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最新人教版八年级下册数学全册教学教案

发布时间：2020-04-10   来源：文档文库   
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义务教育课程标准人教版
科任老师数学教案
九年级 下册







二次根式

16.1 二次根式(1 一、学习目标
1、了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。 2、掌握二次根式有意义的条件。
3、掌握二次根式的基本性质：a0(a0和(a2a(a0 二、学习重点、难点
重点：二次根式有意义的条件；二次根式的性质． 难点：综合运用性质a0(a0和(a2a(a0。
三、学习过程
（一）复习引入：
（1）已知x2 = a，那么a是x的_____________; x是a的________, 记为______, a一定是______________数。
4（2）4的算术平方根为2，用式子表示为 =__________；
正数a的算术平方根为_______，0的算术平方根为_______；
式子a0(a0的意义是 _______- 。 （二）提出问题
1、式子a表示什么意义? 2、什么叫做二次根式？
3、式子a0(a0的意义是什么？ 4、(a2a(a0的意义是什么？
5、如何确定一个二次根式有无意义？ （三）自主学习
自学课本第2页例前的内容，完成下面的问题：
1、试一试：判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？
a(a023，16，34，5，3，x1
2、计算 ： (1 (42 (2 (32 （3）(0.52 （4）(12
3根据计算结果，你能得出结论： ，其中a0, (a2________(a2a(a0的意义是 。
3、当a为正数时指a的 ，而0的算术平方根是 ，负数 ，只有非负数中，字母a必须满足 ,
a才有算术平方根。所以，在二次根式才有意义。


（三）合作探究
1、学生自学课本第2页例题后，模仿例题的解答过程合作完成练习 ： x取何值时，下列各二次根式有意义？
①3x4 ②221x ③ 32x2、（1）若a33a有意义，则a的值为___________．
x在实数范围内有意义，则x为（ ）（2）若 。
A.正数 B.负数 C.非负数 D.非正数

（四）展示反馈 (学生归纳总结
1．非负数a的算术平方根a(a≥0叫做二次根式. 二次根式的概念有两个要点：一是从形式上看，应含有二次根号；二是被开方数的取值范围有限制：被开方数a必须是非负数。 2．式子a(a0的取值是非负数。 （五）精讲点拨
1、二次根式的基本性质(a2=a成立的条件是a≥0，利用这个性质可以求二次根式的平方，如(52=5；也可以把一个非负数写成一个数的平方形式，如5=(52. 2、讨论二次根式的被开方数中字母的取值，实际上是解所含字母的不等式。 （五）拓展延伸
12x1、(1在式子中，x的取值范围是____________. 1x(2已知x24+2xy＝0，则x-y＝ _____________. (3已知y＝3x+x32,则yx= _____________。 2、由公式(a2a(a0，我们可以得到公式a=(a2 ,利用此公式可以把任意一个非负数写成一个数的平方的形式。
(1把下列非负数写成一个数的平方的形式： 5 0.35 (2在实数范围内因式分解
x27 4a2-11
（六）达标测试
A组
(一填空题：

352

1、 =________;
2、 在实数范围内因式分解：
（1）x2-9= x2 - （ ）2= （x+ ____）(x-____ （2） x2 - 3 = x2 - ( 2 = (x+ _____ (x- _____ （二）选择题：
1、计算 ( 132的值为（ ） A. 169 B.-13 C±13 D.13
2、已知 x 30,则x为（ ）A. x>-3 B. x<-3 C.x=-3 D x的值不能确定 3、下列计算中，不正确的是 （ ）。
A. 3= (32 B 0.5=(0.52 C .(0.32=0.3 D (572=35 B组
（一）选择题：
1、下列各式中，正确的是（ ）。

4994A. 9 B 4 = 94
255C D 4242366
2、 如果等式(x2= x成立，那么x为（ ）。
A x≤0; B.x=0 ; C.x<0; D.x≥0 （二）填空题: 1、 若a2b30，则 a2b= 。 2、分解因式：
X4 - 4X2 + 4= ________. 3、当x= 时，代数式4x5有最小值，
其最小值是 。

二次根式(2 一、学习目标
1、掌握二次根式的基本性质：a2a 2、能利用上述性质对二次根式进行化简. 二、学习重点、难点
重点：二次根式的性质a2a．
难点：综合运用性质a2a进行化简和计算。 三、学习过程
（一）复习引入：
（1）什么是二次根式，它有哪些性质？



（2）二次根式2有意义，则x 。 x5（3）在实数范围内因式分解：
x2-6= x2 - （ ）2= （x+ ____）(x-____ （二）提出问题 1、式子a2a表示什么意义? 2、如何用来化简二次根式? 3、在化简过程中运用了哪些数学思想? （三）自主学习
自学课本第3页的内容，完成下面的题目：
42(2224 0.2 5 20 a2a1、计算：观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到： 当a0时,a 4(22(20 (4 (0.2 5 222、计算：观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：当a0时,a 3、计算：02 当a0时,a （四）合作交流
1、归纳总结
将上面做题过程中得到的结论综合起来，得到二次根式的又一条非常重要的性质：
a a0a2a　0 a0
a a02、化简下列各式：
(10.3______(220.32______(352_______ (4(2a2_____ （a<0）3、请大家思考、讨论二次根式的性质(a2a(a0与a2a有什么区别与联系。 （五）展示反馈
1、化简下列各式
（1）4x2(x0 (2 x

2、化简下列各式
（1）(a32(a3 （2）

42x32（x＜-2）

（六）精讲点拨
利用a2a可将二次根式被开方数中的完全平方式“开方”出来，达到化简的目的，进行化简的关键是准确确定“a”的取值。 （七）拓展延伸
(1a、b、c为三角形的三条边，则(abc2bac____________. (2 把(2-x1的根号外的（2-x）适当变形后移入根号内，得（ ） x2A、2xB、x2 C、2x D、x2 (3 若二次根式2x6有意义，化简│x-4│-│7-x│。 （八）达标测试：
A组
1、填空：（1）、(2x12-(2x32(x2=_________. （2）、(42= 2、已知2＜x＜3，化简：(x22x3

B组
111、 已知0 ＜x＜1，化简：(x24－(x24
xx
a的正方形方孔．若沿图中虚线锯开，可以拼成一个3新的正方形桌面．你会拼吗？试求出新的正方形边长．

16.2二次根式的乘除法
二次根式的乘法
一、学习目标
1、掌握二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质。 2、 边长为a的正方形桌面，正中间有一个边长为2、熟练进行二次根式的乘法运算及化简。
二、学习重点、难点
重点： 掌握和应用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质。
难点： 正确依据二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质进行二次根式的化简。



三、学习过程 （一）复习回顾 1、计算：
（1）4×9=______ 49=_______ （2）16 ×25 =_______ 1625=_______ （3）100 ×36 =_______ 10036=_______ 2、根据上题计算结果，用“>”、“<”或“=”填空： （1）4×9_____49 （2）16×25____1625 （3） 100×36__10036
（二）提出问题
1、二次根式的乘法法则是什么？如何归纳出这一法则的？ 2、如何二次根式的乘法法则进行计算？ 3、积的算术平方根有什么性质？
4、如何运用积的算术平方根的性质进行二次根式的化简。 （三）自主学习
自学课本第5—6页“积的算术平方根”前的内容，完成下面的题目： 1、用计算器填空：
（1）2×3____6 （2）5×6____30 （3）2×5____10 （4）4×5____20 2、由上题并结合知识回顾中的结论，你发现了什么规律？
能用数学表达式表示发现的规律吗？

3、二次根式的乘法法则是：
（四）合作交流
1、自学课本6页例1后，依照例题进行计算：
（1）9×27 （2）25×32 （3）5a·11ab （4）5·3a·b 53

2、自学课本第6—7页内容，完成下列问题： （1）用式子表示积的算术平方根的性质：
。 （2）化简：



①54 ②12a2b2


③2549 ④10064


（五）展示反馈
展示学习成果后，请大家讨论：对于9×27的运算中不必把它变成243后再进行计算，你有什么好办法？

（六）精讲点拨
1、当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘以单项式法则进行计算：即系数之积作为积的系数，被开方数之积为被开方数。 2、化简二次根式达到的要求： （1）被开方数进行因数或因式分解。 （2）分解后把能开尽方的开出来。 （七）拓展延伸
1、判断下列各式是否正确并说明理由。 （1）(4(9＝49 （2）3a2b3=ab3b
（3） 68×（-26）=6(286=1248 （4）49916 =416＝43＝12 16162、不改变式子的值，把根号外的非负因式适当变形后移入根号内。
(1 -321 (2 2a
2a3
（八）达标测试：
A组
1、选择题
（1）等式x1•x1x21成立的条件是（ ）
A．x≥1 B．x≥-1 C．-1≤x≤1 D．x≥1或x≤-1 （2）下列各等式成立的是（ ）．



A．45×25=85 B．53×42=205 C．43×32=75 D．53×42=206 （3）二次根式(226的计算结果是（ ） A．26 B．-26 C．6 D．12 2、化简： 4（1）360； （2）32x；

3、计算： （1）1830； （2）32；
75B组
1、选择题
（1）若a2b24b4c2c10，则b2•a•c=（ ）
4 A．4 B．2 C．-2 D．1 （2）下列各式的计算中，不正确的是（ ） A．(4(646=（-2）×（-4）=8 B．4a44a422(a222a2 C．3242916255
D．132122(1312(131213121312251 2、计算：（1）68×（-26）； （2）8ab6ab3；

二次根式的除法
一、学习目标
1、掌握二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质。 2、能熟练进行二次根式的除法运算及化简。 二、学习重点、难点
重点： 掌握和应用二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质。
难点： 正确依据二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质进行二次根式的化简。 三、学习过程 （一）复习回顾
1、写出二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质

2、计算： （1）38×（-46） （2）12ab6ab3




3、填空： （1）99=________，=_________ 16161616=________，=________ 363644=________，=_________ 1616（2）（3）（二）提出问题：
1、二次根式的除法法则是什么？如何归纳出这一法则的？ 2、如何二次根式的除法法则进行计算？ 3、商的算术平方根有什么性质？
4、如何运用商的算术平方根的性质进行二次根式的化简？ （三）自主学习
自学课本第7页—第8页内容，完成下面的题目： 1、由“知识回顾3题”可得规律：
91649164______ ______ _______ 3616161636162、利用计算器计算填空: （1）322=_________（2）=_________（3）=______ 435规律：322322______ _______ _____
4354353、根据大家的练习和解答，我们可以得到二次根式的除法法则：
。 把这个法则反过来，得到商的算术平方根性质：
。 （四）合作交流
1、 自学课本例3，仿照例题完成下面的题目：
计算：（1）3112 （2） 283 2、自学课本例4，仿照例题完成下面的题目：
64b23化简：（1） （2）
29a64（五）精讲点拨
1、当二次根式前面有系数时，类比单项式除以单项式法则进行计算：即系数之商作为商的系数，被开方数之商为被开方数。 2、化简二次根式达到的要求：



（1）被开方数不含分母； （2）分母中不含有二次根式。 （六）拓展延伸 阅读下列运算过程：
13322525， 53555333数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”。 利用上述方法化简：(121=_________ （２）=_________ 32
6110=_____ ___ (４ =___ ___ 1225(３
（七）达标测试：
A组
1、选择题
112 （1）计算121的结果是（ ）．
335 A．275 B．22 C．2 D． 77（2）化简32的结果是（ ）
27 A．-262 B．- C．- D．-2 3332、计算： （1） （3）
B组
用两种方法计算： （1）
最简二次根式
一、学习目标
1、理解最简二次根式的概念。

248 （2）
2x38x
119x （4） 241664y646（2） 8 43

2、把二次根式化成最简二次根式． 3、熟练进行二次根式的乘除混合运算。 二、学习重点、难点
重点：最简二次根式的运用。
难点：会判断二次根式是否是最简二次根式和二次根式的乘除混合运算。 三、学习过程 （一）复习回顾
1、化简（1）96x4 （2）
2、结合上题的计算结果，回顾前两节中利用积、商的算术平方根的性质化简二次根式达到的要求是什么？
（二）提出问题： 1、什么是最简二次根式？
2、如何判断一个二次根式是否是最简二次根式？ 3、如何进行二次根式的乘除混合运算？ （三）自主学习
自学课本第9页内容，完成下面的题目：
1、满足于 , 的二次根式称为最简二次根式. 2、化简: (1 332
275 (2 x2y4x4y2 12820 (3 8x2y3 (4（四）合作交流
2121、计算： 121 335
2、比较下列数的大小
3（1）2.8与2 （2）76与67
4A3、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，
AC=3cm，BC=6cm，求AB的长．

（五）精讲点拨

B
C1、化简二次根式的方法有多种，比较常见的是运用积、商的算术平方根的性质和分母有理化。 2、判断是否为最简二次根式的两条标准：



（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数中所有因数或因式的幂的指数都小于2．
（六）拓展延伸
观察下列各式，通过分母有理化，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：
12111(21(21(212121， 213232，
321(32(32(3212332同理可得： =23，……
从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算 （121132……+120092008）（20091）的值．

（七）达标测试：
A组
1、选择题 （1）如果x（y>0）是二次根式，化为最简二次根式是（ ）．
y A．xyx（y>0） B．xy（y>0） C．（y>0） D．以上都不对
yya2的结果是 a2（2）化简二次根式a A、a2 B、-a2 C、a2 D、-a2 2、填空：
（1）化简x4x2y2=_________．（x≥0） （2）已知x 3、计算：
371（1）1 (2 331(11414422874512152，则x1的值等于__________. x


B组
1、计算： 233bab5•(ab3（a>0,b>0） b2a


x244x212、若x、y为实数，且y=，求xy•xy的值。 x2
16.3二次根式的加减法 二次根式的加减法
一、学习目标
1、了解同类二次根式的定义。
2、能熟练进行二次根式的加减运算。
二、学习重点、难点
重点：二次根式加减法的运算。
难点：快速准确进行二次根式加减法的运算。 三、学习过程
（一）复习回顾
1、什么是同类项？
2、如何进行整式的加减运算？
3、计算：（1）2x-3x+5x （2）a2b2ba23ab

（二）提出问题
1、什么是同类二次根式？
2、判断是否同类二次根式时应注意什么？ 3、如何进行二次根式的加减运算？
（三）自主学习
自学课本第10—11页内容，完成下面的题目： 1、试观察下列各组式子，哪些是同类二次根式：
（1）22与32 （2）2与3 （3）5与20 （4）18与12
从中你得到： 。
2、自学课本例1，例2后，仿例计算：
（1）8+18 （2）7+27+397 （3）348-9
通过计算归纳：进行二次根式的加减法时，应 。 （四）合作交流，展示反馈
小组交流结果后，再合作计算，看谁做的又对又快！限时6分钟
(1 12(11 (2 (4820(125 3271+312 3(3 x21x1x16x （4）x9x(x24yy3x4x2y




（五）精讲点拨
 1、判断是否同类二次根式时，一定要先化成最简二次根式后再判断。 2、二次根式的加减分三个步骤： ①化成最简二次根式； ②找出同类二次根式；
③合并同类二次根式，不是同类二次根式的不能合并。
（六）拓展延伸
1、如图所示，面积为48cm2的正方形的四个角是 面积为3cm2的小正方形，现将这四个角剪掉，制 作一个无盖的长方体盒子，求这个长方体的高和底 面边长分别是多少？

2、已知4x2+y2-4x-6y+10=0，
2x1y求（x9x+y23）-（x2-5x）的值．
3yxx


（七）达标测试：
A组
1、选择题
（1）二次根式：①12；②22；③与3是同类二次根式的是（ ）．
A．①和② B．②和③ C．①和④ D．③和④
（2）下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（ ）．
A．2x与2y B．434958ab与ab 922；④27中， 3C．mn与n D．mn与nm 2、计算： （1）72+38-550 （2）2x19x62x 34x



B组
1、选择：已知最简根式a2ab与ab7是同类二次根式，则
满足条件的 a,b的值（ ） A．不存在 B．有一组 C．有二组 D．多于二组 2、计算： （1）390+
二次根式的混合运算
一、学习目标
熟练应用二次根式的加减乘除法法则及乘法公式进行二次根式的混合运算。 二、学习重点、难点
重点：熟练进行二次根式的混合运算。
难点：混合运算的顺序、乘法公式的综合运用。 三、学习过程
（一）复习回顾： 1、填空 （1）整式混合运算的顺序是： 。 （2）二次根式的乘除法法则是： 。 （3）二次根式的加减法法则是： 。 （4）写出已经学过的乘法公式：
① ②
2、计算： （1）6·3a·
（3）238

（二）合作交流 1、探究计算：
111b （2） 341621-4 （2）2x8x322xy2(x0,y0 540111250 25


（1）（83）×6 （2）(423622

2、自学课本11页例3后，依照例题探究计算： （1）(23(25 （2）(2322

（三）展示反馈 计算：（限时8分钟） （1）(
（3）(32232 （4）（10-7）（-10-7）

（四）精讲点拨
整式的运算法则和乘法公式中的字母意义非常广泛，可以是单项式、多项式，也可以代表二次根式，所以整式的运算法则和乘法公式适用于二次根式的运算。 （五）拓展延伸
同学们，我们以前学过完全平方公式(ab2a22abb2，你一定熟练掌握了吧!现在，我们又学习了二次根式，那么所有的正数（包括0）都可以看作是一个数的平方，如3=（3）2，5=（5）2122724312 （2）(235(23 33，下面我们观察：
(212(22212122221322
反之，3222221(212
∴ 322(212 ∴ 322=2-1 仿上例，求：（1）；423 （2）你会算412吗？

（3）若a2bmn，则m、n与a、b的关系是什么？并说明理由．



（六）达标测试：



A组
1、计算：
（1）(80905 （2）243623

（3）(a3b3abab3(ab（a>0,b>0）（4）(26-52(-26-52 2、已知a
B组
1、计算：（1）(321(321（2）(3102009(3102009

2、母亲节到了，为了表达对母亲的爱，小明做了两幅大小不同的正方形卡片送给妈妈，其中一个面积为8cm2,另一个为18cm2，他想如果再用金彩带把卡片的边镶上会更漂亮，他现在有长为50cm的金彩带，请你帮忙算一算，他的金彩带够用吗？


《二次根式》复习
一、学习目标
1、了解二次根式的定义，掌握二次根式有意义的条件和性质。 2、熟练进行二次根式的乘除法运算。
3、理解同类二次根式的定义，熟练进行二次根式的加减法运算。 4、了解最简二次根式的定义，能运用相关性质进行化简二次根式。 二、学习重点、难点
重点：二次根式的计算和化简。
难点：二次根式的混合运算，正确依据相关性质化简二次根式。 三、复习过程
（一）自主复习
自学课本第13页“小结”的内容，记住相关知识，完成练习： 1．若a＞0，a的平方根可表示为___________ a的算术平方根可表示________ 2．当a______时，12a有意义，
当a______时，3a5没有意义。 3．(32________121,b121，求a2b210的值。
(322______
4．1448_______;7218________ 5．1227_______;12520_______



（二）合作交流，展示反馈
1、式子 x4x5x4x5成立的条件是什么? 1125x32、计算： (1 212 352 (2249y3．(1 253375 (2 (32232

（三）精讲点拨
在二次根式的计算、化简及求值等问题中，常运用以下几个式子：
（1）(a2a(a0与a(a2(a0
a a00 a0 （2）a2a　a a0（3）a•bab(a0,b0与aba•b(a0,b0 （4）aaaa(a0,b0与(a0,b0
bbbb（5）(ab2a22abb2与(ab(aba2b2

（四）拓展延伸
1、用三种方法化简66
解：第一种方法：直接约分
第二种方法：分母有理化
第三种方法：二次根式的除法

2、已知m,m为实数，满足m求6m-3n的值。

（五）达标测试：
A组
1、选择题： （1）化简n299n24，
n352的结果是（ ）



A 5 B -5 C 士5 D 25 （2）代数式x4x2中，x的取值范围是（ ）
A x4 B x2 C x4且x2 D x4且x2 （3）下列各运算，正确的是（ ）
A 253565 B 919252535 C 51255125 D x2y2x2y2xy （4）如果xy(y0是二次根式，化为最简二次根式是（ A xy(y0 B xy(y0 C xyy(y0 D．以上都不对 （5）化简3227的结果是（ ）
A23B263C3D2
2、计算．
(1272345 (2 162564 (3(a2(a2 (4(x32
3、已知a32,b3222求1a1b的值 B组

）




1、选择： （1）a15,b55，则（ ） A a,b互为相反数 B a,b互为倒数 C ab5 D a=b （2）在下列各式中，化简正确的是（ ）
A 53315 B 11222
C a4ba2b D x3x2xx1 （3）把(a11a1中根号外的(a1移人根号内得（
Aa1B1aCa1D1a 2、计算： （1）263654 （2） 0.912120.36100
（3）(32232(32232
3、归纳与猜想：观察下列各式及其验证过程：
223223,333838 (1按上述两个等式及其验证过程的基本思路， 猜想4415的变化结果并进行验证．

(2针对上述各式反映的规律，写出n(n为任意自然数，且n≥2表示的等式并进行验证．
参考答案


）





二次根式(一
（五）拓展延伸
1、 (1x12,且x1 (26 (38 2、(1(52(0.352 (2(x7(x7(2a11(2a11
（六）达标测试
(A组(一填空题：
1、3 2、（1）x2 - 9= x2 -（3）25=（x+ 3）(x-3; （2）x2 - 3 = x2 - (3 2 = (x+ 3 (x-（二）选择题：
1、D 2、C 3、D (B组（一）选择题：
1、 B 2、A （二）填空题: 1、 1 2、(x22(x2(x2 3、54，0。 二次根式(二
（五）展示反馈
1、（1）2x (2 x2 2、（1）a3（2）2x3 （七）拓展延伸
(12a (2D (3 3 （八）达标测试： A组 1、（1）、2 （2）、4 2、1 B组 1、2x 2、
223a 22.2二次根式的乘除法二次根式的乘法


（七）拓展延伸
1、（1）错（2）错（3） 错（4）错 2、(1 -6 (2 2a
（八）达标检测：
A组1、（1） A （2） D （3） A 2、（1）610 （2）42x2； 3、（1）615 （2）25 B组1、（1） B （2） A
3.

2、（1）483 （2）43ab2；
二次根式的除法
（六）拓展延伸 (16232 （２） (３ (４
6362（七）达标测试：
A组1、（1） A（2）C 2、（1）3x3x （2） （3）2 （4） 628yB组（1）22 （四）合作交流
1、1 2、（1）2.8>23、AB=35．
（六）拓展延伸 （121132（2）2 4最简二次根式
3 （2）7667
4……+120092008）（20091）=2008．
（七）达标测试：
A组1、（1） C （2） B 2、（1）xx2y2（2）4 3、(1 23 (2 -22
B组1、 a2b2ab 2、37 422.3二次根式的加减法 二次根式的加减法
（四）合作交流，展示反馈
16 (1 3 (2 635
9(3 x3y （4）4xx
2（六）拓展延伸
1、高:3 底面边长23 2、236
4


（七）达标测试：
A组1、（1） C （2）D 2、（1）122 （2）3x
2B组1、B 2、（1）910 （2）(2yx2x
二次根式的混合运算
（三）展示反馈
（1）6182 （2）2661015 （3）30126 （4）3 （五）拓展延伸
（1）13 （2）31（3）amn,bmn （六）达标测试：
A组1、（1）4185 （2）42 （3）ab3ab （4）26 2、4 B组1、（1）22（2）1 2、够用
《二次根式》复习
（一）自主复习
1．a,a 2．a15，a 233．3;23 4．442; 2 5．53; 35
（二）合作交流，展示反馈
1、x5 2、(1 3255x (2 103y3．(1 2203 (230126
（四）拓展延伸
1、6 2、5 （五）达标测试：
A组1、（1）A （2） B （3） B （4） C （5）C 52、(1335 (2 2(3a4 (4x923x 3、42



B组1、（1） D （2）C （3）D 2、（1）9611103 （2） （3）36 220444 1515nnn n21n213、(14(2 n

第17章 勾股定理 17.1 勾股定理（1）
学习目标：
1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。 2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。
3．介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发爱国热情，勤奋学习。 学习过程：
一.预习新知（阅读教材第64至66页，并完成预习内容。） 1正方形A、B 、C的面积有什么数量关系？
2以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积和以斜边为边长的大正方形的面积之间有什么关系？ 归纳：等腰直角三角形三边之间的特殊关系。

A B C
(1那么一般的直角三角形是否也有这样的特点呢？




(2组织学生小组学习，在方格纸上画出一个直角边分别为3和4的直角三角形，并以其三边为边长向外作三个正方形，并分别计算其面积。

(3通过三个正方形的面积关系，你能说明直角三角形是否具有上述结论吗？

(4对于更一般的情形将如何验证呢？
二.课堂展示 方法一； 如图，让学生剪4个全等的直角三角形，拼成如图图形，利用面积证明。 DCS正方形＝_______________＝____________________

ba方法三：以a、b 为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则1AcB等于2ab. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在这时四边形ABCD是一个直角梯形，它的面积等于_________________ C
D
accb AbEaB

归纳：勾股定理的具体内容是 。

三.随堂练习
1.如图，直角△ABC的主要性质是：∠C=90°，（用几何语言表示）
A⑴两锐角之间的关系： ；
D(2若∠B=30°，则∠B的对边和斜边： ；
(3三边之间的关系：
CB2.完成书上P69习题1、2

四.课堂检测
1.在Rt△ABC中，∠C=90°
①若a=5，b=12，则c=___________； ②若a=15，c=25，则b=___________； ③若c=61，b=60，则a=__________；
④若a∶b=3∶4，c=10则SRt△ABC =________。
2.已知在Rt△ABC中，∠B=90°，a、b、c是△ABC的三边，则 ⑴c= 。（已知a、b，求c） ⑵a= 。（已知b、c，求a）
3.直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为__________。 4.已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ） A、25 B、14 C、7 D、7或25 5.等腰三角形底边上的高为8，周长为32，则三角形的面积为（ ）

每个直角三角形的面积一条直线上.


A、56 五.小结与反思

作业：


B、48

C、40

D、32 17.1 勾股定理（2）
学习目标：
1．会用勾股定理解决简单的实际问题。 2．树立数形结合的思想。
3．经历探究勾股定理在实际问题中的应用过程，感受勾股定理的应用方法。 4．培养思维意识，发展数学理念，体会勾股定理的应用价值。
一.预习新知（阅读教材第66至67页，并完成预习内容。） 1.①在解决问题时，每个直角三角形需知道几个条件？ ②直角三角形中哪条边最长？
2.在长方形ABCD中，宽AB为1m，长BC为2m ，求AC长． 问题（1）在长方形ABCD中AB、BC、AC大小关系？
（2）一个门框的尺寸如图1所示．
①若有一块长3米，宽0.8米的薄木板，问怎样从门框通过？ ②若薄木板长3米，宽1.5米呢？
③若薄木板长3米，宽2.2米呢？为什么？


C 2m

A B 1m

图1 二.课堂展示
例：如图2，一个3米长的梯子AB，斜着靠在竖直的墙AO上，这时AO的距离为2.5米．
①求梯子的底端B距墙角O多少米？ ②如果梯的顶端A沿墙下滑0.5米至C.
算一算，底端滑动的距离近似值（结果保留两位小数）．
A A C B O C

D B D O O 、
图2 三.随堂练习
1.书上P68练习1、2 2．小明和爸爸妈妈十一登香山，他们沿着45度的坡路走了500米，看到了一棵红叶树，这棵红叶树的离地面的高度是 米。
3．如图，山坡上两株树木之间的坡面距离是43米，则这两株树之间的垂直距离是 米，水平距离是 米。




CA30B
B
3题图 1题图 2题图
四.课堂检测
1．如图，一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定，两个固定点之间的距离是 。
2．如图，原计划从A地经C地到B地修建一条高速公路，后因技术攻关，可以打隧道由A地到B地直接修建，已知高速公路一公里造价为300万元，隧道总长为2公里，隧道造价为500万元，AC=80公里， ABC=60公里，则改建后可省工程费用是多少？ 3．如图，欲测量松花江的宽度，沿江岸取B、C两点，在江对岸取一点A，使AC垂直江岸，测得BC=50米，∠B=60°，则江面的宽度为 。 BC R4．有一个边长为1米正方形的洞口，想用一个圆 形盖去盖住这个洞口，则圆形盖半径至少为 米。 5．一根32厘米的绳子被折成如图所示的形状钉在P、Q两点，PQ=16厘米，且RP⊥PQ，则RQ= 厘米。 PQ
6.如图3，分别以Rt △ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3表示，容易得出S1、S2、S3之间有的关系式 ． 变式：书上P71 -11题如图4．
五.小结与反思
CS3AS1S2B
CAS2 S3 S1 图4
图3
17.1 勾股定理（3）
学习目标:
1、能利用勾股定理，根据已知直角三角形的两边长求第三条边长；并在数轴上表示无理数。 2、体会数与形的密切联系，增强应用意识，提高运用勾股定理解决问题的能力。 3、培养数形结合的数学思想，并积极参与交流，并积极发表意见。
一.预习新知（阅读教材第67至68页，并完成预习内容。）
1.探究：我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上画出表示13的点吗？
2.分析：如果能画出长为_______的线段，就能在数轴上画出表示13的点。容易知道，长


为2的线段是两条直角边都为______的直角边的斜边。长为13的线段能是直角边为正整数的直角三角形的斜边吗？
利用勾股定理，可以发现，长为13的线段是直角边为正整数_____、 ______的直角三角形的斜边。
3.作法：在数轴上找到点A，使OA=_____，作直线l垂直于OA，在l上取点B，使AB=_____，以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴的交点C即为表示13的点。 4.在数轴上画出表示17的点？（尺规作图）

二.课堂展示
例1已知直角三角形的两边长分别为5和12，求第三边。

例2已知：如图，等边△ABC的边长是6cm。 ⑴求等边△ABC的高。 ⑵求S△ABC。

C



A D
B

三.随堂练习
1.完成书上P71第9题

2．填空题
⑴在Rt△ABC，∠C=90°，a=8，b=15，则c= 。



⑵在Rt△ABC，∠B=90°，a=3，b=4，则c= 。
⑶在Rt△ABC，∠C=90°，c=10，a：b=3：4，则a= ，b= 。 (4已知直角三角形的两边长分别为3cm和5cm，，则第三边长为 。

2．已知等腰三角形腰长是10，底边长是16，求这个等腰三角形面积。

四.课堂检测
1．已知直角三角形中30°角所对的直角边长是23cm，则另一条直角边的长是（
）A. 4cm B. 43cm C. 6cm D. 63cm 2．△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长为（ ） A．42 B．32 C．42 或 32 D．37 或 33
3．一架25分米长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离墙底端7分米.如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯足将滑动( A. 9分米 B. 15分米 C. 5分米 D. 8分米 4． 如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了 步路（假设2步为1米），却踩伤了花草． “路”3m5. 等腰△ABC的腰长AB＝10cm，底BC为16cm，为 ，面积为 .

4m底边上的高6. 一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为 ． 7．已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD⊥DC，

ADAB⊥AC，∠B=60°，CD=1cm，求BC的长。

BC






五．小结与反思： 作业：


17.2 勾股定理的逆定理（一）
学习目标
1．体会勾股定理的逆定理得出过程，掌握勾股定理的逆定理。 2．探究勾股定理的逆定理的证明方法。
3．理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。
一.预习新知（阅读教材P73 — 75 , 完成课前预习）
1.三边长度分别为3 cm、4 cm、5 cm的三角形与以3 cm、4 cm为直角边的直角三角形之间有什么关系？你是怎样得到的？

2.你能证明以6cm、8cm、10cm为三边长的三角形是直角三角形吗？



3.如图18.2-2，若△ABC的三边长a、b、c满足a2b2c2，试证△ABC是直角三角形，请简要地写出证明过程．



图18.2-2





4.此定理与勾股定理之间有怎样的关系？ （1）什么叫互为逆命题

（2）什么叫互为逆定理

（3）任何一个命题都有 但任何一个定理未必都有 _ 5.说出下列命题的逆命题。这些命题的逆命题成立吗？ （1） 两直线平行，内错角相等；
（2） 如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等； （3） 全等三角形的对应角相等；
（4） 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。 二．课堂展示
例1：判断由线段a、b、c组成的三角形是不是直角三角形： （1）a15,b8,c17； （2）a13,b14,c15． （3）a7,b24,c25； （4）a1.5,b2,c2.5； 三.随堂练习
1.完成书上P75练习1、2 2.如果三条线段长a,b,c满足a2c2b2，这三条线段组成的三角形是不是直角三角形？为什么？

3.A,B,C三地的两两距离如图所示，A地在B地的正东方向，C地在B地的什么方向？

C5km13kmB12kmA


4.思考：我们知道3、4、5是一组勾股数，那么3k、4k、5k（k是正整数）也是一组勾股数吗？一般地，如果a、b、c是一组勾股数，那么ak、bk、ck（k是正整数）也是一组勾股数吗？

四.课堂检测
1..一根24米绳子，折成三边为三个连续偶数的三角形，则三边长分别为多少米？此三角形的形状为？


3.已知：如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，求证：△ABC是直角三角形。

五.小结与反思

17.2勾股定理逆定理（2）
学习目标：
1.进一步掌握勾股定理的逆定理，并会应用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角
BDAC且CD2=AD·BD。


三角形，能够理解勾股定理及其逆定理的区别与联系，掌握它们的应用范围。 一.预习新知
已知：如图，四边形ABCD，AD∥BC，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3。 求：四边形ABCD的面积。
AD

BEC
归纳：求不规则图形的面积时，要把不规则图形 二.课堂展示
例1.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后相距30海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？

例2．如图，小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算一下土地的面积，以便计算一下产量。小明找了一卷米尺，测得AB=4米，BC=3米，CD=13米，DA=12米，又已知 ∠B=90°。

CD
BA图18.2-3






三.随堂练习
1.完成书上P76练习3 2.一个三角形三边之比为3：4：5，则这个三角形三边上的高值比为
A 3:4:5 B 5:4:3 C 20:15:12
D 10:8:2 3.如果△ABC的三边a,b,c满足关系式a2b18 +（b-18）2+c30=0则△ABC是 _______三角形。 四.课堂检测
1.若△ABC的三边a、b、c，满足（a－b）（a2＋b2－c2）=0，则△ABC是（ ）A．等腰三角形；B．直角三角形；
C．等腰三角形或直角三角形；D．等腰直角三角形。
2.若△ABC的三边a、b、c，满足a：b：c=1：1：2，试判断△ABC的形状。

3.已知：如图，四边形ABCD，AB=1，BC=，CD=D3413，AD=3，且AB⊥BC。求：四边4形ABCD的面积。

ABC
4.小强在操场上向东走80m后，又走了60m，再走100m回到原地。小强在操场上向东走了80m后，又走60m的方向是 。

5.一根30米长的细绳折成3段，围成一个三角形，其中一条边的长度比较短边长7米，比较长边短1米，请你试判断这个三角形的形状。




6.已知△ABC的三边为a、b、c，且a+b=4，ab=1，c=14，试判定△ABC的形状。

7.如图，在正方形ＡＢＣＤ中，Ｆ为ＤＣ的中点，Ｅ为ＢＣ上一点且ＥＣ＝ＢＣ，求证：∠ＥＦＡ＝90。.


五.小结与反思 作业：

14勾股定理复习（1）
学习目标
1.理解勾股定理的内容，已知直角三角形的两边，会运用勾股定理求第三边. 2.勾股定理的应用. 3.会运用勾股定理的逆定理，判断直角三角形. 一.复习回顾
在本章中，我们探索了直角三角形的三边关系，并在此基础上得到了勾股定理，并学习了如何利用拼图验证勾股定理，介绍了勾股定理的用途；本章后半部分学习了勾股定理的逆定理以及它的应用．其知识结构如下：

1.勾股定理：
(1直角三角形两直角边的______和等于_______的平方．就是说，对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有：————————————.这就是勾股定理．

a2c2b2,b2c2a2,ca2b2 2222acb,bca




(2勾股定理揭示了直角三角形___之间的数量关系，是解决有关线段计算问题的重要依据．

,．
勾股定理的探索与验证，一般采用“构造法”．通过构造几何图形，并计算图形面积得出一个等式，从而得出或验证勾股定理．

2.勾股定理逆定理
“若三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形为________.”这一命题是勾股定理的逆定理.它可以帮助我们判断三角形的形状.为根据边的关系解决角的有关问题提供了新的方法.定理的证明采用了构造法.利用已知三角形的边a,b,c(a2+b2=c2，先构造一个直角边为a,b的直角三角形，由勾股定理证明第三边为c,进而通过“SSS”证明两个三角形全等，证明定理成立.
3.勾股定理的作用：
(1）已知直角三角形的两边，求第三边；
(2）在数轴上作出表示n（n为正整数）的点．
勾股定理的逆定理是用来判定一个三角形是否是直角三角形的.勾股定理的逆定理也可用来证明两直线是否垂直,勾股定理是直角三角形的性质定理，而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，它不仅可以判定三角形是否为直角三角形，还可以判定哪一个角是直角，从而产生了证明两直线互相垂直的新方法：利用勾股定理的逆定理，通过计算来证明，体现了数形结合的思想．
222(3三角形的三边分别为a、b、c，其中c为最大边，若abc，则三角形是直角三角22222形；若abc，则三角形是锐角三角形；若abc，则三角形是钝角三角形．所以使用勾股定理的逆定理时首先要确定三角形的最大边．

二.课堂展示
例1：如果一个直角三角形的两条边长分别是6cm和8cm，那么这个三角形的周长和面积分别是多少?

例2：如图，在四边形ABCD中，∠C=90°，AB=13，BC=4，CD=3，AD=12，求证：AD⊥BD．

三.随堂练习
1.如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是(

11111A．7，24，25 B．3，4，5 C．3，4，5 D．4，7，8
22222

2.如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，那么斜边扩大到原来的( A．1倍 B．2倍 C．3倍 D．4倍 3.三个正方形的面积如图1，正方形A的面积为（ ）
A． 6 B． 36 C． 64 D．
8 4.直角三角形的两直角边分别为5cm，12cm，其中斜边上的高为（ ）
6030A．6cm B．8．5cm C．cm D．cm 1313a＝n2－1，b＝2n，c5.在△ABC中，三条边的长分别为a，b，c，＝n2+1(n＞1，且n为整数，这个三角形是直角三角形吗？若是，哪个角是直角
64

A 100 图1



四.课堂检测 1．两只小鼹鼠在地下打洞，一只朝前方挖，每分钟挖8cm，另一只朝左挖，每分钟挖6cm，10分钟之后两只小鼹鼠相距（ ）
A．50cm B．100cm C．140cm D．80cm 2．小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1m，当它把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为 （ ）
A．8cm B．10cm C．12cm D．14cm 3．在△ABC中，∠C＝90°，若 a＝5，b＝12，则 c＝＿＿＿
4．等腰△ABC的面积为12cm2，底上的高AD＝3cm，则它的周长为＿＿＿． 5．等边△ABC的高为3cm，以AB为边的正方形面积为＿＿＿．
6．一个三角形的三边的比为5∶12∶13，它的周长为60cm，则它的面积是＿＿＿ 7．有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出1尺，斜放就恰好等于门的对角线长，已知门宽4尺．求竹竿高与门高．


8．如图3，台风过后，一希望小学的旗杆在离地某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部8m处，已知旗杆原长16m，你能求出旗杆在离底部什么位置断裂的吗？

8m
图3


五.小结与反思







勾股定理复习(2 学习目标
1.掌握直角三角形的边、角之间所存在的关系，熟练应用直角三角形的勾股定理和逆定理来解决实际问题．
2.经历反思本单元知识结构的过程，理解和领会勾股定理和逆定理．
3.熟悉勾股定理的历史，进一步了解我国古代数学的伟大成就，激发爱国主义思想，培养良好的学习态度．
重点：掌握勾股定理以及逆定理的应用． 难点：应用勾股定理以及逆定理． 考点一、已知两边求第三边
1．在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm，2cm ，则斜边长为______． 2．已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长是________________． 3．在数轴上作出表示10的点．

4．已知，如图在ΔABC中，AB=BC=CA=2cm，AD是边BC上的高． 求 ①AD的长；②ΔABC的面积．

考点二、利用列方程求线段的长
1．如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？D

C A B E 2.如图，某学校（A点）与公路（直线L）的距离为 300米，又与公路车站（D点）的距离为500米，现要在公路上建一个小商店（C点），使之与该校A及车站D的距离相等，求商店与车站之间的距离．

考点三、判别一个三角形是否是直角三角形 1.分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1）3、4、5（2）5、12、13（3）8、15、17 （4）4、5、6，其中能够成直角三角形的有 2.若三角形的三别是a2+b2,2ab,a2-b2(a>b>0,则这个三角形是 . 23.如图1，在△ABC中，AD是高，且ADBDCD，求证：△ABC为直角三角形。





考点四、灵活变通
1.在Rt△ABC中， a，b，c分别是三条边，∠B=90°，已知a=6，b=10，则边长c= 2.直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形的面积为7cm2，8cm2，则以斜边为边长的正方形的面积为_________cm2． B
6 8
A
3.如图一个圆柱，底圆周长6cm，高4cm，一只蚂蚁沿外 壁爬行，要从A点爬到B点，则最少要爬行 cm

4.如图：带阴影部分的半圆的面积是 （取3）

5.一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所爬行的最短路线的长是

6.如图：在一个高6米，长10米的楼梯表面铺地毯， 则该地毯的长度至少是 米。 考点五、能力提升
1.已知：如图，△ABC中，AB＞AC，AD是BC边上的高． 求证：AB2-AC2=BC(BD-DC．

2.如图，四边形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点，
1且CEBC．你能说明∠AFE是直角吗？
4


C3.如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现D将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，你能求出CD的长吗？
A BE

三.随堂检测
1．已知△ABC中，∠A= ∠B= ∠C，则它的三条边之比为（ ）．
A．1：1：1 B．1：1 ：2 C．1：2 ：3 D．1：4：1 2．下列各组线段中，能够组成直角三角形的是（ ）．



A．6，7，8 B．5，6，7 C．4，5，6 D．3，4，5 3．若等边△ABC的边长为2cm，那么△ABC的面积为（ ）．
222A．3 cm B．2 cm C．3 cm D．4cm2 4.直角三角形的两直角边分别为5cm，12cm，其中斜边上的高为（ ）
A．6cm B．8．5cm C．30／13cm D．60／13 cm 5.有两棵树，一棵高6米，另一棵高3米，两树相距4米．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了＿＿＿米．
6.一座桥横跨一江，桥长12m，一般小船自桥北头出发，向正南方驶去，因水流原因到达南岸以后，发现已偏离桥南头5m，则小船实际行驶＿＿＿m．
7.一个三角形的三边的比为5∶12∶13，它的周长为60cm，则它的面积是＿＿＿． 8.已知直角三角形一个锐角60°，斜边长为1，那么此直角三角形的周长是 ． 9.有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出1尺，斜放就恰好等于门的对角线长，已知门宽4尺．求竹竿高与门高．



10.如图1所示，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O 的距离为2m，梯子的顶端B到地面的距离为7m．现将梯子的底端A向外移动到A′,使梯子的底端A′到墙根O的距离为3m，同时梯子的顶端B下降到B′，那么BB′也等于1m吗? B
B′

O A′
A 图1

11.已知：如图△ABC中，AB=AC=10，BC=16，点D在BC上，DA⊥CA于A．
求：BD的长．

四.小结与反思

勾股定理复习学案 一、重点：
1、明确勾股定理及其逆定理的内容 2、能利用勾股定理解决实际问题 二、知识小管家：通过本章的学习你都学到了




三、练习：
考点一、已知两边求第三边
1．在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm，2cm ，则斜边长为_____________． 2．已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长是________________． 3．在数轴上作出表示 的点．
4．已知，如图在ΔABC中，AB=BC=CA=2cm，AD是边BC上的高．求 ①AD的长；②ΔABC的面积．

考点二、利用列方程求线段的长
5．如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？

6．如图，某学校（A点）与公路（直线L）的距离为300米，
又与公路车站（D点）的距离为500米，现要在公路上建一个小商店（C点），使之与该校A及车站D的距离相等，求商店与车站之间的距离．

考点三、判别一个三角形是否是直角三角形 7、分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1）3、4、5（2）5、12、13（3）8、15、17（4）4、5、6，其中能够成直角三角形的有----------- 8、若三角形的三别是a2+b2,2ab,a2-b2(a>b>0,则这个三角形是---------------. 9、如图，在我国沿海有一艘不明国际的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A、B两个基地前去拦截，六分钟后同时到达C地将其拦截。已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西400.那么甲巡逻艇的航向是怎样的？

四、灵活变通
10、直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形的面积为7 ，8 ，则以斜边为边长的正方形的面积为_________ ．
11、如图一个圆柱，底圆周长6cm，高4cm，一只蚂蚁沿外 壁爬行，要从A点爬到B点，则最少要爬行 cm 12、．一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面半径为2.5㎝，
高为12㎝，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出4.6㎝，问吸管要做多长？

13、如图：带阴影部分的半圆的面积是-----------（ 取3）




14、若一个三角形的周长12 cm,一边长为3 cm,其他两边之差为 cm,则这个三角形是______________________． 五、能力提升
15、已知：如图，△ABC中，AB＞AC，AD是BC边上的高． 求证：AB2-AC2=BC(BD-DC． 16、
如图，四边形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点， 且 ．你能说明∠AFE是直角吗？

复习第一步：：
勾股定理的有关计算
例1： （2006年甘肃省定西市中考题）下图阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为 ．
析解：图中阴影是一个正方形，面积正好是直角三角形一条直角边的平方，因此由勾股定理得正方形边长平方为：172-152=64，故正方形面积为6 勾股定理解实际问题 例2．（2004年吉林省中考试题）图①是一面矩形彩旗完全展平时的尺寸图（单位：cm）． 其中矩形ABCD是由双层白布缝制的穿旗杆用的旗裤，阴影部分DCEF为矩形绸缎旗面，将穿好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆旗顶到地面的高度为220cm．在无风的天气里，彩旗自然下垂，如图②． 求彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h． 析解：彩旗自然下垂的长度就是矩形DCEF 的对角线DE的长度，连接DE，在Rt△DEF中，根据勾股定理， 得DE=
h=220-150=70(cm 所以彩旗下垂时的最低处离地面的最小高度h为70cm 与展开图有关的计算 例3、（2005年青岛市中考试题）如图，在棱长为1的正方体ABCD—A’B’C’D’的表面上，求从顶点A到顶点C’的最短距离．
析解：正方体是由平面图形折叠而成，反之，一个正方体也可以把它展开成平面图形，如图是正方体展开成平面图形的一部分，在矩形ACC’A’中，线段AC’是点A到点C’的最短距离．而在正方体中，线段AC’变成了折线，但长度没有改变，所以顶点A到顶点C’的最短距离就是在图2中线段AC’的长度． 在矩形ACC’A’中，因为AC=2，CC’=1 所以由勾股定理得AC’= ． ∴从顶点A到顶点C’的最短距离为 复习第二步：
1．易错点：本节同学们的易错点是：在用勾股定理求第三边时，分不清直角三角形的斜边和直角边；另外不论是否是直角三角形就用勾股定理；为了避免这些错误的出现，在解题中，同学们一定要找准直角边和斜边，同时要弄清楚解题中的三角形是否为直角三角形．
例4：在Rt△ABC中， a，b，c分别是三条边，∠B=90°，已知a=6，b=10，求边长c． 错解：因为a=6，b=10，根据勾股定理得 c=
剖析：上面解法，由于审题不仔细，忽视了∠B=90°，这一条件而导致没有分清直角三角形的斜边和直角边，错把c当成了斜边． 正解：因为a=6，b=10，根据勾股定理得，c=



温馨提示：运用勾股定理时，一定分清斜边和直角边，不能机械套用c2=a2+b2 例5：已知一个Rt△ABC的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是

错解：因为Rt△ABC的两边长分别为3和4，根据勾股定理得: 第三边长的平方是32+42=25 剖析：此题并没有告诉我们已知的边长4一定是直角边，而4有可能是斜边，因此要分类讨论．
正解：当4为直角边时，根据勾股定理第三边长的平方是25；当4为斜边时，第三边长的平方为：42-32=7，因此第三边长的平方为：25或7．
温馨提示：在用勾股定理时，当斜边没有确定时，应进行分类讨论．
例6：已知a，b，c为⊿ABC三边，a=6，b=8，b，且c为整数，则c= ． 错解：由勾股定理得c=
剖析：此题并没有告诉你⊿ABC为直角三角形，因此不能乱用勾股定理．
正解：由b，结合三角形三边关系得8，即8，又因c为整数，故c边长为9、10、11、12、13． 温馨提示：只有在直角三角形中，才能用勾股定理，因此解题时一定注意已知条件中是否为直角三角形． 2．思想方法：本节主要思想方法有数形结合的思想、方程的思想、化归的思想及分类的思想；
例7：如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，你能求出CD的长吗？
析解：因两直角边AC=6cm，BC=8cm，所以由勾股定理求得AB=10 cm，设CD=x，由题意知则DE=x，AE=AC=6，BE=10-6=4，BD=8-x．在Rt△BDE由勾股定理得：42+x2=(8-x2，解得x=3，故CD的长能求出且为3． 运用中的质疑点：（1）使用勾股定理的前提是直角三角形；（2）在求解问题的过程中，常列方程或方程组来求解；（3）已知直角三角形中两边长，求第三边长，要弄清哪条边是斜边，哪条边是直角边，不能确定时，要分类讨论． 复习第三步： 选择题
1．已知△ABC中，∠A= ∠B= ∠C，则它的三条边之比为（ ）． A．1：1： B．1： ：2 C．1： ： D．1：4：1 2．已知直角三角形一个锐角60°，斜边长为1，那么此直角三角形的周长是（ ）． A． B．3 C． D．

3．下列各组线段中，能够组成直角三角形的是（ ）．
A．6，7，8 B．5，6，7 C．4，5，6 D．3，4，5 4．下列各命题的逆命题成立的是（ ）
A．全等三角形的对应角相等 B．如果两个数相等，那么它们的绝对值相等 C．两直线平行，同位角相等 D．如果两个角都是45°，那么这两个角相等 5．若等边△ABC的边长为2cm，那么△ABC的面积为（ ）． A． cm2 B．2 cm2 C．3 cm2 D．4cm2 6．在Rt△ABC中，已知其两直角边长a=1，b=3，那么斜边c的长为（ ）． 7．直角三角形的两直角边分别为5cm，12cm，其中斜边上的高为（ ） A．6cm B．8．5cm C． cm D．
cm 8．两只小鼹鼠在地下打洞，一只朝前方挖，每分钟挖8cm，另一只朝左挖，每分钟挖6cm，10分钟之后两只小鼹鼠相距（ ）
A．50cm B．100cm C．140cm D．80cm 9、有两棵树，一棵高6米，另一棵高3米，两树相距4米．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了＿＿＿米．
10．一座桥横跨一江，桥长12m，一般小船自桥北头出发，向正南方驶去，因水流原因到达南岸以后，发现已偏离桥南头5m，则小船实际行驶＿＿＿m．
11．一个三角形的三边的比为5∶12∶13，它的周长为60cm，则它的面积是＿＿＿．
12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，中线BE＝13，另一条中线AD2＝331，则AB＝＿＿＿．
13．有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出1尺，斜放就恰好等于门的对角线长，已知门宽4尺．求竹竿高与门高．
14．如图3，台风过后，一希望小学的旗杆在离地某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部8m处，已知旗杆原长16m，你


能求出旗杆在离底部什么位置断裂的吗？请你试一试．
15．如图4所示，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O 的距离为2m，梯子的顶端B到地面的距离为7m．现将梯子的底端A向外移动到A′,使梯子的底端A′到墙根O的距离为3m，同时梯子的顶端B下降到B′，那么BB′也等于1m吗?


第18章 平行四边形
18.1.1 平行四边形及其性质(一
学习目标：
理解并掌握平行四边形的概念和平行四边形对边、对角相等的性质．
会用平行四边形的性质解决简单的平行四边形的计算问题，并会进行有关的论证． 学习重点：平行四边形的定义，平行四边形对角、对边相等的性质，以及性质的应用．
学习难点：运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算． 学习过程：
一、自主预习（10分钟）
1.由__ _条线段首尾顺次连接组成的多边形叫四边形；四边形有 _条边，_ __个角,四边形的内角和等于_____度；
2.如图AB与BC叫_ __边， AB与CD叫__ _边；∠A与∠B叫_ __角，∠D与∠B叫_ __角; 3多边形中不相邻顶点的连线叫对角线，如图四边形ABCD中对角线有__ _条，它们是___ ___

自学课本P83～P84，
1.有两组对边__________________的四边形叫平形四边形，平行四边形用“______”表示，平行四边形ABCD记作__________。
2.如图□ABCD中，对边有______组，分别是___________________，对角有_____组，分别是_________________，对角线有______条，它们是___________________。
你能归纳ABCD的边、角各有什么关系吗？并证明你的结论。

二、合作解疑（25分钟）
如图，小明用一根36m长的绳子围成了一个平行四边形的场地，其中一条边AB长为8m，其他三条边各长多少？
个平行四边形的一个外角是38°，这个平行四边形的各个内角的度数分别是：


（3） ABCD有一个内角等于40°，则另外三个内角分别为： （4）平行四边形的周长为50cm，两邻边之比为2：3，则两邻边分别为： 1. ABCD中，∠A︰∠B︰∠C︰∠D的值可以是（ ）
A.1︰2︰3︰4 B.3︰4︰4︰3 C.3︰3︰4︰4 D.3︰4︰3︰4 2. ABCD 的周长为40cm，△ABC的周长为27cm,AC的长为 （ ） A.13cm B.3 cm C.7 cm D.11.5cm 三、综合应用拓展
1. 如图，AD∥BC，AE∥CD，BD平分∠ABC，求证AB=CE.
三、当堂检测（10分钟）
1．填空：
（1）在ABCD中，∠A=50，则∠B= 度，∠C= 度，∠D= 度．
1．两组对边分别______的四边形叫做平行四边形．它用符号“□”表示，平行四边形ABCD记作__________。
2．平行四边形的两组对边分别______且______；平行四边形的两组对角分别______；两邻角______；平行四边形的对角线______；平行四边形的面积＝底边长×______．
3．在□ABCD中，若∠A－∠B＝40°，则∠A＝______，∠B＝______．
4．若平行四边形周长为54cm，两邻边之差为5cm，则这两边的长度分别为______． 5．若□ABCD的对角线AC平分∠DAB，则对角线AC与BD的位置关系是______． 6．如图，□ABCD中，CE⊥AB，垂足为E，如果∠A＝115°，则∠BCE＝______．

6题图
7．如图，在□ABCD中，DB＝DC、∠A＝65°，CE⊥BD于E，则∠BCE＝______．

7题图
8．若在□ABCD中，∠A＝30°，AB＝7cm，AD＝6cm，则S□ABCD＝______． 二、选择题
9．如图，将□ABCD沿AE翻折，使点B恰好落在AD上的点F处，则下列结论不一定成立的是( ．
．．．．．
(AAF＝EF (BAB＝EF (CAE＝AF (DAF＝BE
10．如图，下列推理不正确的是( ．




(A∵AB∥CD ∴∠ABC＋∠C＝180° (B∵∠1＝∠2 ∴AD∥BC (C∵AD∥BC ∴∠3＝∠4 (D∵∠A＋∠ADC＝180° ∴AB∥CD
11．平行四边形两邻边分别为24和16，若两长边间的距离为8，则两短边间的距离为( ．
(A5 (B6 (C8
(D12 1.□ABCD中，两邻角之比为1∶2，则它的四个内角的度数分别是____________. 2.□ABCD的周长是28cm，△ABC的周长是22cm，则AC的长是__________. 3.如图，在□ABCD中，M、N是对角线BD上的两点，BN=DM，请判断AM与CN有怎样的数量关系，并说明理由.它们的位置关系如何呢？
ANMBCD
18.1.1平行四边形的性质2 学习目标：理解平行四边形中心对称的特征，掌握平行四边形对角线互相平分的性质．

能综合运用平行四边形的性质解决平行四边形的有关计算问题，和简单的证明题 学习重点：平行四边形对角线互相平分的性质，以及性质的应用． 学习难点：综合运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算． 学习过程：
一、自主预习（10分钟）
想一想：1.平行四边形是一个特殊的图形，它的边、角各有什么性质？

2.平行四边形除了边、角的性质外？还有没有其他的性质？

探一探
按课本85页的“探究”方法进行操作，并画出这两个平行四边形的对角线.实验后思考： （1）从这个实验中你是否发现平行四边形的边、角之间的关系？这与前面的结论一致吗？

（2）线段OA与OC，OB与OD有什么关系（如下图）？由此你能发现平行四边形的对角线有什么性质？ 2.猜一猜
平行四边形的对角线有什么性质？ 3.证一证




4.结论
平行四边形是中心对称图形.

二、合作解疑（25分钟） 1.在□ABCD中，AC、BD交于点O，已知AB=8cm，BC=6cm，△AOB的周长是18cm，那么△AOD的周长是_____________. 2. □ABCD的对角线交于点O，S△AOB=2cm2，则S□ABCD=__________. 3. □ABCD的周长为60cm，对角线交于点O，△BOC的周长比△AOB的周长小8cm，则AB=______cm，BC=_______cm. 4. □ABCD中，对角线AC和BD交于点O，若AC=8，AB=6，BD=m，那么m的取值范围是____________. 5. □ABCD中，E、F在AC上，四边形DEBF是平行四边形.求证：AE=CF. DEABFC

6.如图，田村有一口四边形的池塘，在它的四角A、B、C、D处均有一棵大桃树.田村准备开挖养鱼，想使池塘的面积扩大一倍，并要求扩建后的池塘成平行四边形形状，请问田村能否实现这一设想？若能，画出图形，说明理由. ABCD



综合应用拓展
已知：如下图， ABCD的对角AC，BD交与点O.E，F分别是OA、OC的中点。 求证：△OBE≌△ODF. A D E
O
F B C


三、限时检测（10分钟）
1．平行四边形一条对角线分一个内角为25°和35°，则4个内角分别为______．
2．□ABCD中，对角线AC和BD交于O，若AC＝8，BD＝6，则边AB长的取值范围是 ______．
3．平行四边形周长是40cm，则每条对角线长不能超过______cm．
4．如图，在□ABCD中，AE、AF分别垂直于BC、CD，垂足为E、F，若∠EAF＝30°，AB＝6，AD＝10，则CD＝______；AB与CD的距离为______；AD与BC的距离为______；∠D＝______．




5．□ABCD的周长为60cm，其对角线交于O点，若△AOB的周长比△BOC的周长多10cm，则AB＝______，BC＝______． 6．在□ABCD中，AC与BD交于O，若OA＝3x，AC＝4x＋12，则OC的长为______．
7．在□ABCD中，CA⊥AB，∠BAD＝120°，若BC＝10cm，则AC＝______，AB＝______．
8．在□ABCD中，AE⊥BC于E，若AB＝10cm，BC＝15cm，BE＝6cm，则□ABCD的面积为______． 二、选择题
9．有下列说法：
①平行四边形具有四边形的所有性质； ②平行四边形是中心对称图形；
③平行四边形的任一条对角线可把平行四边形分成两个全等的三角形； ④平行四边形的两条对角线把平行四边形分成4个面积相等的小三角形． 其中正确说法的序号是( ． (A①②④ (B①③④ (C①②③ (D①②③④ 10．平行四边形一边长12cm，那么它的两条对角线的长度可能是( ．
(A8cm和16cm (B10cm和16cm (C8cm和14cm (D8cm和12cm 11．以不共线的三点A、B、C为顶点的平行四边形共有( 个．
(A1 (B2 (C3 (D无数
12．在□ABCD中，点A1、A2、A3、A4和C1、C2、C3、C4分别是AB和CD的五等分点，点B1、B2、和D1、D2分别是BC和DA的三等分点，已知四边形A4B2C4D2的面积为1，则□ABCD的面积为(


(A2 (C

(B3
55
3(D15 13．根据如图所示的(1，(2，(3三个图所表示的规律，依次下去第n个图中平行四边形的个数是(

……
(1 (2
(3 (B3n(n＋1 (C6n (D6n(n＋1
课 后 作 业
1．在平行四边形中，周长等于48， ① 已知一边长12，求各边的长 ② 已知AB=2BC，求各边的长
③ 已知对角线AC、BD交于点O，△AOD与△AOB的周长长 2．如图，3．ABCD中，AE⊥BD，∠EAD=60°，AE=2cm，AC+BD=14cm，则△OBC的周长是____ ___cm．
ABCD的周长是__ ___cm．
ABCD一内角的平分线与边相交并把这条边分成5cm，7cm的两条线段，则
(A3n

的差是10，求各边的





七、课后练习 1．判断对错 （1）在ABCD中，AC交BD于O，则AO=OB=OC=OD． （ ）
（2）平行四边形两条对角线的交点到一组对边的距离相等． （ ） （3）平行四边形的两组对边分别平行且相等． （ ） （4）平行四边形是轴对称图形． （ ） 2．在 ABCD中，AC＝6、BD＝4，则AB的范围是__ ______．
3．在平行四边形ABCD中，已知AB、BC、CD三条边的长度分别为（x+3），（x-4）和16，则这个四边形的周长是 ． 4．公园有一片绿地，它的形状是平行四边形，绿地上要修＝15cm，AD＝12cm，AC⊥BC，求小路BC，CD，OC的几条笔直的小路，如图，AB长，并算出绿地的面积．


如图，在 ABCD中，AB=6cm，BC=11cm，对角线AC,BD相交于点O，求△BOC与△AOB的周长的A D 差.
O
B
C

18.1.2平行四边形的判定1
学习目标：1．在探索平行四边形的判别条件中，理解并掌握用边、对角线来判定平行四边形的方法． 2．会综合运用平行四边形的判定方法和性质来解决问题． 学习重点：平行四边形的判定方法及应用．
学习难点：平行四边形的判定定理与性质定理的灵活应用． 学习过程：
一、自主预习（10分钟） 【活动一】
提出问题：1.平行四边形的定义是什么？它有什么作用？ 2.平行四边形具有哪些性质？
3.平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分，那么反过来，对边相等或对角相等或对角线互相平分的四边形是不是平行四边形呢？ 【活动二】
★探究：小明的父亲手中有一些木条，他想通过适当的测量、割剪，钉制一个平行四边形框架，你能帮他想出一些办法来吗？
利用手中的学具——硬纸板条，通过观察、测量、猜想、验证、探索构成平行四边形的条件，思考并探讨： （1）你能适当选择手中的硬纸板条搭建一个平行四边形吗？


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