福建省 高考数学模拟试卷（理科）（5月份）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知全集为R，集合M={﹣1，1，2，4}，N={x|x2﹣2x＞3}，则M∩（∁RN）=（ ）
A．{﹣1，1，2} B．{1，2} C．{4} D．{x|﹣1≤x≤2}
2．复数z满足z（1﹣i）=|1+i|，则复数z的共轭复数在复平面内的对应点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．函数f（x）=Asin（x+φ）（A＞0）在x=处取得最小值，则（ ）
A．f（x+）是奇函数 B．f（x+
）是偶函数
C．f（x﹣）是奇函数 D．f（x﹣
）是偶函数
4．在△ABC中，
=5，
=4，则AB=（ ）
A．9 B．3 C．2 D．1
5．已知某工程在很大程度上受当地年降水量的影响，施工期间的年降水量X（单位：mm）对工期延误天数Y的影响及相应的概率P如表所示：
在降水量X至少是100的条件下，工期延误不超过15天的概率为（ ）
A．0.1 B．0.3 C．0.42 D．0.5
6．若x，y满足约束条件且目标函数z=ax﹣y取得最大值的点有无数个，则z的最小值等于（ ）
A．﹣2 B．﹣ C．﹣
D．
7．执行如图的程序框图，若输入n值为4，则输出的结果为（ ）
A．8 B．21 C．34 D．55
8．（x+2+）5的展开式中，x2的系数为（ ）
A．45 B．60 C．90 D．120
9．正项等比数列{an}满足a1=1，a2a6+a3a5=128，则下列结论正确的是（ ）
A．∀n∈N*，anan+1≤an+2 B．∃n∈N*，an+an+2=2an+1
C．∀n∈N*，Sn＜an+1 D．∃n∈N*，an+an+3=an+1+an+2
10．双曲线的左右焦点为F1，F2，P是双曲线上一点，满足|PF2|=|F1F2|，直线PF1与圆x2+y2=a2相切，则双曲线的离心率为（ ）
A． B．
C．
D．
11．一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积等于（ ）
A．2 B． C．
D．3
12．设m∈R，函数f（x）=（x﹣m）2+（e2x﹣2m）2，若存在x0使得f（x0）≤成立，则m=（ ）
A． B．
C．
D．
二、填空题：本大题4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡相应位置．
13．若函数f（x）=，g（x）=f（x）+ax，x∈[﹣2，2]为偶函数，则实数a= ．
14．所有棱长均为2的正四棱锥的外接球的表面积等于 ．
15．抛物线C：y2=4x的准线与x轴交于M，过焦点F作倾斜角为60°的直线与C交于A，B两点，则tan∠AMB= ．
16．数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=2，Sn+1+（﹣1）nSn=2n，则S100= ．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知1+=
．
（I）求A；
（Ⅱ）若BC边上的中线AM=2，高线AH=
，求△ABC的面积．
18．为了研究某学科成绩是否与学生性别有关，采用分层抽样的方法，从高三年级抽取了30名男生和20名女生的该学科成绩，得到如图所示男生成绩的频率分布直方图和女生成绩的茎叶图，规定80分以上为优分（含80分）．
（Ⅰ）（i）请根据图示，将2×2列联表补充完整；
（ii）据此列联表判断，能否在犯错误概率不超过10%的前提下认为“该学科成绩与性别有关”？
（Ⅱ）将频率视作概率，从高三年级该学科成绩中任意抽取3名学生的成绩，求至少2名学生的成绩为优分的概率．
附：
K2=．
19．如图所示，四棱锥P﹣ABCD的底面是梯形，且AB∥CD，AB⊥平面PAD，E是PB中点，CD=PD=AD=AB．
（Ⅰ）求证：CE⊥平面PAB；
（Ⅱ）若CE=，AB=4，求直线CE与平面PDC所成角的大小．
20．在平面直角坐标系xOy中，已知点A，B的坐标分别为（﹣2，0），（2，0）．直线AP，BP相交于点P，且它们的斜率之积是﹣．记点P的轨迹为Г．
（Ⅰ）求Г的方程；
（Ⅱ）已知直线AP，BP分别交直线l：x=4于点M，N，轨迹Г在点P处的切线与线段MN交于点Q，求的值．
21．已知a∈R，函数f（x）=ex﹣1﹣ax的图象与x轴相切．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当x＞1时，f（x）＞m（x﹣1）lnx，求实数m的取值范围．
四.请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲]
22．如图所示，△ABC内接于圆O，D是的中点，∠BAC的平分线分别交BC和圆O于点E，F．
（Ⅰ）求证：BF是△ABE外接圆的切线；
（Ⅱ）若AB=3，AC=2，求DB2﹣DA2的值．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）．以O为极点，x轴正半轴为极轴，并取相同的单位长度建立极坐标系．
（Ⅰ）写出C1的极坐标方程；
（Ⅱ）设曲线C2： +y2=1经伸缩变换
后得到曲线C3，射线θ=
（ρ＞0）分别与C1和C3交于A，B两点，求|AB|．
[选修4-5：不等式选讲]
24．已知不等式|x+3|＜2x+1的解集为{x|x＞m}．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）设关于x的方程|x﹣t|+|x+|=m（t≠0）有解，求实数t的值．
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知全集为R，集合M={﹣1，1，2，4}，N={x|x2﹣2x＞3}，则M∩（∁RN）=（ ）
A．{﹣1，1，2} B．{1，2} C．{4} D．{x|﹣1≤x≤2}
【考点】交、并、补集的混合运算．
【分析】求出N中不等式的解集确定出N，根据全集R，求出N的补集，找出M与N补集的交集即可．
【解答】解：由N中不等式变形得：（x﹣3）（x+1）＞0，
解得：x＜﹣1或x＞3，即N=（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞），
∵全集为R，∴∁RN=[﹣1，3]，
∵M={﹣1，1，2，4}，
∴M∩（∁RN）={﹣1，1，2}，
故选：A．
2．复数z满足z（1﹣i）=|1+i|，则复数z的共轭复数在复平面内的对应点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】复数的代数表示法及其几何意义．
【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义即可得出．
【解答】解：z（1﹣i）=|1+i|，∴z（1﹣i）（1+i）=（1+i），
∴z=+
i，
则复数z的共轭复数+
i在复平面内的对应点位于第四象限．
故选：D．
3．函数f（x）=Asin（x+φ）（A＞0）在x=处取得最小值，则（ ）
A．f（x+）是奇函数 B．f（x+
）是偶函数
C．f（x﹣）是奇函数 D．f（x﹣
）是偶函数
【考点】正弦函数的图象．
【分析】由f（）=fmin（x）可知直线x=
是f（x）的一条对称轴．故将f（x）图象向左平移
个单位后关于y轴对称．
【解答】解：∵f（x）在x=处取得最小值，
∴直线x=是f（x）的一条对称轴．
∴将f（x）的函数图象向左平移个单位后关于y轴对称，
∴f（x+）是偶函数．
故选B．
4．在△ABC中，
=5，
=4，则AB=（ ）
A．9 B．3 C．2 D．1
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】由=4，得
，与
=5作和，然后结合向量加法的运算法则求得
得答案．
【解答】解：由=4，得
，
即，
又=5，
∴﹣
=
，
即．
∴AB=3．
故选：B．
5．已知某工程在很大程度上受当地年降水量的影响，施工期间的年降水量X（单位：mm）对工期延误天数Y的影响及相应的概率P如表所示：
在降水量X至少是100的条件下，工期延误不超过15天的概率为（ ）
A．0.1 B．0.3 C．0.42 D．0.5
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【分析】分别求出两个事件发生的概率，利用条件概率公式求得答案．
【解答】解：降水量X至少是100的条件下，工期延误不超过15天的概率P，
设：降水量X至少是100为事件A，工期延误不超过15天的事件B，
P（A）=0.6，P（AB）=0.3，
P=P（B丨A）==0.5，
故答案选：D．
6．若x，y满足约束条件且目标函数z=ax﹣y取得最大值的点有无数个，则z的最小值等于（ ）
A．﹣2 B．﹣ C．﹣
D．
【考点】简单线性规划．
【分析】化简可得y=ax﹣z，再作出平面区域，从而可得a=﹣，化简直线y=﹣
x﹣z，从而可知过点（﹣1，1）时有最小值，代入求之即可．
【解答】解：∵z=ax﹣y，
∴y=ax﹣z，
故直线y=ax﹣z的截距为﹣z，
作平面区域如下，
，
故a=﹣，故直线y=﹣
x﹣z，
故过点（﹣1，1）时，有最小值z=﹣×（﹣1）﹣1=﹣
，
故选C．
7．执行如图的程序框图，若输入n值为4，则输出的结果为（ ）
A．8 B．21 C．34 D．55
【考点】程序框图．
【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的s，t，i的值，当n=4时不满足条件i＜4，退出循环，输出s+t的值为21，从而得解．
【解答】解：模拟执行程序框图，可得
n=4，s=1，t=1，i=1
满足条件i＜4，执行循环体，可得：s=2，t=3，i=2
满足条件i＜4，执行循环体，可得：s=4，t=7，i=3
满足条件i＜4，执行循环体，可得：s=7，t=14，i=4
不满足条件i＜4，退出循环，输出s+t的值为21．
故选：B．
8．（x+2+）5的展开式中，x2的系数为（ ）
A．45 B．60 C．90 D．120
【考点】二项式定理的应用．
【分析】利用完全平方公式对原式变形可知，问题即求（+
）10的展开式中x2的系数，进而计算可得结论．
【解答】解：∵x+2+=（
+
）2，
∴（x+2+）5=（
+
）10，
∴Tk+1=•
=
x5﹣k，
令5﹣k=2，则k=3，故x2的系数为=120，
故选：D．
9．正项等比数列{an}满足a1=1，a2a6+a3a5=128，则下列结论正确的是（ ）
A．∀n∈N*，anan+1≤an+2 B．∃n∈N*，an+an+2=2an+1
C．∀n∈N*，Sn＜an+1 D．∃n∈N*，an+an+3=an+1+an+2
【考点】等比数列的通项公式．
【分析】根据题意先求出q，求出通项公式，再分别判断即可．
【解答】解：设公比为q，正项等比数列{an}满足a1=1，a2a6+a3a5=128，
∴q6+q6=128，
∴q6=64=26，解得q=2，
∴an=2n﹣1，
∴an+1=2n，an+2=2n+1，
若anan+1≤an+2，
∴22n﹣1≤2n+1，
∴2n﹣1≤n+1，
解得n≤2，故A不正确，
若an+an+2=2an+1，
∴2n﹣1+2n+1=2•2n，
则1+4=2×2，
显然不成立，故B不正确，
∵Sn==2n﹣1，
若Sn＜an+1，
∴2n﹣1＜2n，恒成立，故C正确，
∵an+3=2n+2，
若an+an+3=an+1+an+2，
∴2n﹣1+2n+2=2n+2n+1，
即1+8=2+4，
显然不成立，故D不正确，
故选：C．
10．双曲线的左右焦点为F1，F2，P是双曲线上一点，满足|PF2|=|F1F2|，直线PF1与圆x2+y2=a2相切，则双曲线的离心率为（ ）
A． B．
C．
D．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】先设PF1与圆相切于点M，利用|PF2|=|F1F2|，及直线PF1与圆x2+y2=a2相切，可得几何量之间的关系，从而可求双曲线的离心率的值．
【解答】解：设PF1与圆相切于点M，因为|PF2|=|F1F2|，所以△PF1F2为等腰三角形，
所以|F1M|=|PF1|，
又因为在直角△F1MO中，|F1M|2=|F1O|2﹣a2=c2﹣a2，所以|F1M|=b=|PF1|①
又|PF1|=|PF2|+2a=2c+2a ②，
c2=a2+b2 ③
由①②③解得=
．
故选D．
11．一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积等于（ ）
A．2 B． C．
D．3
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】根据三视图知几何体是三棱锥为棱长为2的正方体一部分，画出几何体的直观图，根据切割补形法和椎体的体积公式求出该三棱锥的体积．
【解答】解根据三视图知几何体是：
三棱锥P﹣ABC为棱长为2的正方体一部分，
直观图如图所示：且B是棱的中点，
由图得，该三棱锥是：
由正方体截去两个相同的四棱锥P﹣ADEC、P﹣CEFB，
两个三棱锥P﹣ABM、C﹣ANB，
由正方体的性质可得，
四棱锥P﹣ADEC的体积是=2，
三棱锥P﹣ABM的体积是=
三棱锥C﹣ANB的体积是=
，
所以该三棱锥的体积：V=2×2×2﹣4﹣﹣
=2，
故选：A．
12．设m∈R，函数f（x）=（x﹣m）2+（e2x﹣2m）2，若存在x0使得f（x0）≤成立，则m=（ ）
A． B．
C．
D．
【考点】特称命题．
【分析】函数f（x）=（x﹣m）2+（e2x﹣2m）2，表示两点P（x，e2x），Q（m，2m）之间的距离的平方．分别令f（x）=e2x，g（x）=2x．利用导数研究切线方程的斜率，再利用点到直线的距离公式即可得出．
【解答】解：函数f（x）=（x﹣m）2+（e2x﹣2m）2，表示两点P（x，e2x），Q（m，2m）之间的距离的平方．
分别令f（x）=e2x，g（x）=2x．
f′（x）=2e2x，令=2，解得x0=0，可得P（0，1）．
则点P（0，1）到直线y=2x的距离d=，∴d2=
．
因此存在x0=0使得f（x0）≤成立，
联立，解得x=
．
故选：B．
二、填空题：本大题4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡相应位置．
13．若函数f（x）=，g（x）=f（x）+ax，x∈[﹣2，2]为偶函数，则实数a= ﹣
．
【考点】分段函数的应用；函数奇偶性的性质．
【分析】依题意，可求得g（x）=，依题意，g（﹣1）=g（1）即可求得实数a的值．
【解答】解：∵f（x）=，
∴g（x）=f（x）+ax=，
∵g（x）=为偶函数，
∴g（﹣1）=g（1），即﹣a﹣1=1+a﹣1=a，
∴2a=﹣1，
∴a=﹣．
故答案为：﹣．
14．所有棱长均为2的正四棱锥的外接球的表面积等于 8π ．
【考点】球的体积和表面积．
【分析】作出棱长均为2的正四棱锥O﹣ABCD，如图所示，四边形ABCD为正方形，△OAD，△OAB，△OBC，△OCD都为等边三角形，得到8条边相等，再由OE=DE=AE=BE=CE=r，即为正四棱锥的外接球半径，求出球的表面积即可．
【解答】解：作出棱长均为2的正四棱锥O﹣ABCD，如图所示，
∵四边形ABCD为正方形，△OAD，△OAB，△OBC，△OCD都为等边三角形，
∴AD=DC=CB=AB=OA=OD=OB=OC=2，
∴AE=EC=DE=BE=OE=，
∴正四棱锥的外接球的半径r=，
则正四棱锥的外接球的表面积S=4π•r2=8π，
故答案为：8π
15．抛物线C：y2=4x的准线与x轴交于M，过焦点F作倾斜角为60°的直线与C交于A，B两点，则tan∠AMB= 4 ．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】设AB方程y=（x﹣1），与抛物线方程y2=4x联立，求出A，B的坐标，利用夹角公式求出tan∠AMB．
【解答】解：抛物线C：y2=4x的焦点F（1，0），M（﹣1，0），设AB方程y=（x﹣1），
y=（x﹣1），与y2=4x联立可得3x2﹣10x+3=0
可得x=或3，
∴A（，﹣
），B（3，2
），
∴kAM=﹣，kBM=
∴tan∠AMB==4
．
故答案为：4．
16．数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=2，Sn+1+（﹣1）nSn=2n，则S100= 198 ．
【考点】数列递推式．
【分析】当n为偶数时，由题意可推出Sn+2+Sn=4n+2，从而可得Sn+4﹣Sn=8，再由a1=2知S2=4，S4=6，再利用累加法求和．
【解答】解：当n为偶数时，Sn+1+Sn=2n，Sn+2﹣Sn+1=2n+2，
故Sn+2+Sn=4n+2，
故Sn+4+Sn+2=4（n+2）+2，
故Sn+4﹣Sn=8，
而由a1=2知，S1=2，
S2﹣S1=2，
故S2=4，
∵S4+S2=4×2+2=10，
∴S4=6，
∴S8﹣S4=8，
S12﹣S8=8，
…，
S100﹣S96=8，
∴S100=24×8+S4=192+6=198．
故答案为：198．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知1+=
．
（I）求A；
（Ⅱ）若BC边上的中线AM=2，高线AH=
，求△ABC的面积．
【考点】正弦定理；余弦定理．
【分析】（I）由和三角函数公式和正弦定理可得cosA=，A=
；
（Ⅱ）可得MH=，以M为原点，BC的垂直平分线为y轴建系，由向量的数量积可得a的方程，解得a2=4，a=2，代入三角形的面积公式计算可得．
【解答】解：（I）∵在△ABC中1+=
，∴1+
=
，
∴=
，∴
=
，
∴=
，∴由正弦定理可得
=
，
∴cosA=，∵A∈（0，π），∴A=
；
（Ⅱ）由题意和勾股定理可得MH==
，
以M为原点，BC的垂直平分线为y轴建立如图所示的坐标系，
并设C（a，0），则B（﹣a，0），其中a＞0，
则由题意可得A（，
），cos＜
，
＞=cos
=
，
又可得=（﹣a﹣
，﹣
），
=（a﹣
，﹣
），
由数量积可得（﹣a﹣）（a﹣
）+3=
•
•
，
整理可得a4﹣20a2+64=0，故（a2﹣4）（a2﹣16）=0，解得a2=4或a2=16
经验证当a2=16时矛盾，应舍去，故a2=4，a=2，
故可得△ABC的面积S=•BC•AH=
×4×
=2
．
18．为了研究某学科成绩是否与学生性别有关，采用分层抽样的方法，从高三年级抽取了30名男生和20名女生的该学科成绩，得到如图所示男生成绩的频率分布直方图和女生成绩的茎叶图，规定80分以上为优分（含80分）．
（Ⅰ）（i）请根据图示，将2×2列联表补充完整；
（ii）据此列联表判断，能否在犯错误概率不超过10%的前提下认为“该学科成绩与性别有关”？
（Ⅱ）将频率视作概率，从高三年级该学科成绩中任意抽取3名学生的成绩，求至少2名学生的成绩为优分的概率．
附：
K2=．
【考点】频率分布直方图；茎叶图；独立性检验．
【分析】（Ⅰ）根据图示，将2×2列联表补充完整，计算观测值k，对照数表得出概率结论；
（Ⅱ）利用频率视作概率，得出X服从二项分布，求出对应的概率值．
【解答】解：（Ⅰ）根据图示，将2×2列联表补充完整如下：
假设H0：该学科成绩与性别无关，
则K2的观测值k==
=3.125，
因为3.125＞2.706，
所以能在犯错误概率不超过10%的前提下认为该学科成绩与性别有关；
（Ⅱ）由于有较大的把握认为该学科成绩与性别有关，
因此需要将男女生成绩的优分频率f==0.4视作概率；
设从高三年级中任意抽取3名学生的该学科成绩中，优分人数为X，
则X服从二项分布B（3，0.4），
所求概率P=P（X=2）+P（X=3）
=×0.42×0.6+
×0.43
=0.352．
19．如图所示，四棱锥P﹣ABCD的底面是梯形，且AB∥CD，AB⊥平面PAD，E是PB中点，CD=PD=AD=AB．
（Ⅰ）求证：CE⊥平面PAB；
（Ⅱ）若CE=，AB=4，求直线CE与平面PDC所成角的大小．
【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．
【分析】（I）取AP的中点F，连结DF，EF，由四边形CDFE是平行四边形可转而证明DF⊥平面PAB；
（II）设点O，G分别为AD，BC的中点，连结OG，OP，则可证OA，OG，OP两两垂直，以O为原点建立空间直角坐标系，求出和 平面PDC的法向量
，于是直线CE与平面PDC所成角的正弦值等于|cos＜
＞|．
【解答】证明：（Ⅰ）取AP的中点F，连结DF，EF．
∵PD=AD，∴DF⊥AP．
∵AB⊥平面PAD，DF⊂平面PAD，
∴AB⊥DF．
又∵AP⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，AP∩AB=A，
∴DF⊥平面PAB．
∵E是PB的中点，F是PA的中点，
∴EF∥AB，EF=AB．
又AB∥CD，CD=AB，
∴EF∥CD，EF=CD，
∴四边形EFDC为平行四边形，
∴CE∥DF，
∴CE⊥平面PAB．
（Ⅱ）解：设点O，G分别为AD，BC的中点，连结OG，则OG∥AB，
∵AB⊥平面PAD，AD⊂平面PAD，
∴AB⊥AD，∴OG⊥AD．
∵BC=，由（Ⅰ）知，DF=
，
又AB=4，∴AD=2，
∴AP=2AF=2=2，
∴△APD为正三角形，∴PO⊥AD，
∵AB⊥平面PAD，PO⊂平面PAD，
∴AB⊥PO．
又AD⊂平面ABCD，AB⊂平面ABCD，AD∩AB=A，
∴PO⊥平面ABCD．
以点O为原点，分别以OA，OG，OP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系O﹣xyz，如图所示．
则P（0，0，），C（﹣1，2，0），D（﹣1，0，0），E（
，2，
），
∴=（﹣1，0，﹣
），
=（﹣1，2，﹣
），
=（﹣
，0，﹣
），
设平面PDC的法向量为=（x，y，z），
则，∴
，
取z=1，则=（﹣
，0，1），
∴cos＜＞=
=
=
设EC与平面PDC所成的角为α，
则sinα=cos＜＞=
，
∵α∈[0，]，∴α=
，
∴EC与平面PDC所成角的大小为．
20．在平面直角坐标系xOy中，已知点A，B的坐标分别为（﹣2，0），（2，0）．直线AP，BP相交于点P，且它们的斜率之积是﹣．记点P的轨迹为Г．
（Ⅰ）求Г的方程；
（Ⅱ）已知直线AP，BP分别交直线l：x=4于点M，N，轨迹Г在点P处的切线与线段MN交于点Q，求的值．
【考点】椭圆的简单性质；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的关系．
【分析】（Ⅰ）设出P点坐标，求得AP、BP所在直线的斜率，由斜率之积是﹣列式整理即可得到Г的方程；
（Ⅱ）设出P点坐标，得到AP、BP的方程，进一步求出M、N的纵坐标，再写出椭圆在P点的切线方程，由判别式等于0得到过P的斜率（用P的坐标表示），再代入切线方程，求得Q点纵坐标，设，转化为坐标的关系即可求得λ，从而得到
的值．
【解答】解：（Ⅰ）设点P坐标为（x，y），则
直线AP的斜率（x≠﹣2）；
直线BP的斜率（x≠2）．
由已知有（x≠±2），
化简得点P的轨迹Г的方程为（x≠±2）．
（Ⅱ）设P（x1，y1）（x1≠±2），则．
直线AP的方程为，令x=4，得点M纵坐标为
；
直线BP的方程为，令x=4，得点N纵坐标为
；
设在点P处的切线方程为y﹣y1=k（x﹣x1），
由，得
．
由△=0，得=0，
整理得．
将代入上式并整理得：
，解得
，
∴切线方程为．
令x=4得，点Q纵坐标为=
．
设，则yQ﹣yM=λ（yN﹣yQ），
∴．
∴．
将代入上式，得
，
解得λ=1，即=1．
21．已知a∈R，函数f（x）=ex﹣1﹣ax的图象与x轴相切．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当x＞1时，f（x）＞m（x﹣1）lnx，求实数m的取值范围．
【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．
【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，根据函数图象与x轴相切，求出a的值，从而求出函数的单调区间；
（Ⅱ）求出g（x）的导数，通过讨论m的范围，结合函数的单调性以及f（x）＞m（x﹣1）lnx，求出m的范围即可．
【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=ex﹣1﹣a，设切点为（x0，0），
依题意，，解得
所以f′（x）=ex﹣1﹣1．
当x＜1时，f′（x）＜0；当x＞1时，f′（x）＞0．
故f（x）的单调递减区间为（﹣∞，1），单调递增区间为（1，+∞）．
（Ⅱ）令g（x）=f（x）﹣m（x﹣1）lnx，x＞0．
则g′（x）=ex﹣1﹣m（lnx+）﹣1，
令h（x）=g′（x），则h′（x）=ex﹣1﹣m（+
），
（ⅰ）若m≤，
因为当x＞1时，ex﹣1＞1，m（+
）＜1，所以h′（x）＞0，
所以h（x）即g′（x）在（1，+∞）上单调递增．
又因为g′（1）=0，所以当x＞1时，g′（x）＞0，
从而g（x）在[1，+∞）上单调递增，
而g（1）=0，所以g（x）＞0，即f（x）＞m（x﹣1）lnx成立．
（ⅱ）若m＞，
可得h′（x）在（0，+∞）上单调递增．
因为h′（1）=1﹣2m＜0，h′（1+ln（2m））＞0，
所以存在x1∈（1，1+ln（2m）），使得h′（x1）=0，
且当x∈（1，x1）时，h′（x）＜0，所以h（x）即g′（x）在（1，x1）上单调递减，
又因为g′（1）=0，所以当x∈（1，x1）时，g′（x）＜0，
从而g（x）在（1，x1）上单调递减，
而g（1）=0，所以当x∈（1，x1）时，g（x）＜0，即f（x）＞m（x﹣1）lnx不成立．
纵上所述，k的取值范围是（﹣∞，]．
四.请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲]
22．如图所示，△ABC内接于圆O，D是的中点，∠BAC的平分线分别交BC和圆O于点E，F．
（Ⅰ）求证：BF是△ABE外接圆的切线；
（Ⅱ）若AB=3，AC=2，求DB2﹣DA2的值．
【考点】圆周角定理；平行截割定理．
【分析】（Ⅰ）设△ABE外接圆的圆心为O′，连结BO′并延长交圆O′于G点，连结GE，则∠BEG=90°，∠BAE=∠BGE，可证∠FBE=∠BAE，进而证明∠FBG=90°，即可得证BF是△ABE外接圆的切线．
（Ⅱ）连接DF，则DF⊥BC，由勾股定理可得BD2﹣DA2=AF2﹣BF2，利用相似三角形的性质可得AB•AC=AE•AF=（AF﹣EF）•AF，由△FBE∽△FAB，从而BF2=FE•FA，得AB﹣AC=AF2﹣BF2，进而可求BD2﹣DA2=AB•AC=6．
【解答】（本题满分为10分）．
解：（Ⅰ）设△ABE外接圆的圆心为O′，连结BO′并延长交圆O′于G点，连结GE，
则∠BEG=90°，∠BAE=∠BGE．
因为AF平分∠BAC，
所以，
所以∠FBE=∠BAE，
所以∠FBG=∠FBE+∠EBG=∠BGE+∠EBG=180°﹣∠BEG=90°，
所以O′B⊥BF，
所以BF是△ABE外接圆的切线…
（Ⅱ）连接DF，则DF⊥BC，
所以DF是圆O的直径，
因为BD2+BF2=DF2，DA2+AF2=DF2，
所以BD2﹣DA2=AF2﹣BF2．
因为AF平分∠BAC，
所以△ABF∽△AEC，
所以=
，
所以AB•AC=AE•AF=（AF﹣EF）•AF，
因为∠FBE=∠BAE，
所以△FBE∽△FAB，从而BF2=FE•FA，
所以AB﹣AC=AF2﹣BF2，
所以BD2﹣DA2=AB•AC=6…
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）．以O为极点，x轴正半轴为极轴，并取相同的单位长度建立极坐标系．
（Ⅰ）写出C1的极坐标方程；
（Ⅱ）设曲线C2： +y2=1经伸缩变换
后得到曲线C3，射线θ=
（ρ＞0）分别与C1和C3交于A，B两点，求|AB|．
【考点】简单曲线的极坐标方程；平面直角坐标轴中的伸缩变换；参数方程化成普通方程．
【分析】（Ⅰ）根据题意，消去参数，即可解得方程C1的极坐标方程；
（Ⅱ）求得C3的方程，即可由OA，OB的长解得AB的长．
【解答】解：（Ⅰ）将（α为参数）．消去参数α，化为普通方程为（x﹣2）2+y2=4，
即C1：x2+y2﹣4x=0，
将代入C1：x2+y2﹣4x=0，得ρ2=4ρcosθ，
所以C1的极坐标方程为ρ=4cosθ．
（Ⅱ）将代入C2得x′2+y′2=1，
所以C3的方程为x2+y2=1．
C3的极坐标方程为ρ=1，所以|OB=1|．
又|OA|=4cos=2，
所以|AB|=|OA|﹣|OB|=1．
[选修4-5：不等式选讲]
24．已知不等式|x+3|＜2x+1的解集为{x|x＞m}．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）设关于x的方程|x﹣t|+|x+|=m（t≠0）有解，求实数t的值．
【考点】绝对值不等式的解法．
【分析】（Ⅰ）由不等式|x+3|＜2x+1，可得或
，解出即可得出．
（Ⅱ）由于|x﹣t|+|x+|≥
=
=|t|+
，已知关于x的方程|x﹣t|+|x+
|=m（t≠0）有解，|t|+
≥2，另一方面，|t|+
=2，即可得出．
【解答】解：（Ⅰ）由不等式|x+3|＜2x+1，
可得或
，
解得x＞2．
依题意m=2．
（Ⅱ）∵|x﹣t|+|x+|≥
=
=|t|+
，
当且仅当（x﹣t）=0时取等号，
∵关于x的方程|x﹣t|+|x+|=m（t≠0）有解，
|t|+≥2，
另一方面，|t|+=2，
∴|t|+=2，
解得t=±1．
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