课时作业(二十一)
[第三章 *3 垂径定理]
一、选择题
1．如图K－21－1，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，则下列结论不一定成立的是( )
word/media/image3_1.png
图K－21－1
A．CM＝DM B.＝
C．∠ACD＝∠ADC D．OM＝MD
2．如图K－21－2，⊙O的半径为5，AB为弦，半径OC⊥AB，垂足为E，若OE＝3，则AB的长是( )
word/media/image7_1.png
图K－21－2
A．4 B．6 C．8 D．10
3．绍兴是著名的桥乡，如图K－21－3是石拱桥的示意图，桥顶到水面的距离CD为8 m，桥拱半径OC为5 m，则水面宽AB为()
word/media/image9_1.png
图K－21－3
A．4 m B．5 m C．6 m D．8 m
4．2018·临安区如图K－21－4，⊙O的半径OA＝6，以A为圆心，OA长为半径的弧交⊙O于点B，C，则BC的长为( )
word/media/image10_1.png
图K－21－4
A．6 B．6
C．3
D．3
5．如图K－21－5，正方形ABCD的四个顶点均在⊙O上，⊙O的直径为分米，若在这个圆内随意抛一粒豆子，则豆子落在正方形ABCD内的概率是()
word/media/image13_1.png
图K－21－5
A. B.
C.
D．2π
6．如图K－21－6，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心、CA长为半径的圆与AB交于点D，则AD的长为( )
word/media/image17_1.png
图K－21－6
A. B.
C.
D.
7．2018·安顺已知⊙O的直径CD＝10 cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB＝8 cm，则AC的长为()
A．2 cm B．4
cm
C．2 cm或4
cm D．2
cm或4
cm
二、填空题
8．过⊙O内一点M的最长的弦长为10 cm，最短的弦长为8 cm，那么OM的长为________．
9．如图K－21－7，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P在第一象限内，⊙P与x轴交于点O，A，点A的坐标为(6，0)，⊙P的半径为，则点P的坐标为________．
word/media/image24_1.png
图K－21－7
10.如图K－21－8所示，AB，AC，BC都是⊙O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M，N，如果MN＝3，那么BC＝________．
图K－21－8
11．如图K－21－9，将半径为2的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为________.
word/media/image26_1.png
图K－21－9
12．小敏利用课余时间制作了一个脸盆架，如图K－21－10是它的截面图，垂直放置的脸盆与架子的交点为A，B，AB＝40 cm，脸盆的最低点C到AB的距离为10 cm，则该脸盆的半径为________cm.
word/media/image27_1.png
图K－21－10
三、解答题
13．2018·浦东新区二模如图K－21－11，已知AB是圆O的直径，弦CD交AB于点E，∠CEA＝30°，OE＝4，DE＝5，求弦CD的长及圆O的半径.
word/media/image28_1.png
图K－21－11
14．如图K－21－12，已知O是∠EPF的平分线上的一点，以O为圆心的圆和∠EPF的两边分别交于点A，B和C，D.
求证：(1)∠OBA＝∠OCD；
(2)AB＝CD.
word/media/image29_1.png
图K－21－12
15．一个半圆形桥洞截面如图K－21－13所示，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CD∥AB，且CD＝16 m，OE⊥CD于点E.已测得sin∠DOE＝.
(1)求半径OD；
(2)根据需要，水面要以每小时0.5 m的速度下降，则经过多长时间才能将水排干？
word/media/image31_1.png
图K－21－13
探索存在题如图K－21－14，在半径为5的扇形AOB中，∠AOB＝90°，C是弧AB上的一个动点(不与点A，B重合)，OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D，E.
(1)当BC＝6时，求线段OD的长．
(2)在△DOE中，是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由．
word/media/image33_1.png
图K－21－14
详解详析
【课时作业】
[课堂达标]
1．[答案] D
word/media/image34_1.png
2．[解析] C 连接OA，如图．
∵OC⊥AB，OA＝5，OE＝3，
∴AE＝＝
＝4，
∴AB＝2AE＝8.故选C.
3．[解析] D 连接OA，∵桥拱半径OC为5 m，∴OA＝5 m．∵CD＝8 m，∴OD＝8－5＝3(m)，∴AD＝＝4 m，∴AB＝2AD＝2×4＝8(m)．
4．[解析] A 设OA与BC相交于点D，连接AB，OB.∵AB＝OA＝OB＝6，∴△OAB是等边三角形．又根据垂径定理可得，OA垂直平分BC，∴OD＝AD＝3，
在Rt△BOD中，由勾股定理得BD＝＝3
，∴BC＝6
.故选A.
5．[答案] A
6．[解析] C ∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝
＝5.
过点C作CM⊥AB，交AB于点M，
则M为AD的中点．
∵S△ABC＝AC·BC＝
AB·CM，且AC＝3，BC＝4，AB＝5，∴CM＝
.
在Rt△ACM中，根据勾股定理，得AC2＝AM2＋CM2，即9＝AM2＋()2，
解得AM＝，∴AD＝2AM＝
.故选C.
7．[解析] C 连接AC，AO.∵⊙O的直径CD＝10 cm，AB⊥CD，AB＝8 cm，∴AM＝AB＝
×8＝4(cm)，OD＝OC＝5 cm.当点C的位置如图(1)所示时，∵OA＝5 cm，AM＝4 cm，CD⊥AB，∴OM＝
＝3 cm，∴CM＝OC＋OM＝5＋3＝8(cm)，∴AC＝
＝
＝4
(cm)．当点C的位置如图(2)所示时，同理可得OM＝3 cm，∵OC＝5 cm，∴MC＝5－3＝2(cm)．在Rt△AMC中，AC＝
＝
＝2
(cm)．综上所述，AC的长为4
cm或2
cm.故选C.
word/media/image48_1.png
word/media/image49_1.png
8．[答案] 3 cm
[解析] 由题意作图，如图所示，AB为过点M最长的弦，CD为过点M最短的弦，连接OD，
则OM＝＝
＝3(cm)．
9．[答案] (3，2)
[解析] 过点P作PD⊥x轴于点D，连接OP.
∵A(6，0)，PD⊥OA，∴OD＝3.
在Rt△OPD中，∵OP＝，OD＝3，∴PD＝
＝
＝2，∴P(3，2)．
10．[答案] 6
[解析] 由AB，AC都是⊙O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，根据垂径定理可知M，N分别为AB，AC的中点，∴BC＝2MN＝6.
11．[答案] 2
[解析] 过点O作OD⊥AB于点D，连接OA.
∵OD⊥AB，∴AD＝BD.由折叠的性质可知OD＝OA＝1，在Rt△OAD中，AD＝
＝
＝
，∴AB＝2AD＝2
.故答案为2
.
12．[答案] 25
word/media/image55_1.png
[解析] 如图，设圆的圆心为O，连接OA，OC，OC与AB交于点D，设⊙O的半径为R cm.由题意得OC⊥AB，∴AD＝DB＝AB＝20 cm.在Rt△AOD中，∵∠ADO＝90°，∴OA2＝OD2＋AD2，即R2＝202＋(R－10)2，解得R＝25.故答案为25.
13．解：如图，过点O作OM⊥CD于点M，连接OD，
∵∠CEA＝30°，∴∠OEM＝∠CEA＝30°.
在Rt△OEM中，∵OE＝4，
word/media/image56_1.png
∴OM＝OE＝2，EM＝OE·cos30°＝4×
＝2
.
∵DE＝5，
∴DM＝DE－EM＝3.
∵OM过圆心，OM⊥CD，∴CD＝2DM＝6.
∵在Rt△DOM中，OM＝2，DM＝3，
∴OD＝＝
＝
.
故弦CD的长为6，⊙O的半径为
.
14．证明：(1)过点O作OM⊥AB，ON⊥CD，垂足分别为M，N.
∵PO平分∠EPF，OM⊥AB，ON⊥CD，
∴OM＝ON.
在Rt△OMB和Rt△ONC中，
OM＝ON，OB＝OC，
∴Rt△OMB≌Rt△ONC(HL)，
∴∠OBA＝∠OCD.
(2)由(1)得Rt△OMB≌Rt△ONC，∴BM＝CN.
∵OM⊥AB，ON⊥CD，
∴AB＝2BM，CD＝2CN，∴AB＝CD.
15．[解析] (1)由OE⊥CD，根据垂径定理求出DE，解Rt△DOE可求半径OD；
(2)在Rt△DOE中，由勾股定理求出OE，再用OE除以水面下降的速度，即可求出时间．
解：(1)∵OE⊥CD于点E，CD＝16 m，
∴ED＝CD＝8 m.
在Rt△DOE中，
∵sin∠DOE＝＝
，∴OD＝10 m.
(2)在Rt△DOE中，OE＝＝
＝6(m)，6÷0.5＝12(时)，故水面以每小时0.5 m的速度下降，经过12小时才能将水排干．
[素养提升]
[解析] (1)根据垂径定理可得BD＝BC，然后只需利用勾股定理即可求出线段OD的长；(2)连接AB，如图，利用勾股定理可求出AB的长，根据垂径定理可得D和E分别是线段BC和AC的中点，根据三角形中位线定理就可得到DE＝
AB，即DE的长度保持不变．
解：(1)∵OD⊥BC，∴BD＝BC＝
×6＝3.
在Rt△ODB中，OB＝5，BD＝3，
∴OD＝＝4，
即线段OD的长为4.
word/media/image65_1.png
(2)存在，DE的长度保持不变．
连接AB，如图，
∵∠AOB＝90°，OA＝OB＝5，
∴AB＝＝5
.
∵OD⊥BC，OE⊥AC，
∴D，E分别是线段BC和AC的中点，
∴DE是△CBA的中位线，
∴DE＝AB＝
.
本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/3d2092d6640e52ea551810a6f524ccbff021ca79.html
文档为doc格式