单因素方差分析方法

单因素方差分析方法

首先在单因素试验结果的基础上，求出总方差V、组内方差bc3612861aa55826964c5669a6139b0a.png、组间方差e6825e9b45d300447f46af6038c3112b.png。

总方差 v=4f366495cc5e6155a476da69c45d1b90.png

组内方差 bc3612861aa55826964c5669a6139b0a.png=fec039079813f96c4e5b18bca3577893.png

组间方差 e6825e9b45d300447f46af6038c3112b.png=b91665f235465799e7de6f3554be2a90c.png

从公式可以看出，总方差衡量的是所有观测值e8958c6c3114a7d8cc50516874438c22.png对总均值90d79af00b1e8a4722f418bd2fa0a839.png的偏离程度，反映了抽样随机误差的大小，组内方差衡量的是所有观测值e8958c6c3114a7d8cc50516874438c22.png对组均值90d79af00b1e8a4722f418bd2fa0a839.png的偏离程度，而组间方差则衡量的是组均值aa2734a8fe4875ed951b913dbc21b575.png对总均值90d79af00b1e8a4722f418bd2fa0a839.png的偏离程度，反映系统的误差。

在此基础上，还可以得到组间均方差和组内均方差：

组间均方差 d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.pnga3b5f7904505160fb082bb13a8dcdf05.png=fb705419505aed676420133ddee7638c.png

组内均方差 7a9963e40150eb68e050f71a1a967d79.png=529a7ece8b2c03059cdccccf6e9b3d14.png

在方差相等的假定下，要检验n个总体的均值是否相等，须首先给定原假设和备择假设。

原假设 04266b9653b7d499428a475df7efdfaa.png：均值相等即0ac07e9ff2f854dd44a23d968e3588ee.png=fb22d333edf768f05b943aa84072609a.png=…=17f7ac267f159d15f7ff9c3c99f1b193.png

备择假设 edfc55296f9daee7ea4514a4bf26a1ad.png：均值不完全不相等

则可以应用F统计量进行方差检验：

F=f2cd02389e3d4ae390b4ea8d4587e0b0.png=e092efb71e233d8ee4fc53da25f9ec1f.png

该统计量服从分子自由度a-1，分母自由度为ab-a的F分布。

给定显著性水平a，如果根据样本计算出的F统计量的值小于等于临界值a74c473b0aaa61dbf523249b87750dac.png，则说明原假设04266b9653b7d499428a475df7efdfaa.png不成立，总体均值不完全相等，差异并非仅由随机因素引起。

下面通过举例说明如何在Excel中实现单因素方差分析。

例1：单因素方差分析

某化肥生产商需要检验三种新产品的效果，在同一地区选取3块同样大小的农田进行试验，甲农田中使用甲化肥，在乙农田使用乙化肥，在丙地使用丙化肥，得到6次试验的结果如表2所示，试在0.05的显著性水平下分析甲乙丙化肥的肥效是否存在差异。

表2 三块农田的产量

要检验三种化肥的肥效是否存在显著差异，等同于检验三者产量的均值是否相等：给定原假设04266b9653b7d499428a475df7efdfaa.png：三者产量均值相等；备择假设edfc55296f9daee7ea4514a4bf26a1ad.png：三者的产量均不相等，对于影响产量的因素仅化肥种类一项，因此可以采用单因素方差分析进行多总体样本均值检验。

⑴新建工作表“例1”，分别单击B3：D8单元格，输入表2的产量数值。

⑵计算组均值，对应甲的均值，单击B9单元格，在编辑栏输入“=AVERAGE（B3：B8）”，再次单击B9单元格，拖曳鼠标至D9单元格，求出乙和丙的组均值。

⑶计算总均值，单击B10单元格，在编辑栏输入“=AVERAGE（B9：D9）”。计算机结果如图1所示

图1

⑷计算6e90e62a67eae16477f8355bad9bd6ea.png，并求各组的组内方差bc3612861aa55826964c5669a6139b0a.png的值。

求甲组6e90e62a67eae16477f8355bad9bd6ea.png的值，单击B14单元格，在编辑栏输入“=（B3-$B$9）^2”。再次单击B14单元格，拖曳鼠标至B19单元格。

求乙组6e90e62a67eae16477f8355bad9bd6ea.png的值，单击C14单元格，在编辑栏输入“=（C3-$C$9）^2”。再次单击C14单元格，拖曳鼠标至C19单元格。

求丙组6e90e62a67eae16477f8355bad9bd6ea.png的值，单击D14单元格，在编辑栏输入“=（D3-$D$9）^2”。再次单击D14单元格，拖曳鼠标至D19单元格。

计算bc3612861aa55826964c5669a6139b0a.png的值，单击C20单元格，在编辑栏输入“=SUM（B14：D19）”。计算结果如图2所示。

图3

⑸根据组均值和总均值求d6dad9df333395702f5ee42654e3f3bc.png的值，单击B24单元格，在编辑栏输入“=（B9-＄B＄10）^2”。再次单击B24单元格，拖曳鼠标至D24单元格，求出三个组的值。

⑹计算组间方差56148ef0fc3929bdffedf532dbb4da83.png，单击C25单元格，在编辑栏输入“=6*SUM(B24:D24)”。计算结果如图3所示。

图3

⑺计算F统计量的值，单击C28单元格，在编辑栏输入“=C25/（C27-1）/（C20/（C27*E27-C27））”。

⑻计算f3cfbef7213500b3fd2292c67c63adde.png的值，单击C30单元格，在编辑栏输入“=FINV（C29，C27-1，C27*E27-C27）”。

⑼根据临界值给出的检验结果，单击C31单元格，在编辑栏输入“=IF（C28>C30,”三者产量均值不完全相等”,”三者产量均值相等”）”。

最终结果如图4所示。

从图4中可以看出，运用单因素方差分析，接受了原假设04266b9653b7d499428a475df7efdfaa.png，因此在0.05的显著性水平下可以认为三者的均值相等，即三者的肥效无显著差异。

图4

二、方差分析表

在实际工作中，常常将上面的方差分析的过程归纳为一张表格，通过这张表格可以直观地显示出方差分析过程中各个参数的值。

方差分析表作为一种默认的方差分析形式，被许多软件作为方差分析的结果输出。后面介绍的Excel单 因素分析工具的结果输出中，最终便是以方差分析的形式给出分析结果。

对应方差分析的结构如表3所示，其中对于组间方差bc3612861aa55826964c5669a6139b0a.png的计算可直接根据公式bc3612861aa55826964c5669a6139b0a.png=v-e6825e9b45d300447f46af6038c3112b.png给出。

表3 方差分析表

下面通过举例说明如何采用方差分析表给出单因素方差分析的结果。

例2 方案分析表

某公司研制出了A、B、C、D4种新型生产设备，让6个熟练工人分别操作相同的时间，统计他们生产的零件的数量如表4所示，试在0.01的显著水平下检验这4种设备单位时间生产的零件数 是否存在显著差异。

表4 4种机器生产的零件数量

需要检验4中设备单位时间内生产的零件数是否存在显著差异，对应原假设04266b9653b7d499428a475df7efdfaa.png：4种设备生产的零件数均值相等；备择假设edfc55296f9daee7ea4514a4bf26a1ad.png：4种设备生产零件数均值不相等，可采用单因素方差分析予以检验。

⑴新建一工作表“例2”，分别单击B3：E8单元格，输入表4中的零件数。

⑵计算组均值。对应A组的均值，单击B9单元格，在编辑栏输入“=AVERAGE(B3:B8)”，

再次单击B9单元格，拖曳鼠标至D9单元格，求出B、C、D的组均值。

⑶计算总均值。单击B10单元格，在编辑栏输入“=AVERAGE(B9：D9)”。计算结果如图5所示。

⑷根据组均值和总均值计算组间方差e6825e9b45d300447f46af6038c3112b.png。

求d6dad9df333395702f5ee42654e3f3bc.png的值，单击B14单元格，在编辑栏输入“=（B9-＄B＄10）^2”。再次单击B14单元格，拖曳鼠标至E14单元格，求出三个组的值。

计算e6825e9b45d300447f46af6038c3112b.png的值，单击C15单元格，在编辑栏输入“=SUM（B14：E14）*6”。计算结果如图6所示。

图6

⑸根据总均值计算方差v。

求a36cb63d34aea837219d22f89489cc29.png的值，单击B19单元格，在编辑栏输入“=（B3-＄B＄10）^2”。再次单击B19单元格，拖曳鼠标至E24单元格，求出所有的值。

计算v的值，单击C25单元格，在编辑栏输入“=SUM（B19：E24）”。计算结果如图7所示。

⑹方差分析表结构，根据总方差和组间方差计算组内方差，单击C33单元格在编辑栏输入“=C34-C32”

⑺分别给出自由度，单击D32单元格，在编辑栏输入“=C27-1”；单击D33单元格，在编辑栏输入“=C27*E27-C27”；单击D34单元格，在编辑栏输入“=C27*E27—1”。

⑻计算方差分析表中的均方差。

组间均方差，单击E32单元格，在编辑栏输入“=C32/D32”。

组内均方差，单击E33单元格，在编辑栏输入“=C33/D33”。

⑼计算F统计量的值，单击F32单元格，在编辑栏输入“=E32/E33”。结果如图9所示。

图9

⑽根据F值计算p值，单击G32单元格，在编辑栏输入“=FDIST（F32，D32，D33）”。

说明：1-p值反映了可以以多大的把握认为原假设成立。如果计算的p值小于给定的显著性水平0.05则应该接受原假设，否则应拒绝原假设。

⑾给出检验结论，单击C36单元格，在编辑栏输入“=IF（G32“四种设备生产的零件数均值相等”，“四种设备生产零件数均值不相等”）”。结果如图10所示

图10

从图10可以看出，运用方差分析表，拒绝原假设04266b9653b7d499428a475df7efdfaa.png，因此在0.01的显著性水平下认为三者均值不相等，即四种设备单位时间内生产的零件数的均值不相等。

在Excel运用方差分析-单因素方差分析工具进行方差分析。

例3 方差分析：单因素方差分析

仍采用例2中的数据，某公司研制出了A、B、C、D4种新型设备，让6个熟练工人分别操作相同的时间，统计生产的零件数量如表4所示，试应用方差分析：单因素方差分析在0.01的显著性水平下检验这4种设备单位时间生产的零件数是否存在显著差异。

给定原假设04266b9653b7d499428a475df7efdfaa.png：4种设备生产的零件数均值相等，备折假设edfc55296f9daee7ea4514a4bf26a1ad.png：4种设备生产的零件数均值不相等，应用方差分析：单因素方差分析工具予以检验，具体操作步骤如下：

⑴新建一个工作表“例3”，分别单击B3：E8单元格，输入表4中4台机器对应的零件数。

⑵选择“方差分析：单因素方差分析工具”进行分析，单击【工具】菜单中的【数据分析】选项，出现【数据分析】对话框。

在【数据分析】对话框中，单击【方差分析：单因素方差分析】，如图11所示，单击【确定】按钮。

⑶

有人问我，爱情是什么？我不知道，也无从回答，我只知道，为了遇到那个人，我等待了很多年，甚至快要忘了自己到底寻找的是什么？

　　是心灵的寄托还是真实的感受，我不知道，也不在乎，我执着于这份寻觅，我也不怕世事沧桑，更不怕容颜老去，哪怕还有一丝微弱的光，我都会朝着光芒勇敢的追逐。

　　爱情的世界里，究竟是什么样子？我曾经问了自己无数遍，我想象着，却给不出任何答案。我只知道： 我要遇见你，我渴望见到你 ,我要把全部的爱给予你！我为什么如此渴望爱情？因为我相信我们的爱情早已命中注定。

　　都说，住在爱情世界里的人会变傻，她的欢喜和忧愁都会牵动着你的心，她哭了，你会心疼不已；她高兴，你会开心一整天。

　　你会无时无刻的关注她的喜怒哀乐，第一时间回复她的消息，只要有时间 ,你的脑海里都是她的影子，为了让她开心快乐，做什么都是值得的。从此，你的世界里最重要的人就变成了她。

　　有时候，你们也会吵架，可你从来不生气，因为你爱她，换作别人你会置之不理，而她的一句玩笑话你都会深思半天，到底是自己哪里做的不够好。

　　因为你怕她生气，怕她伤身，怕她不够幸福，你只想把全世界的爱都给她，这样的吵架让你更心疼、更深爱她。

　　而他也和你一样，小心翼翼的呵护你们的爱情，都愿意为对方付出，都愿意对方是那个被爱多一点的人。

　　爱情的世界里，没有对与错，只有爱与被爱，两个人都想多爱对方一点点 ,都想做那个爱的最深的人 ,她会把你放在心底，让你聆听她想你时的心跳，让你感受连呼吸的空气都有你的味道。

　　有人说，爱情有保鲜期，哪怕两个深爱的人，也逃不了魔咒。

　　还有人说，男人比女人更容易动情，也更容易放弃爱情，甚至移情别恋 ,而我却笃定爱情的世界里只有你和我 .

　　还记得吗？你曾经无数次问我，什么时候去看你，而我何尝不想时刻在你身边！或许我们的爱情就是适合天南海北各居一方，也许这才是我们爱情保鲜的秘籍，静静的欣赏，悄悄的守望，深深的爱着 .

　　最美的爱情莫过于，一起漫步夕阳西下，看岁月写满人世繁华，一起欣赏落日余晖，听时光吟唱岁月静好。

有人问我，爱情是什么？我不知道，也无从回答，我只知道，为了遇到那个人，我等待了很多年，甚至快要忘了自己到底寻找的是什么？

　　是心灵的寄托还是真实的感受，我不知道，也不在乎，我执着于这份寻觅，我也不怕世事沧桑，更不怕容颜老去，哪怕还有一丝微弱的光，我都会朝着光芒勇敢的追逐。

　　爱情的世界里，究竟是什么样子？我曾经问了自己无数遍，我想象着，却给不出任何答案。我只知道： 我要遇见你，我渴望见到你 ,我要把全部的爱给予你！我为什么如此渴望爱情？因为我相信我们的爱情早已命中注定。

　　都说，住在爱情世界里的人会变傻，她的欢喜和忧愁都会牵动着你的心，她哭了，你会心疼不已；她高兴，你会开心一整天。

　　你会无时无刻的关注她的喜怒哀乐，第一时间回复她的消息，只要有时间 ,你的脑海里都是她的影子，为了让她开心快乐，做什么都是值得的。从此，你的世界里最重要的人就变成了她。

　　有时候，你们也会吵架，可你从来不生气，因为你爱她，换作别人你会置之不理，而她的一句玩笑话你都会深思半天，到底是自己哪里做的不够好。

　　因为你怕她生气，怕她伤身，怕她不够幸福，你只想把全世界的爱都给她，这样的吵架让你更心疼、更深爱她。

　　而他也和你一样，小心翼翼的呵护你们的爱情，都愿意为对方付出，都愿意对方是那个被爱多一点的人。

　　爱情的世界里，没有对与错，只有爱与被爱，两个人都想多爱对方一点点 ,都想做那个爱的最深的人 ,她会把你放在心底，让你聆听她想你时的心跳，让你感受连呼吸的空气都有你的味道。

　　有人说，爱情有保鲜期，哪怕两个深爱的人，也逃不了魔咒。

　　还有人说，男人比女人更容易动情，也更容易放弃爱情，甚至移情别恋 ,而我却笃定爱情的世界里只有你和我 .

　　还记得吗？你曾经无数次问我，什么时候去看你，而我何尝不想时刻在你身边！或许我们的爱情就是适合天南海北各居一方，也许这才是我们爱情保鲜的秘籍，静静的欣赏，悄悄的守望，深深的爱着 .

　　最美的爱情莫过于，一起漫步夕阳西下，看岁月写满人世繁华，一起欣赏落日余晖，听时光吟唱岁月静好。

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/468b99385a0216fc700abb68a98271fe910eaf5c.html