于D,OE⊥AB于E,OF⊥BC于F,
∵O是三角形三条角平分线的交点,
∴OD=OE=OF,
∵AB=6,BC=9,AC=12,
∴S△ABO:S△BCO:S△CAO=2:3:4.
故选:C.
【点评】此题主要考查角平分线的性质和三角形面积的求法,解题时注意:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
10.如图,OP平分∠AOB,PC⊥OA于C,点D是OB上的动点,若PC=6cm,则PD的长可以是( )
A.3cm B.4cm C.5cm D.7 cm
【分析】过点P作PD⊥OB于D,根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PC=PD,再根据垂线段最短解答即可.
【解答】解:作PD⊥OB于D,
∵OP平分∠AOB,PC⊥OA,PD⊥OA,
∴PD=PC=6cm,
则PD的最小值是6cm,
故选:D.
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质,垂线段最短的性质,熟记性质是解题的关键.
二.填空题(共1小题)
11.如图∠AOP=∠BOP=22.5°,PC∥OA,PD⊥OA于点D,若PD=1,则PC等于 .
【分析】过P作PE⊥OB于E,根据角平分线的性质求出PE,根据平行线的性质求出∠CPO,根据三角形外角性质求出∠ECP=45°,解直角三角形求出PC即可.
【解答】解:
过P作PE⊥OB于E,
∵∠AOP=∠BOP=22.5°,PD⊥OA,PD=1,
∴PE=OD=1,
∵PC∥OA,∠AOP=22.5°,
∴∠CPO=∠AOP=22.5°,
∵∠BOP=22.5°,
∴∠ECP=∠CPO+∠BOP=45°,
∵∠PEO=90°,
∴CP==,
故答案为:.
【点评】本题考查了角平分线的性质,平行线的性质,解直角三角形,三角形外角的性质等知识点,能求出PE的长和能求出∠ECP的度数是解此题的关键.
三.解答题(共4小题)
12.如图,在平面直角坐标系中,已知点A(a﹣1,a+b),B(a,0),且(a+b﹣3)2+|a﹣2b|=0,C为x轴上点B右侧的动点,以AC为腰作等腰三角形ACD,使AD=AC,∠CAD=∠OAB,直线DB交y轴于点P.
(1)线段AO与线段AB的数量关系是 = (填“>”、“≥”、“≤”、“<”或“=”);
(2)求证:△AOC≌△ABD;
(3)若∠CAD=30°,当点C运动时,点P在y轴上的位置是否发生改变,为什么?
【分析】(1)先根据非负数的性质求出a、b的值,作AE⊥OB于点E,由SAS定理得出△AEO≌△AEB,根据全等三角形的性质即可得出结论;
(2)先根据∠CAD=∠OAB,得出∠OAC=∠BAD,再由SAS定理即可得出△AEO≌△AEB;
(3)不变.直线DB过定点B且与x轴相交所成的锐角度数为30°;
【解答】解(1)证明:∵+(a﹣2b)2=0,
∴,解得,
∴A(1,3),B(2,0),
作AE⊥OB于点E
∵A(1,3),B(2,0),
∴OE=1,BE=2﹣1=1,
在△AEO与△AEB中,
∵,
∴△AEO≌△AEB,
∴AO=AB;
故答案为=.
(2)证明:∵∠CAD=∠OAB,
∴∠CAD+∠BAC=∠OAB+∠BAC,即∠OAC=∠BAD,
在△AOC与△ABD中,
∵,
∴△AOC≌△ABD(SAS);
(3)不变.直线DB过定点B且与x轴相交所成的锐角度数为30°.
理由:设AC交BD于K.
∵由(2)知,△AOC≌△ABD,
∴∠ADB=∠ACO,
∵∠AKD=∠BKC,
∴∠DBC=∠DAC=30°,
∴∠OBP=∠DBC=30°
∵OB=2,∠OBP为定值,∠POB=90°,
∴OP长度不变,
∴点P在y轴上的位置不发生改变.
【点评】本题考查的是全等三角形的判定与性质、非负数的性质等知识,解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题,属于中考压轴题.
13.已知,如图,BD是∠ABC的平分线,AB=BC,点P在BD上,PM⊥AD,PN⊥CD,垂足分别是M、N.试说明:PM=PN.
【分析】根据角平分线的定义可得∠ABD=∠CBD,然后利用“边角边”证明△ABD和△CBD全等,根据全等三角形对应角相等可得∠ADB=∠CDB,然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等证明即可.
【解答】证明:∵BD为∠ABC的平分线,
∴∠ABD=∠CBD,
在△ABD和△CBD中,,
∴△ABD≌△CBD(SAS),
∴∠ADB=∠CDB,
∵点P在BD上,PM⊥AD,PN⊥CD,
∴PM=PN.
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质,全等三角形的判定与性质,确定出全等三角形并得到∠ADB=∠CDB是解题的关键.
14.如图,BD平分∠ABC交AC于点D,DE⊥AB于E,DF⊥BC于F,AB=BC=8,若S△ABC=28,求DE的长.
【分析】根据角平分线性质得出DE=DF,根据三角形的面积公式得出关于DE的方程,求出即可.
【解答】解:∵BD平分∠ABC交AC于点D,DE⊥AB,DF⊥BC,
∴DE=DF,
∵S△ABC=28,AB=BC=8,
∴×8×DE+×8×DF=28,
∴8DE=28.
∴DE=3.5.
【点评】本题考查了角平分线定义的应用,能根据角平分线性质得出DE=DF是解此题的关键.
15.如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,DE⊥AB于点E,点F在AC上,且BD=DF.
(1)求证:CF=EB;
(2)请你判断AE、AF与BE之间的数量关系,并说明理由.
【分析】(1)根据角平分线的性质得到DC=DE,根据直角三角形全等的判定定理得到Rt△DCF≌Rt△DEB,根据全等三角形的性质定理得到答案;
(2)根据全等三角形的性质定理得到AC=AE,根据(1)的结论得到答案.
【解答】证明:(1)∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,∠C=90°,
∴DC=DE,
在Rt△DCF和Rt△DEB中,
,
∴Rt△DCF≌Rt△DEB,
∴CF=EB;
(2)AF+BE=AE.
∵Rt△DCF≌Rt△DEB,
∴AC=AE,
∴AF+FC=AE,
即AF+BE=AE.
【点评】本题考查的是角平分线的性质和三角形全等的判定和性质,掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键,注意直角三角形全等的判定方法.
本文来源:https://www.2haoxitong.net/k/doc/46c69c456429647d27284b73f242336c1fb930cd.html
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