北师大版八年级数学下册教案电子教案

北师大版八年级数学下册教案

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第一章 一元一次不等式和一元一次不等式组

1 不等关系

2 不等式的基本性质

3 不等式的解集

4 一元一次不等式

5 一元一次不等式与一次函数

6 一元一次不等式组

第二章 分解因式

1 分解因式

2 提公因式法

3 运用公式法

第三章 分式

1 分式

2 分式的乘除法

3 分式的加减法

4 分式方程

第四章 相似图形

1 线段的比

2 黄金分割

3 形状相同的图形

4 相似多边形

5 相似三角形

6 探索三角形相似的条件

7 测量旗杆的高度

8 相似多边形的性质

9 图形的放大与缩小

第五章 数据的收集与处理

1 每周干家务活的时间

2 数据的收集

3 频数与频率

4 数据的波动

第六章 证明（一）

1 你能肯定吗

2 定义与命题

3 为什么他们平行

4 如果两条直线平行

5 三角形内角和定理的证明

6 关注三角形的外角

第一章 一元一次不等式和一元一次不等式组

1.1 不等关系

一、教学目标：理解实数范围内代数式的不等关系，并会进行表示。

能够根据具体的事例列出不等关系式。

二、教学过程：

如图：用两根长度均为Lcm的绳子，各位成正方形和圆。

（1）如果要使正方形的面积不大于25㎝²，那么绳长L应该满足怎样的关系式？

（2）如果要使原的面积大于100㎝²，那么绳长L应满足怎样的关系式？

（3）当L=8时，正方形和圆的面积哪个大？L=12呢？

（4）由（3）你能发现什么？改变L的取值再试一试。

在上面的问题中，所谓成的正方形的面积可以表示为（L/4）²，远的面积可以表示为π（L/2π）² 。

（1）要是正方形的面积不大于25㎝²，就是

（L/4）²≤25，

即L²/16≤25。

（2）要使原的面积大于100㎝²，就是

π（L/2π）²＞100

即 L²/4π＞100。

（3）当L=8时，正方形的面积为8²/16=6，圆的面积为

8²/4π≈5.1，

4＜5.1

此时圆的面积大。

当L=12时，正方形的面积为12²/16=9，圆的面积为

12²/4π≈11.5，

9＜11.5，

此时还是圆的面积大。

教师得出结论

（4）由（3）可以发现，无论绳长L取何值，圆的面积总大于正方形的面积，即

L²/4π＞L²/16。

三、 随堂练习

1、试举几个用不等式表示的例子。

2、用适当的符号表示下列关系

（1）a是非负数；

（2）直角三角形斜边c比她的两直角边a，b都长；

（3）x于17的和比它的5倍小。

1.2 不等式的基本性质

一、教学目标

（1）探索并掌握不等式的基本性质；

（2）理解不等式与等式性质的联系与区别.

二、教学内容

我们学习了等式，并掌握了等式的基本性质，大家还记得等式的基本性质吗？

等式的基本性质1：在等式的两边都加上（或减去）同一个数或整式，所得的结果仍是等式.

基本性质2：在等式的两边都乘以或除以同一个数（除数不为0），所得的结果仍是等式.

1.不等式基本性质的推导

例∵3＜5

∴3+2＜5+2

3－2＜5－2

3+a＜5+a

3－a＜5－a

所以，在不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变.

例：3＜4

3×3＜4×3

3×＜4×

3×（－3）＞4×（－3）

3×（－）＞4×（－）

3×（－5）＞4×（－5）

由此看来，在不等式的两边同乘以一个正数时，不等号的方向不变；在不等式的两边同乘以一个负数时，不等号的方向改变.

三、课堂练习

1.将下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式.

（1）x－1＞2 （2）－x＜

解：（1）根据不等式的基本性质1，两边都加上1，得x＞3

（2）根据不等式的基本性质3，两边都乘以－1，得x＞－

2.已知x＞y,下列不等式一定成立吗？

（1）x－6＜y－6;

（2）3x＜3y;

（3）－2x＜－2y.

解：（1）∵x＞y,∴x－6＞y－6.

∴不等式不成立；

（2）∵x＞y,∴3x＞3y

∴不等式不成立；

（3）∵x＞y,∴－2x＜－2y

∴不等式一定成立.

4.根据不等式的基本性质，把下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式：

（1）x－2＜3;（2）6x＜5x－1;

（3）x＞5;（4）－4x＞3.

5.设a＞b.用“＜”或“＞”号填空.

（1）a－3 b－3;（2） ;

（3）－4a －4b;（4）5a 5b;

（5）当a＞0,b 0时，ab＞0;

（6）当a＞0,b 0时，ab＜0;

（7）当a＜0,b 0时，ab＞0;

（8）当a＜0,b 0时，ab＜0.

参考答案：

4.（1）x＜5;（2）x＜－1;（3）x＞10;（4）x＜－.

5（1）＞ （2）＞ （3）＜ （4）＞（5）＞ （6）＜ （7）＜ （8）＞.

1.3 不等式的解集

一、教学目标

1.能够根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义.

2.理解不等式的解、不等式的解集、解不等式这些概念的含义.

3.会在数轴上表示不等式的解集.

二、教学过程

1.现实生活中的不等式.

燃放某种礼花弹时，为了确保安全，人在点燃导火线后要在燃放前转移到10 m以外的安全区域.已知导火线的燃烧速度为以0.02 m/s，人离开的速度为4 m/s，那么导火线的长度应为多少厘米？

分析：人转移到安全区域需要的时间最少为秒，导火线燃烧的时间为秒，要使人转移到安全地带，必须有：＞.

解：设导火线的长度应为x cm，根据题意，得

＞

∴x＞5.

2.想一想

（1）x=5,6,8能使不等式x＞5成立吗？

（2）你还能找出一些使不等式x＞5成立的x的值吗？

答：（1）x=5不能使x＞5成立，x=6,8能使不等式x＞5成立.

（2）x=9,10,11…等比5大的数都能使不等式x＞5成立.

3.例题讲解

根据不等式的基本性质求不等式的解集，并把解集在数轴上表示出来.

（1）x－2≥－4;（2）2x≤8

（3）－2x－2＞－10

解：（1）根据不等式的基本性质1，两边都加上2，得x≥－2

在数轴上表示为：

（2）根据不等式的基本性质2，两边都除以2，得x≤4

在数轴上表示为：

（3）根据不等式的基本性质1，两边都加上2，得－2x＞－8

根据不等式的基本性质3，两边都除以－2，得x＜4

在数轴上表示为：

三、课堂练习

1.判断正误：

（1）不等式x－1＞0有无数个解；

（2）不等式2x－3≤0的解集为x≥.

2.将下列不等式的解集分别表示在数轴上：

（1）x＞4;（2）x≤－1;

（3）x≥－2;（4）x≤6.

1.解：（1）∵x－1＞0,∴x＞1

∴x－1＞0有无数个解.∴正确.

（2）∵2x－3≤0,∴2x≤3,

∴x≤,∴结论错误.

2.解：

1.4 一元一次不等式

一、教学目标

1.知道什么是一元一次不等式？

2.会解一元一次不等式.

二、一元一次不等式的定义.

下列不等式是一元一次不等式吗？

（1）2x－2.5≥15;（2）5+3x＞240;

（3）x＜－4;（4）＞1.

答（1）、（2）、（3）中的不等式是一元一次不等式，（4）不是.

（4）为什么不是呢？

因为x在分母中，不是整式.

不等式的两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式，叫做一元一次不等式（linear inequality with one unknown）.

2.一元一次不等式的解法.

例1 解不等式3－x＜2x+6，并把它的解集表示在数轴上.

［分析］要化成“x＞a”或“x＜a”的形式，首先要把不等式两边的x或常数项转移到同一侧，变成“ax＞b”或“ax＜b”的形式，再根据不等式的基本性质求得.

解：两边都加上x，得

3－x+x＜2x+6+x

合并同类项，得

3＜3x+6

两边都加上－6,得

3－6＜3x+6－6

合并同类项，得

－3＜3x

两边都除以3，得－1＜x

即x＞－1.

这个不等式的解集在数轴上表示如下：

下面大家仿照上面的步骤练习一下解一元一次不等式.

［例2］解不等式≥，并把它的解集在数轴上表示出来.

［生］解：去分母，得3（x－2）≥2（7－x）

去括号，得3x－6≥14－2x

移项，合并同类项，得5x≥20

两边都除以5，得x≥4.

这个不等式的解集在数轴上表示如下：

三、课堂练习

解下列不等式，并把它们的解集分别表示在数轴上：

（1）5x＞－10;（2）－3x+12≤0;

（3）＜;

（4）－1＜.

解：（1）两边同时除以5，得x＞－2.

这个不等式的解集在数轴上表示如下：

（2）移项，得－3x≤－12,

两边都除以－3，得x≥4,

这个不等式的解集在数轴上表示为：

（3）去分母，得3（x－1）＜2（4x－5）,

去括号，得3x－3＜8x－10,

移项、合并同类项，得5x＞7,

两边都除以5，得x＞,

不等式的解集在数轴上表示为：

（4）去分母，得x+7－2＜3x+2,

移项、合并同类项，得2x＞3,

两边都除以2，得x＞,

不等式的解集在数轴上表示如下：

1.5 一元一次不等式与一次函数

一、教学目标

1.一元一次不等式与一次函数的关系.

2.会根据题意列出函数关系式，画出函数图象，并利用不等关系进行比较.

二、教学过程

1.一元一次不等式与一次函数之间的关系.

作出函数y=2x－5的图象，观察图象回答下列问题.

（1）x取哪些值时，2x－5=0?

（2）x取哪些值时，2x－5＞0?

（3）x取哪些值时，2x－5＜0?

（4）x取哪些值时，2x－5＞3?

（1）当y=0时，2x－5=0,

∴x=,

∴当x=时，2x－5=0.

（2）要找2x－5＞0的x的值，也就是函数值y大于0时所对应的x的值，从图象上可知，y＞0时，图象在x轴上方，图象上任一点所对应的x值都满足条件，当y=0时，则有2x－5=0,解得x=.当x＞时，由y=2x－5可知 y＞0.因此当x＞时，2x－5＞0;

（3）同理可知，当x＜时，有2x－5＜0;

（4）要使2x－5＞3,也就是y=2x－5中的y大于3，那么过纵坐标为3的点作一条直线平行于x轴，这条直线与y=2x－5相交于一点B（4，3），则当x＞4时，有2x－5＞3.

3.试一试

如果y=－2x－5,那么当x取何值时，y＞0?

首先要画出函数y=－2x－5的图象，如图

从图象上可知，图象在x轴上方时，图象上每一点所对应的y的值都大于0，而每一个y的值所对应的x的值都在A点的左侧，即为小于－2.5的数，由－2x－5=0,得x=－2.5,所以当x取小于－2.5的值时，y＞0.

三、课堂练习

1.已知y1=－x+3,y2=3x－4,当x取何值时，y1＞y2？你是怎样做的？与同伴交流.

解：如图1－24所示：

当x取小于的值时，有y1＞y2.

2.作出函数y1=2x－4与y2=－2x+8的图象，并观察图象回答下列问题：

（1）x取何值时，2x－4＞0？

（2）x取何值时，－2x+8＞0?

（3）x取何值时，2x－4＞0与－2x+8＞0同时成立？

（4）你能求出函数y1=2x－4，y2=－2x+8的图象与x轴所围成的三角形的面积吗？并写出过程.

解：图象如下：

分析：要使2x－4＞0成立，就是y1=2x－4的图象在x轴上方的所有点的横坐标的集合，同理使－2x+8＞0成立的x，即为函数y2=－2x+8的图象在x轴上方的所有点的横坐标的集合，要使它们同时成立，即求这两个集合中公共的x，根据函数图象与x轴交点的坐标可求出三角形的底边长，由两函数的交点坐标可求出底边上的高，从而求出三角形的面积.

［解］（1）当x＞2时，2x－4＞0;

（2）当x＜4时，－2x+8＞0;

（3）当2＜x＜4时，2x－4＞0与－2x+8＞0同时成立.

（4）由2x－4=0,得x=2;

由－2x+8=0,得x=4

所以AB=4－2=2

由

得交点C（3，2）

所以三角形ABC中AB边上的高为2.

所以S=×2×2=2.

3.分别解不等式

5x－1＞3（x+1）,

x－1＜7－x

所得的两个解集的公共部分是什么？

解：解不等式5x－1＞3（x+1）,得x＞2

解不等式x－1＜7－ x，得x＜4,

所以两个解集的公共部分是2＜x＜4.

4.某商场计划投入一笔资金采购一批紧俏商品，经过市场调查发现：如果月初出售，可获利15%，并可用本和利再投资其他商品，到月末又可获利10%；如果月末出售可获利30%，但要付出仓储费用700元.请问根据商场的资金状况，如何购销获利较多？

解：设商场计划投入资金为x元，在月初出售，到月末共获利y1元；在月末一次性出售获利y2元，

根据题意，得

y1=15%x+（x+15%x）·10%=0.265x,

y2=30%x－700=0.3x－700.

（1）当y1＞y2,即0.265x＞0.3x－700时，x＜20000;

（2）当y1=y2,即0.265x=0.3x－700时，x=20000;

（3）当y1＜y2，即0.265x＜0.3x－700时，x＞20000.

所以，当投入资金不超过20000元时，第一种销售方式获利较多；当投入资金超过20000元时，第二种销售方式获利较多.

5.某医院研究发现了一种新药，在试验药效时发现，如果成人按规定剂量服用，那么服药后2小时时血液中含药量最高，达每毫升6微克（1微克=10－3毫克），接着逐步衰减，10小时时血液中含药量为每毫升3毫克，每毫升血液中含药量y（微克），随着时间x（小时）的变化如图所示（成人按规定服药后）.

（1）分别求出x≤2和x≥2时，y与x之间的函数关系式；

（2）根据图象观察，如果每毫升血液中含药量为4微克或4微克以上，在治疗疾病时是有效的，那么这个有效时间是多少？

解：（1）当x≤2时，图象过（0，0），（2，6）点，设y1=k1x,

把（2，6）代入得，k1=3

∴y1=3x.

当x≥2时，图象过（2，6），（10，3）点.

设y2=k2x+b,则有

得k2=－,b=

∴y2=－x+

（2）过y轴上的4点作平行于x轴的一条直线，于y1,y2的图象交于两点，过这两点向x轴作垂线,对应x轴上的和，即在－=6小时间是有效的.

1.6 一元一次不等式组

一、教学目标

总结解一元一次不等式组的步骤及情形.

二、教学过程

某校今年冬季烧煤取暖时间为4个月。如果每月比计划多烧5吨煤，那么取暖用煤总量将超过100吨；如果每月比计划少烧5吨煤，那么取暖用煤总量不足68吨。该校计划每月烧煤多少吨？

解：

设该校计划每月烧煤x吨，根据题意，得

4（x+5）>100, （1）

且 4（x-5）<68. （2）

未知数x同时满足 （1）（2）两个条件，把（1）（2）两个不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组，记作 4（x+5）>100,

4（x-5）<68.

一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元依次不等式组。

解下列不等式组

（1）

（2）

（3）

（4）

（1）

解：解不等式（1），得x＞1

解不等式（2），得x＞－4.

在同一条数轴上表示不等式（1），（2）的解集如下图

所以，原不等式组的解集是x＞1

（2）

解：解不等式（1），得x＜

解不等式（2），得x＜

在同一条数轴上表示不等式（1），（2）的解集.如下图

所以，原不等式组的解集是x＜

（3）

解：解不等式（1），得x＞

解不等式（2），得x≤4.

在同一条数轴上表示不等式（1），（2）的解集，如下图

所以，原不等式组的解集为＜x≤4.

（4）

解：解不等式（1），得x＞4.

解不等式（2），得x＜3.

在同一条数轴上表示不等式（1），（2）的解集如下图

所以，原不等式组的解集为无解.

我们从每个不等式的解集，到这个不等式组的解集，认真观察，互相交流，找出规律.

（1）由得x＞1;

（2）由;

（3）由得＜x≤4;

（4）由得，无解.

两个一元一次不等式所组成的不等式组的解集有以下四种情形.

设a＜b,那么

（1）不等式组的解集是x＞b;

（2）不等式组的解集是x＜a;

（3）不等式组的解集是a＜x＜b;

（4）不等式组的解集是无解.

用语言简单表述为：

同大取大；同小取小；

大于小数小于大数取中间；

大于大数小于小数无解.

三、课堂练习

解下列不等式组

（1）

（2）

［解］（1）

解不等式（1），得x＜2

解不等式（2），得x＞3

在同一数轴上表示不等式（1）、（2）的解集，

所以，原不等式组无解.

（2）

解：解不等式（1），得x＞2

解不等式（2），得x＞3

在同一数轴上表示不等式（1），（2）的解集，如下图

所以，原不等式组的解集为x＞3.

第二章 分解因式

2.1 分解因式

一、教学目标

让学生了解多项式公因式的意义，初步会用提公因式法分解因式.

二、教学过程

一块场地由三个矩形组成，这些矩形的长分别为，，，宽都是,求这块场地的面积.

解法一：S=× + × + × =++=2

解法二：S=× + × + × = （ ++）=×4=2

1.公因式与提公因式法分解因式的概念.

把多项式ma+mb+mc写成m与（a+b+c）的乘积的形式，相当于把公因式m从各项中提出来，作为多项式ma+mb+mc的一个因式，把m从多项式ma+mb+mc各项中提出后形成的多项式（a+b+c），作为多项式ma+mb+mc的另一个因式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.

2.例题讲解

［例1］将下列各式分解因式：

（1）3x+6;

（2）7x2－21x;

（3）8a3b2－12ab3c+abc

（4）－24x3－12x2+28x.

分析：首先要找出各项的公因式，然后再提取出来.

解：（1）3x+6=3x+3×2=3（x+2）;

（2）7x2－21x=7x·x－7x·3=7x（x－3）;

（3）8a3b2－12ab3c+abc

=8a2b·ab－12b2c·ab+ab·c

=ab（8a2b－12b2c+c）

（4）－24x3－12x2+28x

=－4x（6x2+3x－7）

三、课堂练习

1.写出下列多项式各项的公因式.

（1）ma+mb （m）

（2）4kx－8ky （4k）

（3）5y3+20y2 （5y2）

（4）a2b－2ab2+ab （ab）

2.把下列各式分解因式

（1）8x－72=8（x－9）

（2）a2b－5ab=ab（a－5）

（3）4m3－6m2=2m2（2m－3）

（4）a2b－5ab+9b=b（a2－5a+9）

（5）－a2+ab－ac=－（a2－ab+ac）=－a（a－b+c）

（6）－2x3+4x2－2x=－（2x3－4x2+2x）=－2x（x2－2x+1）

四、课后作业

1.解：（1）2x2－4x=2x（x－2）;

（2）8m2n+2mn=2mn（4m+1）;

（3）a2x2y－axy2=axy（ax－y）;

（4）3x3－3x2－9x=3x（x2－x－3）;

（5）－24x2y－12xy2+28y3

=－（24x2y+12xy2－28y3）

=－4y（6x2+3xy－7y2）;

（6）－4a3b3+6a2b－2ab

=－（4a3b3－6a2b+2ab）

=－2ab（2a2b2－3a+1）;

（7）－2x2－12xy2+8xy3

=－（2x2+12xy2－8xy3）

=－2x（x+6y2－4y3）;

（8）－3ma3+6ma2－12ma

=－（3ma3－6ma2+12ma）

=－3ma（a2－2a+4）;

2.利用因式分解进行计算

（1）121×0.13+12.1×0.9－12×1.21

=12.1×1.3+12.1×0.9－1.2×12.1

=12.1×（1.3+0.9－1.2）

=12.1×1=12.1

（2）2.34×13.2+0.66×13.2－26.4

=13.2×（2.34+0.66－2）

=13.2×1=13.2

（3）当R1=20,R2=16,R3=12,π=3.14时

πR12+πR22+πR32

=π（R12+R22+R32）

=3.14×（202+162+122）

=2512

2.2 提公因式法

一、教学目标

让学生了解多项式公因式的意义，初步会用提公因式法分解因式.

例1 把a（x－3）+2b（x－3）分解因式.

分析：这个多项式整体而言可分为两大项，即a（x－3）与2b（x－3），每项中都含有（x－3）,因此可以把（x－3）作为公因式提出来.

解：a（x－3）+2b（x－3）=（x－3）（a+2b）

［例2］把下列各式分解因式:

（1）a（x－y）+b（y－x）;

（2）6（m－n）3－12（n－m）2.

分析：虽然a（x－y）与b（y－x）看上去没有公因式，但仔细观察可以看出（x－y）与（y－x）是互为相反数，如果把其中一个提取一个“－”号，则可以出现公因式，如y－x=－（x－y）.（m－n）3与（n－m）2也是如此.

解：（1）a（x－y）+b（y－x）

=a（x－y）－b（x－y）

=（x－y）（a－b）

（2）6（m－n）3－12（n－m）2

=6（m－n）3－12［－（m－n）］2

=6（m－n）3－12（m－n）2

=6（m－n）2（m－n－2）.

二、做一做

请在下列各式等号右边的括号前填入“+”或“－”号，使等式成立:

（1）2－a=__________（a－2）;

（2）y－x=__________（x－y）;

（3）b+a=__________（a+b）;

（4）（b－a）2=__________（a－b）2;

（5）－m－n=__________－（m+n）;

（6）－s2+t2=__________（s2－t2）.

解：（1）2－a=－（a－2）;

（2）y－x=－（x－y）;

（3）b+a=+（a+b）;

（4）（b－a）2=+（a－b）2;

（5）－m－n=－（m+n）;

（6）－s2+t2=－（s2－t2）.

三、课堂练习

把下列各式分解因式：

解：（1）x（a+b）+y（a+b）

=（a+b）（x+y）;

（2）3a（x－y）－（x－y）

=（x－y）（3a－1）;

（3）6（p+q）2－12（q+p）

=6（p+q）2－12（p+q）

=6（p+q）（p+q－2）;

（4）a（m－2）+b（2－m）

=a（m－2）－b（m－2）

=（m－2）（a－b）;

（5）2（y－x）2+3（x－y）

=2［－（x－y）］2+3（x－y）

=2（x－y）2+3（x－y）

=（x－y）（2x－2y+3）;

（6）mn（m－n）－m（n－m）2

=mn（m－n）－m（m－n）2

=m（m－n）［n－（m－n）］

=m（m－n）（2n－m）.

补充练习

把下列各式分解因式

解：1.5（x－y）3+10（y－x）2

=5（x－y）3+10（x－y）2

=5（x－y）2［（x－y）+2］

=5（x－y）2（x－y+2）;

2. m（a－b）－n（b－a）

=m（a－b）+n（a－b）

=（a－b）（m+n）;

3. m（m－n）+n（n－m）

=m（m－n）－n（m－n）

=（m－n）（m－n）=（m－n）2;

4. m（m－n）（p－q）－n（n－m）（p－q）

= m（m－n）（p－q）+n（m－n）（p－q）

=（m－n）（p－q）（m +n）;

5.（b－a）2+a（a－b）+b（b－a）

=（b－a）2－a（b－a）+b（b－a）

=（b－a）［（b－a）－a+b］

=（b－a）（b－a－a+b）

=（b－a）（2b－2a）

=2（b－a）（b－a）

=2（b－a）2

2.3运用公式法（一）

一、教学目标

1.使学生了解运用公式法分解因式的意义；

2.使学生掌握用平方差公式分解因式.

3.使学生了解，提公因式法是分解因式的首先考虑的方法，再考虑用平方差公式分解因式.

二、教学过程

1.请看乘法公式

（a+b）（a－b）=a2－b2 （1）

左边是整式乘法，右边是一个多项式，把这个等式反过来就是

a2－b2=（a+b）（a－b） （2）

左边是一个多项式，右边是整式的乘积.

利用平方差公式进行的因式分解.第（1）个等式可以看作是整式乘法中的平方差公式，第（2）个等式可以看作是因式分解中的平方差公式.

2.公式讲解

观察式子a2－b2,找出它的特点.

答：是一个二项式，每项都可以化成整式的平方，整体来看是两个整式的平方差.

如果一个二项式，它能够化成两个整式的平方差，就可以用平方差公式分解因式，分解成两个整式的和与差的积.

如x2－16=（x）2－42=（x+4）（x－4）.

9 m 2－4n2=（3 m ）2－（2n）2

=（3 m +2n）（3 m －2n）

3.例题讲解

［例1］把下列各式分解因式：

（1）25－16x2;

（2）9a2－b2.

解：（1）25－16x2=52－（4x）2

=（5+4x）（5－4x）;

（2）9a2－ b2=（3a）2－（b）2

=（3a+b）（3a－b）.

［例2］把下列各式分解因式:

（1）9（m+n）2－（m－n）2;

（2）2x3－8x.

解：（1）9（m +n）2－（m－n）2

=［3（m +n）］2－（m－n）2

=［3（m +n）+（m－n）］［3（m +n）－（m－n）］

=（3 m +3n+ m－n）（3 m +3n－m +n）

=（4 m +2n）（2 m +4n）

=4（2 m +n）（m +2n）

（2）2x3－8x=2x（x2－4）

=2x（x+2）（x－2）

说明：例1是把一个多项式的两项都化成两个单项式的平方，利用平方差公式分解因式；例2的（1）是把一个二项式化成两个多项式的平方差，然后用平方差公式分解因式，例2的（2）是先提公因式，然后再用平方差公式分解因式，由此可知，当一个题中既要用提公因式法，又要用公式法分解因式时，首先要考虑提公因式法，再考虑公式法.

三、课堂练习

1.判断正误

解：（1）x2+y2=（x+y）（x－y）; （×）

（2）x2－y2=（x+y）（x－y）; （√）

（3）－x2+y2=（－x+y）（－x－y）; （×）

（4）－x2－y2=－（x+y）（x－y）. （×）

2.把下列各式分解因式

解：（1）a2b2－m2

=（ab）2－m 2

=（ab+ m）（ab－m）;

（2）（m－a）2－（n+b）2

=［（m－a）+（n+b）］［（m－a）－（n+b）］

=（m－a+n+b）（m－a－n－b）;

（3）x2－（a+b－c）2

=［x+（a+b－c）］［x－（a+b－c）］

=（x+a+b－c）（x－a－b+c）;

（4）－16x4+81y4

=（9y2）2－（4x2）2

=（9y2+4x2）（9y2－4x2）

=（9y2+4x2）（3y+2x）（3y－2x）

3.解：S剩余=a2－4b2.

当a=3.6,b=0.8时，

S剩余=3.62－4×0.82=3.62－1.62=5.2×2=10.4（cm2）

答：剩余部分的面积为10.4 cm2.

四、课后作业

1.解：（1）a2－81=（a+9）（a－9）;

（2）36－x2=（6+x）（6－x）;

（3）1－16b2=1－（4b）2=（1+4b）（1－4b）;

（4）m 2－9n2=（m +3n）（m－3n）;

（5）0.25q2－121p2

=（0.5q+11p）（0.5q－11p）;

（6）169x2－4y2=（13x+2y）（13x－2y）;

（7）9a2p2－b2q2

=（3ap+bq）（3ap－bq）;

（8）a2－x2y2=（a+xy）（ a－xy）;

2.解：（1）（m+n）2－n2=（m +n+n）（m +n－n）= m（m +2n）;

（2）49（a－b）2－16（a+b）2

=［7（a－b）］2－［4（a+b）］2

=［7（a－b）+4（a+b）］［7（a－b）－4（a+b）］

=（7a－7b+4a+4b）（7a－7b－4a－4b）

=（11a－3b）（3a－11b）;

（3）（2x+y）2－（x+2y）2

=［（2x+y）+（x+2y）］［（2x+y）－（x+2y）］

=（3x+3y）（x－y）

=3（x+y）（x－y）;

（4）（x2+y2）－x2y2

=（x2+y2+xy）（x2+y2－xy）;

（5）3ax2－3ay4=3a（x2－y4）

=3a（x+y2）（x－y2）

（6）p4－1=（p2+1）（p2－1）

=（p2+1）（p+1）（p－1）.

3.解：S环形=πR2－πr2=π（R2－r2）

=π（R+r）（R－r）

当R=8.45,r=3.45，π=3.14时，

S环形=3.14×（8.45+3.45）（8.45－3.45）=3.14×11.9×5=186.83（cm2）

答：两圆所围成的环形的面积为186.83 cm2.

Ⅵ.活动与探究

把（a+b+c）（bc+ca+ab）－abc分解因式

解：（a+b+c）（bc+ca+ab）－abc

=［a+（b+c）］［bc+a（b+c）］－abc

=abc+a2（b+c）+bc（b+c）+a（b+c）2－abc

=a2（b+c）+bc（b+c）+a（b+c）2

=（b+c）［a2+bc+a（b+c）］

=（b+c）［a2+bc+ab+ac］

=（b+c）［a（a+b）+c（a+b）］

=（b+c）（a+b）（a+c）

运用公式法（二）

一、教学目标

1.使学生会用完全平方公式分解因式.

2.使学生学习多步骤，多方法的分解因式.

二、教学过程

在前面我们不仅学习了平方差公式

（a+b）（a－b）=a2－b2

而且还学习了完全平方公式

（a±b）2=a2±2ab+b2

三、新课

判断一个多项式是否为完全平方式，要考虑三个条件，项数是三项；其中有两项同号且能写成两个数或式的平方；另一项是这两数或式乘积的2倍.

1.例题讲解

［例1］把下列完全平方式分解因式：

（1）x2+14x+49;

（2）（m+n）2－6（m +n）+9.

［师］分析：大家先把多项式化成符合完全平方公式特点的形式，然后再根据公式分解因式.公式中的a,b可以是单项式，也可以是多项式.

解：（1）x2+14x+49=x2+2×7x+72=（x+7）2

（2）（m +n）2－6（m +n）+9=（m +n）2－2·（m +n）×3+32=［（m +n）－3］2=（m +n－3）2.

［例2］把下列各式分解因式：

（1）3ax2+6axy+3ay2;

（2）－x2－4y2+4xy.

［师］分析：对一个三项式，如果发现它不能直接用完全平方公式分解时，要仔细观察它是否有公因式，若有公因式应先提取公因式，再考虑用完全平方公式分解因式.

如果三项中有两项能写成两数或式的平方，但符号不是“+”号时，可以先提取“－”号，然后再用完全平方公式分解因式.

解：（1）3ax2+6axy+3ay2

=3a（x2+2xy+y2）

=3a（x+y）2

（2）－x2－4y2+4xy

=－（x2－4xy+4y2）

=－［x2－2·x·2y+（2y）2］

=－（x－2y）2

四、课堂练习

1.（1）是完全平方式

x2－x+=x2－2·x·+（）2=（x－）2

（2）不是完全平方式，因为3ab不符合要求.

（3）是完全平方式

m2+3 m n+9n2

=（ m）2＋2× m×3n+（3n）2

=（ m +3n）2

（4）不是完全平方式

2.（1）x2－12xy+36y2

=x2－2·x·6y+（6y）2

=（x－6y）2;

（2）16a4+24a2b2+9b4

=（4a2）2+2·4a2·3b2+（3b2）2

=（4a2+3b2）2

（3）－2xy－x2－y2

=－（x2+2xy+y2）

=－（x+y）2;

（4）4－12（x－y）+9（x－y）2

=22－2×2×3（x－y）+［3（x－y）］2

=［2－3（x－y）］2

=（2－3x+3y）2

五、课后作业

1.（1）x2y2－2xy+1=（xy－1）2;

（2）9－12t+4t2=（3－2t）2;

（3）y2+y+=（y+）2;

（4）25m2－80 m +64=（5 m－8）2;

（5）+xy+y2=（+y）2;

（6）a2b2－4ab+4=（ab－2）2

2.（1）（x+y）2+6（x+y）+9

=［（x+y）+3］2

=（x+y+3）2;

（2）a2－2a（b+c）+（b+c）2

=［a－（b+c）］2

=（a－b－c）2;

（3）4xy2－4x2y－y3

=y（4xy－4x2－y2）

=－y（4x2－4xy+y2）

=－y（2x－y）2;

（4）－a+2a2－a3

=－（a－2a2+a3）

=－a（1－2a+a2）

=－a（1－a）2.

3.设两个奇数分别为x、x－2,得

x2－（x－2）2

=［x+（x－2）］［x－（x－2）］

=（x+x－2）（x－x+2）

=2（2x－2）

=4（x－1）

第三章 分式

3.1 分式

一、教学目标

1.在现实情境中进一步理解用字母表示数的意义，发展符号感.

2.了解分式产生的背景和分式的概念，了解分式与整式概念的区别与联系.

3.掌握分式有意义的条件，认识事物间的联系与制约关系.

二、教学过程

Ⅰ.创设问题情境，引入新课

面对日益严重的土地沙化问题，某县决定分期分批固沙造林，一期工程计划在一定期限固沙造林2400公顷，实际每月固沙造林的面积比原计划多30公顷，结果提前4个月完成任务.原计划每月固沙造林多少公顷？

这一问题中有哪些等量关系？

如果原计划每月固沙造林x公顷，那么原计划完成一期工程需要____________个月，实际完成一期工程用了____________个月.

根据题意，可得方程____________.

根据题意，我认为这个问题的等量关系是：实际固沙造林所用的时间+4=原计划固沙造林所用的时间.（1）

这个问题的等量关系也可以是：原计划每月固沙造林的公顷数+30=实际每月固沙造林的公顷数.（2）

在这个问题中，涉及到了三个基本量：工作量、工作效率、工作时间.工作量=工作效率×工作时间.

如果用第（1）个等量关系列方程，应如何设出未知数呢？

因为第（1）个等量关系是工作时间的关系，因此需用已知条件和未知数表示出工作时间.题中的工作量是已知的.因此需设出工作效率即原计划每月固沙造林x公顷.

原计划完成一期工程需个月，

实际完成一期工程需c个月，

根据等量关系（1）可列出方程：

+4=.

用等量关系（2）设未知数，列方程呢？

因为等量关系（2）是工作效率之间的关系，根据题意，应设出工作时间.不妨设原计划x个月完成一期工程，实际上完成一期工程用了（x－4）个月，那么原计划每月固沙造林的公顷数为公顷，实际每月固沙造林公顷，根据题意可得方程.

同学们观察我们列出的两个方程，有什么新的发现？

我们设出未知数后，用字母表示数的方法，列出几个代数式，表示出我们需要的基本量.如，,.这些代数式和整式不同.我们虽然列出了方程，但分母中含有字母，要求出它的解，好像很不容易.

像这样的代数式同整式有很大的不同，而且它是以分数的形式出现的，它们是不同于整式的一个很大的家族，我们把它们叫做分式.

2.例题讲解

（1）下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？

5x－7,3x2－1,,,－5,,,.

（2）①当a=1，2时，分别求分式的值.

②当a为何值时，分式有意义？

③当a为何值时，分式的值为零？

（1）中5x－7,3x2－1, ,－5, 是整式；,,是分式.